第17章平行四边形 专题三：平行四边形中的存在性问题---分类讨论思想的应用 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 专题三：平行四边形中的”存在性问题”——分类讨论思想的应用 互动设计 第17章 平行四边形系列专题讲座 1 学 习 目 标 理解”存在性问题”的数学含义，能准确识别问题中的变量与不变量 返回主页 学会用分类讨论思想解决平行四边形中的动点、折叠、旋转等存在性问题 1 掌握平行四边形的性质与判定定理，能熟练运用进行几何推理 2 理解”存在性问题”的数学含义，能准确识别问题中的变量与不变量 3 情 境 引 入 情境一：生活中的”存在性”思考 返回主页 情境二：数学实验室 情境一：生活中的”存在性”思考 小明家有一块平行四边形的花园ABCD， A B C D 他想在花园内部安装一个自动喷灌装置P，要求： - 喷灌装置到四个顶点的距离相等（PA=PB=PC=PD） - 喷灌装置必须安装在花园内部或边界上 思考问题： 1. 这样的点P一定存在吗？ 2. 如果存在，位置在哪里？如果不存在，请说明理由。 情境二：数学实验室 在坐标纸上有三点A(1,1)、B(4,1)、C(5,3)，第四个点D的位置不确定。 探究任务： - 是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？ - 如果存在，有几个可能的位置？分别在哪里？ D 这两个情境都涉及”是否存在”的探究，需要我们全面考虑各种可能性，这正是分类讨论思想的应用场景。 互 动 设 计 活动一：小组合作探究 返回主页 活动二：几何画板验证 活动三：错例分析 活动一：小组合作探究（8分钟） 任务：在情境二的坐标纸问题中，小组讨论点D可能存在的位置。 讨论框架： 情况一 情况二 情况三 对角线 AC AB BC 结论汇报：三个小组分别汇报一种情况，教师板书形成完整分类。 活动二：几何画板验证 使用几何画板动态演示： - 拖动点D观察何时形成平行四边形 - 验证三种情况下D点坐标的计算结果 - 归纳”三点定平行四边形”的规律：以已知三点构成的三角形三边为对角线，可得三个平行四边形 活动三：错例分析 展示典型错误：学生只求出1-2个D点位置，漏解的情况。 讨论：为什么会漏解？如何避免？ - 原因：思维定势，只考虑一种对角线情况 - 对策：按”谁为对角线”标准系统分类 探 求 新 知 1. 存在性问题的本质 返回主页 2. 分类讨论的基本原则 3. 平行四边形存在性问题的常见类型 4. 解题策略——“三步分类法” 1. 存在性问题的本质 存在性问题 = 在变化过程中，某种特定关系（相等、垂直、平行等）是否可能出现的问题。 解题关键：将”存在性”转化为”求解性”——假设存在，建立方程，求解验证。 2. 分类讨论的基本原则 原则 说明 平行四边形中的应用 标准统一 同一层级按同一标准分 按”哪组对边平行”或”哪条对角线”分类 不重不漏 各类别互斥且完备 三种对角线情况恰好覆盖所有可能 层级清晰 复杂问题可分多级 先定对角线→再定形状→最后计算 先特后一般 特殊情况优先讨论 点在线段上、图形退化为特殊情况 3. 平行四边形存在性问题的常见类型 类型一：三点定第四点（静态存在性） 类型二：动点问题（动态存在性） 类型三：折叠旋转后的存在性（变换存在性） 类型四：坐标系中的存在性（代数化存在性） 4. 解题策略——“三步分类法” 第一步：定框架——确定分类标准（通常以边或对角线为依据） 第二步：逐个论——对每一类分别建立方程求解 第三步：验取舍——检验解的合理性（是否在范围内、是否重合等） 典 例 铺 路 例题1：三点定平行四边形（基础型） 例题2：动点存在性问题（提高型） 例题3：折叠存在性问题（综合型） 例题4：坐标系中存在性问题（综合型） 1.已知平面内三点A(2,3)、B(5,3)、C(4,6)，在坐标平面内找一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。求点D的坐标。 分析：平行四边形的对角线互相平分，需分三种情况讨论。 解：设D点坐标为(x,y)。 情况一：以AC为对角线 - 则AC中点也是BD中点 - AC中点：(, ) = (3, 4.5) - BD中点：(, ) = (3, 4.5) - 解得：x=1, y=6 - ∴ D₁(1,6) 情况二：以AB为对角线 - AB中点：((2+5)/2, (3+3)/2) = (3.5, 3) - CD中点：((4+x)/2, (6+y)/2) = (3.5, 3) - 解得：x=3, y=0 - ∴ D₂(3,0) 情况三：以BC为对角线 - BC中点：((5+4)/2, (3+6)/2) = (4.5, 4.5) - AD中点：((2+x)/2, (3+y)/2) = (4.5, 4.5) - 解得：x=7, y=6 - ∴ D₃(7,6) 结论：满足条件的点D有三个，坐标分别为 (1,6)、(3,0)、(7,6)。 方法总结：已知三点求第四点，必有三解，构成”平行四边形三角形”（三个D点围成的三角形与原三角形ABC关于重心对称）。 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10 cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE =2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒． (1)①CE=_____(用含t的式子表示) ②若PE⊥BC，求BQ的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 详解：(1)①CE= 2t - 2(用含t的式子表示) ②作AM⊥BC于M，如图所示： ∵∠BAC=90°，∠B=45°， ∴∠C=45°=∠B， ∴AB=AC， ∴BM=CM， ∴AM=1/2 BC=5 ∵AD∥BC， ∴∠PAN=∠C=45°， ∵PE⊥BC， ∴PE=AM=5，PE⊥AD， ∴△APN和△CEN是等腰直角三角形， ∴PN=AP=t，CE=NE=5-t， ∵CE=CQ-QE=2t-2， ∴5-t=2t-2， 解得：t=，BQ=BC-CQ=10-2×= (2)存在，t=4或12s；理由如下： (ⅰ)当点Q、E在线段BC上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP=BE， ∴t=10-2t+2， 解得：t=4， (ⅱ)当点Q、E在线段CB的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形 则AP=BE， t=2t-2-10 解得：t=12 ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12 s． 3.如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点.若AB=3，BC=6，则∠B是否是定值？ A D C E F B 【解】设AE与BC相交于点F，如图所示. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC.∴∠1=∠3. ∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处， ∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴FC=FA. ∵F为BC边的中点,BC=6, ∴AF=CF=BF=1/2×6=3. 又∵AB=3,∴AB=BF=AF. ∴△ABF是等边三角形.∴∠B=60°.所以角B是定值 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2√2，点A的纵坐标为4，直线AB交x轴于点D，过点D做直线l⊥x轴． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)如果直线l上存在点P，直线AB上存在点Q，使得以点O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标． O X Y C B M A （1）由题意，设点 B 的坐标为 (a,a)（a>0 时在第一象限，a<0 时在第三象限）。 因为 BM=OM，且 OB=2√2，所以 a2+a2=(2√2) 2=8，解得 a2=4，即 a=±2。 又反比例函数 y= 的图象在第一、三象限，所以 k>0，故点 B 在第三象限，坐标为 (-2,-2)，代入 y= 得 k=4，反比例函数解析式为 y=。 点 A 的纵坐标为 4，代入 y=4/x 得 x=1，所以 A(1,4)。 将 A(1,4)、B(-2,-2) 代入一次函数 y=mx+n，得： 解得 m=2，n=2，所以一次函数解析式为 y=2x+2。 （2）由（1）知，B(-2,-2)，直线 AB 的解析式为 y=2x+2，与 x 轴交于点 D(-1,0)，过点 D 且垂直于 x 轴的直线 l 的方程为 x=-1。 设点 P 在直线 l 上，则 P(-1,p)；点 Q 在直线 AB 上，则设 Q(q,2q+2)。 以点 O(0,0)、B(-2,-2)、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论： ① 当 为对角线时， 的中点坐标为 ， 的中点坐标也为 ， 即： 解得 ，，所以 。 ② 当 为对角线时， 的中点坐标为 ， 的中点坐标为 ， 即： 解得 ，，所以 。 ③ 当 为对角线时， 的中点坐标为 ， 的中点坐标为 ， 即： 解得 ，，所以 。 综上，点 的坐标为 或 。 随 堂 演 练 返回主页 随堂演 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为_____秒． 首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可． 【详解】 解：设运动时间为t秒，如图， 则CP=12-3t，BQ=t， ∵四边形PQBC为平行四边形 ∴12-3t=t， 解得：t=3， 故答案为3． 随堂演 □ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为_____． D A B E F C 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AB=DC； 由题意得：BE=FE，AB=AF； ∵△FCE的周长为7，△FDA的周长为21， ∴CE+CF+EF=7，DF+AD+AF=21， ∴(CE+EF)+(DF+CF)+AD+AF=28， 即2(AD+DC)=28， ∴AD+DC=14，即AD+AF=14， ∴FD=21-14=7， 故答案为：7． 随堂演 如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E． (1)求证：∠EDB=∠EBD； (2)判断AF与DB是否平行，并说明理由． 解：(1)由折叠可知：∠CDB=∠EDB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB． ∴∠CDB=∠EBD． ∴∠EDB=∠EBD； (2)AF∥DB．理由如下： ∵∠EDB=∠EBD， ∴DE=BE． 由折叠可知：DC=DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB． ∴DF=AB． ∴AE=EF． ∴∠EAF=∠EFA． 在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°， ∴2∠EDB+∠DEB=180°． 同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°． ∴2∠EDB+∠DEB=180°． 同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°． ∵∠DEB=∠AEF． ∴∠EDB=∠EFA． ∴AF∥DB． 随 堂 检 测 返回主页 2.如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD=8cm，BC=12cm，M是BC上一点，且BM=9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t=___ 解：①当点F在线段BM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t=9+3t-12，解得t=， ②当F在线段CM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t=12-9-3t，解得t=， 综上所述，t=或t=时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：t=或t= 随堂测 如图，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A₁处，点B落在点B₁处，设FB₁交CD于点G，A₁B₁分别交CD，DE于点H，I．是否有EI=FG． 首先连接AC，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．然后根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，继而可证得△A₁IE≌△CGF，即可证得EI=FG． 证明：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC，AD=BC， ∴∠OAE=∠OCF， ∵在△AOE和△COF中， ∠OAE=∠OCF OA=OC ∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴AE=CF； 由折叠的性质可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B， ∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D， 又∵∠1=∠2， ∴∠3=∠4， 图四： ∴∠5=∠3，∠4=∠6， ∴∠5=∠6， ∵在△A₁IE与△CGF中， ∠A₁=∠C ∠5=∠6 A₁E=CF ∴△A₁IE≌△CGF(AAS)， ∴EI=FG． 在坐标系中，A(0,0)、B(4,0)、C(6,3)，点D在直线y=x上运动。问：是否存在点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求D的坐标。 答案： 设D(t,t)，分三种情况： 1. 以AC为对角线：D(2,3)，检验：2≠3，不在y=x上，舍 2. 以AB为对角线：D(-2,3)，-2≠3，舍 3. 以BC为对角线：D(10,3)，10≠3，舍 不存在这样的点D。 课 堂 小 结 课堂小结是教学过程中不可或缺的环节，它不仅帮助学生巩固知识、提升学习效果，还能促进教师反思教学、优化课堂设计。通过有效的课堂小结，师生可以共同实现教学目标，提高教学效率和学习质量。 返回主页 1 2 3 4 认真领会 知识网络图 平行四边形存在性问题 │ ├─ 三点定第四点 → 3种对角线情况 → 中点公式/向量法 │ ├─ 动点问题 → 设参数t → 建立方程 → 验范围 │ ├─ 折叠旋转 → 找不变量（边长、角度）→ 新位置表示 → 分类 │ └─ 坐标系问题 → 代数化 → 方程思想 → 分类求解 48 思想方法提炼 分类讨论是核心：按对角线、对边、动点位置等标准不重不漏分类 数形结合是工具：坐标系将几何存在性转化为代数方程有解性 方程思想是桥梁：假设存在，建立等量关系，求解验证 检验取舍是关键：解出的结果需检验是否在范围内、是否退化 $