第三单元 正比例和反比例（知识清单）数学西南大学版六年级下册

第三单元 正比例和反比例 单元知识清单讲义 知识点一：比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 知识点二：比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 知识点三：比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前.后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 知识点四：解比例 解比例：根据比例的基本性质，把比例转化成以前学过的方程，求比例中的未知项，叫做解比例。 知识点五：成正比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示=k（一定） 知识点六：成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定） 知识点七：判断两种量成正比例还是成反比例的方法 关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 知识点八：用比例解决问题 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。 题型1：比例的意义 【例1】下面各比中，能与∶组成比例的是（    ）。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】∶＝÷＝×5＝ A．5∶4＝5÷4＝ ＝，比值相等，所以5∶4能与∶组成比例； B．4∶5＝4÷5＝ ≠，比值不相等，所以4∶5不能与∶组成比例； C．∶5＝÷5＝×＝ ≠，比值不相等，所以∶5不能与∶组成比例； D．∶4＝÷4＝×＝ ≠，比值不相等，所以∶4不能与∶组成比例。 故答案为：A 【练1】有这样一个比例，组成这个比例的两个比的比值是，请写出一个符合条件的比例______。 【答案】6：8＝24：32（答案不唯一） 【分析】用比的前项除以后项，所得的商即为比值。比例的意义：表示两个比的比值相等的式子叫做比例，写出两个比值是的比，即可组成比例。 【详解】因为6∶8＝ 24∶32＝ 所以，符合条件的比例为6∶8＝24∶32（答案不唯一） 题型2：比例的基本性质 【例2】如果a×3＝b×7，那么a∶b＝( )∶( )。 【答案】 7 3 【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，a×3＝b×7，说明a和3同时为比例的外项或者内项，b和7同时为比例的外项或者内项，据此写出比例。 【详解】分析可知，如果a×3＝b×7，那么a∶b＝7∶3。 【练2】已知一个比例的两个外项的积是35，一个内项是0.7，另一个内项是( )。 【答案】50 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 已知一个比例的两个外项的积是35，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个内项的积也是35；用两个内项的积除以已知的内项，即可求出另一个内项。 【详解】35÷0.7＝50 另一个内项是50。 题型3：解比例 【例3】解比例。                          【答案】x＝；x＝3.5 【分析】根据比例的基本性质，先把比例化为方程：x＝0.6×，两边再同时乘； 根据比例的基本性质，先把比例化为方程：12x＝6×7，两边再同时除以12。 【详解】 解：x＝0.6× x＝ ×x＝× x＝ 解：12x＝6×7 12x＝42 12x÷12＝42÷12 x＝3.5 【练3】解比例。 3.5∶∶2                                   ∶∶ 【答案】；； 【分析】（1）根据比例的基本性质，在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解； （2）根据比例的基本性质，在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以21，计算即可得解； （3）根据比例的基本性质，在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。 【详解】3.5∶∶2 解： 解： ∶∶ 解： 题型4：正比例的认识及辨识 【例4】下面各选项中两种量成正比例关系的是（    ）。 A．商品的单价一定，购买商品的总价和数量 B．互为倒数的两个数 C．圆锥的体积一定，它的底面积和高 D．长方形周长一定，长和宽 【答案】A 【分析】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此逐项分析判断。 【详解】A．总价÷数量＝单价（一定），所以商品的单价一定，购买商品的总价和数量成正比例关系； B．互为倒数的两个数的乘积是1，是乘积一定，不是比值一定，所以互为倒数的两个数不成正比例关系； C．圆锥的底面积×高＝3×圆锥的体积（一定），不是商一定，所以圆锥的体积一定，它的底面积和高不成正比例关系； D．长＋宽＝×周长（一定），和一定，不是商一定，所以长方形周长一定，长和宽不成正比例关系。 所以成正比例关系的是商品的单价一定，购买商品的总价和数量。 故答案为：A 【练4】如果（a，b均不为0），那么a与b成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为（a，b均不为0），所以4b＝a，a∶b＝4（一定），比值一定，所以a与b成正比例。 故答案为：√ 题型5：正比例的图像 【例5】下面图像表示了苹果、香蕉的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 (1)香蕉的总价和购买的数量( )关系。（填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”） (2)从图像上看，单价更贵一些的水果是( )。（填“香蕉”或“苹果”） (3)买3千克苹果要用( )元，20元可以买( )千克香蕉。 【答案】(1)成正比例 (2)苹果 (3) 24 5 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 （2）对比相同质量的香蕉图象和苹果图象可知，香蕉的价钱比苹果少。 （3）根据“总价÷数量＝单价”，从图象中选取数据分别计算出香蕉和苹果的单价；再根据“单价×数量＝总价”求出买3千克苹果所需的钱数；“数量＝总价÷单价”求出20元可以买到香蕉的质量。 【详解】（1）＝＝…＝8（一定），比值一定，则香蕉的总价和购买的数量成正比例关系。 （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是苹果。 （3）苹果的单价：8÷1＝8（元） 香蕉的单价：4÷1＝4（元） 3×8＝24（元） 20÷4＝5（千克） 买3千克苹果要用24元，20元可以买5千克香蕉。 【练5】为了体验半程马拉松，小明一家沿长江骑行步道步行前往南溪，所行的时间和路程如图。 (1)从图中可以知道小明一家步行的路程和时间成( )比例。 (2)点A表示小明一家4时走了( )千米。 【答案】(1)正 (2)20 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。正比例的图像是一条递增的直线，反比例的图像是一条曲线，且一个量扩大，另一个量缩小；因为路程÷时间＝速度（一定），因此从图中可以知道小明一家步行的路程和时间成正比例。 （2）利用“路程÷时间＝速度”，再根据“速度×时间＝路程”，据此计算解答。 【详解】（1）5÷1＝5 10÷2＝5 15÷3＝5 …… 速度不变，小明一家步行的路程和时间成正比例。 （2）5÷1×4 ＝5×4 ＝20（千米） 答：点A表示小明一家4时走了20千米。 题型6：正比例的应用 【例6】蔬菜种植基地计划将490吨蔬菜装车运往巴中，5小时装了350吨。照这样计算，装完这批蔬菜还要多少小时？（用比例知识解答） 【答案】2小时 【分析】根据题意可知，蔬菜的吨数∶装车的时间＝每小时装蔬菜的吨数（一定），比值一定，那么蔬菜的吨数与装车的时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设装完这批蔬菜还要小时。 （490－350）∶＝350∶5 140∶＝350∶5 350＝5×140 350＝700 ＝700÷350 ＝2 答：装完这批蔬菜还要2小时。 【练6】小丽做一种手工绢花，完成的数量与所用的时间之间的关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与所用的时间成（    ）比例。（填“正”或“反”） （2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解答） 【答案】（1）正； （2）25个 【分析】两个相关联的量，一种量变化，另一种量随之变化。如果这两个量的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，如果这两个量的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量。 （1）观察图像，2小时的时候，做了10个绢花；4小时的时候，做了20个绢花；6小时的时候，做了30个绢花；得出做手工绢花的数量与所用时间的比值为定值，据此填空即可。 （2）设小丽5时可以做个手工绢花，因为做手工绢花的数量与所用时间成正比例，所以可列出比例式10∶2＝∶5，然后根据比例的基本性质求解即可。 【详解】（1）10÷2＝5 20÷4＝5 30÷6＝5 做绢花的数量与所用时间的比值为定值5，所以小丽做手工绢花的数量与所用的时间成正比例。 （2）解：设小丽5小时可以做个手工绢花。 10∶2＝∶5 答：小丽5小时可以做25个手工绢花。 题型7：反比例的认识及辨识 【例7】下面题中的两种量成反比例关系的是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长 B．圆锥的高一定，它的体积和底面积 C．平行四边形的面积一定，它的底和高 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】C 【分析】正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。反比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，据此逐项分析解答。 【详解】A．因为正方体的表面积＝棱长×棱长×6，所以正方体的表面积÷（棱长×棱长）＝6，所以正方体的表面积和它的棱长的平方成正比例，表面积和它的棱长不成比例； B．圆锥的高＝体积×3÷底面积，所以圆锥的高一定时，体积和底面积成正比例； C．平行四边形的面积＝底×高，平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例； D．三角形的面积×2÷底＝三角形的高（一定），商一定，所以底与面积成正比例。 故答案为：C 【练7】成都到贵阳的高速公路一定，汽车行驶的速度与它行驶的时间成( )比例。 【答案】反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】速度×时间＝路程＝成都到贵阳的距离（一定） 则汽车行驶的速度与它行驶的时间成反比例。 题型8：反比例的应用 【例8】给一块长方形地铺瓷砖（长方形地的长和宽均为整米数），用边长为5分米的正方形瓷砖铺，需要100块。如果用边长为1米的正方形瓷砖铺，那么需要多少块？（用比例知识解。） 【答案】25块 【分析】题目中涉及两个量：瓷砖边长与瓷砖块数，边长与块数不成比例关系，所以利用瓷砖边长要先计算出每块瓷砖面积，每块瓷砖面积×块数＝总面积（一定），每块瓷砖面积与块数成反比例关系，据此设需要x块，列出比例方程解答即可。 【详解】解：设需要x块。 1米＝10分米 5×5×100＝10×10×x 100x＝2500 x＝25 答：如果用边长为1 米的正方形瓷砖铺，那么需要25块。 【练8】如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解） 【答案】150转 【分析】因为两个互相咬合的齿轮，在同一时间内转动时，它们转过的齿数是相同的，所以大齿轮的齿数×大齿轮的转速＝小齿轮的齿数×小齿轮的转速，设小齿轮每分钟转x转，然后列比例，解出比例，据此解答。 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量。 【详解】解：设小齿轮每分转x转。 10x＝20×75 10x＝1500 x＝1500÷10 x＝150 答：每分转150转。 1．某市电信分公司推出一款长话通校园卡，长途电话通话时间与话费如下表。 通话时间（分） 1 2 3 4 5 6 话费（元） 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 (1)( )和( )是两种相关联的量，( )增加，( )也跟着增加。 (2)通话4分需付话费( )元，2.80元可通话( )分。 (3)话费和通话时间这两种量中相对应的两个数的比值都是( )，这个比值实质上就是( )。 (4)因为比值一定，所以表中的两种量叫做成( )的量，它们的关系叫做( )。 【答案】(1) 通话时间 话费 通话时间 话费 (2) 1.6 7 (3) 0.4 每分通话需要的话费 (4) 正比例 正比例关系 【分析】（1）从表格中可以看出，时间增加，话费也跟着增加，则时间和话费是两种相关联的量。 （2）从表格中可知，每增加1分钟，话费就增加0.4元。 （3）0.4∶1＝0.4、0.8∶2＝0.4、1.2∶3＝0.4、1.6∶4＝0.4、2.00∶5＝0.4、2.40∶6＝0.4，则两个数的比值都是0.4，话费÷通话时间＝每分通话需要的话费。 （4）两个相关联的量，一个量随着另外一个量的变化而变化，如果两个量的商是一个定值，则说明这两个量成正比例关系。两个相关联的量叫做正比例的量。 【详解】（1）通话时间和话费是两种相关联的量，通话时间增加，话费也跟着增加。 （2）2.4＋0.4＝2.8（元） 6＋1＝7（分） 则通话4分需付话费1.6元，2.80元可通话7分。 （3）话费和通话时间这两种量中相对应的两个数的比值都是0.4，这个比值实质上就是每分通话需要的话费。 （4）话费∶通话时间＝0.4（一定） 因为比值一定，所以表中的两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2．观察如图，完成练习。 (1)这辆汽车的速度是( )千米/时。 (2)点A（____，____）表示( )时行驶了( )千米。 (3)点（9，810）( )这条直线上。（填“在”或“不在”） 【答案】(1)90 (2) 3 270 3 270 (3)在 【分析】（1）路程÷时间＝速度，汽车每小时行驶路程叫速度，正比例图像是一条经过原点的直线，观察图像，1时对应的路程就是这辆汽车的速度。 （2）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 横轴表示行驶时间，纵轴表示路程，据此填空。 （3）数对的第一个数表示时间，第二个数表示路程，用数对的第二个数÷第一个数，结果如果是90千米/时，就在这条直线，不是90千米/时，则不在这条直线。 【详解】（1）这辆汽车的速度是90千米/时。 （2）点A（3，270）表示3时行驶了270千米。 （3）810÷9＝90（千米/时），点（9，810）在这条直线上。 3．下面各题中的两种量是否成比例，如果成比例，成什么比例？ (1)用30m的篱笆围成一个长方形菜地，围成的长和宽______。 (2)运动员跳高的高度和他的身高______。 (3)C＝4a，C和a______。 【答案】(1)不成比例 (2)不成比例 (3)成正比例 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】（1）长＋宽＝30÷2，和一定，用30m的篱笆围成一个长方形菜地，围成的长和宽不成比例。 （2）运动员跳高的高度和他的身高没有必然关系，不是相关联的量，运动员跳高的高度和他的身高不成比例。 （3）C＝4a，根据积÷因数＝另一个因数，可以转化成C÷a＝4，C和a成正比例。 4．如果，那么( )；如果（，都不为0），那么＝( )。 【答案】 2 2∶3 【分析】在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。第一空中，a、b作为外项，和6是内项，所以ab＝×6；第二空中，因为等式3a＝2b，所以在比例中，a与3看作是外项，b与2看作是内项。 【详解】ab＝×6＝2 a∶b＝2∶3 如果，那么2；如果（，都不为0），那么＝2∶3。 5．《少年百科知识报》的单价一定，所订的份数与总价成( )比例。 【答案】正 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】总价÷所订的份数＝单价（一定），《少年百科知识报》的单价一定，所订的份数与总价成正比例。 6．如果x与2，5，8这三个数可以组成比例，那么x最大是( )。 【答案】20 【分析】据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。要使x最大，那么x应与这三个数中最小的数2同时作为比例的外项或内项，而5和8作为比例的内项或外项，通过比例基本性质可得：5×8＝2x，则x＝5×8÷2，求出x的值。 【详解】5×8÷2＝20 即如果x与2，5，8这三个数可以组成比例，那么x最大是20。 7．如下表，如果a、b成正比例，则m＝( )，如果a、b成反比例，则m＝( )。 a 4 3 b 6 m 【答案】 8 【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例关系；若它们的乘积一定，则它们成反比例关系。据此解答即可。 【详解】6÷4＝，3×＝ 则如果a、b成正比例，则m＝； 4×6÷3 ＝24÷3 ＝8 则如果a、b成反比例，则m＝8。 8．下面（    ）图是正比例关系的图像。 A．B．C． D． 【答案】B 【分析】两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，就成正比例关系。正比例关系的两个量，其图像是一条经过原点的直线。 【详解】A．图像是曲线，不是直线，不符合正比例图像特征。 B．图像是一条经过原点的直线，符合正比例图像特征。 C．图像是曲线，且不经过原点，不符合正比例图像特征。 D．图像是两条曲线，不符合正比例图像特征。 选项B中的图是正比例的图像。 故答案为：B 9．下面的说法中错误的是（    ）。 A．香蕉的单价一定，购买香蕉的数量和总价成反比例 B．比的前项一定，后项和比值成反比例 C．自行车行驶的路程一定，车轮的转数和车轮的直径成反比例 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．购买香蕉的总价÷购买香蕉的数量＝香蕉的单价（一定），购买香蕉的数量和总价成正比例，原题干说法错误。 B．比的前项÷比的后项＝比值；比的后项×比值＝比的前项（一定），后项和比值成反比例，原题干说法正确。 C．车轮的直径×π×车轮转数＝所行驶的路程（一定），车轮的转数和车轮直径成反比例，原题干说法正确。 说法错误的是香蕉的单价一定，购买香蕉的数量和总价成反比例。 原题干说法正确。 故答案为：A 10．下面两种量成正比例的是（    ）。 A．除数一定，被除数和商 B．路程一定，速度和时间 C．全班人数一定，男生人数和女生人数 D．同圆中，半径和面积 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的商或比值一定，还是对应的乘积一定；如果是商或比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此依次分析即可求解。 【详解】A．被除数÷商＝除数（一定），商一定，所以除数一定，被除数和商成正比例； B．速度×时间＝路程（一定），积一定，所以路程一定，速度和时间成反比例； C．男生人数＋女生人数＝全班人数，和一定，所以全班人数一定，男生人数和女生人数不成比例； D．因为圆的面积÷半径＝π×半径（不一定），所以圆的面积与它的半径不成比例。 故答案为：A 11．圆柱体的体积一定，则底面直径和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】根据圆柱的体积公式：V＝π（）2h，即V＝πd2h，也就是dh＝4V÷π÷d（不一定），所以圆柱的底面积直径和高不成比例。 故答案为：C 12．如图，在平行四边形中，a边上的高是b，c边上的高是d，下列式子成立的是（    ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶b＝c∶d C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，可以得出ab＝cd，根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，各选项中的比例只要能写成ab＝cd的形式即可。 【详解】ab＝cd A．a∶c＝b∶d，根据比例的基本性质，可得ad＝bc； B．a∶b＝c∶d，根据比例的基本性质，可得ad＝bc； C．，根据比例的基本性质，可得ac＝bd； D．，根据比例的基本性质，可得ab＝cd。 式子成立的是。 故答案为：D 13．解比例。 （1）       （2）         （3）x∶14＝0.5∶7 【答案】（1）x＝0.16；（2）x＝4；（3）x＝1 【分析】（1）根据比例的基本性质，把式子转化为3x＝0.8×0.6，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以3即可； （2）根据比例的基本性质，把式子转化为x＝×12，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可； （3）根据比例的基本性质，把式子转化为7x＝14×0.5，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以7即可。 【详解】（1） 解：3x＝0.8×0.6 3x＝0.48 3x÷3＝0.48÷3 x＝0.16 （2） 解：x＝×12 x＝ x÷＝÷ x＝×3 x＝4 （3）x∶14＝0.5∶7 解：7x＝14×0.5 7x＝7 7x÷7＝7÷7 x＝1 四、解答题 14．近年来，随着环保意识的日益加强和科技的飞速发展，新能源汽车越来越受欢迎。小齐一家四口自驾新能源汽车去游玩，下表是爸爸驾车从岳池县到成都市的行驶路程与耗电量之间的关系。已知岳池县到成都市的路程约有200千米，汽车行驶全程约需耗电多少度？（用比例解答） 路程（千米） 5 10 15 20 … 耗电量（度） 1 2 3 4 … 【答案】40度 【分析】5∶1＝5、10∶2＝5、15∶3＝5…，路程和耗电量的比值一定，设汽车行驶全程约需耗电x度，根据路程∶耗电量＝每度电量行驶路程（一定），列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设汽车行驶全程约需耗电x度。 5∶1＝200∶x 5x＝200 5x÷5＝200÷5 x＝40     答：汽车行驶全程约需耗电40度。 15．一桶菜油，如果用5升的瓶装，可以装满48瓶；如果用8升的瓶装，可以装满多少瓶？（用比例解答） 【答案】30瓶 【分析】设可以装满x瓶，根据瓶的容积×装满的瓶数＝菜油总体积（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设可以装满x瓶。 8x＝5×48 8x＝240 8x÷8＝240÷8 x＝30 答：可以装满30瓶。 16．小华的身高是150厘米，同学们测得他的影子长60厘米，同时同学们测得旗杆的影子长是5米，旗杆高多少米？ 【答案】12.5米 【分析】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可，设旗杆高x米，根据小华身高∶小华影长＝旗杆高∶旗杆影长，列出比例解答即可。 【详解】解：设旗杆高x米。 150∶60＝x∶5 60x＝150×5 60x＝750 60x÷60＝750÷60 x＝12.5 答：旗杆高12.5米。 17．农场要耕一块地，计划每天耕12公顷，5天正好耕完。实际每天比计划多耕3公顷，实际比计划少耕多少天？（用比例解） 【答案】1天 【分析】根据题意得：工作总量＝工作效率×时间，农场耕一块地的工作总量一定，则每天耕地面积和天数成反比例；可设实际耕地比计划少耕x天，则总量为：，根据关系列出比例式，解出实际比计划少几天即可。 【详解】解：设实际比计划少耕x天。 答：实际比计划少耕1天。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 正比例和反比例 单元知识清单讲义 知识点一：比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 知识点二：比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 知识点三：比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前.后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 知识点四：解比例 解比例：根据比例的基本性质，把比例转化成以前学过的方程，求比例中的未知项，叫做解比例。 知识点五：成正比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示=k（一定） 知识点六：成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定） 知识点七：判断两种量成正比例还是成反比例的方法 关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 知识点八：用比例解决问题 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。 题型1：比例的意义 【例1】下面各比中，能与∶组成比例的是（    ）。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 【练1】有这样一个比例，组成这个比例的两个比的比值是，请写出一个符合条件的比例 。 题型2：比例的基本性质 【例2】如果a×3＝b×7，那么a∶b＝( )∶( )。 【练2】已知一个比例的两个外项的积是35，一个内项是0.7，另一个内项是( )。 题型3：解比例 【例3】解比例。                           【练3】解比例。 3.5∶∶2                                     ∶∶ 题型4：正比例的认识及辨识 【例4】下面各选项中两种量成正比例关系的是（    ）。 A．商品的单价一定，购买商品的总价和数量 B．互为倒数的两个数 C．圆锥的体积一定，它的底面积和高 D．长方形周长一定，长和宽 【练4】如果（a，b均不为0），那么a与b成正比例。( ) 题型5：正比例的图像 【例5】下面图像表示了苹果、香蕉的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 (1)香蕉的总价和购买的数量( )关系。（填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”） (2)从图像上看，单价更贵一些的水果是( )。（填“香蕉”或“苹果”） (3)买3千克苹果要用( )元，20元可以买( )千克香蕉。 【练5】为了体验半程马拉松，小明一家沿长江骑行步道步行前往南溪，所行的时间和路程如图。 (1)从图中可以知道小明一家步行的路程和时间成( )比例。 (2)点A表示小明一家4时走了( )千米。 题型6：正比例的应用 【例6】蔬菜种植基地计划将490吨蔬菜装车运往巴中，5小时装了350吨。照这样计算，装完这批蔬菜还要多少小时？（用比例知识解答） 【练6】小丽做一种手工绢花，完成的数量与所用的时间之间的关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与所用的时间成（    ）比例。（填“正”或“反”） （2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解答） 题型7：反比例的认识及辨识 【例7】下面题中的两种量成反比例关系的是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长 B．圆锥的高一定，它的体积和底面积 C．平行四边形的面积一定，它的底和高 D．三角形的高不变，它的底和面积 【练7】成都到贵阳的高速公路一定，汽车行驶的速度与它行驶的时间成( )比例。 题型8：反比例的应用 【例8】给一块长方形地铺瓷砖（长方形地的长和宽均为整米数），用边长为5分米的正方形瓷砖铺，需要100块。如果用边长为1米的正方形瓷砖铺，那么需要多少块？（用比例知识解。） 【练8】如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解） 1．某市电信分公司推出一款长话通校园卡，长途电话通话时间与话费如下表。 通话时间（分） 1 2 3 4 5 6 话费（元） 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 (1)( )和( )是两种相关联的量，( )增加，( )也跟着增加。 (2)通话4分需付话费( )元，2.80元可通话( )分。 (3)话费和通话时间这两种量中相对应的两个数的比值都是( )，这个比值实质上就是( )。 (4)因为比值一定，所以表中的两种量叫做成( )的量，它们的关系叫做( )。 2．观察如图，完成练习。 (1)这辆汽车的速度是( )千米/时。 (2)点A（____，____）表示( )时行驶了( )千米。 (3)点（9，810）( )这条直线上。（填“在”或“不在”） 3．下面各题中的两种量是否成比例，如果成比例，成什么比例？ (1)用30m的篱笆围成一个长方形菜地，围成的长和宽______。 (2)运动员跳高的高度和他的身高______。 (3)C＝4a，C和a______。 4．如果，那么( )；如果（，都不为0），那么＝( )。 5．《少年百科知识报》的单价一定，所订的份数与总价成( )比例。 6．如果x与2，5，8这三个数可以组成比例，那么x最大是( )。 7．如下表，如果a、b成正比例，则m＝( )，如果a、b成反比例，则m＝( )。 a 4 3 b 6 m 8．下面（    ）图是正比例关系的图像。 A． B． C． D． 9．下面的说法中错误的是（    ）。 A．香蕉的单价一定，购买香蕉的数量和总价成反比例 B．比的前项一定，后项和比值成反比例 C．自行车行驶的路程一定，车轮的转数和车轮的直径成反比例 10．下面两种量成正比例的是（    ）。 A．除数一定，被除数和商 B．路程一定，速度和时间 C．全班人数一定，男生人数和女生人数 D．同圆中，半径和面积 11．圆柱体的体积一定，则底面直径和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 12．如图，在平行四边形中，a边上的高是b，c边上的高是d，下列式子成立的是（    ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶b＝c∶d C． D． 13．解比例。 （1）        （2）          （3）x∶14＝0.5∶7 四、解答题 14．近年来，随着环保意识的日益加强和科技的飞速发展，新能源汽车越来越受欢迎。小齐一家四口自驾新能源汽车去游玩，下表是爸爸驾车从岳池县到成都市的行驶路程与耗电量之间的关系。已知岳池县到成都市的路程约有200千米，汽车行驶全程约需耗电多少度？（用比例解答） 路程（千米） 5 10 15 20 … 耗电量（度） 1 2 3 4 … 15．一桶菜油，如果用5升的瓶装，可以装满48瓶；如果用8升的瓶装，可以装满多少瓶？（用比例解答） 16．小华的身高是150厘米，同学们测得他的影子长60厘米，同时同学们测得旗杆的影子长是5米，旗杆高多少米？ 17．农场要耕一块地，计划每天耕12公顷，5天正好耕完。实际每天比计划多耕3公顷，实际比计划少耕多少天？（用比例解） 1 学科网（北京）股份有限公司 $