第十七章 平行四边形（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

第十七章 平行四边形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 平行四边形边与角性质计算】 1 【题型2 平行四边形对角线性质应用】 2 【题型3 等腰梯形性质的简单应用】 3 【题型4 拼接平行四边形】 4 【题型5 判定平行四边形基础条件选择】 4 【题型6 证明平行四边形】 5 【题型7 证明等腰梯形】 6 【题型8 三角形中位线定义与长度计算】 8 【能力提升】 9 【题型9 平行四边形判定与性质的综合证明与求解】 9 【题型10 平行四边形面积与底高计算】 10 【题型11 中位线结合平行四边形求边长】 11 【思维拓展】 12 【题型12 坐标系中平行四边形顶点求解】 12 【题型13 平行四边形折叠求线段长度】 13 【题型14 动点下平行四边形形状判断】 15 【题型15 复杂图形中位线与面积关联】 16 【基础巩固】 【题型1 平行四边形边与角性质计算】 【例1】如图，在平行四边形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，则的长是________． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则______． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 【题型2 平行四边形对角线性质应用】 【例2】已知，如图在□中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规，画出中边上的中线；（作图要求：保留痕迹，不写作法） (2)请只用无刻度的直尺，画出□中边上的高，并说明理由． 【变式2-1】如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式2-2】如图，平行四边形中，对角线，交于点O．若，则的长的取值范围是__________． 【变式2-3】（2025·贵州贵阳·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是________． 【题型3 等腰梯形性质的简单应用】 【例3】如图，在等腰梯形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知梯形，，，那么___________．      【变式3-2】（2024九年级下·上海·专题练习）已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 【变式3-3】如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为______． 【题型4 拼接平行四边形】 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【变式4-2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【变式4-3】如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【题型5 判定平行四边形基础条件选择】 【例5】（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【变式5-1】如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 【变式5-2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 【变式5-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【题型6 证明平行四边形】 【例6】（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 【变式6-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式6-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【变式6-3】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【题型7 证明等腰梯形】 【例7】如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【变式7-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式7-2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【变式7-3】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【题型8 三角形中位线定义与长度计算】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【变式8-2】如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则____ ． 【变式8-3】如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 【能力提升】 【题型9 平行四边形判定与性质的综合证明与求解】 【例9】（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【变式9-1】（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【变式9-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其侧面抽象成几何图形，其示意图如图2所示，已知，测得．求四边形的周长？ 【变式9-3】（25-26九年级上·江西九江·月考）在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，画出的角平分线（为格点） 【题型10 平行四边形面积与底高计算】 【例10】如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【变式10-1】如图，已知中，边上的高，则的面积是______，边上的高的长是______． 【变式10-2】如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是____． 【变式10-3】如图，中，、、分别是、、的中点，、、分别是线段、、上的点，且，，与交于点，如果四边形面积是，四边形的面积是，则的面积是___________．      【题型11 中位线结合平行四边形求边长】 【例11】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则_________． 【变式11-1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，平行四边形的面积是32，，点H，G分别是，上的动点，连接，点E，F分别是的中点，则的最小值是______． 【变式11-2】（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，延长到点，使，过点作于点，连接．若平行四边形的周长为8，则的长是______．    【变式11-3】（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【思维拓展】 【题型12 坐标系中平行四边形顶点求解】 【例12】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 【变式12-1】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，过点作，交于点，交于点，连接，已知，，以点为原点建立坐标系，则点的坐标为______    【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，若，，点在第二象限．保持平行四边形不动，将轴向右平移，当轴经过点时，在新的坐标系下，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 【题型13 平行四边形折叠求线段长度】 【例13】如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【变式13-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【变式13-3】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【题型14 动点下平行四边形形状判断】 【例14】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．设运动时间为．秒，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式14-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为_____时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【变式14-2】如图，在中，对角线相交于点O．点E在上，，，，点F是的中点，若点P以的速度从点A出发，沿向点E运动，点N同时以的速度从点C出发，沿向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动________s时，以点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 【变式14-3】如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【题型15 复杂图形中位线与面积关联】 【例15】如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 【变式15-1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内，下列说法错误的是（    ） A．四边形的形状为平行四边形 B．四边形的面积始终在变小 C．四边形的面积是四边形面积的 D．四边形的周长等于四边形的对角线之和 【变式15-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）中国古代数学家刘刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．15 B．20 C．30 D．35 【变式15-3】（2024·浙江杭州·一模）【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和的面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 平行四边形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 平行四边形边与角性质计算】 1 【题型2 平行四边形对角线性质应用】 4 【题型3 等腰梯形性质的简单应用】 6 【题型4 拼接平行四边形】 10 【题型5 判定平行四边形基础条件选择】 13 【题型6 证明平行四边形】 17 【题型7 证明等腰梯形】 19 【题型8 三角形中位线定义与长度计算】 25 【能力提升】 28 【题型9 平行四边形判定与性质的综合证明与求解】 28 【题型10 平行四边形面积与底高计算】 33 【题型11 中位线结合平行四边形求边长】 36 【思维拓展】 40 【题型12 坐标系中平行四边形顶点求解】 40 【题型13 平行四边形折叠求线段长度】 45 【题型14 动点下平行四边形形状判断】 50 【题型15 复杂图形中位线与面积关联】 54 【基础巩固】 【题型1 平行四边形边与角性质计算】 【例1】如图，在平行四边形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，则的长是________． 【答案】 【分析】设，则，容易判断是线段的垂直平分线，因此．在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意可得，是线段的垂直平分线， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则______． 【答案】/23度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查四边形内角和，平行四边形的性质，掌握以上知识是关键，根据四边形的内角和得到，再根据平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在四边形中，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【题型2 平行四边形对角线性质应用】 【例2】已知，如图在□中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规，画出中边上的中线；（作图要求：保留痕迹，不写作法） (2)请只用无刻度的直尺，画出□中边上的高，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，即为中边上的中线； （2）结合（1）只用无刻度的直尺，然后，连接交于点，设与交于点，即可画出□中边上的高． 【详解】（1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，连接，作图如下：中线即为所求； （2）根据题意连接交于点，设与交于点，连接并延长交于点，作图如上：高即为所求． 理由如下： 在□中，交于点， ∴， ∴是中边上的中线． 又∵是中边上的中线， ∴是中边上的中线． ∵， ∴， ∴是□中边上的高． 【变式2-1】如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：由题意知，， 在中，， ∴． 故选：C ． 【变式2-2】如图，平行四边形中，对角线，交于点O．若，则的长的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得，，再结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，，， 在中，由三角形的三边关系，得， ∴． 【变式2-3】（2025·贵州贵阳·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是________． 【答案】18 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质．由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是，即可推导出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴． 故答案为：18． 【题型3 等腰梯形性质的简单应用】 【例3】如图，在等腰梯形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰梯形的定义，平行线的性质． 根据等腰梯形的定义得到，根据平行线的性质可得答案． 【详解】∵等腰梯形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图，已知梯形，，，那么___________．      【答案】 【分析】过点E作交于点E，首先得到四边形是等腰梯形，然后利用平行线的性质得到，利用勾股定理得到，然后利用角的直角三角形的性质得到，最后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交于点E，      ∵梯形，， ∴四边形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的综合应用，掌握等腰梯形的性质，直角三角形勾股定理，及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式3-2】（2024九年级下·上海·专题练习）已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 【变式3-3】如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的面积为______． 【答案】 【分析】由等腰梯形的性质得出，，可求出，进而得出，结合平行线性质得出，故得 ．过点作于点，借助特殊直接三角形的性质求出高的长，结合梯形面积公式即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，，， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 如图，过点作于点， ，, ， ， ， 等腰梯形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和面积，平行线的性质以及直角三角形的性质，准确运用性质进行角度转化以及求出相应线段长度是本题的关键． 【题型4 拼接平行四边形】 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 【变式4-1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 【变式4-2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式4-3】如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 【题型5 判定平行四边形基础条件选择】 【例5】（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【变式5-1】如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 【答案】③ 【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC， 如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状； 如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形； 如果③，则AE//CF， ∵AFCE， ∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确， 故答案为：③． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【变式5-2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 【答案】①② 【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，,． ① ， ∴， ∴． ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 故①正确； ②∵， ∴， ， ∴， ∴． 同理可得： ∵， 四边形是平行四边形． 故②正确； ③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形， 故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式5-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 【题型6 证明平行四边形】 【例6】（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据中位线定理，易证，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】证明： ，     点是的中点， 点是的中点， ，即 ， 四边形为平行四边形． 【变式6-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 【变式6-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定． 根据中心对称的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 【变式6-3】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． （1）设，则，然后根据勾股定理求出x的值即可求解； （2）由等边三角形的性质得出，，得出，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：设， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点F是线段的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 则， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 证明等腰梯形】 【例7】如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式7-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【变式7-3】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【题型8 三角形中位线定义与长度计算】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 【答案】10 【分析】利用三角形的中位线的判定定理和性质进行求解即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的三边的中点，， ∴和是的中位线， ∴，，，． ∴四边形的周长为． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 【变式8-2】如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则____ ． 【答案】3 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键． 由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得． 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴． ∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式8-3】如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 【答案】 6 【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得和的长；再先后求得，，，然后利用圆的面积公式即可求解. 【详解】解：作于点N，连接， ∵， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， 在中，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 过点A和作的垂线，垂足分别为和， 由题意得，同理是的中位线， ∴， 同理， ∴， 故答案为：，6. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【能力提升】 【题型9 平行四边形判定与性质的综合证明与求解】 【例9】（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式9-1】（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 【变式9-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其侧面抽象成几何图形，其示意图如图2所示，已知，测得．求四边形的周长？ 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，然后得到，然后结合，即可得到四边形是平行四边形，得出，结合，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴四边形的周长． 【变式9-3】（25-26九年级上·江西九江·月考）在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，画出的角平分线（为格点） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，理解题意，灵活运用所学的知识解决问题是解题的关键． （1）连接，相交于点E，即可求解； （2）取格点F，连接即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，相交于点E，则即为所求， ， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴为中点， ∴是的中线； （2）解：如图2，取格点F，连接，则即为所求， 理由：∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即平分； 【题型10 平行四边形面积与底高计算】 【例10】如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 【变式10-1】如图，已知中，边上的高，则的面积是______，边上的高的长是______． 【答案】 12， 3. 【分析】用BC×AE可求平行四边形的面积，再借助面积12=CD×AF可求AF． 【详解】解：根据平行四边形的面积=底×高，可得 BC×AE=6×2=12； 则CD×AF=12，即4×AF=12， 所以AF=3． 故答案为12，3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，面积法求解平行四边形的高或某边长是解决此类问题常用的方法． 【变式10-2】如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是____． 【答案】6 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形和四边形都是平行四边形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形；设与之间的距离为h，由，得，于是得到问题的答案． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 设与之间的距离为h， 四边形的面积是3， ， ， ，     故答案为：6 ． 【变式10-3】如图，中，、、分别是、、的中点，、、分别是线段、、上的点，且，，与交于点，如果四边形面积是，四边形的面积是，则的面积是___________．      【答案】/ 【分析】过作，延长交于，延长交于，延长交于，由平行四边形的性质推出平行四边形的面积平行四边形的面积，平行四边形的面积平行四边形的面积，得到平行四边形的的面积，即可求出的面积． 【详解】解：过作，延长交于，延长交于，延长交于，      ∵，，分别是，，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， ∵平行四边形的面积平行四边形的面积，，，， ∴， ∴平行四边形的面积平行四边形的面积， ∵平行四边形的面积， ∴的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，关键是由平行四边形的性质证明∶平行四边形的面积平行四边形的面积． 【题型11 中位线结合平行四边形求边长】 【例11】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则_________． 【答案】 【分析】过点A作，交延长线于点F，连接，说明四边形是矩形，可得，再根据勾股定理求出，然后证明，可得，进而说明，接下来可知是的中位线，最后根据三角形中位线的性质得出答案． 【详解】解：过点A作，交延长线于点F，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． ∵ ∴， ∴ ∵点G是的中点， ∴， ∴， 即． ∵点H是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的定义和性质，作出辅助线构造三角中位线是解题的关键． 【变式11-1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，平行四边形的面积是32，，点H，G分别是，上的动点，连接，点E，F分别是的中点，则的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理． 连接，过A作，根据点E为的中点，点F为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，过A作， ∵， ∴， ∵平行四边形的面积是32， ∴，即， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴， ∴最小时，取得最小值， ∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：2． 【变式11-2】（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，延长到点，使，过点作于点，连接．若平行四边形的周长为8，则的长是______．    【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质可得，，再根据，，可知，，即可知为的中位线，即可求解．理解题意的为的中位线是解决问题的关键． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ∵平行四边形的周长为8， ∴， ∵，， ∴，， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 【变式11-3】（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)且 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，,再由，可得，即． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：且． 【思维拓展】 【题型12 坐标系中平行四边形顶点求解】 【例12】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形，利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ①时， ∵， ∴，即； ②， ∵ ∴，即； ③， ∵，， ∴，即 故D点坐标为或或 故答案为：或或． 【变式12-1】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，过点作，交于点，交于点，连接，已知，，以点为原点建立坐标系，则点的坐标为______    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质结合，可得为等边三角形．从而得到，在中，由勾股定理可得的长即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，． ， 为等边三角形． ，为边上的中线． ． 在中，由勾股定理得，， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，若，，点在第二象限．保持平行四边形不动，将轴向右平移，当轴经过点时，在新的坐标系下，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，平面直角坐标系，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，并会作辅助线在坐标系中构造直角三角形计算是解题的关键．作出坐标系平移后的图形，过点作轴于点，分别求和即可． 【详解】解：∵，的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 坐标系平移后的图形如图，过点作轴于点， ∵， ∴，四边形为长方形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式12-3】已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，或或 【分析】（1）利用A点和B点坐标描点即可； （2）分别以OB、AB、OA为平行四边形的对角线确定C点位置，且写出C点坐标． 【详解】（1）如图，点A、点B即为所求； （2） 如图，平行四边形OABC1，平行四边形OAC2B，平行四边形OC3AB即为所求作； C点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作，也考查了坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型13 平行四边形折叠求线段长度】 【例13】如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质得，，根据对称的性质得，，，，继而得到，然后在中，根据三角形内角和定理列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将平行四边形沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∵将边沿进行折叠，点又恰好落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴平行四边形的较小内角为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，对称的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握：两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等． 【变式13-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式13-3】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图2， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长为2或4， 故选：C． 【题型14 动点下平行四边形形状判断】 【例14】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．设运动时间为．秒，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，①当四边形是平行四边形时，由平行四边形的性质得，，即可求解；②当四边形是平行四边形时，同理可求；能利用平行四边形的性质进行求解及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解： 是的中点， ， 根据题意得：，， ①当四边形是平行四边形时， ， ， ， 解得：； ②当四边形是平行四边形时， ， ， ， 解得：； 综上所述：的值为1或； 故选：C． 【变式14-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为_____时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：当点在线段上，点在线段上时，如图①． 四边形为平行四边形， ，． 是等边三角形， 和是等边三角形， ， ， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图②． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图③． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ． 当停止运动时，，且， （不合题意，舍去）． 综上所述，当的值为或时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 故答案为：或． 【变式14-2】如图，在中，对角线相交于点O．点E在上，，，，点F是的中点，若点P以的速度从点A出发，沿向点E运动，点N同时以的速度从点C出发，沿向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动________s时，以点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题. 要使点为顶点的四边形是平行四边形，则需, 据此先表示出, 结合题意可得, 或, 据此可知需求得的长，由于是的中点，可将答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴, ∴. ∵, ∴, ∴. ∵, ∴. ∵点是的中点, ∴. 要使点为顶点的四边形是平行四边形，则即可. 设当点运动秒时，点为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得或, 解得或 ∴当点运动秒或 秒时, 以为顶点的四边形是平行四边形. 故答案为：或 【变式14-3】如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．首先利用表示出和的长，然后根据即可列方程求得的值． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 【题型15 复杂图形中位线与面积关联】 【例15】如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质； （1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可； （2）要使面积最大，值则要最大，则的值要最大，故当时最大，求出面积即可． 【详解】解：（1）点P，N是，的中点， ， 点P，M是，的中点， ， ∵， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， 故， 故答案为：； （2）由（1）可知为等腰直角三角形， 则， 最大时，面积最大，即最大时，面积最大， 点在的延长线上， ， ， ∴面积的最大值； 故答案为：． 【变式15-1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内，下列说法错误的是（    ） A．四边形的形状为平行四边形 B．四边形的面积始终在变小 C．四边形的面积是四边形面积的 D．四边形的周长等于四边形的对角线之和 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，掌握相关知识点并灵活运用，连接相交于点O是解题的关键． 连接相交于点O，根据三角形的中位线定理可判定选项A，D；利用与三角形的中线有关的面积关系，可判定选项B，C． 【详解】解：如图，连接相交于点O， 分别为的中点， 为的中位线， ， 同理可得，，， ， 四边形的形状为平行四边形， 故选项A正确； ， 四边形的周长等于四边形的对角线之和， 故选项D正确； 如图2，连接，设与交于点M，与交于点N， H为的中点， ， 又，即 M为的中点， ， 同理可得，， ， 四边形的面积等于的面积的一半， 对角线将平行四边形分割得到的四个四边形均等于各自所在大三角形的面积的一半， 四边形的面积是四边形面积的， 故选项B错误，选项C正确； 故选：B． 【变式15-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）中国古代数学家刘刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，中位线定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明， ，得出，，从而得出的面积等于长方形的面积；利用全等三角形的性质以及中位线定理得出长方形的长和宽，计算即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， D，E分别为，的中点， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， D，E分别为，的中点， 是的中位线， ， 的面积是30． 故选：C． 【变式15-3】（2024·浙江杭州·一模）【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和的面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）分别过点、点作和底边上的高线，，利用三角形的面积公式与已知条件得到，则，再利用平行四边形的判定与性质解答即可； （2）利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等的性质解答即可； （3）连接，，过点作于点，过点作于点，利用等底同高的三角形的面积相等的性质得到，由（1）的证明过程可知：；利用等底同高的三角形面积相等的性质得到，则，化简即可得出结论． 【详解】证明：分别过点、点作和底边上的高线，，如图， 的面积，的面积，和的面积相等， ， ． ，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴； （2）1．连接， 2．过点作，交的延长线于点， 3．连接， 则为所画的三角形．如图， 理由：∵， 与为同底等高的三角形， ，， ． 四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变； 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：中，点为的中点，点为的中点． 求证：，． 证明：连接，，过点作于点，过点作于点，如图， 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ． 由（1）的证明过程可知：，． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，四边形的面积，平行四边形的判定与性质，平行线之间的距离相等，三角形的中位线定理的证明，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $