专题 9.8 平面直角坐标系与面积问题（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 9.8 平面直角坐标系与面积解题方法与技巧 目录 一.方法与技巧梳理 1 （一） 两种求面积基本方法 1 方法1：规则三角形求面积 1 方法2：割补法求不规则三角形求面积 2 （二）两个数学思想 2 （三） 四个解题技巧 2 （四）三个易错点 3 二.题型精型 3 ★【题型 1】直接求三角形形面积 3 ★【题型 2】直接求四边形面积 4 ★★【题型 3】割补法求图形面积 5 ★★【题型 4】利用三角形面积或面积关系求点的坐标 6 ★★【题型 5】利用多边形面积或面积关系求点的坐标 8 ★★【题型 6】求平面直角坐标系面积中点的坐标存在性问题 9 ★★★【题型 7】平面直角坐标系动点问题与点的坐标存在性问题综合 11 三.中考模拟真题 13 （一）单选题（4题） 13 （一） 填空题（4题） 13 （二） 解答题（4题） 14 一.方法与技巧梳理 （一） 两种求面积基本方法 方法1：规则三角形求面积 条件 在中，， ， 在中， 图示 面积 方法2：割补法求不规则三角形求面积 条件 在中，， ， 在中， 图示 面积 （二）两个数学思想 1、转化思想：平面直角坐标系中的面积问题，本质上考查的是“化不规则为规则”的转化思想； 2、方程思想：当已知面积求点的坐标时，可以设未知点的坐标，根据面积关系列出方程求解，这是数形结合的重要体现。 （三） 四个解题技巧 技巧1、巧选底边：尽量选择与坐标轴平行或长度易求的边作底； 技巧2、合理割补：多尝试不同的割补方式，选择计算最简便的； 技巧3、数形结合：画出图形，直观理解题意； 技巧4、符号处理：距离是非负的，注意加绝对值。 （四）三个易错点 1、忽略绝对值:坐标差表示距离时要加绝对值； 2、漏解:已知面积求点坐标时,往往有多解，需分类讨论； 3、坐标顺序:求坐标差时，注意用大减小或加绝对值。 二.题型精型 ★【题型 1】直接求三角形形面积 【例题1】（24-25七年级下·湖南湘西·期末）三角形中，如果，， ，则的面积是______． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·期末）点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积． ★【题型 2】直接求四边形面积 【例题2】（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，求四边形的面积． ★★【题型 3】割补法求图形面积 【例题3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴． （1）求点，的坐标； （2）连接，，求三角形的面积． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， 求的面积； 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点B，C的坐标分别是，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； （2）求三角形的面积； 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，且满足 （1）求三角形的三个顶点的坐标； （2）求三角形的面积； ★★【题型 4】利用三角形面积或面积关系求点的坐标 【例题4】（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求出的面积． （2）在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【变式3】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． （1）填空：_________，__________； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． ★★【题型 5】利用多边形面积或面积关系求点的坐标 【例题5】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式：． （1）求，，的值； （2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． （1）直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． （2）若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【变式3】（24-25七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，，其中a，b，c满足关系式 （1）求a，b，c的值， （2）如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，如图2，当P，A，C三点在一条直线上时，求出此时P的坐标 ★★【题型 6】求平面直角坐标系面积中点的坐标存在性问题 【例题6】（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． （1）求四边形的面积； （2）在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． （1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； （2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． （1）求a，b的值： （2）求的面积： （3）若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，直接写出P点坐标：若不存在，请说明理由． 【变式4】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中满足关系式． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． ★★★【题型 7】平面直角坐标系动点问题与点的坐标存在性问题综合 【例题7】（24-25七年级下·福建福州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． （1）若、、；则点的坐标是_________； （2）已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）如图1，若点D为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点E，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点G为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点G的横坐标的值（用含的式子表示）． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，a，b，c满足． （1）__________，__________，__________． （2）如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点E，是否存在点D，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若第一象限内的线段是由线段平移而成，点，连接，，若交于点Q． ①求与的面积差，并求出点Q的纵坐标（都用含n的式子表示）； ②若的面积为27，直接写出点Q的坐标． 【变式3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． （1）点C坐标 ，点D坐标 ； （2）如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 三.中考模拟真题 （一）单选题（4题） 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 2．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发、按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，，第次移动到，则的面积是（    ）      A． B． C． D． （1） 填空题（4题） 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 8．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为________． （2） 解答题（4题） 9．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． （1）点D的坐标是______； （2）若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 10．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且． （1）求a，b的值； （2）点C在x轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点C的坐标． 11．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，现在把线段向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段，连接、． （1）请直接写出点C、点D的坐标； （2）在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 9.8 平面直角坐标系与面积解题方法与技巧 目录 一.方法与技巧梳理 1 （一） 两种求面积基本方法 1 方法1：规则三角形求面积 1 方法2：割补法求不规则三角形求面积 2 （二）两个数学思想 2 （三） 四个解题技巧 2 （四）三个易错点 3 二.题型精型 3 ★【题型 1】直接求三角形形面积 3 ★【题型 2】直接求四边形面积 5 ★★【题型 3】割补法求图形面积 8 ★★【题型 4】利用三角形面积或面积关系求点的坐标 12 ★★【题型 5】利用多边形面积或面积关系求点的坐标 17 ★★【题型 6】求平面直角坐标系面积中点的坐标存在性问题 22 ★★★【题型 7】平面直角坐标系动点问题与点的坐标存在性问题综合 28 三.中考模拟真题 39 （一）单选题（4题） 39 （一） 填空题（4题） 42 （二） 解答题（4题） 44 一.方法与技巧梳理 （一） 两种求面积基本方法 方法1：规则三角形求面积 条件 在中，， ， 在中， 图示 面积 方法2：割补法求不规则三角形求面积 条件 在中，， ， 在中， 图示 面积 （二）两个数学思想 1、转化思想：平面直角坐标系中的面积问题，本质上考查的是“化不规则为规则”的转化思想； 2、方程思想：当已知面积求点的坐标时,可以设未知点的坐标，根据面积关系列出方程求解，这是数形结合的重要体现。 （三） 四个解题技巧 技巧1、巧选底边：尽量选择与坐标轴平行或长度易求的边作底； 技巧2、合理割补：多尝试不同的割补方式，选择计算最简便的； 技巧3、数形结合：画出图形，直观理解题意； 技巧4、符号处理：距离是非负的，注意加绝对值。 （四）三个易错点 1、忽略绝对值:坐标差表示距离时要加绝对值； 2、漏解:已知面积求点坐标时,往往有多解,需分类讨论； 3、坐标顺序:求坐标差时，注意用大减小或加绝对值。 二.题型精型 ★【题型 1】直接求三角形形面积 【例题1】（24-25七年级下·湖南湘西·期末）三角形中，如果，， ，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据顶点的坐标可求出三角形的底边及其高的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 解：如图，∵，， ， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·期末）点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角坐标系，三角形的面积，根据三角形的面积公式得到是解题的关键，先求出点P的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 解：当时，， ∴， ∵，， ∴， 即的面积是9． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积． 【答案】6 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形．根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而得到，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中三角形的面积求法，以为底并求出点A到的距离从而求面积是解题的关键．过点A作轴，交x轴于点D，求出和，再用面积公式求解即可． 解：过点A作轴，交x轴于点D． ， ． ， ， ． ★【题型 2】直接求四边形面积 【例题2】（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可． 解：如图，过作于，过作于， ∵，，，， ∴，，，，， ∴四边形的面积是． 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，坐标与图形综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据，，，，结合图形，可分别求出三角形（左）、梯形（中）、三角形（右），再求和即可． 解：∵一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示）， ∴这块地皮的面积是 （）， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，求四边形的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质．过点作轴于点，作轴于点，连接，分别求出和的面积即可得出四边形的面积． 解：过点作轴于点，作轴于点，连接， 点坐标为， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， ． ★★【题型 3】割补法求图形面积 【例题3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴． （1）求点，的坐标； （2）连接，，求三角形的面积． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据的长度与点A的坐标得出点的坐标，根据的长度得出点的坐标； （2）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点，根据，即可求解． 解：（1）解： 三角形是直角三角形，，，轴， ，即， ∵， ，即． （2）解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点， 则，，，，， ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， 求的面积； 【答案】（1） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； 解：（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点B，C的坐标分别是，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； （2）求三角形的面积； 【答案】（1）图见分析， （2） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确建立正确的坐标系是解题的关键． （1）根据点B和点C的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系并求出点A的坐标即可； （2）利用割补法求解即可； 解：（1）解：坐标系如下图所示，则点A的坐标为； （2）解：由题意得，； 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，且满足 （1）求三角形的三个顶点的坐标； （2）求三角形的面积； 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据算术平方根、绝对值以及平方的非负性去，求出、、的值，即可得到答案； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据求解即可； 解：（1）解：， ，，， ，，， ； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，，，，， ； ★★【题型 4】利用三角形面积或面积关系求点的坐标 【例题4】（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求出的面积． （2）在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】（1）4；（2）或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． （1）填空：_________，__________； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】（1），2；（2）；（3）或 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是： （1）由非负数性质求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）设，分两种情况讨论：D在上方；D在C下方，然后根据割补法构建关于m 的方程求解即可． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵在第四象限， ∴； （3）解：当时，， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 设， 当D在上方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴； 当D在C下方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标为或． ★★【题型 5】利用多边形面积或面积关系求点的坐标 【例题5】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式：． （1）求，，的值； （2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形． （1）利用绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可求解． 解：（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵点的坐标为， ∴四边形的面积 ． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． （1）直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． （2）若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）4秒；（3）或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 解：（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 【变式2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【变式3】（24-25七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，，其中a，b，c满足关系式 （1）求a，b，c的值， （2）如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，如图2，当P，A，C三点在一条直线上时，求出此时P的坐标 【答案】（1）2；3；4；（2）；（3） 【分析】（1）先根据非负数的性质求得a、b的值，再代入即可求出c的值； （2）利用割补法求出四边形的面积即可； （3）过点P作轴于点D，根据，，列出关于m的方程，解方程求出m的值即可． 解：（1）∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，，， ∴，， ∵，点P在第二象限， ∴， ∴ ． （3）解：过点P作轴于点D，如图所示： ∵P，A，C三点在一条直线上， ∴， 又∵ ， ∴， 解得：， ∴此时P的坐标． 【点拨】本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形面积的计算，由三角形面积和四边形面积相等着手，三角形面积很容易得到，从而得到m的值． ★★【题型 6】求平面直角坐标系面积中点的坐标存在性问题 【例题6】（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． （1）求四边形的面积； （2）在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 【变式1】（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． （1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； （2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【答案】（1）不存在；（2）5． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键． （1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断； （2）根据平移性质和图象数形结合即可． 解：（1）解：设P点到的距离为h， 则， 由题意知，所以， 又因为点P是线段上一动点，h不可能为1， 所以不存在一点，使得； 故答案为：不存在； （2）由（1）知，只要,则， 又因为， 所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5． 故答案为：5． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． （1）求a，b的值： （2）求的面积： （3）若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，直接写出P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）8；（3）存在，点P为或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系与几何的综合运用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据平方以及平方根的非负性进行求解即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可； （3）设点，求出的面积，利用面积相等即可得到答案． 解：（1）解：， ； （2）解：由（1）可知， 轴于B， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设点， Q的坐标为， ， ， 和的面积相等， ， 解得或， 故点P为或． 【变式4】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中满足关系式． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）存在点，使四边形的面积与的面积相等 【分析】本题考查了坐标与图形性质：三角形的面积公式．利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系． （1）根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，； （2）根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算； （3）若，则，解得，然后分别写出点的坐标． 解：（1）解：∵． ，，， ，，； （2）解：∵，， ∴在三角形，底，高， ∴． ∵点在第二象限， 所以，对于，底，高为（因为）， ∴． ∴四边形的面积 （3）∵，，，则垂直于轴，，到轴的距离为， ∴的底，高为， ∴． 由（2）知四边形的面积， ∴， 解得． 所以点的坐标为， ∴存在点，使四边形的面积与的面积相等． ★★★【题型 7】平面直角坐标系动点问题与点的坐标存在性问题综合 【例题7】（24-25七年级下·福建福州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． （1）若、、；则点的坐标是_________； （2）已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）15或3． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． （1）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等； （2）由点和点在轴上确定出，再根据的面积求出，然后写出点、的坐标即可； （3）根据，，，，得出，，分情况解答即可． 解：（1）解：设， 将线段平移至线段，、，， ，， ，， ； （2）解：如图①，，点在轴的正半轴上， ，， ，即， ， 解得：， 点的坐标为， 设，将线段平移至线段， ，， ，， 点的坐标为； （3）解：，，，， 点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为， 即，， 解得：，或，， 点的坐标为，的坐标为或点的坐标为，的坐标为， 当，，； 当，时，． 综上，以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积为15或3. 【变式1】（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）如图1，若点D为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点E，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点G为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点G的横坐标的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）存在，；（2）G的横坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标与图形变化－平移，以及一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接交y轴于点M，作于点H，求出，由的面积等于的面积得，由求出，再根据即可求出点的坐标； （2）延长交x轴于点N，连接，设点，用割补法求出，根据求出，分别表示出的面积和四边形的面积，然后根据二者面积相等列式求解即可． 解：（1）解：连接交y轴于点M，作于点H， ∵， ∴， ∴． ∵的面积等于的面积， ∴． ∵， ∴， ∴ 设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交x轴于点N，连接，设点， 由平移的性质得点，点， ∵点 ∴， ∵ ， ∴， 解得， ∴点， ∵， ∴四边形的面积， 设， ， ∴， 解得 ， 设点 G的横坐标为x，则|， 解得或． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，a，b，c满足． （1）__________，__________，__________． （2）如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点E，是否存在点D，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若第一象限内的线段是由线段平移而成，点，连接，，若交于点Q． ①求与的面积差，并求出点Q的纵坐标（都用含n的式子表示）； ②若的面积为27，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）；6；4；（2）；（3）①；；② 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b、c的值； （2）过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设，根据可建立方程求出，则；根据的面积等于的面积，可证明，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）①过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接，由平移的性质可得，则；设，则，根据，，可得，，可求出，则，据此可得； ②根据题意可得，解得，则． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图所示，过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接， 由（1）得， ∵第一象限内的线段是由线段平移而成，点， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵的面积为27， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，非负性的性质等等，正确作出辅助线利用割补法转换图形的面积是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． （1）点C坐标 ，点D坐标 ； （2）如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 【答案】（1），；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标； （2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可； （3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得； 解：（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上， 则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度， ∴，． 故答案为：，． （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵将点向下移动1个单位得到点P， ∴点， ∴ ， 设点，则， ∵与面积相等， ∴， 即， 解得或， ∴或． （3）如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【点拨】本题是坐标与图形综合问题，主要考查了非负数的性质、平移的性质、三角形的面积，平行线的性质和坐标系中的动点问题，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键． 三.中考模拟真题 （一）单选题（4题） 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查坐标系中的坐标与图形，根据点A和点B在x轴上，距离可用横坐标之差的绝对值求出，C点在y轴的正半轴上，用面积列等式求解即可． 解：点C在y轴的正半轴上，点和点在x轴上， ， 的面积为8，得 ， 解得， 点， 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发、按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，，第次移动到，则的面积是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标的变化规律，根据题意找出（）这个规律，再结合的坐标即可求得的面积． 解：由题可得：从到，4个为一个循环，一个循环对应位置的点水平向右移动了， ， 第次移动到，此时移动了个循环，水平向前移动了， 点的坐标， 点的坐标， ， 故选：B． （1） 填空题（4题） 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是三角形的面积，不等式的应用，坐标与图形，熟知图形面积的关系是解答本题的关键．根据三角形的面积公式即可得出关于x的关系式，把 的面积代入得出关于x的不等式，解不等式即可． 解：∵A和P点的坐标分别是、， ∴． ∵， ∴． ∴ 当时， 解得：， ∵点在第一象限， ∴ ∴点的横坐标的取值范围是． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据点的坐标求出的长，进而根据三角形的面积列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解题意是解题的关键． 解：∵点和点， ∴，， ∵直线与坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是求点到坐标轴的距离、三角形的面积，解题关键是灵活运用数形结合思想． 先求出，再根据点的坐标得到点到的距离求出面积，设点坐标为，根据三角形面积公式得，解得的值即可确定点的坐标． 解：依题得：， ， 设点坐标为， 则， ， 解得， 点的坐标为或． 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或 （2） 解答题（4题） 9．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． （1）点D的坐标是______； （2）若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移： （1）根据点A与点C是对应点，可得线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得到关于m的方程，即可求解． 解：（1）解：∵点， ，点A与点C是对应点． ∴线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∵， ∴点D的坐标是，即； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 即， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 10．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且． （1）求a，b的值； （2）点C在x轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点C的坐标． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合非负性进行列式计算，即可作答． （2）先得出，，故，然后得，则，因为，且点C在x轴上，得或，即可作答． 解：（1）解：∵， ∴ ∴， 解得； （2）解：由（1）得， 即，， ∴ 依题意， ∵三角形的面积是三角形面积的2倍， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，且点C在x轴上， ∴或； ∴或． 11．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，现在把线段向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段，连接、． （1）请直接写出点C、点D的坐标； （2）在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或 【分析】（1）根据平面直角坐标系内的点平移的特点即可． （2）设点P的坐标为，利用的面积是面积的2倍联立等式并求解即可． 解：（1）解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点，同理可得点． （2）存在， 设点P的坐标为，则， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 【点拨】本题考查了坐标与图形的性质及图形的平移，利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标的关系，结合分类讨论思想解决问题是解题的关键． 12．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；m；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解． 解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， ，，点， ∴，，，， ， ∴，． ， ， 解得，， 点的坐标为； 故答案为：，，，； （2）如图，连接，过点作于，于． 依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上， ， ， ， 点的坐标为； （3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5， ∵， ∴点在轴下方， 如图所示，过点作轴于点，则 ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $