精品解析：河南方城县第一高级中学2026届高三下学期一模考前适应性训练数学试题（五）

方城县第一高级中学2026届高三下学期一模考前适应性训练数学试题（五） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义先求，再求复数的模，最后即可求解. 【详解】由题意有：，， 所以， 故选：A. 2. 等比数列中，，，则（ ） A. 27 B. 81 C. 243 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式转化成与的关系式，两式作比求出公比，再由等比数列基本量运算即得答案. 【详解】设等比数列的公比为， ，， 两式作比可得， 又 故选：B 3. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程求出集合 ，再求其补集，最后与集合 取交集. 【详解】对方程求解得 或 ，因此集合； 已知全集，则； 而，则. 4. 已知，，则 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的关系即可求出答案. 【详解】解不等式得， 因为是的真子集， 所以 是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 6. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在边长为2的正方形 中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 7. 若函数，则下列选项中，为函数 的极大值点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数 ，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可. 【详解】函数 ， 由，得函数 的极大值点， 当时，，不存在整数使得，，，A是；BCD不是. 故选：A 8. 如图，四棱锥 的底面是边长为4的正方形， 为 上的点， 为 的中点.底面 ，，，则点 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求点面距离即可. 【详解】以点 为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则 ，，则. 又，故点 到平面的距离为. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法错误的是（ ） 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A. 甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B. 甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C. 街道乙的测评分数的第75百分位数为95 D. 甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据表格数据分别计算极差，平均数，第75百分位数和中位数即可. 【详解】对于A，甲街道测评分数的极差为； 乙街道测评分数的极差为；两者不相等，故A错误； 对于B，甲街道测评分数的平均数； 乙街道测评分数的平均数为；两者不相等，故B错误； 对于C，而，则街道乙的测评分数的第75百分位数为96，故C错误. 对于D，甲街道测评分数的中位数为； 乙街道测评分数的中位数为；则乙的中位数较大，故D正确. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在 中，，E为AC的中点，则 B. 在 中，与满足，则 是等腰三角形 C. 已知，，若与的夹角是钝角，则 D. 在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来再判断；对于B，由向量的加法法则判断；对于C，由题意可知，且两向量不共线，从而可求出的范围；对于D，以 为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积求解. 【详解】 对于A，因为 中，， 为 的中点， 所以，所以A正确； 对于B，因为与是非零向量， 所以所在的直线平分， 因为，所以， 所以 是等腰三角形，所以B正确； 对于C，因为与的夹角是钝角， 所以，且两向量不共线， 由得，得， 当与共线时，得， 所以当与的夹角是钝角时且，所以C错误， 对于D，     如图，以 为原点建立直角坐标， 则由题意可得， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数 满足，.数列的首项为1，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，根据求导法则，求得函数的解析式，代入，可得A的正误；构造函数，利用导数求得其最值，可得B的正误；由函数解析式求得数列的递推公式，利用B才不等式进行放缩，构造函数证明数列单调性，可得CD的正误. 【详解】因为，所以， 又 ， . 取 可得，由， 令 ，得. ，，， ，，故A正确； 设，则， 当 时，，当 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， ，即，当且仅当 时，等号成立. 故，又，所以，故B正确. 由，所以， 得， 即，所以， ，即， 因为函数 定义域为， 所以，有，即， 下证数列单调递减，即证，即证， 即证，即证， 令，则， 当 时，，所以 在上单调递减. 因为，，所以，即数列单调递减， 所以，，故C正确，D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，项的系数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数． 【详解】的展开式的通项公式为，令，求得， 可得展开式中项的系数为. 故答案为：10. 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数 的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数 既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数 在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 14. 已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合偶函数的性质求出 ，再求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解. 【详解】由函数是偶函数，得，而，则， 函数，由，得， 依题意，，则，而，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值，以及相应 的值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为0，相应 的值为 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简的解析式，根据最小正周期为列方程可求得； （2）由可得到，根据同角三角函数的基本关系式可得的值，逆用倍角公式即可求解； （3）首先求出的解析式，进而可得的最小值及相应 的值. 【小问1详解】 因为， 所以最小正周期，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，即，所以. 因为，所以，即， 所以， 由，得. 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象， 则， 当时，， 根据正弦曲线可知，当，即时，在上取得最小值． 16. 如图，四棱锥 中， 底面 ，，，． （1）证明： 平面 ； （2）若，且二面角的正弦值为，E为PC中点． ①求AD的长度； ②求直线BE与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在四棱锥 中，由 平面 ，平面 ，得， 由，得，则， 而平面 ，所以 平面 . （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由题设依次求证、即可由线面垂直判定定理求证 平面 ； （2）①作出二面角的平面角，利用直角三角形边角关系列式求解；②以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①过点D作于 ，过点 作于 ，连接， 由 平面 ，平面 ，得，而平面 ， 则平面 ，又平面 ，则，而平面， 因此平面，而平面，则，是二面角的平面角， 于是，，， 由，可设，则，， 又，为等腰直角三角形，则， 因此，解得，所以. ②过点 作，由 平面 ，得平面 ， 则直线两两垂直，以 为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由（1）和①可得，则， 于是， 设平面的法向量，则， 取，得，所以， 所以直线BE与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，令，求证： 【答案】（1） 当时，函数 在上单调递减； 当时，函数 在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当 时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在 上单调递增， 则，因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出 的导数，再按分类讨论求出 的单调区间. （2）把 代入求出 ，再对所证不等式作等价变形，按分段并构造函数，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数 在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数 在上单调递减； 当时，函数 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 18. 小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为 ，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． （1）求 ； （2）若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分 的分布列和数学期望； （3）若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 数学期望为 （3）小勇状态见解析，最大概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据条件概率计算得分 对应概率可得分布列，根据分布列可计算概率； （3）按照比赛时间分类讨论可得达成何种状态时概率最大. 【小问1详解】 小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． 所以，即， 则，所以，或（舍去）．则． 【小问2详解】 定义事件：小勇与小勤比分为，：小勇最终得分为，则的可能取值为：0，1，2， ， ； ； 则小勇的得分 的分布列为： 0 1 2 ． 【小问3详解】 当包括换下时间时，每局比赛花1.5分钟或2分钟结束， 则6分钟内小勇与小勤打了完整两局，小勇与小忠打了完整一局，另一局可能是完整的． ①小勇与小勤打2分钟时， 先赢一球，再主动认鍮，再赢一球的概率最高，为； ②小勇与小勤打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； ③小勇与小忠打2分钟时，赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为； ④小勇与小忠打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； 小勇与小忠最后一颗球所用时间由前三局决定，前三局有局1.5分钟结束， 则最后一局打分钟，其中． 若小勇与小忠第一局打了1.5分钟，则最后一局多一颗球，多加一场要留在场上的概率， 故认为概率最大时，小勇与小忠第一局打了2分钟，即． 时，则第四局小勇可以连输两球，此时； 时，小勇最后1球可不赢，此时，； 时，； 综上，最大概率为，最佳状态是与小勤打2局：每局均1.5分钟，均获胜， 同时与小忠至少打两局：第一局为2分钟，获胜. 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，线段 的中点为．求证：； （3）如图，设椭圆的左右焦点分别为，过作直线 交椭圆于两点，点 满足，直线与 交于点 ，设与的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过点，离心率以及联立解出即可； （2）利用点差法，两点直线斜率公式表示，以及中点公式，结合点 与椭圆的位置关系得出不等式即可证明； （3）设，由，求出 点坐标，写出直线的方程联立解出点 坐标，得出的表达式，再设直线，与椭圆方程联立消元，写出韦达定理，表示出，然后得出不等式，最后结合条件分析得出结论即可. 【小问1详解】 因为椭圆经过点， 所以，① 又离心率为，则，② 在椭圆中有：，③ 联立①②③解得：， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图所示： 设，由在椭圆上， 则，两式相减得：， 即，① 因为线段 的中点为， 所以，② 又直线 的斜率为：，③ 将②③代入①化简得：， 因为点 在椭圆内，所以即， 又，所以， 所以. 【小问3详解】 由题知， 设，由， 即， 所以， 由， 所以直线即， ， 所以直线即， 联立，即， 所以， 设直线， 联立，消去 整理得：， 由， 所以不相同，令， 则， 所以 ， 所以， 所以， 因为为方程的解， 所以， （i）当， 所以， 因为，所以， 所以， 当时， 令， 所以， 由，则， 当时， 令， 所以， 由，则， 所以； （ii）， 所以， 因为，所以， 所以， 当时， 令， 所以， 由，则， 当时， 令， 所以， 由，则， 所以， 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三下学期一模考前适应性训练数学试题（五） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列中，，，则（ ） A. 27 B. 81 C. 243 D. 729 3. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，则下列选项中，为函数 的极大值点的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点， 为的中点.底面，，，则点 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法错误的是（ ） 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A. 甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B. 甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C. 街道乙的测评分数的第75百分位数为95 D. 甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在 中，，E为AC的中点，则 B. 在 中，与满足，则 是等腰三角形 C. 已知，，若与的夹角是钝角，则 D. 在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 11. 已知定义域为的函数 满足，.数列的首项为1，且，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，项的系数为______． 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 14. 已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为______ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值，以及相应的值． 16. 如图，四棱锥中，底面，，，． （1）证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，E为PC中点． ①求AD的长度； ②求直线BE与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，令，求证： 18. 小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为 ，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． （1）求； （2）若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分 的分布列和数学期望； （3）若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆 的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆 交于两点，线段的中点为．求证：； （3）如图，设椭圆 的左右焦点分别为，过作直线 交椭圆于两点，点满足，直线与 交于点 ，设与的面积分别为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $