高考数学次压轴题丨最优解

高考数学 船答型沉压轴题 最优解 高创新性+高综合性+高思维量 我要上“强基”！ 新高考数学次压轴题1最优解 新高考数学次压轴题丨最优解 一、高考数学次压轴题核心特征 次压轴题的命题设计严格遵循“入口宽、出口窄、梯度明、重通法、考素养”原则，核心 特征分5个维度详细阐述，其中圆锥曲线综合题占比95%以上（导数多为压轴题，仅少数文 科/自主命题卷将简单导数放于次压轴)，是绝对主流考点。 1.题型定位与模块分布 核心模块：圆锥曲线的方程与性质综合（椭圆、抛物线为主，双曲线占比<10%，因双 曲线运算复杂度高，高考控制难度)，涵盖定点定值、最值范围、面积问题、存在性问题、 证明类问题（如垂直、共线、角相等)。 小众模块：文科卷偶尔出现导数基础应用（不含隐零点进阶、放缩，仅单调性/极值/最 值+简单不等式)、立体几何翻折/空间向量综合（仅2021全国甲卷文科）、自主命题卷少量 数列与不等式综合，均为低运算量、重逻辑的类型。 卷型差异：新高考I卷、全国甲/乙卷理科全为圆锥曲线：全国甲/乙卷文科90%为圆锥 曲线，10%为导数/立体几何，运算量显著低于理科。 2.考查能力 次压轴题的命题核心是考查数学运算、逻辑推理、直观想象三大核心素养，其中数学运 算为第一核心（占比70%)： 运算求解能力：韦达定理设而不求、弦长/面积公式的代数化简、含参函数的最值求解 (基本不等式/导数)、参数的范围讨论： 逻辑推理能力：几何条件（如垂直、中点、共线、定点）转化为代数等式（向量数量积 为0、中点坐标公式、斜率相等)、分类讨论（直线斜率存在/不存在）： 直观想象能力：数形结合分析曲线与直线的位置关系、特殊点（焦点、顶点、定点）的 几何特征、利用曲线对称性简化运算。 1 3.解题思维共性 次压轴题的最优解法均遵循数形结合→几何条件代数化→设而不求→函数化求解”的固 定思维链，核心是“先几何简化，再代数运算”，避免直接硬算： 1.第一步：画几何图形，标注曲线参数(a/b/c/p)、焦点/定点/定直线坐标，分析直线与 曲线的位置关系： 2.第二步：将几何条件（如垂直、中点、共线）转化为代数等式/向量关系，确定解题切 入点： 3.第三步：设直线方程（斜率存在设y=kx+,斜率不存在单独讨论），联立曲线方程， 利用韦达定理设而不求（保留x1+x2、x1x2,不求解单个X1x2); 4.第四步：将代数等式代入韦达定理，化简得到核心函数/等式（如关于k的一次/二次函 数、不含k的定值等式)； 5.第五步：针对问题求解（定点定值验证、基本不等式/导数求最值、分类讨论参数范 围)。 复杂计算+严谨推理+熟练程度 2 新高考数学次压轴题1最优解 1题2025新高考I卷椭圆综合（定点定值+三角形面积最值） 题目 己知椭圆离心率e=且过点(2，)，直线过左焦点P交椭圆于、A、B,P在椭圆上且满 足OP=20A-OB,OP交x=4于Q,证明Q在定圆上并求△0AB面积最值 解题技巧 ①设而不求（韦达定理）； ②向量坐标转化； ③换元法求分式函数最值： ④斜率不存在单独讨论 最优解法： 1.第一问 设椭园标准方程+岁=1，由e--分a2=62+c2、过点(2，)，联立得a2=4, b2=3: 2.第二问 ①设ky=k(x+1),联立椭圆得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,得韦达定理x1+ 3x-是 8k2 3+4k2: 3 ②由向量得P(2x1-x2,2y1-y2),代入椭圆方程结合韦达定理消参后验证P在椭圆上 (恒成立)，求kP=最 得0P方程交x=4得Q(4,),证明Q在以F2(1,0)为定点的定圆上： ③弦长AB|= 12(1+k2) 3+4k2, 点0到l距离d=M, 方s=6422,令t=3+2t≥3)， 换元后用基本不等式求最值。 参考答案： 第一问 椭圆方程为+号=1： 第二问 ①Q在以F2(1,0)为定点的定圆上： ②△OAB面积最大值为3（当k=±时取得）。 易错点 ①忽略直线斜率不存在的特殊情况； ②向量转化P点坐标时代数错误； ③换元后忘记参数t的取值范围； ④弦长公式中漏乘V1+k2 复杂计算+严谨推理+熟练程度 4 新高考数学次压轴题1最优解 2题·2025新高考Ⅱ卷抛物线综合（垂直证明+定点问题） 题目 以原点为顶点的抛物线过点(1,2)且准线为x=一1，直线过M(4,0)交抛物线于A、B,过 A、B作抛物线的切线交于P,连接P与抛物线的焦点F,证明PF1AB并求满足IQA=|QBI的 定点Q。 (1,2) M(4,0) 解题技巧 ①抛物线切线公式直接应用： ②设直线为x=my+4避免斜率不存在讨论； ③韦达定理求切点P坐标： ④中垂线方程求定点 最优解法 1.第一问 由抛物线定义得p=2,得方程y2=4x; 2.第二问 5 ①由切线公式得l1:yy=2(x+x)、l2:y2y=2(x+x),联立得P(,”): ②设：x=my+4,联立抛物线得y2-4my-16=0,韦达定理得y1+y2=4m, y1y2=-16,得P(-4,2m): ③计算kpe=-,k4B=点数量积为0证明垂直； ④求AB中垂线方程，令y=0得定点Q坐标。 参考答案： 第一问 抛物线方程为y2=4x: 第二问 ①PF L AB得证： ②满足IQA=IQBI的定点Q为(6,0)。 易错点 ①记错抛物线切线公式： ②未用x=my+4导致斜率不存在漏解； ③计算PF和AB斜率时代数化简错误： ④中垂线方程令y=0时求解错误 复杂计算+严谨推理+熟练程度 6 新高考数学次压轴题1最优解 3题·2025全国甲卷理科椭圆综合（弦长最值+存在性问题） 题目 以原点O为中心的椭圆过点(3,0)且离心率e=子，直线过原点交椭圆于M、N,I过F2且 L1交椭圆于、P、Q,求MNI·PQI的最大值并判断是否存在k使四边形MPNQ为正方形 3.0 解题技巧 ①设而不求（韦达定理)； ②弦长公式统一参数： ③换元法转化高次函数； ④正方形的几何条件代数化（边长相等+垂直） 最优解法： 1.第一问 设椭圆标准方程，由a=3、e==得c=2,b2=5, 得椭圆方程： a 2.第二问 ①设上y=kx,1:y=-c-2),分别联立椭圆得MN=5+ 10Vk2(1+k② V√5+9k2 ,PQ1= V5k2+9 ②令t=k2+1t≥1)，得MN1·PQ1=60N5·5+南” 用导数求最大值；③由正方 形条件MN=PQ,解方程得k=±雪，判断存在性。 参考答案： 7 第一问 椭圆方程为号+二 5 =1; 第二问 ①MN·PQI的最大值为5，画（当k=士1时取得）： 2 ②存在k=土T使四边形MPNQ为正方形。 易错点 ①的斜率设为-时忽略k=0的特殊情况： ②弦长公式计算时漏乘V1+k: ③求最值时未验证导数的极值点是否为最值点； ④正方形条件仅考虑垂直忽略边长相等 复杂计算+严谨推理+熟练程度 8 新高考数学次压轴题1最优解 4题·2025·全国甲卷文科导数基础综合（单调性+最值+不等式证明） 题目 已知函数f(x)=x-ax2+x(aER),求f)的单调性并证明当0<a<2时，f()> 0在(0，+∞)恒成立 解题技巧 ①二次求导分析导函数的单调性； ②隐零点代换求函数最值； ③分类讨论参数a的取值范围； ④利用单调性判断函数符号 最优解法： 1.第一问 求导f)=nx-2ax+2,令g()=f),求导g)=2,分a≤0、0<a<号 a≥讨论g(x)的单调性，进而得f(x)的单调性： 2.第二问 由0<Q<2得f()在(0，xo)递减，(o,+o)递增，fx)mn=fxo),由f(o)=0得 x=2a0-2,代入得fxo)=xo(ax-1),由x,>是>2得fxo)>0,得证。 参考答案： 第一问 ①a≤0时，f(x)在(0，xo)单调递减，(xo,+∞)单调递增(x为f(x)的唯一零点)； ②0<a<时，f()在(0,2a)单调递增，（元，+∞）单调递减：③a≥时，fx)在(0，+ ∞)单调递减： 第二问 当0<a<时，f(x)>0在(0，+o)恒成立得证。 9 易错点 ①一次求导后直接判断符号，未二次求导分析导函数； ②隐零点代换时遗漏lnxo=2axo一2的转化： ③分类讨论a时遗漏a≤0的情况： ④证明f(x)>0时未找到函数的最小值点 复杂计算+严谨推理+熟练程度 10 新高考数学次压轴题1最优解 5题2024新高考I卷椭圆综合（中点弦+面积和范围） 题目 以原点O为中心的椭圆过A(0,1)和另一点(V2,0),B在椭圆上且B≠A,M为AB中点，直 线过M且L1AB交椭圆于P、Q,求△APQ与△BPQ的面积之和的范围 A(0,1) (2,0) 解题技巧 ①点差法分析中点弦的斜率关系： ②设而不求（韦达定理）求弦长： ③距离公式转化点到直线的距离：④利用中点性质简化面积计算 最优解法 1.第一问 由椭圆过A(0,1)和（√2,0），直接得a2=2,b2=1,椭圆方程： 2.第二问 ①设B(1y),得M(受，)，由点差法得kAB·koM=-分 ②设：y=kx+m,联立椭圆得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得弦长|PQ: ③由中点性质得点B到l的距离为点A到l距离的3倍，得总面积S=2d1·PQ儿：④转化为 关于k的函数，结合△>0求面积范围。 11 参考答案 第一问 椭圆方程为号+y2=1; 第二问 △APQ与△BPQ的面积之和的范围为（经，）。 易错点 ①点差法时遗漏椭圆的核心斜率关系： ②计算两个三角形面积时重复计算距离： ③弦长公式中未验证判别式△>0： ④求范围时未结合参数的取值范围 复杂计算+严谨推理+熟练程度 12 新高考数学次压轴题1最优解 6题·2024新高考Ⅱ卷抛物线综合（焦点弦+定值证明+最值） 题目 以原点O为顶点的抛物线过点(2,1)，直线过焦点F交抛物线于A、B,过A、B作准线的 垂线，垂足为分别为A1、B1,证明A1F1B1F并求△OA1B1的面积最值 (2,1) 解题技巧 ①抛物线定义转化焦点弦长： ②斜率之积为-1证明垂直： ③韦达定理求垂足坐标： ④直接利用准线性质求面积 最优解法 1.第一问 设抛物线x2=2py,代入点(2,1)得p=2,得方程x2=4y: 2.第二问 ①设：y=kx+1,联立抛物线得x2-4kx-4=0,韦达定理得x1+x2=4k,x1x2=- 4,焦点弦AB|=4(1+k2),|A1B1=x1-x2l=4V1+k2; ②得A1c,-1、B1(,-1),计算k=-子k=一子斜率之积为-1证明垂直： X2 ③△0AB1的底边A1B1在y=-1上，高为原点到y=-1的距离1，故S=2A1B1·1, 13 求最值。 参考答案： 第一问 抛物线方程为x2=4y: 第二问 ①A1F1B1F得证； ②△OA1B1的面积最小值为2（当k=0时取得），无最大值。 易错点 ①忘记抛物线的准线方程和定义： ②计算、A1F、B1F的斜率时坐标代错； ③证明垂直时未考虑斜率不存在的情况： ④求面积时遗漏准线到x轴的距离为定值 复杂计算+严谨推理+熟练程度 14 新高考数学次压轴题1最优解 7题·2024全国乙卷文科椭圆综合（弦长问题+面积最值） 题目 同2024全国乙卷理科，中心在原点的椭圆离心率e=之，直线过F2交椭圆于小、B, C(2,0)为右顶点，求AB|并求△ABC的面积最大值。 C(2,0) 解题技巧 ①设而不求（韦达定理）求弦长； ②点到直线的距离公式； ③基本不等式求分式函数最值： ④简化运算步骤，省略理科复杂证明 最优解法： 1.第一问 同理科， 得椭圆方程+ +31: 2.第二问 ①设：y=k(c-1),联立椭圆得韦达定理，弦长AB1=21+ 3+4k2: ②点C到的距离d=4 +元得S=AB·d=6.随 3+4k2 15 ③令t=√k2(1+k2,用基本不等式求最大值 参考答案： 第一问 椭圆方程为+号=1： 第二问 ①弦长AB引= 12(1+k2) 3+4k2 ②△ABC的面积最大值为（当k=士时取得）。 易错点 ①弦长公式计算时漏乘V1+k2: ②点C到直线的距离公式中符号处理错误： ③基本不等式求最值时未验证等号成立条件； ④忽略直线斜率不存在的情况 复杂计算+严谨推理+熟练程度 16 新高考数学次压轴题1最优解 8题·2023新高考I卷椭圆综合（定点问题+面积最值） 题目 申心在原点的椭圆过点(1，号)且离心率e-号，直线1过(-1,0)交椭园于小、B, 点D在直线AB上且满足AD=2FB,OD交椭圆于E,证明DE过定点并求△ABE的面积最大 值。 D B a. F(-1,0) 解题技5 ①向量坐标转化求D点坐标； ②设而不求（韦达定理）消参： ③椭圆性质简化面积计算： ④基本不等式求最值 最优解法 1.第一问 由e-三、a2=+c2、过点(1，)，得a2=2,b2=1,得椭圆方程+y2-1: 2.第二问 ①设：y=k(x+1),联立椭圆得韦达定理，由向量得D(1-2x2,-2y2),求0D斜率得直 17 线DE方程，验证过定点F2(1,0): ②由DE过F,得S△ABE=2SAAB,求弦长AB和点F2到l的距离，得S=WMV+2, 1+2k2 用基 本不等式求最值。 参考答案 第一问 椭圆方程为+y2=1: 第二问 ①直线DE过定点F2(1,0)得证： ②△ABE的面积最大值为2（当k=±时取得）。 易错点 ①向量转化AD=2FB时坐标代错： ②验证D在椭圆上时遗漏化简； ③求面积时未利用定点简化计算； ④基本不等式等号成立条件验证错误 复杂计算+严谨推理+熟练程度 18 新高考数学次压轴题1最优解 9题·2023新高考Ⅱ卷抛物线综合（切线问题+定值证明） 题目 顶点为原点的抛物线准线为x=-1,点P(xo,yo)在抛物线上(x0≥1)，过P作抛物线切 线L,过抛物线的焦点F作L的垂线交抛物线于A、B,证明kPA+kB=0(定值)。 解题技巧 ①抛物线切线公式直接应用： ②直线斜率的垂直关系； ③韦达定理代入化简斜率和； ④抛物线坐标代换(x- 最优解法： 1.第一问 由准线x=-1得p=2,抛物线方程y2=4x; 2.第二问 ①由切线公式得：yoy=2(x+x),斜率k=易得AB斜率kAB=一兴 19 ②设AB:y=-(x-1),联立抛物线得)>+y-4=0,韦达定理得y1+力=- y1y2=-4;③计算kp4+kB=+2识，代入x=化简得和为0。 x1-x0 x2-x0 参考答案： 第一问 抛物线方程为y2=4x: 第二问 kPA+kPB=0(定值)得证。 易错点 ①记错抛物线切线公式： ②计算、PA、PB斜率时代入x1=遗漏： ③化简斜率和时未通分消参； ④忽略点P在抛物线上的条件x。= 复杂计算+严谨推理+熟练程度 20 新高考数学次压轴题1最优解 10题·2023全国甲卷理科椭圆综合（范围问题+存在性问题） 题目 中心在原点的椭圆过点(2,0)和(0，√3)，直线过M(0,1)交椭圆于A、B,N满足OA+OB+ 0丽=0，求直线的斜率k的取值范围并判衡断是否存在k使△AB的面积为， 0,v3 M(0,1) (2,0) 解题技巧 ①向量坐标转化求N点坐标： ②N在椭圆上转化为参数范围： ③设而不求（韦达定理）求弦长和距离： ④面积公式代入验证存在性 最优解法： 1.第一问 由椭圆过(2,0)和(0，V3),得a2=4,b2=3,椭圆方程： 2.第二问 ①设：y=kx+1,联立椭圆得(3+4k2)x2+8kx-8=0,韦达定理得x1+x2=- 8k 3+4k2) y1+y2=3+42 6 21 ②由向量得N(-x1-为2，-y1-y2),代入椭圆得k2≤子得k范围；③求弦长1AB1和点N 到的距离d=- 3 1+k2 得S= 代入解得k=士子 参考答案： 第一问 椭圆方程为+号-1： 3 第二问 ①k的取值范围为[-： ②存在k=士使△ABN的面积为82 易错点 ①由向量得N点坐标时符号错误； ②代入椭圆求k范围时化简错误： ③计算弦长AB时遗漏判别式△>0：④求点N到的距离时忽略倍数关系 复杂计算+严谨推理+熟练程度 22 新高考数学次压轴题1最优解 11题2023全国甲卷文科椭圆综合（中点弦+弦长最值） 题目 同2023全国甲卷理科，中心在原点的椭圆过(2,0)和(0，V3),直线过M(0,1)交椭圆于 A、B,N满足OA+OB+ON=可，用点差法分析中点弦关系并求ABI的最值。 (0,v3 M(0.1) (2,0) 解题技巧 ①点差法求中点弦的斜率关系： ②设而不求（韦达定理）求弦长：③结合k的范围求弦长的最值：④简化理科的存在性证 明，聚焦弦长计算 最优解法： 1.第一问 同理科，得稀园方程样+苦=1： 2.第二问 ①由OA+OE=-ON得AB中点为(-号，-罗)，点差法得kAB·koM=-圣 ②由理科得kE【-引，弦长1AB1=st2肥 3+4k2 ③结合k的范围，求AB的最大值和最小 值。 23 参考答案 第一问 椭圆方程为+号=1： 第二问 ①中点弦斜率关系k4B·koM=一3得证： ②AB到的最大值为5，最小值为V6. 易错点 ①点差法时遗漏椭圆的斜率乘积定值： ②弦长公式代入韦达定理时化简错误： ③求最值时未结合k的取值范围： ④忽略直线斜率不存在的情况 复杂计算+严谨推理+熟练程度 24 新高考数学次压轴题1最优解 12题·2022新高考Ⅱ卷抛物线综合（焦点弦+角相等证明+最值） 题目 以原点O为顶点，开口向右的抛物线焦点F到准线距离为2，直线过F交抛物线于A、B, D在准线上且OD I AB,证明∠ADF=∠BDF并求△ABD的面积最值。 解题技巧 ①抛物线定义和基本性质： ②斜率和为0证明角相等： ③焦点弦长公式；④点到直线的距离公式求面积 最优解法： 1.第一问 由焦点到准线距离为2得p=2,抛物线方程y2=4x: 2.第二问 ①设：y=k(x-1),由0DIAB得D(-1,-),联立抛物线得y2-4ky-4=0,韦达定 理得y1+y2=4k,y1y2=-4: ②计算kAD+kBD=O,得LADF=LBDF; ③焦点弦长14AB1=41+.点D到的距离d=得S=4W+及，求最位， 25 参考答案 第一问 抛物线方程为y2=4x; 第二问 ①∠ADF=∠BDF得证： ②△ABD的面积最小值为4（当k=0时取得），无最大值。 易错点 ①由OD II AB求D点坐标时符号错误； ②计算、AD、BD斜率时坐标代错： ③证明角相等时未转化为斜率关系； ④求面积时遗漏焦点弦长公式的应用 复杂计算+严谨推理+熟练程度 26 新高考数学次压轴题1最优解 13题·2022全国乙卷理科椭圆综合（存在性问题+范围问题） 题目 椭圆过(V6,0)且离心率e=号直线过原点交椭圆于A、B,1过r,3,0)且I1交椭圆 于C、D,判断是否存在使四边形ACBD为正方形并求四边形面积范围。 B (v6,0) Fv3.0) D 解题技虹巧 ①正方形的几何条件代数化： ②设而不求（韦达定理）求弦长： ③换元法转化面积函数： ④分类讨论k=0的情况 最优解法： 1.第一问 由a=V6、e=得c=V5,b2=3,椭圆方程号+号=1： 2.第二问 ①设：y=kx,1:y=-c-V3),分别联立椭圆得1AB1=4Y3码， ICDI= 4V3(1+k② √2+k2 √2k2+1 27 ②由正方形条件ABL=ICDI,解得k=±1，判断存在： 241+k3)2 ③面积5=AB1CD1=2+T令t=2+1c≥1)，求范围。 参考答案 第一问 椭园方程为誉+号-1， 3 第二问 ①存在k=土1使四边形ACBD为正方形得证： ②四边形ACBD的面积范围为8，号]。 易错点 ①的斜率设为-时忽略k=0: ②计算弦长、IAB、ICD时化简错误： ③求面积范围时未验证换元后参数的取值： ④正方形条件仅考虑垂直忽略边长相等 复杂计算+严谨推理+熟练程度 28 新高考数学次压轴题1最优解 14题2021全国甲卷文科立体几何综合（翻折+空间向量+体积最值） 题目 Rt△ABC中∠ACB=90·,AC=BC=2,沿中线CD翻折为△ACD,使平面ACD1平面 BCD,证明AB⊥CD并求四面体E一BCF的体积最大值(E为AC上动点，F为BD中点)。 解题技巧 ①翻折问题的垂直关系不变性： ②面面垂直的性质定理； ③空间直角坐标系的建立： ④体积公式的参数化求最值 最优解法： 1.第一问 翻折前CD为Rt△ABC斜边中线，故CD⊥AB;翻折后CD⊥AD、CD⊥BD,且ADn BD=D,、AD、BDC平面ABD,得CD⊥平面ABD,又ABC平面ABD,故CD⊥AB: 2.第二问 ①以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 设AE=tAC(0≤t≤1)，得E点坐标： ②求△BCF的面积（定值），求点E到平面BCF的距离h(含参数t): ③四面体体积V=S△cPh,转化为关于t的一次函数，求最大值。 29 参考答案： 第一问 AB⊥CD得证； 第二问 四面体E一BCF的体积最大值为片（当t=1即E与C重合时取得）。 易错点 ①翻折后混淆不变量和变量： ②未利用面面垂直建立空间直角坐标系； ③计算三棱锥体积时遗漏的系数： ④求最值时未考虑E点的取值范围 复杂计算+严谨推理+熟练程度 30 新高考数学次压轴题1最优解 15题·2021全国乙卷理科椭圆综合（定点+面积最值） 题目 以原点为中心的椭圆e=且a2-b2=1,P1、F2分别为左右焦点，直线过F1(-1,0)交 椭圆于A、B,求△ABF,的面积最大值。 F 解题技巧 ①椭圆的基本性质求参数： ②设而不求（韦达定理）求弦长： ③点到直线的距离公式： ④换元法+基本不等式求面积最值 最优解法 1.第一问 由e--只、c=1得a=反，6=a2-c2=1,椭圆方程号+y=1,左焦点R(- 31 1,0),右焦点F2(1,0): 2.第二问 ①设：y=k(x+1)(斜率不存在时单独讨论，面积为V2)，联立椭圆得(1+2k2)x2+ 4k2x+2k2-2=0,韦达定理得x1+X2=- 42 、1+22x1x2=12: ②弦长|AB=√1+k2.221+陋=221+k的 1+2k2 1+2k2 点F2到直线的距离d=2 V1+k2 ③面积S=Ald=,令t=V+≥1).换元后用基木不等式求最大值。 参考答案 第一问 椭园方程为+y2=1: 第二问 △ABF2的面积最大值为25（当k=t时取得）。 易错点 ①由a2-b2=1和e=2联立求解时计算错误； ②计算△ABF2的面积时遗漏影的系数： ③求最值时未验证等号成立条件； ④忽略直线斜率不存在的情况 复杂计算+严谨推理+熟练程度 32 新高考数学次压轴题1最优解 16题2021全国乙卷文科导数基础综合（单调性+最值+零点问题） 题目 已知函数f(x)=x3-x2+ax+1(a∈R),求f(x)的单调性并当a=0时判断f(x)的零点 个数及所在区间 解题技巧 ①一次求导分析导函数的判别式： ②分类讨论参数α的取值范围： ③利用函数单调性和零点存在定理判断零点： ④求函数的极值点分析符号 最优解法 1.第一问 求导f(x)=3x2-2x+a,判别式A=4-12a,①当A≤0即a≥时，f(x)≥0恒成立， f在R上单调递增：②当△>0即Q<时，令f)=0,得x12=出画 ,进而判断f(x)的 3 单调区间： 2.第二问 当a=0时，f(x)=x3-x2+1,求导得f(x)=3x2-2x,分析单调性得f(x)在(- ∞，0)、(，+∞)递增，(0，)递减，计算f(-1)=-1,f0)=1,f()=>0,由零点存 在定理判断零点个数和区间。 参考答案 第一问 ①a≥时，f()在R上单调递增： ②a<时，f)在(-m,1)、(H,+m)单调递增，在(，4)单调 3 3’3 递减： 第二问 33 当a=0时，f(x)有且仅有1个零点，且零点在区间(-1,0)内。 易错点 ①求导时幂函数的导数公式应用错误： ②分类讨论a时遗漏△≤0的情况； ③判断零点时未计算关键点的函数值： ④忽略函数的定义域为R 复杂计算+严谨推理+熟练程度 34