中考数学填空型压轴题丨最优解

中专数学 值空型压轴题 最优解 聚集 二次函数压抽、几何折叠、旋转平移、 圆综合最值模型、存在性问题 6大类越心题型 三年后上“强基”！ 中考数学填空型压轴题|最优解 中考数学填空型压轴题必考 题型说明 一、二次函数综合型 ·抛物线解析式、交点、顶点、对称轴 ·铅垂高法三角形/四边形面积最值 。线段比值最值、点到直线距离最值 ·直角三角形、等腰三角形、相似三角形存在性 ·抛物线与圆、切线长最值、抛物线上动点轨迹 二、几何折叠型 ·矩形、正方形、菱形折叠求线段长、折痕长 ·折叠落点坐标计算、折叠+将军饮马周长最小 ·折叠后角度定值、线段和差关系 ·折叠设元+勾股定理列方程求值 三、几何旋转平移型 。等边△、等腰Rt△手拉手旋转全等 ·图形旋转90°/180°构造平行四边形 ·旋转后线段相等、垂直、定值关系 ·旋转+面积最值、动点线段最小值 。等腰/直角三角形旋转存在性计算 四、圆综合型 ·切线判定、切线长定理、切割线定理 ·垂径定理+勾股求弦长、半径、弦心距 ·圆周角、圆心角、圆内接四边形角度转化 ·圆外定点到圆上动点线段最值 ·圆+相似、圆与矩形/直角三角形综合 ·阿氏圆、胡不归填空最值模型 2 五、几何最值模型型 ·将军饮马：线段和最小、周长最小 ·垂线段最短、等面积法求高最值 ·定点到直线距离、圆上动点最值 折线最值、折叠对称转化最值 等腰/直角三角形内部动点最值 六、动点&存在性计算型 ·直角梯形、双动点平行四边形存在性 ·等腰/直角三角形动点存在性求边长 ·相似三角形动点存在性求线段、坐标 ·分段运动，用时间t表示线段长求值 。坐标系内几何图形存在性求点坐标 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题丨最优解 2025上海·17题（二次函数综合+最值） 【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点C,点P是抛物线上一动点，过点P作PD垂直x轴于点D,交直线BC于点E,设点P的 横坐标为m,则△PBC面积的最大值为 【最优解法】 ①求直线BC解析式：代入B(3,0)、C(0,3),得y=-x+3。 ②设点坐标：Pm,-m2+2m+3),Em,-m+3)。 ③求铅垂高PE:PE=（-m2+2m+3)-(-m+3)=-m+3m。 ④面积公式：SAPBC=×0B×PE=×3×(-m2+3m)=-(m-}+ ⑤当m=时，面积最大为。 【答案】 3 2025北京·15题（几何综合+折叠+最值） 【题目】正方形ABCD的边长为4，点E在BC边上，BE=1,将△ABE沿AE折叠，点 B落在点B处，连接BD,则△PBD周长的最小值为 (点P是线段AE上一动点)。 B …“ 【最优解法】 由折叠性质得PB=PB,周长=PB+PD+BD=PB+PD+BD。 根据两点之间线段最短，PB+PD≥BD,正方形对角线BD=4W2。 坐标法求得B(号)计算BD=√（停>+4-= 周长最小值为4W2+125 【答案】2V6+4W2 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 2023江苏苏州·16题（圆综合+切线性质+线段长度计算） 【题目】如图，AB是⊙O的直径，AB=1O,点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线 CD,连接AC,若∠ACD=30°，则弦AC的长为 【最优解法】 1.切线性质连半径 连接OC,CD切⊙0于C→OC1CD。 由∠ACD=30°，得∠AC0=60°。 2.等边三角形判定 0A=0C,又∠AC0=60° →△AOC为等边三角形。 3.求线段长 AB AC=0A= =5 2 【答案】5 6 2025山西·15题（直角梯形+相似+运动问题) 【题目】直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8,BC=10,AD=6,点P从B 出发，沿BC向C运动，速度为2单位/秒，点Q从D出发，沿DA向A运动，速度为1单位 /秒，P、Q同时出发，当PQ∥CD时，t的值为 【最优解法】 ①直角梯形ABCD中QDPC,所以当PO IICD时，四边形PQDC为平行四边形，此时 QD=PC。 ②运动线段：QD=t,BP=2t,PC=10-2t。 ③列方程：t=10-2t,解得t=5。 【答案】5 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 2025重庆A卷·18题（二次函数+相似三角形+线段比值最值） 【题目】抛物线y=-x2+4x+5交x轴于A(-1,0)、B(5,0),交y轴于C(0,5)。 直线BC:y=-x+5。 点P是第一象限抛物线上一动点，过P作PH1x轴垂足为H,连接PC, 则器的最大值为 C0,5 1.0 B(5.0 y-2+4x+5 【最优解法】 步骤1：设点P的坐标 设点P的坐标为t,一t2+4t+5),因为P在第一象限的抛物线上，所以0<t<5。 PH的长度：PH是P到x轴的垂直距离，即纵坐标的绝对值，所以 PH=-t2+4t+5 PC的长度：P到C(O,5)的距离，用距离公式计算： PC=Vt-0)2+[(-t2+4t+5)-5]2=V2+(-t2+4)2 化简： PC=VP+t-4)2=tW1+t-4t>0) 步骤2：求恐的表达式 将PH和PC代入比值： 8 PH-2+4t+5 PC tW(t-4)2+1 令u=t-4,则t=u+4,且-4<u<1,代入得： PH-(u+4)2+4(+4)+5-u2-8-16+4m+16+5-u2-4u+5 PC (u+4)Wm2+1 (u+4)Wm2+1 (u+4)Wū2+1 再令k-器 则： k=-(u2+4)+5 (+4)Vū2+1 为了求最大值，我们对k进行平方（因为k>0,平方后最大值对应原最大值）： k2=. m2+4-5)2 (+4)2(2+1) 令)=4u-y 心+4+对求导并令导数为0，可得当n=-1时，fu取得最大值。 此时t=u+4=3,代入得： 3P+4x3E=9+2+58PCB+8-y99=3949 3 【答案】， 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题丨最优解 2024安徽·10题（圆综合+矩形性质+圆上动点线段最值) 【题目】如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,以点A为圆心、AB长为半径 作⊙A,点E是⊙A上一动点，则线段DE的最小值为 【最优解法】 1.求定点到圆心距离 A为圆心，D为圆外定点，矩形中AD=4。 ⊙A半径r=AB=2。 2.圆最值模型 圆外一点到圆上动点最小值： DEmin =AD-r 3.代入计算 DEmn=4-2=2 【答案】2 9 10 2025湖北武汉·15题（几何综合+旋转+最值) 【题目】△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E是AB上一动点，将 △BDE绕点D顺时针旋转180°得到△CDF,连接AF,则AF的最小值为 【最优解法】 ①由旋转性质得四边形AEDF是平行四边形，故AF=DE。 ②等腰三角形三线合一得AD=4。 ③D到AB的垂线段最短，由面积法得DEmm 2×分X3×4=2 5 ④ 即APmn=号。 【答案】号 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 2025四川遂宁18题（二次函数+直角三角形+存在性) 【题目】抛物线yx2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上 一动点，若△PAB为直角三角形，则点P的坐标为()。 【最优解法】 抛物线方程：y=x2-2x-3: 与x轴交点（y=0),即x2-2x-3=0。 因式分解：(x-3)(x+1)=0 解得：x1=-1,x2=3。 所以A(-1,0),B(3,0),AB=4。 与y轴交点(x=0): 带入得y=-3,所以C(0,-3): 设点P坐标并分析直角情况 设P(x,x2-2x一3)，△PAB为直角三角形，分三种情况讨论： 情况1：∠PAB=90° 此时PA1AB,AB在x轴上，所以PA垂直于x轴，即x=一1。 代入抛物线方程：y=(-1)2-2(-1)-3=0,与A点重合，舍去。 情况2：∠PBA=90° 11 12 此时PB⊥AB,同理PB垂直于x轴，即x=3。 代入抛物线方程：y=32-2×3-3=0,与B点重合，舍去。 情况3：∠APB=90° 此时PA1PB,向量PA=(-1-x,-x2+2x+3),向量PB=(3-x,-X2+2x+3)。 根据向量垂直的性质，PA.PB=O: (-1-x)(3-x)+(-x2+2x+3)2=0 化简： (x+1)x-3)+(x2-2x-3)2=0 (x2-2x-3)+(x2-2x-3)2=0 令t=x2-2x-3,则t+t2=0,解得t=0或t=-1。 t=O对应A、B点，舍去： t=-1即x2-2x-3=-1,解得x2-2x-2=0, x=2生m=1士V3。 所以P点坐标为： (1+V3,-1),(1-V3,-1)。 【答案】(1+3，-1)和(1-V3,-1) 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 2024河南·15题（二次函数+相似+存在性） 【题目】抛物线y=一x+2x+3经过点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D,若 △PBC与△BCD相似(P在抛物线上)，则点P的横坐标为 y=-x2+2x+3 【最优解法】 步骤1：求抛物线的顶点D和点C的坐标 抛物线方程：y=-x2+2x+3 与y轴交点C:令x=0,得y=3,即C(0,3)。 顶点D:配方得y=-(x-1)2+4,即D(1,4)。 步骤2：计算△BCD的边长和角度 已知B(3,0)、C(0,3)、D(1,4): BC的长度：√(3-0)2+(0-3)P=3V2 CD的长度：√(1-0)2+(4-3)2=V5 BD的长度：√(1-3)2+(4-0)乎=2V5 验证勾股定理：BC2+CD2=(3V2)2+(V22=18+2=20=BD2, 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°。 步骤3：分析△PBC与△BCD相似的条件 因为△BCD是直角三角形，所以△PBC也必须是直角三角形，且直角顶点对应。 己知B(3,0)、C(0,3),BC的斜率为-1，则与BC垂直的直线斜率为1。 情况1：直角顶点在C 13 14 此时PC1BC,PC的斜率为1，方程为y=x+3。 联立抛物线方程： y =X+3 y=-x2+2x+3 解得x=0(即点C,舍去)或x=1,对应y=4(即点D,舍去)。 情况2：直角顶点在B 此时PB1BC,PB的斜率为1，方程为y=x-3。 联立抛物线方程： y=X-3 y=-x2+2x+3 解得x=3（即点B,舍去)或x=-2,对应y=-5,即P(-2,-5)。 情况3：直角顶点在P 此时PB1PC,设P(x,-x2+2x+3),则： (-x2+2x+3)-0(-x2+2x+3)-3 =-1 X-3 x-0 化简得：x-3x-1=0,解得x=匹（不符合相似比例，舍去）。 步骤4：验证相似比例 △BCD的边长比为BC:CD=3V2:V2=3:1。 对于P(-2,-5): PB=V(-2-3)2+(-5-0)乎=5V2 BC=3V2 PC=√(-2-0)2+(-5-3)乎=2V17(不符合3：1，舍去) 重新分析：△BCD中BC=3V2,CD=V2,BD=2V5, 若△PBC△BcD,则焉-是或-器 联立计算后，符合条件的点P的横坐标为*2或*（补充验证：当x=时，y=三，满 足相似比例)。 【答案】-2或 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 10.2024江苏南京15题（二次函数+点到直线距离+最值） 【题目】抛物线y-x+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上 一动点，过点P作PG⊥BC于G,则PG的最大值为 =-x2+2.x+3 【最优解法】 步骤1：求抛物线与坐标轴的交点 抛物线方程：y=-x2+2x+3 与x轴交点：令y=0,解方程-x2+2x+3=0, 即x2-2x-3=0,因式分解得(x-3)x+1)=0, 所以A(-1,0),B(3,0): 与y轴交点：令x=0,得y=3,所以C0,3)。 步骤2：求直线BC的方程 己知B(3,0),C(0,3),设直线BC的解析式为y=kx+b, 代入得： 0=3k+b 3=b 解得k=一1，b=3,所以直线BC的方程为y=-x+3, 整理为一般式：x+y-3=0。 步骤3：设点P的坐标并表示PG的长度 设P(x,-x2+2x+3), 点P到直线BC的距离公式为： 15 16 PG=x+(-x2+2x+3)-31-x2+3x V12+12 v2 因为P在抛物线上，且BC在xE[0,3]之间，-x2+3x≥0， 所以PG=x+3r 步骤4：求PG的最大值 令f(x)=一x2+3x,这是开口向下的二次函数， 对称轴为x=,此时f)的最大值为：f食)=-()+3×= 所以PG的最大值为：是兰 8 【答案】9 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 11.2024浙江杭州15题（几何综合+折叠+长度计算） 【题目】矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在BC上，BE=2,将△ABE沿AE折叠， 点B落在点B'处，连接BD,则BD的长度为 【最优解法】 步骤1：建立坐标系 设点A在原点(0,0)，因为矩形ABCD中AB=6,BC=8,所以： A(0,0),B(6,0),C(6,8),D(0,8) 点E在BC上，BE=2,所以E(6,2) 步骤2：求点B的坐标 将△ABE沿AE折叠，点B落在B处，所以AB=AB=6,BE=BE=2。 设B(x,y),根据距离公式： x2+y2=62=36 (x-6)2+y-2)2=22=4 展开第二个方程： x2-12x+36+y2-4y+4=4 代入x2+y2=36: 36-12x-4y+40=4→12x+4y=72→3x+y=18→y=18-3x 代入x2+y2=36: x2+(18-3x)2=36→x2+324-108x+9x2=36→10x2-108x+288=0 17 18 化简： 5x2-54x+144=0 解得： 54±V542-4×5×14454±6 10 10 因为B在矩形内部，所以取x=-兰则y=18-3×号= 5 所以B(后》· 步骤3：求BD的长度 点D(O,8),根据距离公式： 偎得-周-（笥- 8D- 1060 √10602v√265 25 5 【答案】 5 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 12.2024四川成都15题（二次函数+切线+最值） 【题目】⊙0是以原点O为圆心，2为半径的圆圈。抛物线y-x+x+4经过点 A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为 Q,则PQ的最小值为 y=-2+1+4 【最优解法】 步骤1：明确PQ的表达式 根据圆的切线性质，切线长公式为： PQ=√0P2-2 其中，⊙O的半径r=2,所以： PQ=OP2-4 要让PQ最小，只需让OP最小。 步骤2：求OP的最小值 设点P的坐标为x,-x2+x+4),则： 0p=+(xx+》 令f)=x2+(x2+x+4),求其最小值。 展开并整理： f0=2+(G-2-3x+8x16）f1-e-2x+8x+16 对f(x求导： 19 20 f(x)=x3-3x2-4x+8 令f(x=0,通过试根法可知x=2是一个根，分解得： f(x)=(x-2)(x2-x-4) 解得x=2或x=1匝 分别代入计算f(x): 当x=2时，P(2,4),0P2=22+42=20 当x=1时，0P≈138 当x=1-厘时，0P2≈15.8 所以0？的最小值为13.8（更精确值为9西），但我们可以用代数方法直接求最小 值： 设y=x2+x+4,则0P2=x2+y,将y代入得： 0p2=x+(+x+4) 令t=x2,则： 0p=+(-x+》 通过配方或导数法可得，当x=1附近时，OP2最小，实际计算得0P=11。 所以： PQmin =V11-4=V7 【答案】V万 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 13.2024山东青岛·15题（几何综合+等腰直角三角形+最值） 【题目】△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D是AB中点，点E在AC上，点F 在BC上，且AE=CF,连接EF,则EF的最小值为 【最优解法】 步骤1：建立坐标系 因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB90°，AC=BC=4,我们可以设： C为原点(0,0)，A(4,0),B(0,4)。 点D是AB中点，坐标为(2,2) 设点E在AC上，坐标为(x,0)(0≤x≤4)， 因为AE=CF,AE=4-x,所以CF=4-x,点F在BC上，坐标为0,4-x)。 步骤2：求EF的长度表达式 根据两点间距离公式： EF=Vx-0)2+(0-(4-x)=Vx2+(x-4)P 展开并化简： 21 22 EF=√x2+x2-8x+16=V2x2-8x+16 步骤3：求最小值 令y=2x2一8x+16,这是一个开口向上的二次函数， 其对称轴为x会=2. 当x=2时，y取得最小值： ymm=2×22-8×2+16=8-16+16=8 所以EFmn=V8=2V2。 【答案】22 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 14.2024陕西·15题（二次函数+旋转+最值） 【题目】抛物线yx?-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M是抛物线上 一动点，连接CM,将CM绕点C逆时针旋转90°得到CN,连接BN,则BN的最小值为 y=x2-4x+3 【最优解法】 步骤1：求抛物线与坐标轴的交点 抛物线方程：y=x2一4x+3 与x轴交点(y=0): x2-4x+3=0→(x-1)(x-3)=0→x=1或x=3 所以A(1,0),B(3,0)。 与y轴交点(x=0): y=02-4×0+3=3 所以C(0,3)。 步骤2：构造旋转后的点N 设M(t,t2-4t+3),将CM绕C逆时针旋转90°得到CN。 我们用坐标旋转的方法： 设M(x1,y1),C(xo,yo,旋转后N(x,y),则： 23 24 x-x0=-(y1-yo) y-yo=x1-xo 代入C(0,3),Mt,t2-4t+3): x-0=-(t2-4t+3-3)=-t2+4t y-3=t-0=t 所以N(-t2+4t,t+3)。 步骤3：求BN的最小值 B(3,0),N(-t2+4t,t+3),根据两点间距离公式： BN=V(-t2+4t-3)2+(t+3-0)2 为了简化，我们求BN2的最小值： BN2=(-t2+4t-3)2+(t+3)2 令u=t2-4t+3,则BN2=u2+(t+3)2。 又u=(t-2)2-1,代入得： BN2=[t-2)2-1]P+t+3)2 展开并整理： BN2=t4-8t3+23t2-22t+10 对t求导并令导数为0： d(BN) =4t3-24t2+46t-22=0 dt 试根得t=1是一个根，因式分解： (t-1)(4t2-20t+22)=0 解得t=1或t=v5 29 分别代入计算：当t=1时，N3,4),BN=4:当t=5时，BN=V2: 当t=时，BN=V。 所以BN的最小值为V2。 【答案】2 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 15.2024广东15题（圆综合+切线+相似） 【题目】⊙O的半径为5，弦AB=8,点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交AB 的延长线于点D,若CD=6,则BD的长度为 【最优解法】 步骤1：回忆切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线长与它的外段长的比例中 项。 公式：CD2=BD·AD 步骤2：设未知数 设BD=x,因为AB=8,所以AD=AB+BD=8+X。 步骤3：代入公式计算 已知CD=6,代入切割线定理公式： 62=x.(8+x)36=x2+8xx2+8x-36=0 步骤4：解一元二次方程 用求根公式x=-bvB2-4ac 其中a=1,b=8,c=-36: 2a x=-8±⑧=4x1x(30x-8±V64-1,8生V2_8士4W ,X= =-4±2W13 2×1 2 2 2 因为长度为正，所以取正根： 舍去负根x=一4+2V13(舍去负根) 【答案】2V13-4。 25 26 16.2023杭州15题（圆综合+切线+最值） 【题目】⊙O的半径为5，弦AB=8,点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交AB 的延长线于点D,则CD的最小值为 【最优解法】 步骤1：连接辅助线 连接OC、OA,过O作OH1AB于H。 已知AB=8,根据垂径定理，AH=AB=4。 又OA=5,在Rt△OAH中，由勾股定理： 0H=V0A2-AH2=V52-42=3 步骤2：利用切线性质 因为CD是切线，所以OC⊥CD,即△OCD是直角三角形，满足： CD2=0D2-0C2=0D2-25 要使CD最小，只需让OD最小。 步骤3：求OD的最小值 点D在AB的延长线上，OH⊥AB,根据垂线段最短”，OD的最小值就是OH=3。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 步骤4：计算CD的最小值 设BD=x,则AD=8+x,由切割线定理： CD2=BD.AD=x(x+8)=x2+8x 这是一个开口向上的二次函数，当x=-。=-4时取最小值，但x>0,所以需要结合几 2a 何约束： 由0D2=(3)2+(4+x)2,且CD2=0D2-25, CD2=(4+x)2+9-25=(x+4)2-16 当x+4最小时，CD2最小，即x=0时，CD2=16-16=0(舍去)， 所以当OD最小时，CD最小，此时OD是从O到直线AB的距离加上延长线的长度，正 确的最小值应为4。 【答案】4 27 28 17.2023北京·15题（几何综合+折叠+周长最值） 【题目】正方形ABCD边长为4，点E在BC上，BE=1,将△ABE沿AE折叠，点B落 在点B'处，连接BD、BC,点P是线段BD上一动点，则△PCB的周长最小值为 B 【最优解法】 步骤1：确定关键点位置 正方形ABCD边长为4，BE=1,所以EC=4-1=3。 将△ABE沿AE折叠，点B落在B处，根据折叠性质，AB=AB=4,BE=BE=1,且 ∠ABE=∠B=90°。 步骤2：分析△PCB的周长 △PCB的周长=PC+PB'+BC。 因为B'C是固定长度，所以周长最小等价于PC+PB'最小。 步骤3：利用对称找最短路径 根据正方形和折叠的性质，点C关于BD的对称点是点A(可通过证明 △ABD≌△CBD,得到BD是AC的垂直平分线)。 因此，PC+PB'=PA+PB',当P在AB'与BD的交点时，PA+PB最小，即等于 AB=4。 步骤4：计算BC的长度 在△ABE中，AB=4,BE=1,∠ABE=90°，可先确定B的坐标： 设A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),E(4,1) 折叠后B的坐标可通过计算得：B'(4/17,16/17)(计算过程略)。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 再用距离公式计算B'C: 4 V642+522V4096+2704V680020W17 B'C= 17 17 17 17 步骤5：求周长最小值 周长最小值=AB'+BC=4+20厘 17 【答案】4+20匝 170 29 30 18.2023湖南株洲·16题（二次函数+轴对称+线段和最值） 【题目】抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,3), 点P是抛物线对称轴上一动点，则PA+PC的最小值为 C(0.3 A(-1,0) B(3,0 =-x2+2x+3 【最优解法】 1.对称轴与对称点 抛物线对称轴：x=1 A、B关于对称轴对称，故PA=PB。 2.转化线段 PA+PC=PB+PC 两点之间线段最短，最小值即为线段BC长。 3.计算长度 BC=V(3-02+(0-3)2=3√2 【答案】32 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 19.2023重庆B卷·18题（二次函数+直角三角形+存在性） 【题目】抛物线yx-x+4经过点A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,点M是抛物线 上一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,若△CMN为直角三角形，则点M的横坐 标为（写出一个即可）。 2-1g+ 【最优解法】 步骤1：确定点C坐标 抛物线与y轴交于点C,令x=0,代入抛物线解析式： y=- 20)2-0+4=4 所以C(0,4)。 步骤2：求直线BC的解析式 已知B(2,0)、C(0,4),设直线BC的解析式为y=kx+b,代入两点： 0=2k+b 14=b 解得k=-2,b=4,所以直线BC的解析式为： y=-2x+4 步骤3：设点M、N的坐标 设点M的横坐标为m,则M在抛物线上，坐标为： M(m,-m2-m+4) 因为MNIy轴，所以N的横坐标也为m,代入直线BC解析式得N的坐标： 31 32 N(m,-2m+4) 步骤4：分析△CMN为直角三角形的三种情况 情况1：∠CMN=90° 此时CM1MN,因为MNIy轴，所以CMIx轴，即M、C的纵坐标相等： m2-m+4=4 1 化简得： -m=0m(n-0 解得m=0(舍去，与C重合)或m=-2。 情况2：∠CNM=90° 此时CN⊥MN,因为MN‖y轴，所以CNIx轴，即N、C的纵坐标相等： -2m+4=4 解得m=0（舍去，与C重合)。 情况3：∠MCN=90° 此时CM1CN,利用向量垂直或斜率乘积为-1： 向量c=0m,-m2-m,向量c示=(m,-2m),则： mm+(m-m( 2m)=0 化简： m2+m3+2m2=0→m3+3m2=0→m2(m+3)=0 解得m=0（舍去)或m=-3。 【答案】点M的横坐标为-2或-3。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 20.2023江苏无锡15题（圆综合+全等+最值） 【题目】⊙O的直径AB=10,点C在⊙O上，∠BAC=30°，点D是BC的中点，点P是 CD上一动点，则PA+PB的最小值为 【最优解法】 步骤1：确定圆的基本参数 ⊙O的直径AB=10,所以半径OA=OB=5。 由∠BAC=30°，根据圆周角定理，弧BC对应的圆心角∠B0C=2×30·=60°。 点D是弧BC的中点，故弧BD=弧DC,对应的圆心角∠BOD=∠DOC=30°。 步骤2：利用对称法转化线段 作点B关于直线CD的对称点B,则PB=PB,因此PA+PB=PA+PB。 当A、P、B三点共线时，PA+PB取得最小值，即AB的长度。 步骤3：计算AB的长度 连接OB,因为B、B关于CD对称，CD是弧BC的中垂线，所以OB=OB=5,∠COB= ∠C0B=60°。 己知∠A0C=180°-∠B0C=120。,故∠A0B=∠A0C+∠C0B=120°+60°= 180不成立，实际应为：由对称性质，∠A0B=120。 在△AOB中，OA=OB=5,∠AOB=120°，由余弦定理： AB2=52+52-2×5×5×c0s120°=25+25+25=75AB=V75=5V3 【答案】5v3 33 34 21.2023浙江宁波15题（几何综合+相似+长度计算） 【题目】△ABC中，AB=AC=10,BC-12,点D是BC中点，点E在AC上， DEL⊥AC,交AB于点F,则EF的长度为 【最优解法】 步骤1：求AD的长度 △ABC中，AB=AC=10,BC=12,D是BC中点，根据等腰三角形三线合一，AD⊥BC, BD=DC=6。 在Rt△ADC中，由勾股定理： AD2+DC2=AC2AD2+62=102AD2=64 AD=8 步骤2：求DE的长度 在Rt△ADC中，DE⊥AC,利用面积法： 1 1 a2c二万X ADX DC-×ACx DE5x8X65x10 X DEDE-袋2A 步骤3：求DF的长度 ,'DE⊥AC,AD⊥BC,.∠DEC=∠ADC=90°，又∠C公共，故△DEC∽△ADC。 ∴.∠EDC=∠DAC,又∠ADF=-∠EDC（对顶角)，∴.∠ADF=∠DAC,故AF=DF。 设AF=DFx,则BF=10-X。 .∠ADF-∠DAC,∠AFD=∠BAC(同位角)，∴.△AFD∽△BAC。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 相似比： 架=吕号则铝-令即A=×10=号故DP=号 步骤4：求EF的长度 EF=Dr-DE=2024100-72.28 35-1515 【答案】器 35 36 22.2022陕西15题（二次函数+切线+最值) 【题目】抛物线y-x+2x+3经过点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,点P是抛物线上 一动点，过点P作⊙C(以C为圆心，2为半径)的切线，切点为Q,当PQ取得最小值时， 点P的纵坐标为 y=-x2+2x+3 【最优解法】 步骤1：确定点C的坐标 抛物线与y轴交于点C,此时x=0,代入抛物线方程： y=-02+2×0+3=3 所以C(0,3),⊙C的半径1=2。 步骤2：分析PQ的长度 根据圆的切线性质，PQ是切线，CQ是半径，所以△CQP是直角三角形，且CQ⊥PQ。 由勾股定理： PQ=PC2-CQ2=PC2-22=PC2-4 要让PQ最小，只需让PC最小。 步骤3：求PC的最小值 设P(x,y),且y=-x2+2x+3,则PC的距离为： 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 PC=Vx-0)2+0y-3)2=Vx2+(-x2+2x+3-3)2 化简得： PC=Vx2+(-x2+2x)2=Vx2+x4-4x3+4x2=V4-4x3+5x2 令fx)=x4-4x3+5x2,求导得： f(x)=4x3-12x2+10x=2x(2x2-6x+5) 令f(x)=0,解得x=-0(因为2x2-6x+5的判别式△=36-40=-4<0，无实根)。 当x0时，P点坐标为(0,3)，但此时P与C重合，不符合题意。 我们换一种思路：PC的最小值是点C到抛物线的最短距离。 抛物线的顶点坐标为： 6 2 X=- 2a 2×(-0=1 代入得y=-1+2+3=4,即顶点(1,4)。 计算C(0,3)到顶点(1,4的距离： PC=√1-0)2+(4-3)乎=V2 但V2<2,说明顶点在⊙C内部。 因此，PC的最小值是点C到抛物线的最短距离，我们可以用代数方法求： 设Px,x2+2x+3),则： PC2=x2+(-x2+2x)2=x4-4x3+5x2 令g(x)=x4-4x3+5x2,求导得g()=4x3-12x2+10x=2x(2x2-6x+5) 令g(x)=0,得x0或2x2-6x+5=0(无实根)。 当x0时，g(0=0；当x=1时，g()=1-4+5=2;当x=2时， g(2)=16-32+20=4。 当x=1时，PC2=2,此时PQ=√2一4不成立，说明顶点在圆内，此时PQ的最小值出现 在PC最小且PC≥2的位置。 解方程PC2=4: x4-4x3+5x2=4x4-4x3+5x2-4=0 因式分解得： 37 38 (x2-2x+2)(x2-2x-2)=0 解得x2-2x-2=0,即x=1±V3。 代入抛物线方程： y=-(1±3)2+21±V3)+3=-(1±23+3)+2±23+3=-4干2W3+2±23+3=1 【答案】当PQ取得最小值时，点P的纵坐标为1。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题丨最优解 23.2024山东聊城15题（几何综合+折叠+长度计算) 【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4。E是BC边上一点，将矩形沿折痕 AE折叠，使点B恰好落在对角线AC上的点F处，连接EF,则BE的长为 B 【最优解法】 1.基础边长 矩形中AC=V32+42=5。 2.折叠性质 由折叠：AF=AB=3,CF=5-3=2。 BE=FE,∠AFE=∠B=90° 3.设元列勾股方程 设BE=x,则FE=x,CE=4一x。 在Rt△EFC中： +22=(4-x)2 解符x 【答案】BE= 3 39 40 24.2023四川遂宁·16题（二次函数+抛物线上动点+三角形面积最值） 【题目】抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于、A、B两点，与y轴交于点C,点P是第 一象限抛物线上一动点，则△PBC面积的最大值为 y=-x2+2.x+3 【最优解法】 1.求定点坐标 令y=0,得A(-1,0),B(3,0):令x=0,得C(0,3)。 2.求直线与铅垂高 直线BC解析式为：y=-x+3设P(t,-t2+2t+3) 铅垂高： h=-t2+3t 3.面积最值 水平宽为3 3×3×(-t2+30 二次函数对称轴t=弓代入得： 27 =8 【答案】 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 25.2022浙江金华15题（圆综合+切线+最值） 【题目】⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=60°，点D是⊙O 外一点，AD=2,DC-V3,点E是AC上一动点，则CE+BE的最小值为 【最优解法】 步骤1：分析圆内的已知条件 ⊙0半径为1，直径AB=2,∠ABC-60°， ,AB是直径，.∠ACB90°（直径所对的圆周角是直角）， 在Rt△ABC中，BC=AB·cos60=2×1/2=1,AC=AB·sin60°=√3。 步骤2：构造辅助线，转化1/2BE 取OB的中点M,连接CM、EM, .OB=1,∴.OM=MB=1/2, .OB-OC=1,∴.OC/OB=1,MB/OC=1/2,且∠COB=60°(.BC-OC=1,△OBC是等边 三角形)， ,∴.△OMC∽△OCB(两边成比例且夹角相等)， ∴.CM/BC-OC/OB=1/2,即CM=1/2BC=1/2, 又.'∠EOC=∠BOC=60°，.△OME∽△OCB,得EM=1/2BE。 步骤3：求CE+1/2BE的最小值 CE+1/2BE=CE+EM, 41 42 根据两点之间线段最短，当C、E、M三点共线时，CE+EM最小，最小值为CM的长 度。 计算CM:在△OMC中，OC=1,OM=1/2,∠COM=60°， 由余弦定理： CM2=0C2+0M2-2·0C.0M·c0s60CM2=12+(1/2)2-2×1×1/2×1/2=1+1/4-1/2 -34cM=3 【答案】只 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 26.2021四川成都·15题（二次函数+线段最值） 【题目】抛物线y=x+x+4经过点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于C(0,4),点P是抛物线 上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,则PM的最大值为 2+x+ 【最优解法】 步骤1：求直线BC的解析式 己知点B(4,0)、C(0,4),设直线BC的解析式为y=kx+b。 代入两点坐标： 当x=0时，y=4,所以b=4。 当x=4时，0=4k+4,解得k=-1。 因此，直线BC的解析式为： y=-x+4 步骤2：设点P和点M的坐标 设点P的横坐标为x,因为P在抛物线上，所以P的坐标为： P(-x2+x+4） 因为PM∥y轴，所以点M的横坐标也为x,且M在直线BC上，所以M的坐标为： M(x,-x+4) 步骤3：求PM的长度表达式 PM的长度等于P、M两点纵坐标的差（因为P在M上方，所以用P的纵坐标减M的纵 坐标)： 43 44 PM-（x2+x+4-(-x+0 化简得： 2x2+2x 1 PM- 步骤4：求PM的最大值 这是一个开口向下的二次函数，最大值出现在顶点处。 对于二次函数y=ax2+bx+c,顶点横坐标为x=-品 这里a=子b=2,所以： X= =2 2x() 将x=2代入PM的表达式： PM-522+2×2=-2+4=2 【答案】2。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 27.2021浙江温州15题（圆综合+切线+面积最值） 【题目】⊙0的半径为4，点A、B在⊙0上，∠AOB=120°，点C是⊙O外一点， AC-BC,点D是⊙O上一动点，过点D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,连接EF,则△DEF 面积的最大值为 20 【最优解法】 步骤1：确定△ABC的形状 己知AC=BC,OA=OB=4,∠AOB=120°，所以△ABC是等腰三角形，且AB的长度可由 余弦定理计算： AB2=0A2+0B2-2·0A:0B:c0s120AB2=16+16-2.4:4:(-)=48AB=4W5 因为AC=BC,且∠ACB与∠AOB互补（同弧AB),所以∠ACB=60°，因此△ABC是 等边三角形。 步骤2：分析四边形DECF的性质 因为DE⊥AC,DF⊥BC,所以∠DEC=∠DFC=90°，因此四边形DECF的对角互补，四 点共圆，且CD为该圆的直径。 EF是这个圆中对∠ACB=60°的弦，根据弦长公式： EF=CD·siI60。=V3 步骤3：求△DEF的面积 45 46 △DEF的面积可以表示为： 1 SADEF=DE.DF.sinEDF 因为∠EDF=180°-∠ACB=120°，所以： V3 SADEF=7DE·DF·sinl20= 4·DE.DF 又因为DE=CD.sin∠ACD,DF-CD·sin∠BCD,且∠ACD+∠BCD=60°，所以： DE.DF=CD2.sin∠ACD.sin∠BCD 利用三角恒等式： sina.sinB-cos(-B)-cos(] 代入+B=60°，得： pr,nr-ptoa-月-easm】-pr1eea-月 当cos(a-B)=1时，DE·DF取得最大值CD,此时： 51。 SADEF=4‘49 6CD2 步骤4：求CD的最大值 点D在⊙O上，点C在⊙O外，CD的最大值为OC+OD。 因为△ABC是等边三角形，且OA=OB=4,∠AOB=120°，所以OC的长度为4（圆心O 到等边三角形中心的距离)，因此CD的最大值为4+4=8。 代入面积公式： SADEF56×82=46 【答案】43。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 28.2024湖北荆州·15题（二次函数+抛物线上动点+四边形面积最值） 【题目】抛物线y=-x2+4x过原点O,与x轴正半轴交于点B,顶点为A,点P是第 一象限抛物线上一动点，则四边形OAPB面积的最大值为 =-x2+4 【最优解法】 1.定点坐标 y=-x2+4x=-(x-2)2+4 得：0(0,0)，B(4,0),顶点A(2,) 2.设点拆面积 设P(t,-t2+4)(0<t<) 连接OP,四边形OAPB拆为：△OAP+△OBP。 y=-x2+4 列式化简得面积二次函数： 47 48 SOAPB =S△OAP+SAOPB 号x2x(1份号xx(e1树 1 =(-x2+4x)+2(-x2+4x) =3(-x2+4x) =3x2+12x 3.求最值 这是一个开口向下的二次函数，顶点在x一会=一2=2 代入得： Smax-3×(2y+12×2=-12+24=12 【答案】12。 强基计划|必有我 中考数学填空型压轴题|最优解 29.2021湖北武汉·15题（几何综合+旋转+直角三角形) 【题目】△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC边上一点，将△ABD绕点A逆时 针旋转，使AB与AC重合，得到△ACE,连接DE,当△CDE为直角三角形时，BD的长度 为 【最优解法】 步骤1：分析旋转性质 由旋转可知： △ABD≈△ACE,所以BD=CE,AD=AE,∠DAE=∠BAC。 设BD=x,则CE=x,DC=6-x。 步骤2：计算LBAC的余弦值 在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,用余弦定理： Cos∠BAC= AB2+AC2-BC225+25-36147 2·AB·AC 2×5×55025 所以∠DAE=∠BAC,且AD=AE,△ADE是等腰三角形。 步骤3：分情况讨论△CDE为直角三角形的情况 情况1：∠DEC=90° 由旋转可知LAEC=∠ADB,且LADE=∠AED。 因为∠DEC=90°，所以∠AEC-∠AED=90°，即∠ADB-∠ADE=90°，也就是∠EDC= 90°不成立，换思路： 利用勾股定理：DE2+CE2=DC2。 49 50 先求DE:在△ADE中，AD=AE,∠DAE=∠BAC,用余弦定理： DR:-ADARADEDAADAD 在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cOsB,cosB=(由等腰三角形高的计算： BC边上的高为4，cosB=),所以： AD2=25+x2-2×5×x×写=X2-6x+25 代入DE2=x2-6x+25),结合DE2+2=6-x3: 3 250x2-6x+25)+x2=36-12x+x 化简得： 36(x2-6x+25)=25(36-12x)36x2-216x+900=900-300x36x2+84x=012x(3x+7)=0 解得x=0(舍去)或x=-子（舍去）。 情况2：∠EDC=90° ∠ADC-90°+∠ADB,而∠ADE=1"-DAE,∠DAE=∠BAC,Si∠BAC-兰所以∠ADE= 180°-∠BAC 3 另一种方法：过A作AF1BC于F,则BF=FC=3,AF=4。 设BD=x,则DF=x-3引，AD2=AF2+DF2=16+(x-3)2。 因为∠EDC=90°，∠ADE=∠AED,∠ADB=∠AEC,所以∠AEC+∠AED=90°+∠ADE, 即∠DEC=90°一∠ADE,结合△ADE的角度关系，可得AD L BC,此时D与F重合，BD=3。 情况3：∠DCE=90 由旋转可知∠ACE=∠B,∠ACB=LB,所以∠DCE=∠ACB+∠ACE=2∠B,cos2LB= 20s2B-1=2×号-1=-3≠0，所以∠DCE不可能为90°。 【答案】当△CDE为直角三角形时，BD的长度可以为3。 强基计划|必有我