专题01 数与式、方程与不等式（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式、方程与不等式 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新考向 跨学科 新定义 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型 1：实数的混合运算 题型 2：比较大小问题 题型 3：用科学记数法比较较大 / 较小的数 题型 4：整式的混合运算 题型 5：化简求值问题 题型 6：整式与几何面积的综合运算 题型 7：规律探究问题 题型 8：因式分解 题型 9：分式有/无意义，值为 0 的条件 题型 10：分式的混合运算 题型 11：二次根式的混合运算 题型 12：非负性的应用 题型 13：已知方程（组）的解，求参数 题型 14：解方程（组）、不等式（组） 题型 15：一元二次方程根的判别式 题型 16：一元二次方程根与系数的关系 题型 17：一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 题型 18：分式方程的参数问题 题型 19：不等式（组）与整数解问题 题型 20：根据实际问题列方程 题型 21：利用方程、不等式解决实际问题 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新考法问题】（结合数学史（布丰投针试验、莱布尼茨无穷级数），以跨学科情境为载体，融合统计频率、公式代入、不等式求解等知识点。） 1．（2026年福建省厦门市海沧区北附学校中考一模数学试题）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【跨学科问题】（关联物理电路知识（串联、并联电路电阻公式），以电路结构分析为基础，考查分式方程与分式比较大小） 2．（江苏省扬州树人教育集团2025年九年级中考二模数学试题）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【新定义问题】（自定义 “树人数” 概念（能表示为两个整数平方差的整数），围绕概念展开判断、选择、证明，侧重代数变形与逻辑推理） 3．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”；任何一个偶数都是“树人数”；任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 实数的混合运算 1．（2026·四川泸州·一模）计算：． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：． 3．（2025·陕西西安·一模）计算： 题型02 比较大小问题 4．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·广东·二模）比较大小：______（填“”“”或“”）． 6．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ；． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 7．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 题型03 用科学记数法比较较大/较小的数 8．（2026·北京·一模）2025年7月15日，某航天项目探测器成功发射，开启对某小行星的探测之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球近地点距离的30倍，月球近地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·青海西宁·三模）纳米是一种长度单位，，已知某种植物花粉的直径约为，那么用科学记数法表示该花粉的直径为________． 10．（2026·重庆·模拟预测）假设2025年全国铁路旅客发送量为亿人，其中亿用科学记数法表示为___________． 11．（2026·河南周口·模拟预测）年4月7日，记者从中国石化新闻办获悉，中国石化“深地工程·川渝天然气基地”又获重大突破．中国石化表示该公司部署在四川省达州市的页岩气专探井雷页1井，试获日产气立方米页岩气流，该井埋深超米．数据用科学记数法表示为，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． 题型04 整式的混合运算 13．（2026·湖南衡阳·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·重庆·模拟预测）计算： 题型05 化简求值问题 16．（2026·江苏苏州·一模）先化简，再求值：，其中． 17．（2026·重庆·模拟预测）化简求值：，其中 ． 18．（2026·重庆大渡口·一模）先化简，再求值：，其中． 题型06 整式与几何面积的综合运算 19．（2025·天津和平·二模）如图，四边形是一块边长为的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，是边上一点，是延长线上的一点，．有下列结论：①的长为时，改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；②的长有两个不同的值满足花圃面积为；③改造后花圃的面积可以比原正方形花圃的面积增加．其中，正确结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（    ） A．S可能是24 B．可能是15 C．可能是12 D．可能是6 21．（2025·江苏泰州·一模）的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（   ） A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都无关 D．与、的大小都有关 22．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 题型07 规律探究问题 23．（2026·重庆·模拟预测）小果用不小心洒在地上的腰果仁按如图所示的规律摆放，如图所示．其中第①组有4粒，第②组有9粒，第③组有14粒……按此规律，则第⑪组腰果仁的粒数是（    ） A．44 B．49 C．54 D．59 24．（2025·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：    请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 25．（2025·广西桂林·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为______． 26．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 题型08 因式分解 27．（2025·云南·模拟预测）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 29．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：______． 题型09 分式有/无意义，值为0的条件 30．（2026·四川巴中·模拟预测）函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 31．（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是____． 32．（2025·广东阳江·二模）已知分式，当___________时，分式没有意义 题型10 分式的混合运算 33．（2026·河南·一模）计算 的结果等于（ ）． A． B． C． D． 34．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是___． 35．（2026·陕西·一模）化简：． 题型11 二次根式的混合运算 36．（2026·重庆大渡口·一模）估计的值应在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 37．（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 38．（2025·山西临汾·二模）计算：_____． 39．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 题型12 非负性的应用 40．（2025·西藏日喀则·一模）若为实数，且，则的值为___________． 41．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为__________． 42．（2025·贵州贵阳·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 题型13 已知方程（组）的解，求参数 43．（2026·广西钦州·模拟预测）已知是方程的一个解，则整式的值为____． 44．（2025·江西·模拟预测）若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则，，的大小关系是______． 45．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是________． 题型14 解方程（组）、不等式（组） 46．（2026·全国·模拟预测）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 47．（2025·陕西西安·模拟预测）解分式方程： 48．（2026·江苏南京·一模）解方程： (1) (2) (3) 49．（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组： (1) (2) 题型15 一元二次方程根的判别式 50．（2026·河南周口·模拟预测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 51．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 52．（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为______． 53．（2026·上海普陀·一模）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数的值是______ ． 题型16 一元二次方程根与系数的关系 54．（2026·四川雅安·二模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 55．（2026·湖北·模拟预测）若一元二次方程的两根之和为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 56．（2025·安徽·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 题型17 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 57．（2026·湖北黄石·一模）已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 58．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 59．（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 题型18 分式方程的参数问题 60．（2026·湖北·模拟预测）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 61．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 62．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 题型19 不等式（组）与整数解问题 63．（2025·山东聊城·三模）满足不等式组的整数解的个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 64．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 65．（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 题型20 根据实际问题列方程 66．（2026·四川成都·一模）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 67．（2026·江西·模拟预测）昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为__________________． 68．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 69．（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为______． 题型21 利用方程、不等式解决实际问题 70．（2026·湖南衡阳·一模）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 71．（2026·重庆·模拟预测）小李在毕业后的暑假为了挣零花钱，购进了紫皮腰果和香酥腰果两种类型的腰果在校门口销售．第一批小李两种类型的腰果共购进了100盒，其中紫皮腰果购进了56盒．已知每盒香酥腰果的进价比紫皮腰果的进价多15元，本次小李购进紫皮腰果的成本比购进香酥腰果的成本低360元． (1)求紫皮腰果和香酥腰果的进价； (2)第一批两种类型的腰果每盒售价均为50元．在第一批腰果销售完后，小李购进了第二批两种类型的腰果进价均未改变，聪明的小李在经过思考后，将紫皮腰果的售价提高元，并在第一批的基础上增加了盒的进货量；香酥腰果的进货量为60盒，售价与第一次相同．但因小李的嘴馋，购进的香酥腰果中有被他自己吃掉而无法销售，结果第二批销售完后小李获利3002元，求的值． 72．（2026·湖南·模拟预测）某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元； (2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案． 二阶·素养进阶练 1．（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1)计算：． (2)解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． (3)已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． (4)先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 2．（2026·江苏南京·一模）照相机成像应用了一个重要原理，即其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片(像)到镜头的距离，如果一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰．问在，已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离？ 3．（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】 ∵∴，即． ∵比较小，∴忽略不计，∴，即， 解得，故 如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度： 将近似为估算； 从计算过程中发现，将近似为再估算． 【方案选择】 （1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或） 【近似计算】 （2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示） 4．（2026·河北沧州·一模）【发现】对于，，三个连续的偶数来说，可以得到，即前两个偶数的和等于第三个偶数；对于，，，，五个连续的偶数来说，可以得到，即前三个偶数的和等于后两个偶数的和⋯ 【验证】（1）对于九个连续偶数来说，若前五个偶数的和等于后四个偶数的和，求中间的偶数； 【延伸】（2）是否存在连续的七个奇数，使得前四个奇数的和等于后三个奇数的和．若有，写出这七个奇数；若没有，请说明理由． 5．（2026·河北沧州·一模）在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 6．（2026·湖北襄阳·二模）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根分别为、，且，求k的值． 7．（2026·湖南怀化·模拟预测）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 8．（2026九年级上·重庆·专题练习）某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 9．（2025·西藏日喀则·三模）关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 真●题●验●证 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 4．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 5．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C．D． 8．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 10．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 12．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 13．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____． 14．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 16．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 17．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式、方程与不等式 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新考向 跨学科 新情境 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型 1：实数的混合运算 题型 2：比较大小问题 题型 3：用科学记数法比较较大 / 较小的数 题型 4：整式的混合运算 题型 5：化简求值问题 题型 6：整式与几何面积的综合运算 题型 7：规律探究问题 题型 8：因式分解 题型 9：分式有/无意义，值为 0 的条件 题型 10：分式的混合运算 题型 11：二次根式的混合运算 题型 12：非负性的应用 题型 13：已知方程（组）的解，求参数 题型 14：解方程（组）、不等式（组） 题型 15：一元二次方程根的判别式 题型 16：一元二次方程根与系数的关系 题型 17：一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 题型 18：分式方程的参数问题 题型 19：不等式（组）与整数解问题 题型 20：根据实际问题列方程 题型 21：利用方程、不等式解决实际问题 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新考法问题】（结合数学史（布丰投针试验、莱布尼茨无穷级数），以跨学科情境为载体，融合统计频率、公式代入、不等式求解等知识点。） 1．（2026年福建省厦门市海沧区北附学校中考一模数学试题）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【答案】问题1：0.318；；问题2： 【分析】本题考查根据频率估计概率，解不等式，代数式求值； 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即，再代入计算即可； 问题2：根据题意，解得，再逐个取的值，一直到满足条件即可． 【详解】解：问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即， ∵，， ∴， 解得， ∴估计的近似值为， 故答案为：0.318；； 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，即， 解得， ∵当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，满足； ∴n的最小值． 【跨学科问题】（关联物理电路知识（串联、并联电路电阻公式），以电路结构分析为基础，考查分式方程与分式比较大小） 2．（江苏省扬州树人教育集团2025年九年级中考二模数学试题）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了解分式方程，分式的运算，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：在串联电路上，在并联电路上，理由如下： 证明：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： 【新定义问题】（自定义 “树人数” 概念（能表示为两个整数平方差的整数），围绕概念展开判断、选择、证明，侧重代数变形与逻辑推理） 3．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2）①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 实数的混合运算 1．（2026·四川泸州·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算、二次根式的加法等知识，熟练掌握二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂是解题的关键．先化简二次根式，计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加法即可． 【详解】解： ， ． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题根据实数运算规则，分别计算绝对值、算术平方根、有理数平方、立方根、零指数幂，再合并计算得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 3．（2025·陕西西安·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型02 比较大小问题 4．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 5．（2025·广东·二模）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，根据两个负数比较大小，可以比较绝对值的大小，绝对值大的反而小计较即可． 【详解】解：  ，，， ， 故答案为：． 6．（2025·河北张家口·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ． ； （2）证明： ， 不可能小于0． 7．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴． ∴当P在F时，取最小值为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最小值为． 故答案为：． 题型03 用科学记数法比较较大/较小的数 8．（2026·北京·一模）2025年7月15日，某航天项目探测器成功发射，开启对某小行星的探测之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球近地点距离的30倍，月球近地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．需先计算出具体数值，再将结果转化为科学记数法的标准形式． 【详解】解：∵月球近地点距离约为，小行星与地球的最近距离约为月球近地点距离的30倍 ∴最近距离为， 故选：B． 9．（2025·青海西宁·三模）纳米是一种长度单位，，已知某种植物花粉的直径约为，那么用科学记数法表示该花粉的直径为________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，单位的换算． 根据进行换算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（2026·重庆·模拟预测）假设2025年全国铁路旅客发送量为亿人，其中亿用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】解：亿． 11．（2026·河南周口·模拟预测）年4月7日，记者从中国石化新闻办获悉，中国石化“深地工程·川渝天然气基地”又获重大突破．中国石化表示该公司部署在四川省达州市的页岩气专探井雷页1井，试获日产气立方米页岩气流，该井埋深超米．数据用科学记数法表示为，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，关键是掌握科学记数法中与的确定规则：需满足，为整数，当原数绝对值时，等于原数的整数位数减1，也等于将原数化为时小数点向左移动的位数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 将转变为，小数点向左移动了5位，因此． 故选：C． 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解： ． 题型04 整式的混合运算 13．（2026·湖南衡阳·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，二次根式加法运算法则，逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A运算错误； B．，故B运算错误； C．，故C运算正确； D．二次根式加法中，只有同类二次根式才能合并，，故 D运算错误． 14．（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，合并同类项，完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握各知识点． 根据单项式乘以单项式运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及平方差公式分别判断各选项即可． 【详解】解：A、，而， ∴，故A错误； B、和不是同类项，不能合并为， ∴ B错误； C、，而右边为， ∴ C错误； D、，与右边相等， ∴ D正确， 故选：D． 15．（2025·重庆·模拟预测）计算： 【答案】． 【分析】本题考查了整式的运算，通过完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型05 化简求值问题 16．（2026·江苏苏州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 17．（2026·重庆·模拟预测）化简求值：，其中 ． 【答案】， 【分析】先化简多项式乘法部分与分式混合运算，并将两部分合并为最简分式，然后再利用负指数幂、绝对值和零次幂的运算法则，求出x，代入求值即可． 【详解】解： ； 当 时， 原式． 18．（2026·重庆大渡口·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂和算术平方根，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式四则混合运算和完全平方公式化简式子，再将a计算出来，再代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意得， ， ∴． 题型06 整式与几何面积的综合运算 19．（2025·天津和平·二模）如图，四边形是一块边长为的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，是边上一点，是延长线上的一点，．有下列结论：①的长为时，改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；②的长有两个不同的值满足花圃面积为；③改造后花圃的面积可以比原正方形花圃的面积增加．其中，正确结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、整式的混合运算等知识．求出改造后花圃的面积和原正方形花圃的面积即可判断①；设的长为，则，根据面积列出方程，解方程即可判断②；设的长为，则，求出改造后花圃的面积，与原正方形花圃的面积作差即可判断③． 【详解】解：①当的长为时，， ∴改造后花圃的面积为， ∵原正方形花圃的面积为， ∴改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；故①正确； ②设的长为，则， ∵花圃面积为； ∴， 即， 解得，，（负值，不合题意）， ∴的长为， 即的长有一个值满足花圃面积为； 故②错误， 设的长为，则， ∴改造后花圃的面积为， 由原正方形花圃的面积为 ， 若，即， ∵， ∴方程无实数根， 即改造后花圃的面积不可以比原正方形花圃的面积增加． 故③错误， 故选：B 20．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（    ） A．S可能是24 B．可能是15 C．可能是12 D．可能是6 【答案】A 【分析】题目主要考查单项式乘以多项式，用字母表示数，理解题意是解题关键． 根据题意得出，然后分析奇偶性即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 为整数， 中一定有一个数为偶数， 是8的倍数， 可能是24． 故选：A 21．（2025·江苏泰州·一模）的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（   ） A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都无关 D．与、的大小都有关 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，整式的混合运算，割补法求不规则图形的面积，三角形的面积公式，熟练掌握割补法求不规则图形面积的方法是解题的关键．先在坐标系中画出三角形，沿着三角形的顶点作关于坐标轴的垂线，构造矩形，根据割补法表示出三角形的面积，结合整式的混合运算，化简即可求解． 【详解】解：如图：过点作轴，过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点； ∵，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故，，， ，，， 的面积四边形的面积的面积的面积的面积， ， 即的面积是固定值，与与、的大小都无关． 故选： C． 22．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形相似性质，规律探索，找到规律是解决问题的关键． （1）根据勾股定理可知，所求为以为边长的正方形面积，因为正方形皆相似，利用等腰面积为求出以为边长的正方形面积，再根据已知得到，即可求解． （2）利用（1）的方法求解即可； （3）利用（1）的方法找到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． 题型07 规律探究问题 23．（2026·重庆·模拟预测）小果用不小心洒在地上的腰果仁按如图所示的规律摆放，如图所示．其中第①组有4粒，第②组有9粒，第③组有14粒……按此规律，则第⑪组腰果仁的粒数是（    ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】C 【分析】根据前几个图形，发现腰果仁的粒数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①组腰果仁的粒数为， 第②组腰果仁的粒数为， 第③组腰果仁的粒数为， ， ∴第n组腰果仁的粒数为， ∴第⑪组腰果仁的粒数为． 24．（2025·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：    请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的规律，求得的余数．结合一个星期7天，即相应的尾数是7个数一循环，利用所给的规律求得天的尾数即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余数为：1， 即的余数为：1， ∴若今天是星期三，则经过天后是星期四． 故选：A． 25．（2025·广西桂林·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为，据此规律分别求出第12个数和第13个数，二者再求和即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 以此类推可知，当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为， ∴第12个数为，第13个数为 ∴第12个数和第13个数的和为， 故答案为：． 26．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 题型08 因式分解 27．（2025·云南·模拟预测）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，使用提公因式法或公式法（如完全平方公式、平方差公式）进行判断，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 28．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 29．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：______． 【答案】 【分析】观察到与互为相反数，将其统一为后提取公因式，再应用平方差公式分解． 本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型09 分式有/无意义，值为0的条件 30．（2026·四川巴中·模拟预测）函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数的定义域、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵， ∴分母，根号内， ∴且，， 综上，定义域为且． 故选：A． 31．（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是____． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，二次根式有意义的条件；掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”是解本题的关键．根据题意可得且，即可求解． 【详解】解：分式形式的代数式的值为0，即分子为0，分母不为0． 则有且， 解得且． 故． 故答案为： 32．（2025·广东阳江·二模）已知分式，当___________时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式没有意义的条件，属于应知应会题型，熟知基本知识是解题关键．根据分式没有意义的条件：分母为0解答即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：． 故答案为：． 题型10 分式的混合运算 33．（2026·河南·一模）计算 的结果等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握好分式加减运算的法则是关键． 将分母因式分解后通分，合并分子并约分． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 34．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是___． 【答案】1 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法进行计算，再进行分式的减法运算，合并同分母分式即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 35．（2026·陕西·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先对括号内的整式与分式进行通分并计算，将其合并为一个分式；再把除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式分别进行因式分解(平方差、完全平方公式)；最后通过约分消去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解：原式 ． 题型11 二次根式的混合运算 36．（2026·重庆大渡口·一模）估计的值应在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，将原式化简为，通过估算的取值范围，确定整体值的区间即可． 【详解】解：， 又，，且， ， ， 故选：C． 37．（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，首先根据二次根式的除法法则把二次根式整理可得：，再把等式两边同时平方即可求出结果． 【详解】解：， 根据二次根式的除法法则可得： 化简得：， 两边同时乘以可得：， 两边同时平方可得：． 故选：C． 38．（2025·山西临汾·二模）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先根据平方差公式计算乘法、并根据二次根式的除法运算法则计算除法，再进行加减计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 39．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型12 非负性的应用 40．（2025·西藏日喀则·一模）若为实数，且，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质算术平方根、偶次方，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再根据有理数加法和乘方法则计算即可． 【详解】解： ， ，， ，， ． 故答案为：1． 41．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为__________． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 42．（2025·贵州贵阳·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 题型13 已知方程（组）的解，求参数 43．（2026·广西钦州·模拟预测）已知是方程的一个解，则整式的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义和代数式求值．将代入方程，得到，再代入整式求值即可． 【详解】解：是方程的一个解， ，即， ， 故答案为：． 44．（2025·江西·模拟预测）若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则，，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题关键． 根据绝对值的意义得到，即可得到答案． 【详解】解：，即有两个解， ． 即，只有一个解， ． 无解， ． ． 45．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，根据题意可得出关于的分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故， 故答案为：． 题型14 解方程（组）、不等式（组） 46．（2026·全国·模拟预测）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解分式方程以及解一元一次不等式组．熟练掌握解分式方程的步骤和确定一元一次不等式组的解集的方法是解题的关键． （1）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可； （2）分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） 经检验，是原方程的解； 解：（2）， 由①得， 由②得， 不等式组的解集是． 47．（2025·陕西西安·模拟预测）解分式方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，根据将分式方程转化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 48．（2026·江苏南京·一模）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)，； (3)无实数解 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）先移项，再系数化为1，最后直接开平方即可． （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． （3）利用根的判别式可确定该方程无实数解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， ∴； （3）解：， 整理得， ，，， ∵， ∴该方程无实数解． 49．（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组； （1）解二元一次方程组的指导思想是消元即减少未知数的个数，根据不同的情况选择合适的消元方法，一般采用加减消元法； （2）解一元一次不等式组时，先求出每个不等式的解集，然后找到解集的公共部分，即为不等式组的解集. 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故方程组的解为：. （2）解：， 解不等式，去括号： 移项合并： 系数化为1：； 解不等式，去分母： 移项合并： 系数化为1：； 同小取小 故不等式组的解集为：． 题型15 一元二次方程根的判别式 50．（2026·河南周口·模拟预测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 51．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小 ∴ ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 ∴ 又∵为整数 ∴可取1，2，3 ∴满足条件的整数的值之和为 故选：B． 52．（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两次取出数的积不大于9的结果数，进而求出概率． 【详解】解：使得关于x的一元二次方程有实数解，即， 解得，也就是取出的两个数的积不大于9即可， 用列表法表示所有可能出现的结果如下： / 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 共有16种等可能出现的结果，其中两个数的积不大于9的有6种， ∴使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为， 故答案为：． 53．（2026·上海普陀·一模）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数的值是______ ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，整数的性质，涉及面较广，难度较大． 联立和，并整理得，故其中一个根：，为正整数，方程有一个到两个的根，，交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数（设为），即（为非负整数），讨论确定的值． 【详解】解：联立和，得：， 两边乘以()，得：． 因式分解得：， 所以是一个根． 为正整数，方程有一个到两个的根， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数（设为）， 即（为非负整数）， 整理得：， ， ， ， 即：， 而， 当，时，解得：（舍去）； 当，时，解得：； 当，时，解得：（舍去）； 故． 故答案为：． 题型16 一元二次方程根与系数的关系 54．（2026·四川雅安·二模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2024 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：因为是方程的实数根，所以将代入方程得： ， 移项得， 又因为，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， ． 55．（2026·湖北·模拟预测）若一元二次方程的两根之和为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系求出，然后解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和为， ∴， 解得， 故选：B． 56．（2025·安徽·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可判断A；B、C举反例说理即可；根据一元二次方程根的判别式结合不等式的性质即可判断． 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴， ∴， ∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但 故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但 故C错误，不符合题意； D、， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：D． 题型17 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 57．（2026·湖北黄石·一模）已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再由，可得关于m的方程，即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根、， ∴ ∴ ∴； （2）解：存在． ∵一元二次方程有两个根，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 58．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 59．（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，根据判断的正负，进而确定根的情况． （2）将已知根代入方程求出的值，再利用韦达定理（一元二次方程两根之和与系数的关系）求出另一个根 ． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式判断根的情况以及韦达定理求根与系数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，． 根的判别式， 则 ． ， ， ，即 ． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根， 原方程有两个不相等的实数根． （2）解：是方程的一个根， 把代入方程得 ， 即， ， 解得 ． 设方程的另一个根为， 在方程中，，， 已知一个根是，则 ， ． 题型18 分式方程的参数问题 60．（2026·湖北·模拟预测）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数． 解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘，得， ∴， ∴， ∴． 由于原方程中分母， ∴， ∴， 解得． 又∵解为非负数， ∴， ∴， 解得． 因此，的取值范围是且． 故答案为：且． 61．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 62．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 题型19 不等式（组）与整数解问题 63．（2025·山东聊城·三模）满足不等式组的整数解的个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，共6个， 故选：B． 64．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 65．（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集的情况求参数的值：首先解分式方程，得到解的条件为且；再解不等式组，得到．综合条件得的取值范围为且的整数，求和即可． 【详解】解： 两边同乘得：，整理得． ∵分式方程的解为正数： ∴， ∴， ∵分母不为零， ∴， ∴； 解，得： ∵不等式组有解， ∴， ∴， 综上：且， ∴整数为，； 故选C 题型20 根据实际问题列方程 66．（2026·四川成都·一模）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并正确列出代数式是关键． 根据每月营业额的增长关系推导九月份营业额的表达式，再结合已知条件列方程． 【详解】解：∵七月份的营业额为万元，月均增长率为， ∴八月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元， ∴方程为． 故选：C． 67．（2026·江西·模拟预测）昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为__________________． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，进行列方程，即可作答． 【详解】解：由题可知昌九高速铁路的设计速度为x千米/时， 则昌九城际铁路的设计速度为千米/时， 根据题意可列方程为 即 故答案为： 68．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，列出方程即可． 【详解】解：设“复兴号”的速度为千米/时，则原来列车的速度为千米/时， 根据题意得，即． 故答案为：． 69．（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 题型21 利用方程、不等式解决实际问题 70．（2026·湖南衡阳·一模）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 71．（2026·重庆·模拟预测）小李在毕业后的暑假为了挣零花钱，购进了紫皮腰果和香酥腰果两种类型的腰果在校门口销售．第一批小李两种类型的腰果共购进了100盒，其中紫皮腰果购进了56盒．已知每盒香酥腰果的进价比紫皮腰果的进价多15元，本次小李购进紫皮腰果的成本比购进香酥腰果的成本低360元． (1)求紫皮腰果和香酥腰果的进价； (2)第一批两种类型的腰果每盒售价均为50元．在第一批腰果销售完后，小李购进了第二批两种类型的腰果进价均未改变，聪明的小李在经过思考后，将紫皮腰果的售价提高元，并在第一批的基础上增加了盒的进货量；香酥腰果的进货量为60盒，售价与第一次相同．但因小李的嘴馋，购进的香酥腰果中有被他自己吃掉而无法销售，结果第二批销售完后小李获利3002元，求的值． 【答案】(1)紫皮腰果进价为25元/盒，香酥腰果进价为40元/盒. (2)的值为4. 【分析】题目涉及两个批次的腰果销售情况，第一问根据成本关系列方程组求解进价；第二问在已知进价和销售策略的基础上，结合数量变化、售价调整、损耗等因素建立总利润方程，解出未知数的值．解题过程中需理清各批次的数量、成本、售价、利润之间的关系． 【详解】（1）解：设紫皮腰果每盒进价为元，则香酥腰果每盒进价为元． 由题意，第一批共购进100盒，其中紫皮腰果56盒，则香酥腰果为44盒． 紫皮腰果总成本：元 香酥腰果总成本：元 根据题意，紫皮腰果成本比香酥腰果低360元，即： 则香酥腰果进价为元． 答：紫皮腰果进价为25元/盒，香酥腰果进价为40元/盒． （2）第一批紫皮腰果售价为50元/盒． 第二批紫皮腰果售价提高元，即售价为元/盒． 进货量在第一批基础上增加盒，即进货量为盒． 香酥腰果进货量为60盒，售价仍为50元/盒，但有被吃掉，无利润，即实际销售数量为盒． 紫皮腰果： 成本：元 收入：元 利润：收入-成本= 香酥腰果： 成本：元 收入：元 利润：元 第二批总利润为紫皮腰果利润+香酥腰果利润元 即： 解得：，（舍去） 所以 【点睛】本题综合考查方程建模能力，尤其第二问中涉及数量变化、售价调整及损耗处理，需仔细分析利润构成．通过分步建立方程并求解，得出最终结果．关键在于准确列出各部分的成本与收入，并注意实际销售数量受损耗影响的情况． 72．（2026·湖南·模拟预测）某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元； (2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案． 【答案】(1)甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 (2)共有4种购买方案， 甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用： （1）设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元） 答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 由题意得： 解得： 为整数， ， 共有4种购买方案如下：甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本． 二阶·素养进阶练 1．（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1)计算：． (2)解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． (3)已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． (4)先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 (3) (4)；当时，原式 【分析】（1）将代入，再依次计算乘方，绝对值，化简二次根式，最后进行加减运算； （2）先求出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可； （3）将代入解方程即可计算m的值； （4）先通分进行分式加减法，再进行分式乘除法进行化简，然后从，0，1，2中选一个使得原分式有意义（分母不为0）的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是，， 解集在数轴上表示如下： （3）解：将代入， 得，， 解得，； （4）解： ， ，， ，， 当时， 原式． 2．（2026·江苏南京·一模）照相机成像应用了一个重要原理，即其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片(像)到镜头的距离，如果一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰．问在，已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离？ 【答案】 【分析】本题考查分式的等式变形，核心知识点是分式的通分运算与等式的基本性质．首先通过移项将含未知量的项单独分离到等式一侧，其余已知项移到另一侧；接着对等式右侧的分式进行通分化简；最后利用倒数关系求出的表达式，同时结合题目给出的的条件，保证分母不为零． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】 ∵∴，即． ∵比较小，∴忽略不计，∴，即， 解得，故 如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度： 将近似为估算； 从计算过程中发现，将近似为再估算． 【方案选择】 （1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或） 【近似计算】 （2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将近似为估算,根据提供的方法计算即可； 将近似为，根据提供的方法计算即可． （2）根据前面的解答求解即可． 本题考查了算术平方根的估算，完全平方公式的应用，解方程，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】(1) 解：将近似为估算如下： ∵，∴，即． ∵近似为， ∴， 即， 解得， 故； 解：将近似为估算如下： ∵，∴，即． ∵将近似为， ∴， 即， 解得， 故； ∵， ∴， 故的精确度更高， 故答案为：②． (2)解：将近似为估算如下： ∵，∴，即． ∵将近似为， ∴， 即， 解得， 故． 4．（2026·河北沧州·一模）【发现】对于，，三个连续的偶数来说，可以得到，即前两个偶数的和等于第三个偶数；对于，，，，五个连续的偶数来说，可以得到，即前三个偶数的和等于后两个偶数的和⋯ 【验证】（1）对于九个连续偶数来说，若前五个偶数的和等于后四个偶数的和，求中间的偶数； 【延伸】（2）是否存在连续的七个奇数，使得前四个奇数的和等于后三个奇数的和．若有，写出这七个奇数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由详见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设中间数为，根据题意进行计算即可； （2）设这七个连续的奇数为，，，，，，，（是整数），根据题意列出方程，方程的解不为整数，即可得出结论． 【详解】解：（1）设九个连续偶数中间的数为，则这九个数为． 由题意，得， 解得． （2）不存在，理由如下， 设这七个连续的奇数为，，，，，，，（是整数）， 根据题意得出， 解得： ∵是整数， ∴不符合题意. ∴不存在连续的七个奇数，使得前四个奇数的和等于后三个奇数的和． 5．（2026·河北沧州·一模）在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是新运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，解一元二次方程； （1）根据新运算的定义代入计算即可求解； （2）根据新运算的定义，列出关于的关系式，即可求得的值， （3）根据列出一元二次方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ 解得：； （3）解：∵ ∴ ∴ ∴或， 解得：或 6．（2026·湖北襄阳·二模）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根分别为、，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，根与系数的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程中，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的两根分别为， ∴ ∴ ， ∵， ∴， 解得：． 7．（2026·湖南怀化·模拟预测）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)t为1或4或16 【分析】（1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，可列出点表示的数； （3）分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． 【详解】（1）解：点表示数，点表示数，点表示数， 的距离为； 点与点的中点为,表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：点以每秒2个单位长度的速度在数轴上向左运动， 运动秒后，点表示的数为：； 故答案为：． （3）解：根据题意得：秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点是点、的中点时， 解得：； 当点是点,的中点时， 解得：； 当点是点,的中点时，, 解得：； 综上所述,的值为或或． 8．（2026九年级上·重庆·专题练习）某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系式． （1）设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为，根据地共收获桃子，列方程求解即可； （2）设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵，根据地的产量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为， 根据题意得：， 即，解得， （棵）； （棵）； 答：果农去年共种了棵桃树； （2）解：去年地有棵桃树，总产量kg，每棵产量， 今年地总产量增加，即， 设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵， 根据题意得：， 整理得， ， 或， 尽量节约成本， ． 答：地应多种棵桃树． 9．（2025·西藏日喀则·三模）关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】；的值为 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；利用前面的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：， 根据题意得， 解得； ∵是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 真●题●验●证 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 5．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 7．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 8．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 9．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 10．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 【答案】 【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可． 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 故答案为：． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 12．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 13．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 14．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 16．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 17．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $