6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

3.余弦定理、正弦定理应用举例 【学习目标】 　　能够在实际问题情境中,用余弦定理、正弦定理解决简单的问题. ◆ 知识点　实际应用问题中有关的术语 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫作　　　　.一般来说,基线越长,测量的精确度　　　　.  仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到　　　　　　　的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)  方位角 从正北的方向线按　　　时针到目标方向线所转过的水平角,范围为[0°,360°)  坡角与 坡度 坡面与水平面的夹角叫坡角,坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比叫坡度 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角,能够求其三条边. (　 ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得. (　 ) (3)方位角和方向角是一样的. (　 ) (4)坡面与水平面的夹角称为坡角. (　 ) (5)坡面的水平距离与坡面的铅直高度之比称为坡度. (　 ) ◆ 探究点一　测量距离问题　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离. 变式 (1)如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,AC与学生前进方向成30°角,学生前进200 m后到达点B,测得BC与前进方向成75°角.①点A与参照物C间的距离为　　　　m;②河的宽度为　　　　 m.  (2)如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为300 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为　　　　m.  [素养小结] 求两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把问题转化为求三角形的边长问题,基本方法是: (1)认真理解题意,正确作出图形,根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角,利用正、余弦定理求解. ◆ 探究点二　测量高度问题 例2 如图所示,为了测量河对岸的塔高,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,并测得C,D之间的距离是200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高. 变式 (1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为 (　 ) A.91 m B.74 m C.64 m D.52 m (2)[2025·湛江高一期中] 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动,如图,要测量一建筑物的高度OP,选择与该建筑物底部O在同一水平面上的A,B两点,测得AB=40米,∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠ABO=60°,则该建筑物的高度OP=　　　　米.  [素养小结] 测量高度的两类问题: (1)底部可到达,此类问题可直接构造直角三角形. (2)底部不可到达,此类问题可选取地面上与物体底部在同一直线(或同一水平面)上的两点,测量选取的两点间的距离,再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角. ◆ 探究点三　测量角度问题 例3 [教材P50例11改编] 如图所示,位于A处的甲船获悉:在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.甲船立即把消息告知在其南偏西30°,相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cos θ. 变式 在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向直线航行能恰好追上走私船? [素养小结] 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等. 解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解. 3.余弦定理、正弦定理应用举例 【课前预习】 知识点 基线　越高　目标方向线　顺 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (1)解一个三角形,至少要知道这个三角形的一条边. (2)两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个点来量出相应的角度和距离求得. (3)方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角;而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南或正东或正西方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的小于90°的角. (4)由坡角的定义可知正确. (5)坡度是指坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比. 【课中探究】 探究点一 例1　解:由题意得,在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD= km. 在△BDC中,∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°, 由正弦定理得=, 故BC==(km). 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA=()2+-2××cos 75°=5,∴AB= km,故两目标A,B之间的距离为 km. 变式　(1)①100(+1)　②50(+1)　(2)900 [解析] (1)①由已知,得∠ABC=105°,∠ACB=180°-30°-105°=45°.在△ABC中,由正弦定理,得=,所以AC==100(+1)(m),即点A与参照物C间的距离为100(+1)m. ②河的宽度为ACsin 30°=100(+1)×=50(+1)(m). (2)∵∠PAB=90°,∠PAQ=60°,∴∠BAQ=30°.在△ABQ中,∵∠PBA=∠PBQ=60°,∴∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,∴∠AQB=180°-120°-30°=30°.由正弦定理,得=,∴AQ=900.在Rt△ABP中,可得AP=ABtan 60°=900.∴AQ=AP=900,又∠PAQ=60°,∴△APQ是等边三角形,∴PQ=900,∴P,Q两点间的距离为900 m. 探究点二 例2　解:设AB=h米,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,则BC=h米.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h米. 在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,即2002=h2+(h)2-2·h·h·,解得h=200或h=-200(舍去),故塔高为200米. 变式　(1)B　(2)20　[解析] (1)在Rt△ABC中,AC=2AB=74,在△MCA中,∠MCA=180°-∠MCN-∠ACB=105°,∠MAC=45°,则∠AMC=180°-∠MCA-∠MAC=30°,由正弦定理得=,即=,解得MC=74,在Rt△MNC中,MN=74×=74.故选B. (2)设OP=h米,在Rt△PBO中,因为∠PBO=45°,PO⊥OB,所以OB=h米.在Rt△PAO中,因为∠PAO=30°,PO⊥OA,所以OA=h米.在△ABO中,由余弦定理可得AO2=AB2+BO2-2AB·BOcos∠ABO,因为AB=40米,所以3h2=402+h2-40h,即2h2+40h-402=(2h-40)(h+40)=0,可得h=20,所以OP=20米. 探究点三 例3　解:在△ABC中,AB=40 n mile,AC=20 n mile,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2800,所以BC=20 n mile. 由正弦定理得sin∠ACB=·sin∠BAC=, 由∠BAC=120°知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=, 所以cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=. 变式　解:设缉私船t h后在D处追上走私船,如图所示, 则CD=10t n mile,BD=10t n mile. 连接BC,在△ABC中, ∵AB=(-1)n mile,AC=2 n mile,∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2×(-1)×2×cos 120°=6,∴BC= n mile, ∴sin∠ABC=×sin∠BAC=×=, ∴∠ABC=45°,∴与正北方向成90°角.∵∠CBD=90°+30°=120°,∴在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD===, ∴∠BCD=30°,即缉私船沿北偏东60°方向直线航行能恰好追上走私船. 学科网（北京）股份有限公司 $