精品解析：河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期开学测评数学试题

高一数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某扇形的半径为，弧长为，若该扇形的圆心角为（），则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，则的图象为（ ） A. B. C. D. 5. 若集合，，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知函数（），则“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则m的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，，则（ ） A. B. 与的图象都关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位长度，得到的图象 D. 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象 11. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. ， C. 是偶函数 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为_________，此时_________. 13. 已知为定义在上奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 14. 若函数的图象关于点（）对称，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，，，化简； （2）若锐角满足，求的值. 16. 已知函数（）. （1）证明：的图象过定点. （2）若，函数，求的最值. 17. 为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. （1）求A，，，b； （2）在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 18 已知函数. （1）求在上的值域； （2）求在上的单调递减区间； （3）若，（）是在上的两个零点，求的值. 19. 已知且，函数. （1）若，当时，恒成立，求a取值范围； （2）当时，若在上有最大值，求m的取值范围； （3）当，时，若存在，使得对任意的及任意的，都有，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某扇形的半径为，弧长为，若该扇形的圆心角为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】扇形的半径为，弧长为，扇形的圆心角为， ，，，则选项A正确. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由余弦的差角公式，得： . 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意可知函数定义域为， 所以函数， 即的值域为. 4. 已知函数的图象如图所示，则的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项. 5. 若集合，，，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再求出集合后，利用集合间关系计算即可得. 【详解】由，则， 解得，即， 由，则， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上可得：的取值范围为. 6. 已知函数（），则“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的最小正周期为，充分性分析：由的最小正周期不小于4得到，从而得到的范围，由求出的范围，结合正切函数的图像得到在上单调递增；必要性分析：由求出的范围，由在上单调递增，得到，得到的范围.结合充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】（）的最小正周期为， 充分性分析： 的最小正周期不小于4，， ，， ，，， ，，， 在上单调递增，故充分性成立； 必要性分析： ，，， 在上单调递增， 必须是的子集， ， ，，，故必要性成立. 即“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的充要条件. 7. 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由可求出的值，由可得，作出函数与的图象，数形结合可得出函数的零点个数. 【详解】根据题意，设，则，即， 所以，解得，所以， 由可得， 作出函数与的图象如图所示： 由图可知，函数与有且只有三个交点， 故函数的零点个数为. 8. 若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式左边变形，求出最小值为，原不等式恒成立转化为，即可得解. 【详解】 ， 因为单调递增，且， 所以在上有零点， 则当时，，，且当时等号能同时成立， 所以有最小值， 因为，， 所以只需，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系判断各个选项即可. 【详解】对于选项 A： ，， 故 成立，故 A正确； 对于选项 B： ，，   不成立，故 B错误； 对于选项 C： ，， 故不成立，故C错误； 对于选项 D： ，，  成立，故D正确 10. 已知函数，，，则（ ） A. B. 与的图象都关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位长度，得到的图象 D. 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】化简函数的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项. 【详解】因为， 对于A选项，，， 所以，A错； 对于B选项，因为，， 所以函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，B对； 对于C选项，将的图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象，即为函数的图象，C对； 对于D选项，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得到函数的图象，而不是函数的图象，D错. 11. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. ， C. 是偶函数 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A，B；令可得，根据偶函数定义计算可判断C；利用赋值法结合C可得，分，及三种情况讨论可判断D. 【详解】对于A，令，得，故A错误； 对于B， 令，得， 因，所以，即， 所以当时，成立， 故，，故B正确； 对于C，令，得， 即，所以， 故函数是定义在上的奇函数， 令， 因为， 所以函数是偶函数，即是偶函数，故C正确； 对于D，令，得， 当时，有， 当时，有， 由C可知，函数是定义在上的奇函数， 所以当时，有， 所以， 当时，由A可知， ，，即， 此时成立， 当时，， 同理，当时，成立， 所以当时，成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为_________，此时_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 13. 已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到在上为单调递增，且，分，和，三种情况讨论，分别求得不等式的解集，即可求解. 【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 当时，因为，不等式，即为，可得 当时，因为，满足； 当时，因为，可得， 则不等式，即为，可得， 综上可得，不等式的解集为. 14. 若函数的图象关于点（）对称，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平方关系、二倍角公式化简函数，再利用余弦函数的性质求出对称中心即可. 【详解】函数， 由，得，解得， 因此函数图象的对称中心为， 依题意，，， 而，则当时，， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，，，化简； （2）若锐角满足，求的值. 【答案】（1）；（2）7 【解析】 【分析】（1）根据对数、指数的运算法则，化简整理，即可得答案. （2）根据二倍角的正切公式，可得的值，对所求上下同除以，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 解得或， 因为为锐角，所以， 所以. 16. 已知函数（）. （1）证明：图象过定点. （2）若，函数，求的最值. 【答案】（1）证明见解析 （2）最大值，无最小值 【解析】 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）利用复合函数单调性可得在上单调递增，再求出值域后即可得解. 【小问1详解】 当时，有， 故的图象过定点； 【小问2详解】 若，则， 因为在上单调递增，在上单调递增 所以在上单调递增， 又， 则， 故有最大值，无最小值. 17. 为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. （1）求A，，，b； （2）在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【答案】（1）； （2）4s 【解析】 【分析】（1）根据最低点和最高点位置解方程组可得，再由周期性计算可得，的值； （2）令解不等式，由正弦函数单调性可得，可求出点P距离地面的高度不低于100米的时间. 【小问1详解】 根据意义可知，即，解得； 因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以； 由点P的起始位置在最低点处，即可知时，， 即，可得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知； 令，可得，即， 因此可得 由题意可得，所以， 因此或， 解得，所以； 即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米. 18. 已知函数. （1）求在上的值域； （2）求在上的单调递减区间； （3）若，（）是在上的两个零点，求的值. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的性质即可求出函数的值域； （2）求出的单调递减区间，再结合给定的区间确定具体的单调递减区间即可； （3）先利用对称性求出，再利用换元表示出，计算可求出的值. 【小问1详解】 化简得， 当时，， 当时，，取得最小值，， 当时，，取得最大值，， 故在上的值域为. 【小问2详解】 令，解得， 当时，，满足， 故在上的单调递减区间. 【小问3详解】 令，则， ，，， ， 设 ，则且， ， 则， 又， 且，又，， ，， . 19. 已知且，函数. （1）若，当时，恒成立，求a的取值范围； （2）当时，若在上有最大值，求m的取值范围； （3）当，时，若存在，使得对任意的及任意的，都有，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为函数在上单调递减函数，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得，得出函数的单调性，画出图像，令，求得，结合图像，即可求解. （3）分别求得和上函数的最大值为和，根据题意，转化为存在使得恒成立，得到有解，得到，结合对数的运算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由时，可得，即 当时，恒成立，即函数在上单调递减函数， 令，解得，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：当时，函数， 当时，即时，，此时单调递减； 当且时，即时，，此时单调递增； 当时，函数单调递增， 所以在单调递减，在上单调递增，在单调递增， 且，令，可得， 画出函数的图像，如图所示， 要使得上有最大值，结合图像，则满足， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：当，时，，且 当时，函数单调递增；当时，函数单调递增； 因为，可得 对任意，可得的最大值为， 对任意，可得的最大值为， 存在使得恒成立， 等价于对于某个成立， 即在，上有解， 因为函数为单调增函数，只需时成立， 即，可得， 因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $