数学一模突破卷（湖南省卷专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意亭项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.由7个相同的小正方体组成的一个几何体如图所示，这个几何体的俯视图是() A 0. 2.风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有254000兆瓦，将数据254000用科学 记数法表示为() A.25.4×104 B.2.54×104 C.2.54×105 D.0.254×106 3.下列计算结果正确的是() A.3+V5=3v3 B.V8+V2=4C.x+1)2=x2+1 D.(2x3)2=4x6 4.在平面直角坐标系中，将点P(3,5)向下平移2个单位长度后得到点P的坐标为() A.(1,5) B.(5,5) c.(3,3) D.(3,7) 5.如图，已知直线AB II CD,EG平分LBEF,∠1=30°，则∠2的度数是() 3 -D A.70° B.75° C.40° D.150° 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，连接0C,若∠AOC=132°，则∠ABC的大小为() A.60 B.66° C.48° D.58 7.下列说法正确的个数是()个 ①反比例函数y=2中自变量的取值范围是x≠0： ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形又是轴对称图形 ③反比例函数y=的图象分布于第一、第三象限，y随x的增大而减小： ④点P(3,2)关于x轴和y轴的对称点都在反比例函数y=一-的图象上. A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知一张三角形纸片ABC(如图①)，其中AB=AC=5,BC=3。将纸片沿DE折叠，使点A与点B重合 (如图②)时，CE=m:再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE边上的点G重合（如图③），则△BFG的 周长为() (R 图① 图② 图③ A.3+m B.8-m C.5 D.8-2m 9.如图，正方形ABCD的边长为2V5,E为边AB的中点，连接CE,过点D作DF⊥CE,垂足为F,G为DF上 一点，且DG=CF,则CG的长为() A.5 B.2V2 C.3 D.V10 I0.如图，以0为圆心的圆形跑道上，有三个起点A,B,C,设从A到B的跑道长为a,从B到C的跑道长为b, 从C到A的跑道长为c,则a,b,c的大小关系为() 2/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B b 60 60°g A.b<a<c B.a=b<c C.c<a<b D.c<b<a 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.化简：12x= 3xy 12.因式分解：2x2y+10xy= 13.为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示.已知 全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为"优秀”的人 数是 成绩（单位：分） 75 80 85 95 100 人数 Ny 4 5 6 5 14. 分式方程，3，=之的解是」 2x-1x+11 15.如图，在多边形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°，∠C=∠D=72°，则LA+∠B= 16.如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O.若BD=6,则⊙O的半径长 是 O 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题6分)计算：V2②压-314-m)°+()-1-V+2c0s450. 3/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5x-2<3(x-2) 18.(本题6分)解不等式组： 1 3 2x-5≥1-2x 19.(本题8分)为达到《国家学生体质健康标准》，提高学生身体素质，某校以“我最喜爱的体育运动”为主 题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、排球、足球、跳绳、长跑（要求每位同学必 须参加且仅选一项).根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 篮球 排球 25% 20% 长跑10 跳绳 足球 15% 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 30 0.25 排球 L 0.20 足球 36 n 跳绳 18 0.15 长跑 12 0.10 请根据图表信息解答下列问题： (1)求频数分布表中的m和n的值： (2)求扇形统计图中，“足球”所在的扇形的圆心角的度数： (3)从喜爱长跑运动表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加区级中学生运动会比赛，请用 列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率. 4/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(本题8分)在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AD⊥BD,点E是CD的中点，连接OE, 过点C作CF⊥OE,交OE的延长线于点F. (1)求证：四边形0FCB是矩形： (2)若AD=8,DC=12,求四边形0FCB的面积. 21.（本题10分)近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展.某 快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件， (1)求A、B两种型号智能机器人的单价： (2)该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少 需要购买几台A型号智能机器人？ (3)要使在(2)的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 5/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(本题10分)如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路A→C→D游 览沿途风光：路线二：先坐观光车从A至B,沿途游览，再在B点登船，沿水路BD游览沿途美景.已知点B在 点A的正东方向，点C在点A的东北方向，点D在点B的北偏东67方向，测得∠ABC为120°，点C到点B、点D的 距离相等，B、C两地的距离为6千米.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80.） 北 东 D B (1)求A,B两地的距离（结果保留根号）： (2)分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）. 23.(本题12分)阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2, b2,c2是常数)满足a1+a2=1,c1=c2且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”.例如：y=2x2+ 4x-3的“友好对称二次函数"为y=-x2-2x一3. B B (1y=-子x2的“友好对称二次函数"为 _,y=-x2+2x+3的“友好对称二次函数"为 (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是：（填序号） 6/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身： ③y=ax2-2ax+3(a≠1)的“友好对称二次函数"为y=(1-a)x2-2(1-a)x+3: ④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点. (3)如图，二次函数L1:y=ax2-4ax+1(a≠1)与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点A,点B,C分别 在L1,L2上，点B,C的横坐标均为m(0<m<2),它们关于L1的对称轴的对称点分别为点B',C',连接BB', B'C',C'C,CB.若m=1,且四边形BB'CC的邻边之比为1：2，直接写出a的值， 24.(本题12分)如图1，在⊙0中截掉一个圆心角为60的扇形，优弧C0D与直线AB相切于点C,且0C=10. M A/P 图1 图2 图3 (1)求点D到直线AB的距离. (2)如图2，优弧C0D上存在一动点M,OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t 秒.当点M运动至点D处时，停止转动.过点M作直线lIOC,直线与优弧C0D交于另一点N, ①当直线与优弧C0D相切时，t的值为一· ②当t=2时，求阴影部分面积. (3)在(2)的转动过程中，如图3，过点M作直线MP1OD,与直线AB交于点P,则在转动过程中，CP的最 大值为一一。 7/7 2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________ 15.________________ 16.________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） (1)计算：． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 解不等式组： 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10[AN[B][G][D 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B[G[D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6分) (1)计算：V25-3.14-m)0+（-)-1-V2+2cos45. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) (5x-2<3(x-2) 解不等式组： 1 3 2x-521-2x 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) D B 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 北 东 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 2 L B B' ○ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) C B C B AP B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考数学第一次模拟考试 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【]【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A1[BJ[C][D] 2[A][B][C][D] 6.A][B][C]ID1 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13. 14. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) )计算：V25-(3.14-π)°+(（-)-1-2+2c0s45. 18.(6分) 5x-2<3(x-2) 解不等式组： x-521-3x 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 分 D B 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 北 东 B 23.(12分) /L2 B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) M B A B AP B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C B B C D B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．450 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 【详解】解： ． 18．（6分） 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组无解． 19．（8分） 【详解】（1）， ，； （2）， 在扇形统计图中，“足球”所在的扇形的圆心角的度数为； （3）解：画树状图如下：    共有种可能出现的结果，其中四名同学恰好选中甲和乙两名同学的只有2种， ∴四名同学恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20．（8分） 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，   ， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，四边形是矩形； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 21．（10分） 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． ，解得 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型台，B型（10－）台， 由题意得，， 解得， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． （3）解：设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人． 由题意得， 解得， 由（2）得 ∴ 又∵是整数 ∴＝5或6或7 答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台． 22．（10分） 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：千米， 在中，千米， 千米， 在中，千米， 所以千米， 答：的距离是千米； （2）解：如图，过点作，垂足为， ， ， 由题意得 ∴千米， 千米； 由（1）可知：， 路线一：千米， 路线二：千米． 23．（10分） 【详解】（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“友好对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“友好对称二次函数”为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 24．（12分） 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； （2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或， 故答案为：或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； （3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．由7个相同的小正方体组成的一个几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有254000兆瓦，将数据254000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，是直径，是上一点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的个数是（    ）个 ①反比例函数中自变量的取值范围是； ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形又是轴对称图形． ③反比例函数的图象分布于第一、第三象限，y随x的增大而减小； ④点关于x轴和y轴的对称点都在反比例函数的图象上． A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 9．如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 10．如图，以为圆心的圆形跑道上，有三个起点A，B，C，设从到的跑道长为，从到的跑道长为，从到的跑道长为，则a，b，c的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．化简：__________． 12．因式分解：______． 13．为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是______． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 14．分式方程的解是______． 15．如图，在多边形中，，，则_________． 16．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是___． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）解不等式组： 19．（本题8分）为达到《国家学生体质健康标准》，提高学生身体素质，某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、排球、足球、跳绳、长跑（要求每位同学必须参加且仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 30 排球 m 足球 36 n 跳绳 18 长跑 12 请根据图表信息解答下列问题： (1)求频数分布表中的m和n的值； (2)求扇形统计图中，“足球”所在的扇形的圆心角的度数； (3)从喜爱长跑运动表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加区级中学生运动会比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20．（本题8分）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 21．（本题10分）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ (3)要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 22．（本题10分）如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，测得为，点到点、点的距离相等，、两地的距离为6千米．（参考数据：．） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）． 23．（本题12分）阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 24．（本题12分）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___。 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年中考第一次模拟考试 o 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意丰项： 新 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 第一部分（选择题共30分) : 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.由7个相同的小正方体组成的一个几何体如图所示，这个几何体的俯视图是() O 2.风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有254000兆瓦，将数据254000用科 : 学记数法表示为() A.25.4×104 B.2.54×104 C.2.54×105 D.0.254×106 拟 3.下列计算结果正确的是() .: A.3+V3=3v3 B.V⑧+V2=4 : C.(x+1)2=x2+1 D.(2x3)2=4x6 : 4.在平面直角坐标系中，将点P(3,5)向下平移2个单位长度后得到点P的坐标为() : A.(1,5) B.(5,5) C.(3,3) D.(3,7) : 5.如图，己知直线AB II CD,EG平分LBEF,∠1=30°，则∠2的度数是() : D : 试题第1页（共6页） .: : 可学科网·学易金卷做概装：就限是鲁” A.70° B.75° C.40° D.150° 6.如图，AB是⊙O直径，C是⊙0上一点，连接0C,若∠A0C=132°，则∠ABC的大小为() A.60° B.66° C.48° D.58 7.下列说法正确的个数是（)个 ①反比例函数y=中自变量的取值范围是x≠0： ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形又是轴对称图形 ③反比例函数y=的图象分布于第一、第三象限，y随x的增大而减小： ④点P(3,2)关于x轴和y轴的对称点都在反比例函数y=-的图象上. A.1 B.2 C.3 D.4 8.己知一张三角形纸片ABC(如图①)，其中AB=AC=5,BC=3。将纸片沿DE折叠，使点A与点B重 合（如图②）时，CE=:再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE边上的点G重合（如图③），则△BFG的 周长为() A E G B C B C B --C 图① 图② 图③ A.3+m B.8-m C.5 D.8-2m 9.如图，正方形ABCD的边长为2√5，E为边AB的中点，连接CE,过点D作DF L CE,垂足为F,G为DF上 一点，且DG=CF,则CG的长为() A D G B A.V5 B.2√2 C.3 D.√10 10.如图，以0为圆心的圆形跑道上，有三个起点A,B,C,设从A到B的跑道长为a,从B到C的跑道长为 b,从C到A的跑道长为c,则a,b,c的大小关系为() 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做好德：限是鲁禁 B 6 a 60°1 60°￥ A A.b<a<c B.a=b<c C.c<a<b D.c<b<a 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 1.化简：路 12.因式分解：2x2y+10xy= 13.为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示.己 知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的 人数是 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 14.分式方程 3 x-1= 2的解是 x+ 15.如图，在多边形ABCDEFG中，∠E=∠F=LG=108°，LC=∠D=72°，则LA+∠B= E 16.如图，AD是⊙0的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心0.若BD=6,则⊙O的半径长 是一 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题6分)计算：25-(3.14-m)°+(-)-1-V+2cos45° 试题第3页（共6页） : 5x-2<3(x-2) 18.(本题6分)解不等式组 x-521-x : 19.(本题8分)为达到《国家学生体质健康标准》，提高学生身体素质，某校以“我最喜爱的体育运动”为 主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、排球、足球、跳绳、长跑（要求每位同学 必须参加且仅选一项).根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 篮球 排球 25% 20% 米 长跑10% 跳绳 足球 15% 运动项目 频数（人数） 频率 样 游 篮球 30 0.25 排球 0.20 足球 36 之 跳绳 18 0.15 长跑 12 0.10 请根据图表信息解答下列问题： (1)求频数分布表中的m和n的值： : (2)求扇形统计图中，“足球”所在的扇形的圆心角的度数： 世 (3)从喜爱长跑运动表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加区级中学生运动会比赛，请用 : 列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率. 20.(本题8分)在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AD1BD,点E是CD的中点，连接OE, 过点C作CF1OE,交OE的延长线于点F. 器 B (1)求证：四边形0FCB是矩形： (2)若AD=8,DC=12,求四边形0FCB的面积. 试题第4页（共6页） : 21.（本题10分)近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展.某 快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： o O 信息 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） : 1 3 260 舒 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件. (1)求A、B两种型号智能机器人的单价： : (2)该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少 % : 需要购买几台A型号智能机器人？ (3)要使在(2)的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ : 22.(本题10分)如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路A→C→D游 览沿途风光；路线二：先坐观光车从A至B,沿途游览，再在B点登船，沿水路BD游览沿途美景.已知点B在 O 点A的正东方向，点C在点A的东北方向，点D在点B的北偏东67°方向，测得∠ABC为120°，点C到点B、点D 的距离相等，B、C两地的距离为6千米.（参考数据：si37°≈0.60，cos37°≈0.80.） 北 →东 (1)求A,B两地的距离（结果保留根号）： (2)分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）. ·: : 那 K 23.(本题12分)阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2, b2,c2是常数)满足a1+a2=1,c1=c2且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”.例如：y=2x2+ 4x一3的“友好对称二次函数"为y=一x2-2x-3. : O : 试题第5页（共6页） ⊙学科网·学易金卷做树装：就限是鲁警 L2 B (1y=-子x2的“友好对称二次函数"为 一-，y=-x2+2x+3的“友好对称二次函数"为 3 (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是 ；(填序号) ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数"”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身： ③y=ax2-2ax+3(a≠1)的“友好对称二次函数"为y=(1-a)x2-2(1-a)x+3: ④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点 (3)如图，二次函数L1:y=ax2-4ax+1(a≠1)与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点A,点B,C分别 在L1,L2上，点B,C的横坐标均为m(0<m<2),它们关于L1的对称轴的对称点分别为点B',C',连接BB', B'C',C'C,CB,若m=1,且四边形BB'CC的邻边之比为1：2，直接写出a的值， 24.(本题12分)如图1，在⊙0中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧C0D与直线AB相切于点C,且0C=10. A/P B 图1 图2 图3 (1)求点D到直线AB的距离， (2)如图2，优弧C0D上存在一动点M,OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为 t秒.当点M运动至点D处时，停止转动.过点M作直线lIOC,直线与优弧COD交于另一点N. ①当直线与优弧C0D相切时，t的值为_一一 ②当t=2时，求阴影部分面积， (3)在(2)的转动过程中，如图3，过点M作直线MP1OD,与直线AB交于点P,则在转动过程中，CP的 最大值为一。 试题第6页（共6页）2026年中考数学第一次模拟考试 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【1小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[BIICJ[D] 5[A][B][C][D] [AJ[B][C][D] 2[AJ[BJICIID] 6[AJ[BIIC][D] 10.A1[B1[C1ID] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 14. 5 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) (0计算：V25-(3.14-π)°+()2-1-V2+2c0s45: 18.(6分) 5x-2<3(x-2) 解不等式组： x-521-x 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) D E B 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 北 ，东 23.(12分) L A B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 0 0 0 M D M B B A疖 B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）由7个相同的小正方体组成的一个几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】 解：根据俯视图是从上往下看可知题干组合体的俯视图是， 故选：D 2．（本题3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有254000兆瓦，将数据254000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的形式为，其中，为整数．将254000转换为科学记数法时，需确定和的值． 【详解】解：， 故选：C． 3．（本题3分）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并二次根式，完全平方公式，积的乘方等知识．熟练掌握二次根式的乘法，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法是解题的关键．根据合并二次根式，完全平方公式，积的乘方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A．，原选项错误，故不符合要求； B．，原选项错误，故不符合要求； C．，原选项错误，故不符合要求； D．，正确，故符合要求； 故选：D． 4．（本题3分）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规律，解题关键是熟练掌握：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；根据点向下平移2个单位长度，则纵坐标减2解答即可． 【详解】解：将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为； 故选：C． 5．（本题3分）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，最后根据得，即可得解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 6．（本题3分）如图，是直径，是上一点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半，根据，所对的弧都是弧，即可解答． 【详解】解：∵，所对的弧都是弧，， ∴， 故选：B． 7．（本题3分）下列说法正确的个数是（    ）个 ①反比例函数中自变量的取值范围是； ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形又是轴对称图形． ③反比例函数的图象分布于第一、第三象限，y随x的增大而减小； ④点关于x轴和y轴的对称点都在反比例函数的图象上． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐个判断即可得． 【详解】解：①反比例函数中自变量的取值范围是，则此说法正确； ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形又是轴对称图形，则此说法正确； ③反比例函数的图象分布于第一、第三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此说法错误； ④点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，因为，所以都在反比例函数的图象上，则此项说法正确； 综上，说法正确的个数是3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 8．（本题3分）已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，折叠的性质，灵活掌握折叠的性质是解本题的关键．根据折叠的性质，列代数式即可得出答案． 【详解】解： ，， ． 将纸片沿折叠，使点与点重合， ． 将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合， ，， ， 的周长为． 故选：D． 9．（本题3分）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质和证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 得（负值舍去）， ∴． 10．（本题3分）如图，以为圆心的圆形跑道上，有三个起点A，B，C，设从到的跑道长为，从到的跑道长为，从到的跑道长为，则a，b，c的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式计算后比较大小即可． 【详解】设圆的半径为r，根据题意得 ， 故， 故选B． 【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）化简：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，运用分式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12．（本题3分）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，正确得出公因式是解题关键，直接提取公因式即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（本题3分）为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是______． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 【答案】450 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握方法是解答本题的关键．按照方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：450． 14．（本题3分）分式方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得． 展开得． 移项得，即． 检验：当时，分母，，所以是原方程的解． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在多边形中，，，则_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为，掌握以上知识是解题的关键； 本题连接，根据多边形的内角和公式可得五边形的内角和，进而得出，由可得的度数，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ， ∵五边形的内角和为：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是___． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，则，证明为等边三角形，得出，由、垂径定理得出，推出，根据含角的直角三角形的性质得出，由，，推出是的中位线，根据中位线的性质得出，由得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴，即的半径长是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 18．（本题6分）解不等式组： 【答案】无解 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组无解． 19．（本题8分）为达到《国家学生体质健康标准》，提高学生身体素质，某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、排球、足球、跳绳、长跑（要求每位同学必须参加且仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 30 排球 m 足球 36 n 跳绳 18 长跑 12 请根据图表信息解答下列问题： (1)求频数分布表中的m和n的值； (2)求扇形统计图中，“足球”所在的扇形的圆心角的度数； (3)从喜爱长跑运动表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加区级中学生运动会比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，画树状图法求概率，掌握相关知识是解的关键． （1）先求出总人数即可求解； （2）用乘以“足球”所占的百分比即可求出圆心角的度数； （3）根据画树状图法求概率即可． 【详解】（1）， ，； （2）， 在扇形统计图中，“足球”所在的扇形的圆心角的度数为； （3）解：画树状图如下：    共有种可能出现的结果，其中四名同学恰好选中甲和乙两名同学的只有2种， ∴四名同学恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20．（本题8分）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，再证明，则四边形是平行四边形，由，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，   ， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，四边形是矩形； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21．（本题10分）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ (3)要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)5台 (3)共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型（10－）台，根据需要每天分拣快递不少于200万件列出不等式，解不等式即可得到答案； （3）设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人．根据总费用不超过750万元列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． ，解得 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型台，B型（10－）台， 由题意得，， 解得， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． （3）解：设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人． 由题意得， 解得， 由（2）得 ∴ 又∵是整数 ∴＝5或6或7 答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台． 22．（本题10分）如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，测得为，点到点、点的距离相等，、两地的距离为6千米．（参考数据：．） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)的距离是千米 (2)路线一：千米；路线二：千米 【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作，垂足为，解和，求出的长，根据进行计算即可； （2）过点作，垂足为，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，进而根据线段的和差求出两条路线的长即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：千米， 在中，千米， 千米， 在中，千米， 所以千米， 答：的距离是千米； （2）解：如图，过点作，垂足为， ， ， 由题意得 ∴千米， 千米； 由（1）可知：， 路线一：千米， 路线二：千米． 23．（本题12分）阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①②③ (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“友好对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“友好对称二次函数”为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 24．（本题12分）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】(1)； (2)①或；②； (3) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； （2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或， 故答案为：或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； （3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为， 故答案为：． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．由7个相同的小正方体组成的一个几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有254000兆瓦，将数据254000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，是直径，是上一点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的个数是（    ）个 ①反比例函数中自变量的取值范围是； ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形又是轴对称图形． ③反比例函数的图象分布于第一、第三象限，y随x的增大而减小； ④点关于x轴和y轴的对称点都在反比例函数的图象上． A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 9．如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 10．如图，以为圆心的圆形跑道上，有三个起点A，B，C，设从到的跑道长为，从到的跑道长为，从到的跑道长为，则a，b，c的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．化简：__________． 12．因式分解：______． 13．为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是______． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 14．分式方程的解是______． 15．如图，在多边形中，，，则_________． 16．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是___． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）解不等式组： 19．（本题8分）为达到《国家学生体质健康标准》，提高学生身体素质，某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、排球、足球、跳绳、长跑（要求每位同学必须参加且仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 30 排球 m 足球 36 n 跳绳 18 长跑 12 请根据图表信息解答下列问题： (1)求频数分布表中的m和n的值； (2)求扇形统计图中，“足球”所在的扇形的圆心角的度数； (3)从喜爱长跑运动表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加区级中学生运动会比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20．（本题8分）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 21．（本题10分）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ (3)要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 22．（本题10分）如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，测得为，点到点、点的距离相等，、两地的距离为6千米．（参考数据：．） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）． 23．（本题12分）阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 24．（本题12分）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___。 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $