专题10：数列（思维导图+11大考点精练+真题检验）讲义-2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）

2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题10 数列 考点01：等差数列及其通项公式 1.等差数列满足，，则______ 【分析】根据等差数列的性质运算求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，解得， 所以. 2.在等差数列中，，，则_______ 【分析】由等差中项性质得，利用等差数列通项公式求基本量公差，进而写出通项公式，即可得. 【详解】由题设，则，而， 若等差数列公差为，则， 所以，通项公式为，故. 3.已知等差数列满足，，则_______ 【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可. 【详解】设等差数列的公差为. 由，得，即①； 由，得，②； 由①②得， 则. 4.已知等差数列满足，则______ 【分析】利用等差中项求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即， 所以， 故选：A 5.已知公差为的等差数列，其中，则____________． 【答案】 【分析】由题干条件得到，从而求出答案. 【详解】由题意得：，解得：， 因为，所以， 则， 故答案为： 考点02：等差数列的前n项和 6.设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为 . 【答案】36 【分析】根据给定条件，求出数列的公差，进而求出其前8项的和. 【解析】在等差数列中，，则公差， 所以. 故答案为：36 7. 设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则___________． 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，由等差数列的性质可知，， 所以. 故答案为： 8.已知等差数列的前项和为，若则 【答案】 【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案. 【解析】由等差数列的性质可得：， 所以， 故答案为：8. 9.已知等差数列的前项和为，，则 ______ 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以. 10.设等差数列的前n项和为，若，则______ 【分析】利用基本量法可得，故可求的值. 【详解】设的公差为d，则，即， 则， 11.设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于_______ 【分析】根据给定条件求出等差数列的首项及公差即可得解. 【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：， 而，则， 等差数列公差，首项， 则. 12.记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13.设等差数列的公差不为0，其前项和为．若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列的通项公式代入化简可得，再结合等差数列的前项和公式即可得出答案. 【解析】设等差数列的首项和公差为， 所以，可得，则， ， 故答案为：. 14.已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________. 【答案】 【分析】先根据等比数列的前项和的基本量的计算求出，即可得到数列的通项公式，再根据等差数列的前项和公式即可解出． 【详解】由题可得，，而，解得：，所以，即，所以． 故答案为：． 15.已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于____ 【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解. 【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn， 所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列． 故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)， 所以S30＝150， 又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)， 所以S40＝280. 16.若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______. 【答案】/ 【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解. 【详解】因为，为等差数列，所以， 因为，所以. 故答案为：. 17.已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得且，由此建立不等式组并求解即得. 【解析】数列的前项和为，由且，得且， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 考点03：等比数列及其通项公式 18.在等比数列中，，则和的等比中项为________． 【答案】 【分析】根据等比中项的知识求得正确答案. 【详解】设与的等比中项为， 因为，所以，所以. 故答案为： 19.在等比数列中，，则与的等比中项是______ 【分析】通过等比数列的通项公式计算，进而可得答案. 【详解】因为， 所以与的等比中项是， 20.若数列为等比数列，，，则______． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质,得，再通过分析可得. 【详解】解: 根据等比数列的性质得，，所以， 又，所以，所以 所以, 故答案为：. 21.在等比数列中，，则_______ 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由可得，又， 故，则，解得，即. 22.为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【解析】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 23.设等比数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求. 【解析】令公比为，则，可得， 所以或（舍），可得，则. 故答案为： 24.在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为_______ 【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解. 【详解】由 得，所以，或（舍去）， 由，得，所以， 由，得，所以，即n的最小值为9； 考点04：等比数列的前n项和 25．已知数列为等比数列，其前项和为，且，则_______ 【分析】求出数列的通项公式，利用满足在时的表达式可求得实数的值. 【详解】当时，； 当时，. 因为数列为等比数列，则，解得. 故选：C. 26.已知数列中，，，为其前项和，则_______ 【分析】由已知得到，判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算. 【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列， ∴， 27.已知数列的前项和为，满足，，则______ 【分析】根据前n项和与通项之间的关系分析可得数列是以首项，公比的等比数列，结合等比数列运算求解. 【详解】因为，则，整理得， 且，所以数列是以首项，公比的等比数列， 则， 所以. 28.已知等比数列的前4项和为，，则_____ 【分析】设等比数列的公比为，讨论不成立，时，由等比数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可得出答案. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾； 所以，则，解得， 所以． 29.已知等比数列的前n项和为，且，则_____ 【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，再利用通项公式求. 【详解】当时，则. 当时，． 又因为是等比数列，所以， 所以，解得：， 所以，所以． 30.已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则_______ 【分析】根据题意，由条件列出方程求得等比数列的公比，然后将化为，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】设等比数列的公比为，且数列的各项为正数，则， 因为，即， 所以，解得或（舍）， 则. 考点05：数列的概念与性质 31.已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【分析】由与的关系再结合等差数列通项公式的基本量计算即可； 【解析】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 32.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______ 【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解. 【详解】（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立， 而数列是递增数列，故时，，故； （2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立， 而数列是递增数列，n为奇数时，，故； 综上可得a的范围为. 33.已知数列满足，．若数列为单调递增数列，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】若使数列单调递增，则，即，且母函数，所以数列有极限，其值为其不动点(若函数满足，则称是函数的不动点).又在上单调增加，故，所以，下面只需要证明时满足条件即可. 【详解】数列单调递增，则当时， . 当时， ，而在上单调增加， 所以，即，由数学归纳法可得. 当时，因为，所以，即 又，所以， 所以，即 故当时， 此时，而在上单调减少， 所以，即，与题意矛盾. 综上， 的取值范围是 故答案为： 【点睛】注若递推数列单调有界，则母函数在由和不动点为端点所形成的区间范围内单调增加. .34.设数列满足，且，则______． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的周期即可计算作答. 【详解】，，显然，否则，矛盾， 则，于是， 因此是周期为4的周期数列，所以. 故答案为： 35.已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由逻辑用语及数列的性质判定即可. 【详解】若数列是递增数列，则，即，推不出，不满足充分性，比如反例：是各项为正数，公比小于1的等比数列；若，则数列是递减数列，不满足必要性，故数列是递增数列是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 考点06：数列的极限与无穷等比数列的求和 36.若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 【答案】 【分析】利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，利用前项和公式即可求解. 【详解】由已知得，因为各项均为正数，所以， 又因为，所以，， 所以等比数列的首项，公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 37.设等比数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】 【分析】求出，得到公比，再利用公式法求和，最后求出其极限. 【解析】设等比数列的公比为，，所以， 所以，所以， 故答案为：. 38.已知无穷等比数列，，，则公比 ． 【答案】 【分析】依题意得到，再利用无穷等比数列和的公式得到与，解方程组即可得解. 【解析】因为无穷等比数列，，则，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 又，得，即， 则，又， 则，得． 故答案为：． 39.已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（       ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列存在最小项 D．数列存在最大项 【答案】C 【分析】对AB，举公比为负数的反例判断即可 对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可 【详解】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列； 对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项； 当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值 综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误 故选：C 40.已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（          ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论． 【详解】解：令，， 由，可得，所以，即， 所以数列为等差数列，首项为，公差为1， 所以， 设，则数列是单调递增的等差数列， 若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列； 若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列. （1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有， 取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列； （2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有， 此时数列为，，，，，， 由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负， 由，则，，，，全为正，而， 这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调， 所以当数列单调时，数列一定有无穷多项． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调. 考点07：用递推公式表示数列 41.记数列的前项和为，若，且，则__________. 【答案】 【分析】当时，由可得，两式作差可得出，当时，求出的值，可得出，分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】当时，由可得， 两式相减得，即， 即. 当时，，即， 所以，，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列. 则. 故答案为：. 42．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】因为，所以， 所以时，， 则 ， 故. 故答案为：. 43．已知数列，，且，．求数列的通项公式________； 【答案】. 【详解】因为，所以，当时，，，……，，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式.故答案为：. 44.数列的前n项和（，n为正整数），且，则______． 【答案】 【详解】由得：当时,进而得，因为，所以，故，故答案为： 45.设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________ 【答案】 【详解】由，得，∵，∴，∴ ，∴∴， 又满足上式，∴.故答案为：. 46.已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】由题设，，则是首项、公比都为2的等比数列，所以，则，，则在上递增，所以，要使恒成立，则.故答案为： 47.已知数列满足，，则数列的通项公式为_______ 【答案】. 【详解】由两边同除以得，令，则，设，解得，，而，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，得 48.已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为________ 【详解】当时，，；当时，，不符合，则 49.已知数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先证明充分性，由条件，可得，通过变形得到，再由条件，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若，则有，即，得，于是有成立，故充分性成立. 必要性：若成立，取数列为，但推不出，故必要性不成立.故选:A 考点08：数学归纳法及其应用 50.用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 51.用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和带入左式相减得到答案. 【详解】等式左边需增加的代数式是： . 故选：A 52.利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 53.用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 【答案】 【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案. 【详解】由题意，当时，所得等式左端为； 当时，所得等式左端为； 所以当时，左端应在时的左端上加上. 故答案为：. 考点09：数列求和 54.已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据等差数列公式计算得到答案. （2）确定，再根据分组求和法结合等差数列等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1），故，故. （2）， . 55.已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由得，两式相减则可求等差数列的公差，时，可求首项，从而可求其通项公式； （2）根据已知可求，再由并项求和法求和即可． 【详解】（1）由已知为等差数列，记其公差为d． ①当时，，两式相减可得，解得， ②当时，，所以， 所以． （2）由（1）知， ． 56.已知数列满足，（）.记 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列定义证明即可； （2）使用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由已知，∵，∴， ∵， ∴， 又∵，∴， ∴易知数列中任意一项不为，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由第（1）问，，∴， ∴设数列的前项和为，则 ①， ①得， ②， ①②得， ， ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 57.已知等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出方程组求解； （2）对裂项，用累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）设的公差为，首项为，因为 所以解得 所以. （2）由题设， 所以当时，， 将上式累加可得：， 又，则. 又，也适合上式，故. 58.已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式； （2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得. 【详解】（1）证明：因为，所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以； （2） . 考点10：数列新定义 59.设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则的最小值是______ 【答案】 【分析】根据递推公式先求出 的通项公式，再根据 的单调性求解. 【详解】由题意可得．则．当时，，所以， 当时，满足上式，则； 因为 ，所以当时，  ， 则，当时，，当 时，，则 是单调递增的， 故的最小值是； 故答案为： . 60.数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可判断①，根据等比数列为常数列时，即可判断②. 【解析】设等差数列的首项和公差分别为， 若等差数列满足“性质Ω”； 由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题， 设等比数列的首项和公比分别为，若，，则显然不成立， 因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题 故选：B 考点11：数列的综合 61.已知为数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由已知可求得，当时，，两式相减可得，可得结论； （2）由（1）知，，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）由题知，，当时，，解得， 当时，，则有，即， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，， 所以， ， 所以 ， 所以. 62.已知正项数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得; （2）根据裂项求和法可求出结果. 【详解】（1）因为，，所以，， 所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）, 所以 . 63.设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明； （2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和． 【详解】（1）因为， 所以，即 所以 （为常数）， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知，即. 所以， 所以为公比为的等比数列， 又， 所以， 因为， 所以， 所以数列的前项和为： ． 64.已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题设得到，联合题设作差计算即可求出数列的通项公式，再检验首项是否满足即可得解； （2）先求出数列的通项公式，再用错位相减法结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】（1）①， 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以，满足， 所以. （2）因为， 所以， 即③， 所以④， 由③-④可得， 即， 所以， 整理得. 65.已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式； （2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. 【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，， 当为奇数时，. 66.已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：根据作差得到，即可求出公比，再求出，即可得解；解法二：设数列的公比为，令、，即可求出、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，参变分离可得，令，利用作商法判断的单调性，即可求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）解法一：由，可得， 两式相减可得，则，即数列的公比为. 当时，，则，解得， 所以. 解法二：设数列的公比为， 当时，，即， 当时，，即， 解得，所以. （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以， 即， 解得， 由，可得， 令，则， 当时，，当时，， 当时，1，所以， 所以，所以的取值范围为. 67.数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求出通项公式； （2）在（1）的基础上，裂项相消求出，不等式变形得到，由对勾函数的性质得到单调性，得到的最小值，得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然满足上式，故的通项公式为； （2）， 所以 ， 故，变形得到， 其中， 由于在上单调递减，在上单调递增， 又，故当或时，取得最小值， 当时，，当时，， 故的最小值为，所以. 所以的取值范围是. 1.(2025上海春考）已知是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为q（q>0）的等比数列.若数列{}的前三项和为2，则q=______。 【答案】 2. （2025上海秋季高考）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个 【答案】B 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数个数有个. 故选：B. 3．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 4．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 5．（2024上海春考）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 　　． 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题． 【解答】解：等差数列由an＝n+c，知数列{an}为等差数列S7＝＝7a4＜0， 即7（4+c）＜0， 解得c＜﹣4． 故c的取值范围为（﹣∞，﹣4）． 故答案为：（﹣∞，﹣4）． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 7．【2023年上海市高考数学第3题】已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝　　　　． 【答案】189． 【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2， ∴S6189． 故答案为：189． 8．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则　　 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】若是等差数列，设数列的首项为，公差为， 则， 即， 故为等差数列， 即甲是乙的充分条件． 反之，若为等差数列，则可设， 则，即， 当时，有， 上两式相减得：， 当时，上式成立，所以， 则（常数）， 所以数列为等差数列． 即甲是乙的必要条件． 综上所述，甲是乙的充要条件． 故本题选：． 9．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则　　 A．120 B．85 C． D． 【解析】等比数列中，，，显然公比， 设首项为，则①，②， 化简②得，解得或（不合题意，舍去）， 代入①得， 所以． 故选：． 10．【2022年上海市高考数学第10题】已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有　　　　个． 【答案】98． 【解答】解：∵等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，S5＝0， ∴0，解得a1＝﹣2d， ∴Sn＝na12nd（n2﹣5n）， ∵d≠0，∴Si（i＝0，1，2⋯，100）中S0＝S5＝0， S2＝S3＝﹣3d，S1＝S4＝﹣2d， 其余各项均不相等， ∴Si（i＝1，2⋯，100）中不同的数值有：101﹣3＝98． 故答案为：98． 11．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 　　． 【解析】设的公比为， 由，的各项和为9，可得， 解得， 所以， ， 可得数列是首项为2，公比为的等比数列， 则数列的各项和为． 故答案为：． 12．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则　　． 【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得， 所以． 故答案为：． 13．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则　　． 【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得， 所以． 故答案为：． 14．【2020年上海市高考数学第2题】计算：　　　　． 【答案】 【解答】解：， 故答案为：． 15．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 16．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 17．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 18．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用） 专题10 数列 考点01：等差数列及其通项公式 1.等差数列满足，，则______ 2.在等差数列中，，，则_______ 3.已知等差数列满足，，则_______ 4.已知等差数列满足，则______ 5.已知公差为的等差数列，其中，则____________． 考点02：等差数列的前n项和 6.设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为 . 7. 设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则___________． 8.已知等差数列的前项和为，若则 9.已知等差数列的前项和为，，则 ______ 10.设等差数列的前n项和为，若，则______ 11.设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于_______ 12.记为等差数列的前n项和，若，，则 . 13.设等差数列的公差不为0，其前项和为．若，则 ． 14.已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________. 15.已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于____ 16.若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______. 17.已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 考点03：等比数列及其通项公式 18.在等比数列中，，则和的等比中项为________． 19.在等比数列中，，则与的等比中项是______ 20.若数列为等比数列，，，则______． 21.在等比数列中，，则_______ 22.为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 23. 设等比数列满足，，则 . 24.在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为_______ 考点04：等比数列的前n项和 25．已知数列为等比数列，其前项和为，且，则_______ 26.已知数列中，，，为其前项和，则_______ 27.已知数列的前项和为，满足，，则______ 28.已知等比数列的前4项和为，，则_____ 29.已知等比数列的前n项和为，且，则_____ 30.已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则_______ 考点05：数列的概念与性质 31.已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 32.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______ 33.已知数列满足，．若数列为单调递增数列，则实数的取值范围为______． .34.设数列满足，且，则______． 35.已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点06：数列的极限与无穷等比数列的求和 36.若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 37.设等比数列的前n项和为，若，，则 ． 38.已知无穷等比数列，，，则公比 ． 39.已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（       ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列存在最小项 D．数列存在最大项 40.已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（          ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点07：用递推公式表示数列 41.记数列的前项和为，若，且，则__________. 42．已知数列满足，，则 ． 43．已知数列，，且，．求数列的通项公式________； 44.数列的前n项和（，n为正整数），且，则______． 45.设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________ 46.已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________. 47.已知数列满足，，则数列的通项公式为_______ 48.已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为________ 49.已知数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点08：数学归纳法及其应用 50.用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 51.用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 52.利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 53.用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 考点09：数列求和 54.已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 55.已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求． 56.已知数列满足，（）.记 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 57.已知等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式. 58.已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． . 考点10：数列新定义 59.设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则的最小值是______ 60.数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 考点11：数列的综合 61.已知为数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 62.已知正项数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 63.设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，为数列的前n项和，求． 64.已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 65.已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 66.已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 67.数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 1.(2025上海春考）已知是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为q（q>0）的等比数列.若数列{}的前三项和为2，则q=______。 2. （2025上海秋季高考）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个 3．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 4．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 5．（2024上海春考）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 　　． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 7．【2023年上海市高考数学第3题】已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝　　　　． 8．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则　　 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 9．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则　　 A．120 B．85 C． D． 10．【2022年上海市高考数学第10题】已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有　　　　个． 11．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 　　． 12．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则　　． 13．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则　　． 14．【2020年上海市高考数学第2题】计算：　　　　． 15．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 16．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 17．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $