精品解析：黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷

哈师大青冈实验中学2025-2026年开学考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A B. C. D. 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 5. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. (多选)已知函数的图象如图所示，则（ ） A. a>1 B. 0<a<1 C. b>1 D. 0<b<1 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且为第二象限角，则__________. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是______． 14. __________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知，计算下列各式的值. （1）； （2） 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值，以及相应的值. 17. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 18. 已知函数 （1）若，当时，求函数的值域； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 19. 已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025-2026年开学考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，则 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 3. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据三角函数的定义及诱导公式可得结果. 【详解】由角终边与单位圆的交点为，所以. 再由诱导公式得. 故选：A 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有条件的基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当等号成立，将代入解得. 即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 5. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得的值，利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】已知函数为奇函数，且当时，， 则. 故选：A. 6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于，根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可求解. 【详解】由于， 所以, 故选：B 8. 已知函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为两函数的交点个数问题，画出函数图象，数形结合求出实数a的取值范围. 【详解】由得，因为函数有四个不同的零点， 所以函数与的图象有四个交点， 画出函数的图象，如图所示， 观察图象可知，，即，所以实数a的取值范围是. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. (多选)已知函数的图象如图所示，则（ ） A. a>1 B. 0<a<1 C. b>1 D. 0<b<1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象确定的单调性，进而确定a的范围，再由图象与y轴交点确定b的范围即可作答. 【详解】观察图象得，函数是单调递减的，因此，， 图象与y轴交点纵坐标有：，而时，，于是得，解得， 所以，. 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期，带点求出解析式，再利用变换解题即可. 【详解】A.，故A正确； B.，，由图知， 则，即， 因，故，则， 当时，，故，故B错误； C.新函数，因，故C正确； D.新函数，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且为第二象限角，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由同角关系式求解即可. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以，， 又因为， 即， 解得. 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的单调性，利用复合函数单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增且， 所以，解得， 故答案为： 14. __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意得： . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知，计算下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）2 （2）0 【解析】 【分析】（1）（2）根据齐次式以及弦切互化即可求解. 【小问1详解】 ，化简得， . 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值，以及相应的值. 【答案】（1） （2）2， 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期； （2）时，，整体法求出函数的最大值及相应的的值. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期； 【小问2详解】 因为，所以，则， 的最大值为2，此时，即. 17. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)利用诱导公式对进行化简即可，（2）结合同角的基本关系式及二倍角公式进行求解即可． 【详解】（1） （2）因为，即，所以 整理得：，则，即 【点睛】本题考查了诱导公式及同角的三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力，属基础题． 18. 已知函数 （1）若，当时，求函数的值域； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【小问1详解】 当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： 【小问2详解】 设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以 所以，实数的取值范围是： 19. 已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据函数周期性可得，分类讨论，结合正弦函数性质利用整体法求解即可； （2）利用已知可求得，结合同角三角函数的平方关系可求得，进而利用可求值； （3）根据图象变换可得，再根据函数零点可得，进而结合正弦函数的图像与性质分析运算. 【小问1详解】 函数，． 则的最小正周期， 因为，，所以函数的最小正周期， 所以，解得 ①当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为 ②当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； 小问2详解】 当， 由，则， 由，则，可得， 所以 . 【小问3详解】 由题意可知， 因为是的一个零点，即，所以， 所以或， 故或，又，（舍）， 故，则， 当时，，设，则，则原式可化为， 即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点， 作出在上的图象如下图所示， 所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数a的取值范围为， 设与的3个不同的交点分别为、、，则、， ∴，即，整理得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $