第07讲 相似三角形及其应用（复习讲义，3考点+17题型+2重点）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第07讲 相似三角形及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 27 命题点一 相似三角形的判定 题型01利用平行判定三角形相似 题型02利用两角相等判定相似 题型03利用三边对应成比例判定相似 题型04利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型05选择或补充条件让三角形相似 题型06利用相似三角形的综合判定求线段 题型07利用相似三角形的综合判定求比值 命题点二 相似三角形的性质 题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 题型02 利用相似三角形的性质求周长 题型03 利用相似三角形的性质求面积 题型04 利用相似三角形的性质求角度 题型05 利用相似三角的性质求坐标 题型06 在图中画与已知三角相似的三角形 题型07 相似三角形的性质与判定综合求解 命题点三 相似三角形的实际应用 题型01 形似三角形实际应用之测高类题型 题型02 形似三角形实际应用之测距类题型 题型03 形似三角形实际应用之跨学科题型 05·重难突破·思维进阶 95 突破一 相似三角形的性质与判定解答题压轴 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 考点 课标要求 考法分析 相似三角形的判定 ①探索并掌握相似三角形的判定定理。 ②能运用判定方法判断两个三角形是否相似。 ③体会类比、转化的数学思想。 基础题：直接给出条件，选择/填写正确的判定依据（例如2025·河北卷等）； 中档题：在几何图形中，先找角相等或边成比例，再证明相似（例如2025·山东滨州卷、2025·山东潍坊卷等）； 综合题：作为压轴题的第一步，先证相似，再用性质计算（例如2025·江苏宿迁卷、2025·黑龙江大庆卷等）； 相似三角形的性质 ①掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例。 ②理解并运用：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 ③能利用性质进行线段、角度、周长、面积的计算。 选择/填空高频：已知相似比，求周长比或面积比；已知面积比求相似比（例如2025·贵州卷、2025·黑龙江绥化卷等）； 综合题：与函数、坐标系、图形折叠、动点问题结合 平行线与相似三角形（A 型、X 型） ①掌握平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。 ② 能从复杂图形中识别基本模型。 必考基础模型：看到平行，直接写相似（例如2025·吉林长春卷、2025·广东卷等）； 证明题：用平行得到角相等，再证相似（例如2025·江苏无锡卷、2025·山东潍坊卷等）； 相似三角形的实际应用 ①能利用相似三角形解决实际测量问题。 ②建立数学模型，将实际问题转化为几何问题。 测量问题：测河宽、测楼高、测塔高（例如2025·江苏无锡卷、2025·四川绵阳卷等）； 相似三角形与几何综合（压轴） ①综合运用相似、全等、勾股定理、四边形、圆等知识。 ②培养逻辑推理、数学建模、代数与几何结合能力。 ①动点问题：点动形成相似，分类讨论相似对应关系。 ②折叠/旋转问题：变换前后找角相等、边成比例。 ③坐标系综合：用相似求点坐标、求函数表达式。 圆综合：利用切线、圆周角构造相似三角形。 命题预测 命题趋势：2026 年全国中考数学 “相似三角形及其应用” 模块将以基础题和中档题为主，聚焦核心判定、性质与模型应用，重点考查相似三角形判定（AA/SAS/SSS）、平行线分线段成比例（A 型 / X 型）、相似比与周长 / 面积比关系、位似图形识别与作图、实际测量应用，题型以选择、填空和简单解答为主，压轴题中常与动点、折叠、坐标系综合，难度稳定在易到中档，侧重模型识别、比例计算与简单推理，不涉及复杂证明，常结合生活测量、网格图形情境考查。 备考建议：备考时紧扣课标核心，夯实相似判定与性质基础，强化高频模型（A型/X型）训练，熟练掌握相似比与周长 / 面积比的转化、位似作图与坐标变换，规范比例式书写与解题步骤，针对性突破易错点（如对应线段混淆、面积比忘平方、模型识别错误），结合典型例题与真题训练，提升模型识别与比例计算能力，确保基础题不丢分、中档题能拿分、综合题有思路 考点一 相似三角形的判定 判定定理1：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC 中，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC 常见的两种模型：①A字型：在三角形内部平行；②8字型（X 型）：在三角形外部平行（具体内容请参照第06讲） 判定2：两角分别相等（AA）→两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言∠A =∠A1，∠B =∠B1⇒ △ABC∽△A1B1C1 提示：三角形内角和 180°，两个角相等 ⇒第三个角一定相等。 判定3：两边成比例且夹角相等（SAS～） 文字两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。（如上图） 几何语言：，且 ∠A = ∠A1⇒ △ABC∽△A1B1C1 判定4：三边成比例（SSS）：三条边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言⇒ △ABC∽△A1B1C1 1．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 3．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 5．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， 又； ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 取中点，连接，，作于N， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ∴，，， 根据垂线段最短知， 又， ∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为； ②∵，， ∴， 同理 ∴为直角三角形时，只有， 当A和重合时，如图， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， ∴为直角三角形， 此时旋转角； 当和C重合时，如图， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， 又 ∴为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 考点二 相似三角形的性质 一、相似三角形的基本性质 对应角相等∠A = ∠A1，∠B = ∠B1，∠C = ∠C1 对应边成比例这个比值叫做相似比k。 二、相似三角形的“线”性质（必考） 对应线段的比=相似比k包括： ①对应高的比= k ②对应中线的比= k ③对应角平分线的比= k ④对应周长的比= k 一句话记：只要是“对应线段”，比都等于相似比。 三、相似三角形的面积性质（必考点） 面积的比 = 相似比的平方 超级易错：边长比→面积比：平方；面积比 → 边长比：开平方 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 3．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 5．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 考点三 相似三角形的实际应用 一、初中常考的4类实际应用 ①测高：树、旗杆、楼房、路灯高度 ②测距：河宽、两岸距离、障碍物距离 ③影子问题：太阳光(平行光)、灯光(中心投影) ④反射问题：镜子反射、光线反射 二、通用解题步骤(万能思路) 第一步：画图! 把文字变成几何图形 标出：已知长度、要求长度、直角、平行、相等角 第二步：找相似三角形 找相似的3个常用线索： ①有平行(太阳光线平行、人和旗杆平行) ②有直角(垂直地面) ③有相等角(反射角=入射角、对顶角、公共角) 只要找到两个角相等，基本就是AA相似。 第三步：写出相似三角形 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 4．（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 5．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 命题点一 相似三角形的判定 ►题型01 利用平行判定三角形相似 【典例】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）凸透镜成像的原理如图所示，．若人偶到凸透镜中心的距离，焦点，到中心的距离为，则人像到中心点的距离长为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 由题意得：，，，，，，可得， ，然后利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，，，，，， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的边上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，进而证明 （2）证明，根据，，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． ►题型02 利用两角相等判定相似 【典例】（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，，结合，得出，进而证明结论即可； （2）根据列出比例式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ∵， ∴， ． （2）解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长为，的长为． 【变式2】（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由直角三角形的性质得，即得，又由，得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质得，即得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：点是斜边上的中点， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：点是斜边上的中点，， ， ， ∵， ， 即， 解得或不合题意，舍去， 的长为． ►题型03 利用三边对应成比例判定相似 解题4步模板(必背) 1.利用勾股定理，分别算出两个三角形每条边的长度(带根号)。 2.把三边按“短、中、长”排序。 3.求三组比值，看是否相等。 若比值都相等→三边成比例→三角形相似。 4.下结论： ∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似) 【典例】（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． ►题型04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． ►题型05 选择或补充条件让三角形相似 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，需要逐一分析每个选项，判断是否满足相似三角形的条件即可． 【详解】解：A项：∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意； B项：∵，， ∴，不符合题意； C项：∵，， ∴，不符合题意； D项：无法得出和相似，符合题意． 故选：D． 【变式1】（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据题意得，逐个判断各选项是否可证即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定； 故选A． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴和相似，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴和相似，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴不能得出和相似，故选项C符合题意； D、∵，， ，即 ∴和相似，故选项D不符合题意． 故选：C． 【变式3】（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，根据可推出，则可证明得到，据此可判断A；根据和可证明得到，据此可判断B；同理可判断C；由无法证明，可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故A选项不符合题意， B、∵， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， C、同理由可得， 又∵， ∴， ∴， ∴，故C选项不符合题意， D、由无法证明，故D选项符合题意； 故选：D． ►题型06 利用相似三角形的综合判定求线段 【典例】（2026·陕西西安·二模）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质和证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 得（负值舍去）， ∴． 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，是边的中点，，，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】延长、，交于点F，过点A作于点G，证明，得出，求出，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，，最后根据勾股定理和直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长、，交于点F，过点A作于点G，如图所示： 则， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，点为边的中点，连接，交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，先根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，即可得到，根据对应边成比例求出的长解答即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】（2026·湖北·模拟预测）如图，中，，，点为中点，以为斜边作，使得，，交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，过作于，求解，证明，，再证明，可得，证明，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵，，点为中点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． ►题型07 利用相似三角形的综合判定求比值 【典例】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．先证明，得到，再证明，得到，则，，，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的平行线，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，以、为边在外部作等边三角形和，连接，延长交线段于点，在直线上方作等边三角形，当在外部时，的取值范围是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先假设点在内部或者边界上，根据三角函数的定义可知，点在边上，最小，运用三角函数直接计算即可；点在边上，最大，延长，交于点，交于点，延长与，交于点，连接，交于点，容易证明，使用三角函数和等腰三角形的性质，依次计算出、、、．结合等边三角形的性质，容易证明，则．利用平行线的性质，可判定，，，根据相似三角形的性质计算出的值．由于假设与题干对立，因此取结果未覆盖的部分，即为答案． 【详解】解：假设点在内部或者边界上， 在中，， 由正切函数的增减性可知，越大，则越大． ①当最小时，点落在边上，如图， 此时与共线， ∵是等边三角形， 又∵， ∴， ∴； ②当最大时，点落在边上，如图，延长，交于点，交于点，延长与，交于点，连接，交于点，设，， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 化简，得， 因式分解，得， 解得或（负值舍去）， ∴； 综上所述，当点在内部或者边界上时，， ∵假设不成立， ∴当点在外部，的取值范围为或． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，根据等边三角形的性质添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，重心的定义，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得都是的中线，则由三角形中位线定理可得，证明得到，设，则，设，则，证明求出a与b的关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接， ∵G是的重心， ∴都是的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：D． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，点是中点，点是上一点，连接、，满足．点是中点，点是中点，连接、，与相交于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，延长，截取，连接，取的中点N，连接，取的中点K，连接，，设，则，证明，得出，，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，证明、H、K三点在同一直线上，求出，证明，得出，求出，，，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，延长，截取，连接，取的中点N，连接，取的中点K，连接，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∵F为的中点，为的中点，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵H为的中点，为的中点， ∴，， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴、H、K三点在同一直线上， ∴， ∵为的中点，H为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，， ∴． 命题点二 相似三角形的性质 ►题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 【典例】（25-26九年级上·广东深圳·期中）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）两个相似三角形的相似比为，那么它们的对应边上的中线的比为（    ） A． B． C． D．不同的对应边上的中线的比不同 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的中线比等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应边上的中线的比为， 故选：B． 【变式2】（2025·广东东莞·二模）如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， 与的相似比为 故选：B． 【变式3】（2025·四川宜宾·三模）如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题关键．由等腰三角形的性质和勾股定理可表示出的长，通过证明，可得 ，即可求解． 【详解】解：，是的中线， ，，， ， 设，则 ， 点满足， ，且， ，且， ， ， 故选：A． ►题型02 利用相似三角形的性质求周长 【典例】（2025·重庆开州·模拟预测）若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的相似比等于周长比即可得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：2， ∴这两个相似三角形的周长之比为1：2． 故选：C． 【变式1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形最短边的长为，那么另一个三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例，可得新三角形三边比也为，进而根据新三角形最短边为新三角形的其他两边长，再相加即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵相似三角形对应边成比例，且原三角形三边比为， ∴新三角形三边比也为，设新三角形三边分别为、、， ∵新三角形的最短边， ∴， ∴新三角形的另两边长分别为， ∴新三角形的周长为， 故选：． 【变式3】（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． ►题型03 利用相似三角形的性质求面积 【典例】（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ． ． 的面积为4， 故选：D． 【变式1】（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则______ ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． ►题型04 利用相似三角形的性质求角度 【典例】（2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或的情况，从而求出的可能值． 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为一个小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质，由等腰直角三角形的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理．根据相似三角形的性质求得，，再利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选：B． ►题型05 利用相似三角的性质求坐标 【典例】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，关键是把点的坐标问题转化为线段的长的问题；由可得，进而得到点的横坐标. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，由题由易得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． ►题型06 在图中画与已知三角相似的三角形 【典例】（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点P、Q，连接交于点F，连接，，得，根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点J，K，连接交于点G，连接即可（的面积的面积）． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，线段即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点图形中的轴对称作图和相似三角形的无刻度直尺作图，解题的关键是利用正方形格点的坐标或边长特征确定对称点位置，以及结合网格等分线段和构造平行线实现相似比要求． （1）通过观察格点中的位置，利用对称点到的格点距离相等的特征，在另一侧找到B的对称点，连接、完成轴对称作图； （2）先根据网格确定的格点长度，按的相似比在上找到点D，使，则，再利用格点中与平行的连线与交于点E，于是满足． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，点D、E即为所求． 【变式2】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图，相似三角形的判定和性质． （1）找一格点F，构造两个包含点的的矩形方格，并使，在上找一格点O，使，延长与交于点E，由于，则，故点E就是符合条件的点． （2）观察直角三角形，其两条直角边之比为，于是找到适当格点，构造，连结，相交于点E，由相似三角形的性质可得，于是可证，再由可知点D与点E到的距离相等，因此点D关于的对称点是点E，故点E就是符合条件的点． 【详解】（1）如图，点E即为所求； （2）如图，点E即为所求； 【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，平移作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握旋转的性质，相似三角形的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，作点A、B的对应点、，然后顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定，作，，即可； （3）将线段向右平移2个单位，得出线段，连接，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，四边形即为所求作的四边形． 根据平移可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ►题型07 相似三角形的性质与判定综合求解 【典例】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）通过等腰三角形得到，结合角平分线平分得到，通过角的差运算推出，再结合公共角，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （）先根据相似三角形的性质得到对应边的比例关系，求出和关于的表达式，再计算出的长度；在中利用勾股定理建立与的等式，进而求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键． （1）根据两组对应边成比例及夹角相等即可得证； （2）由，得出，再利用相似三角形的对应边成比例得出，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在和中，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： （1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似； （2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先证，可得，进而得出结论； （2）利用（1）中相似比求解即可； （3）过B作交的延长线于E，先证，可得， 再证，即可得解． 【详解】（1）证明：中，， ． ， ． ， ． ， ； （2）解： ， ． ． ， ． ． ． （3）解：过B作交的延长线于E， ， ． ． ， ． 在与中 ． ． ， ． ， ， ； ． ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 命题点三 相似三角形的实际应用 ►题型01 相似三角形实际应用之测高类题型 万能解题步骤(所有测高题通用) 1.找两个直角：人、树、旗杆、楼房都垂直地面，都有90°。 2.找第二组相等的角 ①太阳光：光线平行→同位角相等 ②镜子：入射角=反射角 ③灯光：公共角 3.证相似：AA 4.列比例式： 5.代入解方程 【典例】（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 【答案】石鼓阁的高度为57米 【分析】题目主要考查解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键． 设米，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：设米， 在中， ， （米）， 由题意得：，， ， ，即， 解得：，即米， 石鼓阁的高度为57米． 【变式1】（2026·四川成都·一模）在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是相似三角形的判定及性质(对应边成比例)在实际测高中的应用．通过作辅助线构建直角三角形，证明三角形相似，根据对应边成比例列算式求出未知线段长度，进而计算目标高度． 【详解】如图，过点作，分别交，于点，， 由题意可得：，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 【变式2】（2025·河南濮阳·一模）洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 【答案】卢舍那大佛的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．由题意证明，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ，， ， ， ， ，和的长分别为和， ． 解得． 答：卢舍那大佛的高度约为． 【变式3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）一个阳光明媚的午后，小明游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，小明不能到达信号塔的正下方，于是他有了以下测量方案：如图，他在地面上的点D处竖立一根高为米的标杆，在点C处用测角仪测得信号塔顶端A处的仰角为，某一时刻在太阳光的照射下，信号塔顶端A的影子落在地面上的点E处，标杆顶端C的影子落在地面上的点F处，并测得米，米，已知，，点B、D、E、F在同一条直线上，求这座信号塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用及仰角的几何意义，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合仰角的直角三角形性质建立等量关系． 利用得到，得出与的比例关系；过C作的垂线构造直角三角形，由仰角得到直角边相等的关系；结合线段长度的和差关系列方程求解． 【详解】解：设信号塔的高度为x米． ∵，，， ∴，， ∴， ，即，解得． 过点C作于点H，则，． ∵在点C处测得信号塔顶端A处的仰角为， ∴，又， ∴是等腰直角三角形，即，故． ∴． ∴ 解得． 答：这座信号塔的高度为米． 【变式4】（2025·陕西西安·三模）小凌和数学小组的同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量华清池《长恨歌》群雕最高点到地面距离的活动．如图，小凌在B处竖立一根竖杆，在点A处架设一根横杆，杆可以绕着点A在平面内旋转．在工作人员的帮助下小凌测得与之间的距离为，小凌绕点A转动杆，通过观测发现当点D恰好位于点时（此时点C位于点），雕塑的顶端P在的延长线上．测得，点到的距离为，点到的距离为，，，，图中所有点均在同一平面内，请你求出《长恨歌》群雕最高点到地面的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形判定与性质，矩形的判定与性质；根据题意证出，利用相似三角形的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：延长交于点G，过点分别向作垂线，垂足分别是E、F， 则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴《长恨歌》群雕最高点到地面距离的长为． ►题型02 相似三角形实际应用之测距类题型 万能解题步骤(所有测距通用) 1.在岸边构造直角：人、标杆垂直地面→两个直角相等 2.找对顶角/相等角视线交叉形成对顶角相等 3.证明两个三角形相似(AA) 4.列比例式： 5.解方程求河宽 【典例】（2025·陕西咸阳·模拟预测）我们在对不同学科的深入学习过程中，会发现不同的学科之间有着千丝万缕的联系．夏夏同学在学习过光现象和图形的相似后进行了一个有趣的实验．如下图，地面上从左往右依次是墙、垂直于地面的木板和平面镜．点是手电筒的灯泡，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．通过测量，灯泡距离地面的高度为，木板的长度与墙到地面的距离相差4米，平面镜到木板的距离为，木板到墙面的距离为．求灯泡到平面镜的水平距离． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，先证明，可得，求解，再证明，可得，从而可得结论. 【详解】解：由题可知， ∴， ∴，即， ∴， 由光在镜面反射中，入射角等于反射角可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：灯泡到平面镜的水平距离为． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)104 (2) (3) 【分析】本题考查了四边形内角和，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，作辅助线构造直角是解题关键． （1）根据四边形内角和得到，，再根据周角求解即可； （2）连接，根据相似三角形的判定和性质求解即可； （3）过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，再利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：三根梅花桩、、垂直于地面放置， ， 四边形和四边形的内角和为，，， ，， ， 故答案为：104； （2）解：如图1，连接， 太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合， 点A、B、N三点共线． ，， ， ； （3）解：如图2，过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接．     图2 由题意，得， 四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ，，，． ，， ，， ，， ， ． 在中，，， ． 答：“采青”路径的长度为． 【变式2】（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 【答案】 【分析】根据直线，直线，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， 解得， 河的宽度． 【变式3】（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用； （1）由，，，可得，从而可得结论． （2）利用相似三角形的性质涉及含的两个相似三角形即可. 【详解】（1）解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． （2）解：方案如下：如图， ①在池塘边上确定点C； ②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量； ③测量的长度； ④由，，可得， ∴， ∴． ►题型03 形似三角形实际应用之跨学科题型 【典例】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 【变式1】（2025·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象及性质见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解． （2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）由，，解不等式即可求解． 【详解】（1）解∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）由(1)得，， ∴， ∴或， 画出图象如下：    性质：当时，随的增大而减小； （3）由，， 则， 解得， ∴的取值范围为：． 【变式3】（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 【答案】（1）①见解析  ②见解析 （2）或 （3）或或 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，得到，证明，得到，即可推导解题即可； ②连接，即可得到四边形为平行四边形，证明，即可得到结论； （2）根据题意可证，，根据对应边成比例解答即可； （3）分为或两种情况，根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：①设，，，， ∵，， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 即规律1得证． ②连接， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴，，即规律2得证． （2）解：设物体的长为a，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，，即蜡烛和透镜的距离为或． （3）解：或或． ①当时， ∵， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴，即 ∴，（舍去） ∴． ②当时 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即 ∴，， ∴或， 综上所述，u的值为或或． 突破一 相似三角形的性质与判定解答题压轴 【典例】（2026·山西长治·一模）综合与探究 如图1：中，，，点D在边上，． (1)求证：． (2)如图2所示，将绕点B顺时针旋转得到（点A的对应点为，点D的对应点为）． ①当点落在的延长线上时，过点B作交的延长线于点F，猜想，之间的数量关系，并说明理由． ②当所在的直线与所在的直线垂直时，直接写出点A与点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）利用已知数据计算得出，进而即可得解； （2）①先证出，再利用线段和差即可得证；②过作交于点，求出，，当交于点时，构造全等三角形得出，再利用勾股定理即可得解，当直线交于点时，同理即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，， ∴， 由①知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过作交于点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当交于点时，交于点，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， 如图，当直线交于点时，的延长线交于点，过点A作交的延长线于点N， 同理可证，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，点D在的延长线上，，，点F在边上，，的延长线交线段于点M． (1)求证：； (2)当点M是的中点时，求证：； (3)已知 ，，设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用． （1）由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得到全等三角形的条件； （2）由全等三角形的性质得，，进而证明相似三角形，再根据相似三角形的性质和中点条件得出结论； （3）先根据三角函数求出等腰三角形的边长，再利用相似三角形的性质得到线段比例关系，从而得出函数解析式，并根据实际情况确定自变量的取值范围 【详解】（1）证明：， ． ， ，． ，， 四边形是平行四边形，， ． 在和中， ； （2）证明：由（1）知， ，． ， ． ． ． 是的中点， ． ． ； （3）解：如图，过A作于点H， ，， ，． ． ． ． ， ． ． ， ， ， ，，且， ，． 当E与M重合时，x有最大值． ． ． 【变式2】（2026·湖北武汉·模拟预测）在矩形中，是对角线的交点，，将绕点旋转，分别与边相交于，连接（k为常数）． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，． ①若，求的长； ②若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析； (3)①；② 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形为正方形，然后证明即可得到，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，证明，则，进一步即可求出答案； （3）①过点作于点，则，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案；②过作于，作于，证明，则，设，则，设，则，得到，求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：若，则，即四边形为正方形， ∴，，，，，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①过点作于点，则， ∵，． ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 则， 解得， ∴， ∵， ∴； ②如图，过作于，作于， ∵，． ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， 又由得到， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∵， ∴， ∴． 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质与判定、三角形面积公式以及角平分线的性质，解题的关键是根据运动时间表示出相关线段的长度，再结合几何性质建立方程或函数关系； （1）根据四边形为平行四边形，得出，建立方程求解即可； （2）先证明出，再利用性质建立等式表示出的面积，再根据即可求解； （3）过点作于点，证明出，表示出，，，根据平分，进一步证明出，利用性质建立关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形 ， ， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：由题意得：， 由（1）知：， ， ， ， 因此，与之间的函数关系式为． （3）解：过点作于点 ， ， ． 平分， 解得： 当，平分． 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或 【分析】（1）根据，线段的长度小于线段的长度，可推出若与相似，只有这一种情况；根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：，；分类讨论若，若，若，三种情况，结合等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； ∵，线段的长度小于线段的长度， ∴若与相似，则； ∴，即， 解得：； 即：，与相似； （2）解：由题意得：， （3）解：由题意得：，； 若，则，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 综上所述，当的值为，或时，可使得为等腰三角形； 【点睛】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形、等腰三角形、三角函数等知识点，根据动点作出相应的几何图，找出几何关系是解题关键. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第07讲 相似三角形及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 相似三角形的判定 题型01利用平行判定三角形相似 题型02利用两角相等判定相似 题型03利用三边对应成比例判定相似 题型04利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型05选择或补充条件让三角形相似 题型06利用相似三角形的综合判定求线段 题型07利用相似三角形的综合判定求比值 命题点二 相似三角形的性质 题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 题型02 利用相似三角形的性质求周长 题型03 利用相似三角形的性质求面积 题型04 利用相似三角形的性质求角度 题型05 利用相似三角的性质求坐标 题型06 在图中画与已知三角相似的三角形 题型07 相似三角形的性质与判定综合求解 命题点三 相似三角形的实际应用 题型01 形似三角形实际应用之测高类题型 题型02 形似三角形实际应用之测距类题型 题型03 形似三角形实际应用之跨学科题型 05·重难突破·思维进阶 34 突破一 相似三角形的性质与判定解答题压轴 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 考点 课标要求 考法分析 相似三角形的判定 ①探索并掌握相似三角形的判定定理。 ②能运用判定方法判断两个三角形是否相似。 ③体会类比、转化的数学思想。 基础题：直接给出条件，选择/填写正确的判定依据（例如2025·河北卷等）； 中档题：在几何图形中，先找角相等或边成比例，再证明相似（例如2025·山东滨州卷、2025·山东潍坊卷等）； 综合题：作为压轴题的第一步，先证相似，再用性质计算（例如2025·江苏宿迁卷、2025·黑龙江大庆卷等）； 相似三角形的性质 ①掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例。 ②理解并运用：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 ③能利用性质进行线段、角度、周长、面积的计算。 选择/填空高频：已知相似比，求周长比或面积比；已知面积比求相似比（例如2025·贵州卷、2025·黑龙江绥化卷等）； 综合题：与函数、坐标系、图形折叠、动点问题结合 平行线与相似三角形（A 型、X 型） ①掌握平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。 ② 能从复杂图形中识别基本模型。 必考基础模型：看到平行，直接写相似（例如2025·吉林长春卷、2025·广东卷等）； 证明题：用平行得到角相等，再证相似（例如2025·江苏无锡卷、2025·山东潍坊卷等）； 相似三角形的实际应用 ①能利用相似三角形解决实际测量问题。 ②建立数学模型，将实际问题转化为几何问题。 测量问题：测河宽、测楼高、测塔高（例如2025·江苏无锡卷、2025·四川绵阳卷等）； 相似三角形与几何综合（压轴） ①综合运用相似、全等、勾股定理、四边形、圆等知识。 ②培养逻辑推理、数学建模、代数与几何结合能力。 ①动点问题：点动形成相似，分类讨论相似对应关系。 ②折叠/旋转问题：变换前后找角相等、边成比例。 ③坐标系综合：用相似求点坐标、求函数表达式。 圆综合：利用切线、圆周角构造相似三角形。 命题预测 命题趋势：2026 年全国中考数学 “相似三角形及其应用” 模块将以基础题和中档题为主，聚焦核心判定、性质与模型应用，重点考查相似三角形判定（AA/SAS/SSS）、平行线分线段成比例（A 型 / X 型）、相似比与周长 / 面积比关系、位似图形识别与作图、实际测量应用，题型以选择、填空和简单解答为主，压轴题中常与动点、折叠、坐标系综合，难度稳定在易到中档，侧重模型识别、比例计算与简单推理，不涉及复杂证明，常结合生活测量、网格图形情境考查。 备考建议：备考时紧扣课标核心，夯实相似判定与性质基础，强化高频模型（A型/X型）训练，熟练掌握相似比与周长 / 面积比的转化、位似作图与坐标变换，规范比例式书写与解题步骤，针对性突破易错点（如对应线段混淆、面积比忘平方、模型识别错误），结合典型例题与真题训练，提升模型识别与比例计算能力，确保基础题不丢分、中档题能拿分、综合题有思路 考点一 相似三角形的判定 判定定理1：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC 中，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC 常见的两种模型：①A字型：在三角形内部平行；②8字型（X 型）：在三角形外部平行（具体内容请参照第06讲） 判定2：两角分别相等（AA）→两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言∠A =∠A1，∠B =∠B1⇒ △ABC∽△A1B1C1 提示：三角形内角和 180°，两个角相等 ⇒第三个角一定相等。 判定3：两边成比例且夹角相等（SAS～） 文字两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。（如上图） 几何语言：，且 ∠A = ∠A1⇒ △ABC∽△A1B1C1 判定4：三边成比例（SSS）：三条边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言⇒ △ABC∽△A1B1C1 1．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 5．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 考点二 相似三角形的性质 一、相似三角形的基本性质 对应角相等∠A = ∠A1，∠B = ∠B1，∠C = ∠C1 对应边成比例这个比值叫做相似比k。 二、相似三角形的“线”性质（必考） 对应线段的比=相似比k包括： ①对应高的比= k ②对应中线的比= k ③对应角平分线的比= k ④对应周长的比= k 一句话记：只要是“对应线段”，比都等于相似比。 三、相似三角形的面积性质（必考点） 面积的比 = 相似比的平方 超级易错：边长比→面积比：平方；面积比 → 边长比：开平方 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 5．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 考点三 相似三角形的实际应用 一、初中常考的4类实际应用 ①测高：树、旗杆、楼房、路灯高度 ②测距：河宽、两岸距离、障碍物距离 ③影子问题：太阳光(平行光)、灯光(中心投影) ④反射问题：镜子反射、光线反射 二、通用解题步骤(万能思路) 第一步：画图! 把文字变成几何图形 标出：已知长度、要求长度、直角、平行、相等角 第二步：找相似三角形 找相似的3个常用线索： ①有平行(太阳光线平行、人和旗杆平行) ②有直角(垂直地面) ③有相等角(反射角=入射角、对顶角、公共角) 只要找到两个角相等，基本就是AA相似。 第三步：写出相似三角形 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 4．（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 5．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 命题点一 相似三角形的判定 ►题型01 利用平行判定三角形相似 【典例】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）凸透镜成像的原理如图所示，．若人偶到凸透镜中心的距离，焦点，到中心的距离为，则人像到中心点的距离长为______． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的边上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． ►题型02 利用两角相等判定相似 【典例】（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【变式2】（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式3】（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． ►题型03 利用三边对应成比例判定相似 解题4步模板(必背) 1.利用勾股定理，分别算出两个三角形每条边的长度(带根号)。 2.把三边按“短、中、长”排序。 3.求三组比值，看是否相等。 若比值都相等→三边成比例→三角形相似。 4.下结论： ∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似) 【典例】（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． ►题型04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． ►题型05 选择或补充条件让三角形相似 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． ►题型06 利用相似三角形的综合判定求线段 【典例】（2026·陕西西安·二模）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，是边的中点，，，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，点为边的中点，连接，交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·湖北·模拟预测）如图，中，，，点为中点，以为斜边作，使得，，交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． ►题型07 利用相似三角形的综合判定求比值 【典例】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，以、为边在外部作等边三角形和，连接，延长交线段于点，在直线上方作等边三角形，当在外部时，的取值范围是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，点是中点，点是上一点，连接、，满足．点是中点，点是中点，连接、，与相交于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 命题点二 相似三角形的性质 ►题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 【典例】（25-26九年级上·广东深圳·期中）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）两个相似三角形的相似比为，那么它们的对应边上的中线的比为（    ） A． B． C． D．不同的对应边上的中线的比不同 【变式2】（2025·广东东莞·二模）如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川宜宾·三模）如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（    ） A． B． C． D． ►题型02 利用相似三角形的性质求周长 【典例】（2025·重庆开州·模拟预测）若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形最短边的长为，那么另一个三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． ►题型03 利用相似三角形的性质求面积 【典例】（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则______ ． 【变式3】（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为________． ►题型04 利用相似三角形的性质求角度 【典例】（2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． ►题型05 利用相似三角的性质求坐标 【典例】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    ►题型06 在图中画与已知三角相似的三角形 【典例】（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【变式2】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． ►题型07 相似三角形的性质与判定综合求解 【典例】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在和中，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 命题点三 相似三角形的实际应用 ►题型01 相似三角形实际应用之测高类题型 万能解题步骤(所有测高题通用) 1.找两个直角：人、树、旗杆、楼房都垂直地面，都有90°。 2.找第二组相等的角 ①太阳光：光线平行→同位角相等 ②镜子：入射角=反射角 ③灯光：公共角 3.证相似：AA 4.列比例式： 5.代入解方程 【典例】（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 【变式1】（2026·四川成都·一模）在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度． 【变式2】（2025·河南濮阳·一模）洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 【变式3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）一个阳光明媚的午后，小明游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，小明不能到达信号塔的正下方，于是他有了以下测量方案：如图，他在地面上的点D处竖立一根高为米的标杆，在点C处用测角仪测得信号塔顶端A处的仰角为，某一时刻在太阳光的照射下，信号塔顶端A的影子落在地面上的点E处，标杆顶端C的影子落在地面上的点F处，并测得米，米，已知，，点B、D、E、F在同一条直线上，求这座信号塔的高度． 【变式4】（2025·陕西西安·三模）小凌和数学小组的同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量华清池《长恨歌》群雕最高点到地面距离的活动．如图，小凌在B处竖立一根竖杆，在点A处架设一根横杆，杆可以绕着点A在平面内旋转．在工作人员的帮助下小凌测得与之间的距离为，小凌绕点A转动杆，通过观测发现当点D恰好位于点时（此时点C位于点），雕塑的顶端P在的延长线上．测得，点到的距离为，点到的距离为，，，，图中所有点均在同一平面内，请你求出《长恨歌》群雕最高点到地面的距离． ►题型02 相似三角形实际应用之测距类题型 万能解题步骤(所有测距通用) 1.在岸边构造直角：人、标杆垂直地面→两个直角相等 2.找对顶角/相等角视线交叉形成对顶角相等 3.证明两个三角形相似(AA) 4.列比例式： 5.解方程求河宽 【典例】（2025·陕西咸阳·模拟预测）我们在对不同学科的深入学习过程中，会发现不同的学科之间有着千丝万缕的联系．夏夏同学在学习过光现象和图形的相似后进行了一个有趣的实验．如下图，地面上从左往右依次是墙、垂直于地面的木板和平面镜．点是手电筒的灯泡，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．通过测量，灯泡距离地面的高度为，木板的长度与墙到地面的距离相差4米，平面镜到木板的距离为，木板到墙面的距离为．求灯泡到平面镜的水平距离． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 【变式2】（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 【变式3】（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． ►题型03 形似三角形实际应用之跨学科题型 【典例】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【变式1】（2025·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【变式3】（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 突破一 相似三角形的性质与判定解答题压轴 【典例】（2026·山西长治·一模）综合与探究 如图1：中，，，点D在边上，． (1)求证：． (2)如图2所示，将绕点B顺时针旋转得到（点A的对应点为，点D的对应点为）． ①当点落在的延长线上时，过点B作交的延长线于点F，猜想，之间的数量关系，并说明理由． ②当所在的直线与所在的直线垂直时，直接写出点A与点之间的距离． 【变式1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，点D在的延长线上，，，点F在边上，，的延长线交线段于点M． (1)求证：； (2)当点M是的中点时，求证：； (3)已知 ，，设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【变式2】（2026·湖北武汉·模拟预测）在矩形中，是对角线的交点，，将绕点旋转，分别与边相交于，连接（k为常数）． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，． ①若，求的长； ②若，请直接写出的长． 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $