精品解析：天津市嘉诚中学2025-2026学年第二学期寒假学情调研高二数学试卷

天津市嘉诚中学2025-2026学年度第二学期寒假学情调研 高二年级数学试卷 （考试时长：100分钟 总分：100分） 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率为倾斜角的正切值及倾斜角的范围求得倾斜角. 【详解】设倾斜角为，直线的斜率为. ， ， 故选：A. 2. 已知等比数列中，，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质即可求解. 【详解】因为等比数列中，， 由等比中项的性质可得：，所以， 故选： 3. 椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】椭圆对应， 根据椭圆的定义可知. 故选：C 4. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 5. 已知直线：，直线：，若，则实数（ ） A. －4或0 B. 0或1 C. －4 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】由题意直线：，直线：，且， 所以，解得或. 故选：A. 6. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 7. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合基本初等函数的导函数逐项分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 8. 直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 9. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推式，利用迭代法（累加法）求出，化简计算，再利用双勾函数的单调性，即可求得的最小值. 【详解】因， 则 ， 则， 因函数上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据基本初等函数导数以及导数的乘法法则即可求解； ②把代入导函数中即可求解. 【详解】① ； ②. 故答案为：； 11. 在等差数列中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质由可得：，再利用等差数列的通项公式可得，进而求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，由等差数列的性质可得：， 又，所以， 故答案为：. 12. 已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论． 【详解】焦点在轴时，，，长轴长为, 焦点在轴时，，，长轴长为, 故答案为：或． 13. 已知函数则_____ 【答案】1 【解析】 【分析】先求的导函数，再令即可得到的方程. 【详解】因为函数则 当时，则，解得则 故答案为：1 14. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是__________. 【答案】； 【解析】 【分析】由渐近线方程先设双曲线方程为，再将点代入即可求得结果. 【详解】由双曲线的渐近线为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为 故答案为： 15. 设双曲线（，）的左焦点为，过作直线与圆相切于点，与双曲线的一条渐近线交于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，由题可得，结合条件可得，进而即得. 【详解】由题可得如图双曲线，设双曲线的右焦点为， 因为为线段的中点，O为中点， 所以， 又，则， 由，则，， 所以，又， 所以， 在中，， 所以，即. 故答案为：2. 三、解答题（共5题，共49分） 16. 解答下列各题 （1）在等差数列中，，，求通项及数列的前项和； （2）在等比数列中，，，求通项及数列的前项和. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质建立方程，求出基本量，再求通项公式和前项和即可. （2）利用等比数列的性质建立方程，求出基本量，再求通项公式和前项和即可. 【小问1详解】 设首项为，公差为，因为，， 所以，，解得，， 故，. 【小问2详解】 设首项为，公比为，因为，， 所以，，解得，， 故，. 17. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量公式求解即可； （2）利用裂项法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，① 由成等比数列，可得，即，② 由①②解得，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知 则. 18. 已知函数． （1）若，求及的值（为自然对数的底数）； （2）若在处的切线与直线垂直，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 分析】（1）对求导，代入求值即可. （2）对求导，根据导数的意义与已知条件列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以， ． 【小问2详解】 ，， 由题意，，解得或， 因为，所以． 19. 数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）当时，.检验，当时符合，即可得解； （2）当时，根据，即可得证； （3）利用错位相减法可得：，即可得证. 【详解】（1）当时，. 当时，. 检验，当时符合. 所以. （2）当时，， 而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3. （3）由（1）（2）得， ， 所以 ① ② 由①-②得 ， 所以. 因为， 所以. 【点睛】本题考查了利用和的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是数列基本方法的考查，属于基础题. 20. 已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由为椭圆上的点，所以，又直线将的面积分为两部分，可得、值，即可求方程； （2）联立直线与椭圆方程，运用韦达定理和中点公式结合已知条件和根的判别式大于即可求解． 【小问1详解】 由直线将的面积分为两部分， 得，所以， 从而.① 由为椭圆上的点，得，② 由①②解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由，得 由，得，且， ， 由为的中点，且，得， 即，化简得， 代入（1）中有，，可得， 令， 有. 由函数单调递增， 故当时，为的最小值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市嘉诚中学2025-2026学年度第二学期寒假学情调研 高二年级数学试卷 （考试时长：100分钟 总分：100分） 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列中，，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 3. 椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 26 4. 准线方程为抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，直线：，若，则实数（ ） A. －4或0 B. 0或1 C. －4 D. 0 6. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知，则___________，___________． 11. 在等差数列中，若，则______. 12. 已知椭圆焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________. 13. 已知函数则_____ 14. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线方程是__________. 15. 设双曲线（，）的左焦点为，过作直线与圆相切于点，与双曲线的一条渐近线交于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为______. 三、解答题（共5题，共49分） 16. 解答下列各题 （1）在等差数列中，，，求通项及数列的前项和； （2）在等比数列中，，，求通项及数列的前项和. 17. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）若，求及的值（为自然对数的底数）； （2）若在处切线与直线垂直，求实数的值． 19. 数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设数列满足，其前项和为，证明：. 20. 已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $