专题4.2 两角和与差的三角函数公式（高效培优讲义，6知识&10题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

专题4.2 两角和与差的三角函数公式 教学目标 1.探索并掌握两角差的余弦公式，理解向量法在推导过程中的作用，能熟练记忆并灵活应用。 2.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，掌握这些公式的结构特征。 3.熟练运用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明，初步掌握公式的正用、逆用与变形用。 4.理解辅助角公式、积化和差与和差化积公式的推导过程，能利用这些公式进行三角函数式的化简、求值与证明。 教学重难点 1.重点 （1）两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导、结构特征及基本应用。 （2）灵活运用两角和与差的公式进行三角函数式的化简、求值与恒等式证明。 （3）辅助角公式的结构形式与应用，以及公式的正用、逆用与变形技巧。 2.难点 （1）灵活选择和综合运用多个公式（包括逆用、变形用）解决复杂的三角化简、求值问题。 （2）理解积化和差、和差化积公式的推导逻辑，以及在具体问题中选择合适公式的策略。 知识点01 两角和与差的余弦公式 ，适用条件：都是任意角。 ，适用条件：都是任意角。 【即学即练】 1．(24-25高一下·青海海南藏族高级中学·期末)（    ） A． B． C． D．1 2．(25-26高一·江苏南京金陵中学·)若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·陕西咸阳民盟中学·期中)已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 知识点02 两角和与差的正弦公式 ，使用条件：都是任意角。 ，使用条件：都是任意角。 【即学即练】 4．(25-26高一上·天津西青区·期末)已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 5．(25-26高三上·黑龙江牡丹江第三高级中学·月考)已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 两角和与差的正切公式 ，使用条件：。 ，使用条件：。 【即学即练】 6．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末)（    ） A．1 B． C． D．2 7．(25-26高二上·云南保山腾冲·期末)已知，则（   ） A． B． C．1 D． 知识点04 辅助角公式 （1） 其中，所在象限由的符号确定，或者 （2） 其中，所在象限由的符号确定，或者 （3）常见辅助角结论：；；； 【即学即练】 8．(25-26高一下·安徽天一·开学考)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 9．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 10．(25-26高一上·广东河源龙川一中·期末)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 知识点05 积化和差公式 （1）； （2）； （3）； （4） 其关键把三角函数的一种形式（积的形式）转化为另一种形式（和差的形式）。②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质。 【即学即练】 11．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．等于（    ） A． B． C． D． 知识点06 和差化积公式 （1）； （2）； （3）； （4）. 和差化积公式应用时的注意事项：在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。 【即学即练】 14．(23-24高三上·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·月考)若，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，则（    ） A． B． C． D．1 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【典例1】(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·四川德阳天立高级中学·)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一下·河南许平汝名校·开学考)已知，则（    ） A． B． C． D．或 【变式4】(23-24高一上·浙江衢州·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型02 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【典例1】(24-25高一下·四川绵阳中学·)的值等于（   ） A． B．0 C． D． 【变式1】(22-23高一下·江苏连云港华杰高级中学·)=（    ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24高一上·黑龙江哈尔滨第六中学·)已知，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(22-23高一下·辽宁丹东·期末)（    ） A． B． C． D． 【变式4】(22-23高一下·四川巴中·期末)的值为（    ） A． B． C．0 D． 题型03 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【典例1】(24-25高一下·海南海口·期末)已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知α、β为锐角，且，，则sinβ的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(21-22高一下·江苏盐城田家炳中学·期中)已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型04 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【典例1】的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【变式1】(25-26高一上·陕西渭南蒲城县·期末)的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·河南平顶山·期末)（   ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一下·江苏苏州·调研)（    ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一下·江苏宿迁·期末)计算的值为（    ） A． B． C． D． 题型05 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【典例1】(25-26高一上·山东济南外国语学校·月考)已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】已知，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式3】(22-23高一·第四章三角恒等变换A卷基础夯实-·)若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】(22-23高一下·浙江衢温“51”联盟·期中)已知是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 题型06 逆用和、差角的正切公式化简、求值 【典例1】（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】(24-25高二下·河北唐山遵化·期末)若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（   ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【变式3】(23-24高一下·江苏海门中学·调研)化简：（    ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一下·江苏常州联盟学校·调研)（   ） A．1 B． C．3 D． 题型07 求特殊角的正弦/余弦/正切 【典例1】(23-24高一下·辽宁部分高中·期末) （    ） A． B． C． D． 【变式1】(20-21高一下·上海黄浦区格致中学·月考)已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【变式2】(21-22高一下·四川成都新都区·期末)（    ） A． B． C． D． 【变式3】(16-17高一下·吉林梅河口五中·期末)（   ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一下·山东临沂河东区·期中)（    ） A． B． C． D． 题型08 辅助角公式的运用 【典例1】已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数 的最大值为（  ） A．2 B． C． D．1 【变式3】(23-24高一下·广东梅州·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 题型09 积化和差公式的运用 【典例1】（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【变式1】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】(21-22高一·10.3几个三角恒等式（备作业）-·)cos15° sin 105°=（    ） A．+ B．- C．+1 D．-1 【变式3】(22-23高一下·江苏淮安·期末)若，，则（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式4】（    ） A． B． C． D． 题型10 和差化积公式的运用 【典例1】可化简为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（　　） A． B． C． D． 【变式2】(20-21高一下·4.2.4积化和差与和差化积公式同步练习·)的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】化简：_____________． 1．(23-24高三上·四川成都经济技术开发区实验中学校·月考)已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．(21-22高一下·辽宁大连第八中学·期中)已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 3．(22-23高一下·四川广元中学·)（ ） A． B． C． D． 4．(22-23高一下·广东佛山三水区三水中学·)已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高三上·河南名校联盟·)已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(21-22高一上·湖南邵阳邵东·期末)设直线与函数、、的图象在内交点的横坐标依次是、、，则（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一下·湖南株洲第二中学·开学考)的值为（   ） A． B． C． D． 8．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·安徽·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·贵州毕节织金县·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，则（   ） A． B． C． D． 12．已知，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 13．(20-21高一上·新疆喀什莎车县第一中学·二模)的值为（ ） A． B． C． D． 14．(19-20高一下·江苏镇江心湖中学·月考)计算：（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高二下·云南红河州蒙自第四中学·期中)（   ） A． B． C． D． 16．(24-25高一下·广东河源·)在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一下·云南昆明·期末)若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 18．若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．2 19．(24-25高一下·云南楚雄第一中学·月考)下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 20．等于（    ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 两角和与差的三角函数公式 教学目标 1.探索并掌握两角差的余弦公式，理解向量法在推导过程中的作用，能熟练记忆并灵活应用。 2.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，掌握这些公式的结构特征。 3.熟练运用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明，初步掌握公式的正用、逆用与变形用。 4.理解辅助角公式、积化和差与和差化积公式的推导过程，能利用这些公式进行三角函数式的化简、求值与证明。 教学重难点 1.重点 （1）两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导、结构特征及基本应用。 （2）灵活运用两角和与差的公式进行三角函数式的化简、求值与恒等式证明。 （3）辅助角公式的结构形式与应用，以及公式的正用、逆用与变形技巧。 2.难点 （1）灵活选择和综合运用多个公式（包括逆用、变形用）解决复杂的三角化简、求值问题。 （2）理解积化和差、和差化积公式的推导逻辑，以及在具体问题中选择合适公式的策略。 知识点01 两角和与差的余弦公式 ，适用条件：都是任意角。 ，适用条件：都是任意角。 【即学即练】 1．(24-25高一下·青海海南藏族高级中学·期末)（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】， 故选：A. 2．(25-26高一·江苏南京金陵中学·)若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 3．(23-24高一下·陕西咸阳民盟中学·期中)已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角关系，结合余弦的和角公式即可代入求解. 【详解】由可得，， 由，得，， 故， 故选：C 知识点02 两角和与差的正弦公式 ，使用条件：都是任意角。 ，使用条件：都是任意角。 【即学即练】 4．(25-26高一上·天津西青区·期末)已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案. 【详解】是锐角，，故， 又，都是锐角，故，又， 故，所以， 所以 . 故选：B 5．(25-26高三上·黑龙江牡丹江第三高级中学·月考)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 知识点03 两角和与差的正切公式 ，使用条件：。 ，使用条件：。 【即学即练】 6．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末)（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据正切和角公式，再化简即可求解． 【详解】由， ， ． 故选：A． 7．(25-26高二上·云南保山腾冲·期末)已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 所以. 知识点04 辅助角公式 （1） 其中，所在象限由的符号确定，或者 （2） 其中，所在象限由的符号确定，或者 （3）常见辅助角结论：；；； 【即学即练】 8．(25-26高一下·安徽天一·开学考)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式整理可得，结合余弦函数单调性分析判断即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 9．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用辅助角公式合成一个余弦型函数，然后利用余弦型函数在定区间上的最值的求法可得答案. 【详解】， 当时，， 故当时，函数取最小值， 最小值为． 故选：A 10．(25-26高一上·广东河源龙川一中·期末)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变形，再由最小正周期公式求解即可. 【详解】由， 所以函数的最小正周期是， 故选：A． 知识点05 积化和差公式 （1）； （2）； （3）； （4） 其关键把三角函数的一种形式（积的形式）转化为另一种形式（和差的形式）。②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质。 【即学即练】 11．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 12．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 13．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】原式． 故选：B. 知识点06 和差化积公式 （1）； （2）； （3）； （4）. 和差化积公式应用时的注意事项：在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。 【即学即练】 14．(23-24高三上·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·月考)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 15．已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【典例1】(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以， 又， 所以， ， 又， 所以. 故选：A. 【变式1】(24-25高一下·四川德阳天立高级中学·)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系可求得，，再结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由，，得，同理，，可得， 所以. 故选：A. 【变式2】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角差的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以， 所以， 则 ， 故选：A． 【变式3】(23-24高一下·河南许平汝名校·开学考)已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，计算，由，利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，得，因为，所以，则， . 故选：A 【变式4】(23-24高一上·浙江衢州·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 于是有 ， 故选：C 题型02 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【典例1】(24-25高一下·四川绵阳中学·)的值等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合两角和的余弦公式化简可得结果． 【详解】因为， 故选：C． 【变式1】(22-23高一下·江苏连云港华杰高级中学·)=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角差的余弦公式，化简求值. 【详解】 . 故选：A 【变式2】(23-24高一上·黑龙江哈尔滨第六中学·)已知，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简，再由余弦两角和差公式即可求得. 【详解】 故选：A 【变式3】(22-23高一下·辽宁丹东·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式与余弦两角和公式化简求值即可. 【详解】 故选：A. 【变式4】(22-23高一下·四川巴中·期末)的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值. 【详解】 . 故选：B 题型03 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【典例1】(24-25高一下·海南海口·期末)已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 由两角差的正弦公式可得. 故选：B. 【变式1】已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的基本关系式与和差公式即可得解. 【详解】因为，都是锐角，所以，则， 又， 所以，， 则 . 故选：B 【变式2】如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义和正弦、余弦的两角差公式求得和，再利用余弦的两角和公式计算即可. 【详解】设终边过点的角为，终边过点的角为， 由三角函数的定义可得，， ，， 所以， ， 所以， 故选：A 【变式3】已知α、β为锐角，且，，则sinβ的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和差的正弦公式求得的值． 【详解】因为为锐角，， 所以， 因为为锐角，所以， 因为， 所以 所以 故选：A． 【变式4】(21-22高一下·江苏盐城田家炳中学·期中)已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则，所以，， 所以，. 故选：B. 题型04 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【典例1】的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由两角和正弦公式计算. 【详解】， 故选：B. 【变式1】(25-26高一上·陕西渭南蒲城县·期末)的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 【变式2】(24-25高一下·河南平顶山·期末)（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解. 【详解】 . 故选：A 【变式3】(23-24高一下·江苏苏州·调研)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值. 【详解】 . 故选：A. 【变式4】(23-24高一下·江苏宿迁·期末)计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和差角公式化简计算即可． 【详解】 故选：B. 题型05 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【典例1】(25-26高一上·山东济南外国语学校·月考)已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 【变式1】若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】对进行变换可得，再结合两角差的正切展开公式求解. 【详解】因为， 所以． 【变式2】已知，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值. 【详解】由得，进而可得，所以， 故选：D 【变式3】(22-23高一·第四章三角恒等变换A卷基础夯实-·)若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式求值. 【详解】.且，， 所以，， 又，. 故选：A 【变式4】(22-23高一下·浙江衢温“51”联盟·期中)已知是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正切公式即可得到结果. 【详解】因为是方程的两个实数根， 所以， 则， 故选：D. 题型06 逆用和、差角的正切公式化简、求值 【典例1】（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的正切公式进行求解即可. 【详解】. 故选：A 【变式1】(24-25高二下·河北唐山遵化·期末)若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】按照两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】， . 故选：D 【变式2】（   ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】C 【分析】由诱导公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 【变式3】(23-24高一下·江苏海门中学·调研)化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正余弦的齐次式法，结合正切的和角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果. 【详解】因为， 故选：D. 【变式4】(23-24高一下·江苏常州联盟学校·调研)（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 题型07 求特殊角的正弦/余弦/正切 【典例1】(23-24高一下·辽宁部分高中·期末) （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 【变式1】(20-21高一下·上海黄浦区格致中学·月考)已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】由诱导公式可知点即为，，由三角函数定义可知，平方利用两角和的正弦计算可得结果. 【详解】解：角的终边经过点，即， 由三角函数的定义可得，，所以． 故选：． 【变式2】(21-22高一下·四川成都新都区·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正切公式计算可得； 【详解】 故选：A 【变式3】(16-17高一下·吉林梅河口五中·期末)（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式计算可得结果. 【详解】. 故选：A. 【变式4】(23-24高一下·山东临沂河东区·期中)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合两角差的余弦公式运算求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：D. 题型08 辅助角公式的运用 【典例1】已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【详解】 ， 因为，所以 的值域为 ， 故选：B. 【变式1】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式将函数化简为单一正弦函数形式，再根据正弦函数的周期公式求解该函数的最小正周期. 【详解】函数化简得，其中，， 因为，正弦函数的周期公式为， 所以函数的最小正周期是. 故选：C. 【变式2】函数 的最大值为（  ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】整理可得，结合正弦函数最值分析求解. 【详解】因为， 当，即时，函数取到最大值2. 故选：A. 【变式3】(23-24高一下·广东梅州·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得，即可由诱导公式求解. 【详解】由得，故， 故选：B 【变式4】为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 题型09 积化和差公式的运用 【典例1】（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【答案】D 【分析】利用积化和差求解, 【详解】解：， ， ， ， 故选：D. 【变式1】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案. 【详解】因为 ，所以. 故选：C. 【变式2】(21-22高一·10.3几个三角恒等式（备作业）-·)cos15° sin 105°=（    ） A．+ B．- C．+1 D．-1 【答案】A 【分析】利用积化和差公式直接求解． 【详解】 . 故选：A． 【变式3】(22-23高一下·江苏淮安·期末)若，，则（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合角的范围运算求解. 【详解】因为 ， 则， 又因为，则， 显然不成立，所以，解得. 故选：D. 【变式4】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式即可化简得到答案. 【详解】 . 故选：C. 题型10 和差化积公式的运用 【典例1】可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式将转化为，统一函数名称，再利用和差化积公式对进行变形，最后利用余弦偶函数性质和特殊角三角函数值化简即可得解. 【详解】． 故选：C. 【变式1】（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】格根据三角函数和差化积公式直接求得即可. 【详解】. 故选：C. 【变式2】(20-21高一下·4.2.4积化和差与和差化积公式同步练习·)的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用和差化积公式将化为后，再用诱导公式将化为即可. 【详解】原式 . 故选：A. 【变式3】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差化积公式直接判断即可. 【详解】由和差化积公式可知： ， ，， 因此选项C正确， 故选：C 【变式4】化简：_____________． 【答案】/ 【分析】由诱导公式，得，再根据和差化积公式及二倍角的正弦公式、诱导公式化简即可. 【详解】 ． 故答案为：. 1．(23-24高三上·四川成都经济技术开发区实验中学校·月考)已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的正弦值和余弦值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则，由已知条件可得，解得， 因此，. 故选：A. 2．(21-22高一下·辽宁大连第八中学·期中)已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，利用同角三角函数的关系算出、的值，进而根据两角和的余弦公式算出，结合可得的值． 【详解】因为满足， 所以，. 由此可得. 又因为，所以， 故选：C. 3．(22-23高一下·四川广元中学·)（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的余弦公式求解. 【详解】. 故选：A 4．(22-23高一下·广东佛山三水区三水中学·)已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式，计算求得的值． 【详解】，， 平方相加可得， 求得，即． 故选：C． 5．(22-23高三上·河南名校联盟·)已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果. 【详解】由得， 又，即 又均为锐角，所以 故选：C 6．(21-22高一上·湖南邵阳邵东·期末)设直线与函数、、的图象在内交点的横坐标依次是、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，得到，再利用两角和的三角函数的公式求解. 【详解】因为直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 7．(25-26高一下·湖南株洲第二中学·开学考)的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 8．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D. 9．(24-25高一下·安徽·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：B 10．(24-25高一上·贵州毕节织金县·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 11．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数商数的关系化简，结合两角和的正切公式得，利用诱导公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴ ，∴（），∴. 故选：C. 12．已知，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的正切公式即可得到答案. 【详解】 . 故选：B. 13．(20-21高一上·新疆喀什莎车县第一中学·二模)的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：C 14．(19-20高一下·江苏镇江心湖中学·月考)计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将拆成，用两角和的正弦计算即可. 【详解】解：. 故选：D. 15．(24-25高二下·云南红河州蒙自第四中学·期中)（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 16．(24-25高一下·广东河源·)在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，由边化角，根据三角形内角和以及两角和的正弦公式，化简等式，依据辅助角公式求出结果. 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 17．(24-25高一下·云南昆明·期末)若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式化简得，根据对称轴求出的值，将代入解出的值. 【详解】根据辅助角公式得：， 因为的图象关于对称， 所以，解得即， 则. 故选：B 18．若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先化简函数的解析式，再利用平移规律求函数的解析式，最后代入求值. 【详解】， 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. 故选：C 19．(24-25高一下·云南楚雄第一中学·月考)下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正余弦公式，正切公式化简比较逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，故不能恒成立，即A错误； 对于B，因，故不能恒成立，即B错误； 对于C，因，则有在其有意义的条件下恒成立，故C正确； 对于D，因，，则 故，即不能恒成立，故D错误. 故选：C. 20．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用诱导公式、积化和差公式化简所给的式子，可得结果. 【详解】由题意， . 故选：A. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $