6.4.3.3余弦定理、正弦定理导学案 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3.3 余弦定理、正弦定理【导学】 （第3课时 正弦定理、余弦定理综合应用） 【导学目标】 1.掌握三角形的面积公式. 2.巩固诱导公式和三角恒等变换. 3.进一步提升处理三角形问题的能力. 【导学重点】1.掌握三角形的面积公式. 2.巩固诱导公式和三角恒等变换. 【导学难点】利用正弦定理、余弦定理解决综合问题。 【知识要点】 正弦定理、余弦定理综合应用 三角形常用面积公式 ①； ②； ③ （其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④ (其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；sin(C＋B)＝sin A；sin(A＋C)＝sin B； (2)cos(A＋B)＝－cos C；cos(C＋B)＝－cos A；cos(A＋C)＝－cos B； (3)sin＝cos ； (4)cos＝sin . 3．在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b，cosA＞cos B⇔A＜B⇔a＜b. 4．三角形射影定理 a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝acos B＋bcos A． 5.＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 三角形解 的个数 判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． 解三角形 多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 解题方法 总结 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；． （3）两边一对角，求第三边． 【典型例题】 题型一 正弦定理、余弦定理的理解 【例1-1】(对的打“√”，错的打“×”) （1）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.（ ） （2）在△ABC中，已知两边及夹角时，满足题意的△ABC可能有两个．（ ） （3）在△ABC中，有.（ ） （4）△ABC的面积公式，只适用于锐角三角形.（ ） （5）在△ABC中，若，则.（ ） 【例1-2】在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 三角形的面积公式 【例2-1】在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积_____. 【例2-2】在中，，，，求的面积. 【例2-3】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为 . 【例2-4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1) 求的值； (2)若，求的面积． 【例2-5】如图，在中，，M是的中点，，则_________，__________. 【例2-6】如图，在中，，，，， 则_________，_________. 题型三 三角形解的个数 【例3-1】（多选）在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ） A． B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解 【答案】ABC 【解析】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误； 对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确. 故选：ABC. 【例3-2】若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3-3】在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 题型四 三角形中的取值范围问题 【例4-1】若满足，的有两个，则边长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例4-2】在中，角，，的对边分别为a，b，c，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-3】在中，角，，的对边分别为a，b，c，若=4，B＝600， 求（1）面积的最大值； （2）周长的最大值. 题型五 正弦定理、余弦定理综合应用 【例5-1】在中，角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A． B． C． D．或 【例5-2】设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A．2 B．4 C． D．8 【例5-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5-4】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C．外接圆的面积为 D．的面积为 【例5-5】在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求 边上中线的长． 条件①：；条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【例5-6】已知向量（，），（，），. (1)求函数的最大值及相应x的值； (2)在中，角A为锐角，且，，BC=2，求的面积. ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3.3 余弦定理、正弦定理【导学】 （第3课时 正弦定理、余弦定理综合应用） 【导学目标】 1.掌握三角形的面积公式. 2.巩固诱导公式和三角恒等变换. 3.进一步提升处理三角形问题的能力. 【导学重点】1.掌握三角形的面积公式. 2.巩固诱导公式和三角恒等变换. 【导学难点】利用正弦定理、余弦定理解决综合问题。 【知识要点】 正弦定理、余弦定理综合应用 三角形常用面积公式 ①； ②； ③ （其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④ (其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；sin(C＋B)＝sin A；sin(A＋C)＝sin B； (2)cos(A＋B)＝－cos C；cos(C＋B)＝－cos A；cos(A＋C)＝－cos B； (3)sin＝cos ； (4)cos＝sin . 3．在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b，cosA＞cos B⇔A＜B⇔a＜b. 4．三角形射影定理 a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝acos B＋bcos A． 5.＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 三角形解 的个数 判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． 解三角形 多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 解题方法 总结 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；． （3）两边一对角，求第三边． 【典型例题】 题型一 正弦定理、余弦定理的理解 【例1-1】(对的打“√”，错的打“×”) （1）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.（ ） （2）在△ABC中，已知两边及夹角时，满足题意的△ABC可能有两个．（ ） （3）在△ABC中，有.（ ） （4）△ABC的面积公式，只适用于锐角三角形.（ ） （5）在△ABC中，若，则.（ ） 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）√. 【例1-2】在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 题型二 三角形的面积公式 【例2-1】在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积_____. 【答案】 【例2-2】在中，，，，求的面积. 【答案】 【例2-3】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为 . 【答案】 【例2-4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1) 求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1);(2)22. 【例2-5】如图，在中，，M是的中点，，则_________，__________. 【答案】 【例2-6】如图，在中，，，，， 则_________，_________. 【答案】 题型三 三角形解的个数 【例3-1】（多选）在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ） A． B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解 【答案】ABC 【解析】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误； 对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确. 故选：ABC. 【例3-2】若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【例3-3】在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 题型四 三角形中的取值范围问题 【例4-1】若满足，的有两个，则边长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【例4-2】在中，角，，的对边分别为a，b，c，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【例4-3】在中，角，，的对边分别为a，b，c，若=4，B＝600， 求（1）面积的最大值； （2）周长的最大值. 【答案】(1);(2)6. 题型五 正弦定理、余弦定理综合应用 【例5-1】在中，角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【例5-2】设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】A 【例5-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【例5-4】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C．外接圆的面积为 D．的面积为 【答案】ABD 【例5-5】在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上中线的长． 条件①：；条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【答案】(1); (2)条件①不存在；条件②BC边上中线的长为；条件③BC 边上中线的长为. 【例5-6】已知向量（，），（，），. (1)求函数的最大值及相应x的值； (2)在中，角A为锐角，且，，BC=2，求的面积. 【答案】(1)当时，取得最大值; (2). ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $