专题4.1 同角三角函数的基本关系（高效培优讲义，3知识&7题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

专题4.1 同角三角函数的基本关系 教学目标 1.理解同角三角函数基本关系式的推导过程，能从三角函数的定义出发推导出平方关系与商数关系。 2.熟练掌握同角三角函数的基本关系式，明确其成立的条件。 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 教学重难点 1.重点 （1）同角三角函数基本关系式的推导与核心内容； （2）灵活运用基本关系式进行三角函数式的化简、求值与恒等式证明。 2.难点 （1）根据函数值的正负，结合角的范围讨论并确定三角函数值，避免漏解或增解； （2）在复杂三角恒等式证明中，合理选择和变形基本关系式，找到简洁的证明路径。 知识点01 同角三角函数的基本关系式 （1） 平方关系：；文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1。 （2） 商数关系：；文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角 的正切。 【即学即练】 1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分中学·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·江西南昌·期末)已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 知识点02 基本关系式的变形公式 （1） 平方关系的变形 （2） 商数关系的变形 【即学即练】 3．(24-25高一上·福建福州长乐第一中学·月考)已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．(21-22高一下·河南驻马店·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 常见同角三角函数的恒等式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 7） 【即学即练】 5．求证： (1)； (2)． 6．(21-22高一上·甘肃兰州东方中学·期末)求证： (1)； (2). 题型01 已知正（余）弦求余（正）弦 【典例1】(25-26高二上·贵州六盘水·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一·河南驻马店第一高级中学·)已知，且是第二象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·贵州遵义·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二下·浙江“桐●浦●富●兴”教研联盟·模拟)已知，且满足，则（    ） A． B． C． D． 题型02 由条件等式求正、余弦 【典例1】已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】(23-24高二上·山西·期末)若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(21-22高一下·山东东营广饶县第一中学·月考)已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 利用平方关系求参数 【典例1】当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 【变式1】(23-24高一上·上海华东师范大学附属东昌中学·期末)设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【变式2】(20-21高一下·黑龙江大庆中学·开学考)已知，是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，其中，则的值为 . 【变式4】已知，，则实数k的值为 . 题型04 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【典例1】(25-26高一上·云南师大附中·期末)已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·福建龙岩高级中学·月考)在中，若为最大内角，且，则三角形为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【变式2】(25-26高一上·贵州毕节金沙县·期末)已知是关于的一元二次方程的两根，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高三上·山东济宁·期中)已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】(25-26高三上·四川绵阳南山中学·)若，且，则（   ） A． B． C． D． 题型05 正、余弦齐次式的计算 【典例1】(24-25高一上·湖南常德沅澧共同体·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·广东广州海珠区·)已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高一上·湖南邵阳大祥区邵阳第二中学·期末)已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】(25-26高一上·江苏苏州·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(25-26高一上·山东蒙阴第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 题型06 同角三角函数基本关系证明恒等式 【典例1】(23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【变式2】求证：. 【变式3】求证： (1)； (2)； (3)． 【变式4】求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07 三角函数的化简、求值 【典例1】(25-26高一·河北石家庄精英中学·调研)化简： (1)； (2)，其中为第三象限角. 【变式1】(25-26高一上·湖北孝感楚天教科研协作体·期末)已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式2】(25-26高一上·湖南常德第七中学·期末)（1）化简并求值：； （2）已知，求的值. 【变式3】(24-25高一上·山西太原新力惠中学校·月考)解决下列问题： (1)已知为第二象限角，化简： (2)已知：，且，求的值． 【变式4】(25-26高一上·贵州毕节织金县·期末)已知． (1)化简； (2)若，求的值． 1．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·福建三明第一中学·月考)已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高一下·湖南名校联考联合体（长郡中学，长沙一中等）·)若，为第四象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·河北保定部分高中·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．(21-22高二·贵州·)若第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 7．(20-21高一下·河南新乡·期末)已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 8．(24-25高一下·四川成都石室天府中学·期中)已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 9．(23-24高一上·上海洋泾中学·期末)若，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．(21-22高一上·四川遂宁绿然国际学校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 11．(22-23高一上·海南华侨中学·期末)若，且满足，则（    ） A． B． C． D． 12．(22-23高一上·山东烟台·期末)已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 13．(22-23高一上·重庆第八中学校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·江苏无锡北高级中学·)已知，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 16．(23-24高一下·云南玉溪·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 17．已知，则（   ） A． B． C． D．或 18．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·月考)已知，则（   ） A． B． C． D． 19．(24-25高一下·江西南昌第二中学·月考)已知角为第三象限角，且 (1)求的值； (2)化简求值：. 20．已知. (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 同角三角函数的基本关系 教学目标 1.理解同角三角函数基本关系式的推导过程，能从三角函数的定义出发推导出平方关系与商数关系。 2.熟练掌握同角三角函数的基本关系式，明确其成立的条件。 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 教学重难点 1.重点 （1）同角三角函数基本关系式的推导与核心内容； （2）灵活运用基本关系式进行三角函数式的化简、求值与恒等式证明。 2.难点 （1）根据函数值的正负，结合角的范围讨论并确定三角函数值，避免漏解或增解； （2）在复杂三角恒等式证明中，合理选择和变形基本关系式，找到简洁的证明路径。 知识点01 同角三角函数的基本关系式 （1） 平方关系：；文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1。 （2） 商数关系：；文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角 的正切。 【即学即练】 1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分中学·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解. 【详解】因为， 所以 ， 又因为， 所以 . 故选：. 2．(24-25高一下·江西南昌·期末)已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【详解】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 知识点02 基本关系式的变形公式 （1） 平方关系的变形 （2） 商数关系的变形 【即学即练】 3．(24-25高一上·福建福州长乐第一中学·月考)已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 法二：由题意先求得，进而求得的值，可求得的值，从而可求得的值. 【分析】法一：因为是三角形的内角，所以，即， 又，， 所以. 法二：由①两边平方得， 所以，又因为是三角形的内角，所以，即， 所以，所以， 又，所以②， 联立①，②，解得，所以. 故选：B. 4．(21-22高一下·河南驻马店·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知结合求得即可求出. 【详解】因为，， 则可解得，所以. 故选：A. 知识点03 常见同角三角函数的恒等式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 7） 【即学即练】 5．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 6．(21-22高一上·甘肃兰州东方中学·期末)求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 题型01 已知正（余）弦求余（正）弦 【典例1】(25-26高二上·贵州六盘水·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式计算可求解. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 【变式1】(25-26高一·河南驻马店第一高级中学·)已知，且是第二象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求的值. 【详解】因为，且是第二象限角，故， 故， 故选：A. 【变式2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 【变式3】(24-25高一下·贵州遵义·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 【变式4】(24-25高二下·浙江“桐●浦●富●兴”教研联盟·模拟)已知，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据诱导公式得出，再根据同角三角函数关系结合角的范围求解. 【详解】因为，所以， 已知，则. 故选：D. 题型02 由条件等式求正、余弦 【典例1】已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件式平方化简，再利用与的关系，结合求解，最后由平方差公式即可. 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即， 又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：D. 【变式1】(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 【变式2】(23-24高二上·山西·期末)若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知结合平方关系求出，再代入即可得解. 【详解】因为，所以， 又， 所以，即， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 【变式3】(23-24高一上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系式求得，代入即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即，解得， 所以. 故选：B. 【变式4】(21-22高一下·山东东营广饶县第一中学·月考)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可求得的值. 【详解】因为，则，由已知可得，解得， 因此，. 故选：D. 题型03 利用平方关系求参数 【典例1】当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得． 【详解】，则， 因为， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是8. 故选：B． 【变式1】(23-24高一上·上海华东师范大学附属东昌中学·期末)设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 【变式2】(20-21高一下·黑龙江大庆中学·开学考)已知，是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的平方关系求解. 【详解】由Δ≥0知，a≤. 又 由(1)2得：sinαcosα＝－， ∴＝－， ∴a＝－. 故选：C 【变式3】已知，，其中，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 【变式4】已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 题型04 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【典例1】(25-26高一上·云南师大附中·期末)已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，利用平方关系分析可知，利用平方关系可求出的值，再利用切化弦可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 因为，等式两边平方可得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此， 故选：A. 【变式1】(25-26高一上·福建龙岩高级中学·月考)在中，若为最大内角，且，则三角形为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据平方关系可得，结合三角函数值的符号分析判断即可. 【详解】由，两边平方，， ， 又因，则，故， 可知角A为钝角，故三角形为钝角三角形. 故选：C. 【变式2】(25-26高一上·贵州毕节金沙县·期末)已知是关于的一元二次方程的两根，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理建立和的方程，结合平方关系，即可求得的值. 【详解】已知是关于的一元二次方程的两根， 则有， 又由， 得，解得. 故选：B 【变式3】(25-26高三上·山东济宁·期中)已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的取值范围，判断的符号，再利用平方关系求值. 【详解】因为，所以 ， 又 ， 所以. 故选：B 【变式4】(25-26高三上·四川绵阳南山中学·)若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式平方，利用同角三角函数基本关系求出，再通过的定义建立方程求解，结合角的范围确定正切值. 【详解】由，两边平方可得， 即， 又，所以，且 解得：. 故选：A 题型05 正、余弦齐次式的计算 【典例1】(24-25高一上·湖南常德沅澧共同体·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弦切互化和齐次式化简求解. 【详解】已知，则. 故选：B 【变式1】(25-26高一上·广东广州海珠区·)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由诱导公式化简得出，再弦化切代入求值即可. 【详解】， . 故选：D. 【变式2】(25-26高一上·湖南邵阳大祥区邵阳第二中学·期末)已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据齐次转化得，再解方程即可． 【详解】解：， 即， 解得． 故选：D． 【变式3】(25-26高一上·江苏苏州·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合同角三角函数的基本关系可得或，再结合齐次式求解即可. 【详解】由题意得，且， 可得，解得或， 则， 当时，； 当时，. 综上所述，. 故选：A 【变式4】(25-26高一上·山东蒙阴第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解． 【详解】根据诱导公式可得 ， 则. 故选：C 题型06 同角三角函数基本关系证明恒等式 【典例1】(23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 【变式1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【详解】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 【变式2】求证：. 【答案】证明见解析 【分析】从右往左切化弦即可证明. 【详解】. 所以原等式成立． 【变式3】求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【详解】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 【变式4】求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 【分析】根据同角关系即可化简求解. 【详解】（1）左边==右边，故得证， （2）左边==右边，故得证， （3）左边==右边，故得证， （4）左边==右边，故得证 题型07 三角函数的化简、求值 【典例1】(25-26高一·河北石家庄精英中学·调研)化简： (1)； (2)，其中为第三象限角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式和弦化切即可求解； （2）利用平方关系，以及三角函数在象限的符号，去掉根号，化简即可． 【详解】（1） ； （2）∵为第三象限角， ∴ . 【变式1】(25-26高一上·湖北孝感楚天教科研协作体·期末)已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系化简整理得，再结合的范围解方程即可得答案; （2）根据诱导公式化简得，再结合同角三角函数关系求解即可. 【详解】（1）因为，，所以 所以，即， 解得或，当时，的分母为0，无意义，舍去， 所以. （2）因为，， ， ， 所以 因为，，所以， 所以，即. 【变式2】(25-26高一上·湖南常德第七中学·期末)（1）化简并求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据对数恒等式，对数运算法则，实数指数幂的运算即可求解； （2）根据同角三角函数的平方关系，商数关系及齐次式的计算即可求解． 【详解】（1）原式； （2）因为，所以，则 【变式3】(24-25高一上·山西太原新力惠中学校·月考)解决下列问题： (1)已知为第二象限角，化简： (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而根据同角三角函数关系化简求解即可； （2）根据同角三角函数关系得，再结合诱导公式求解即可. 【详解】（1）解：因为为第二象限角，所以， 所以 （2）解：因为，所以，， 因为，所以 因为， 所以. 【变式4】(25-26高一上·贵州毕节织金县·期末)已知． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式，即可求解； （2）根据条件及平方关系求出，再利用诱导公式及商数关系，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）由（1）知，得到， 又，则， 所以. 1．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合同角公式判断即得. 【详解】由，得；反之，若，则或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．(24-25高一上·福建三明第一中学·月考)已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，再通过商的关系求出． 【详解】∵，且为第四象限角， ∴，则． 故选：A． 3．(21-22高一下·湖南名校联考联合体（长郡中学，长沙一中等）·)若，为第四象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方关系以及角所在象限计算可得结果. 【详解】由，利用可得； 可得； 又为第四象限角，所以，即. 故选：D 4．(24-25高一上·河北保定部分高中·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值. 【详解】，故，则， 故. 故选：A 5．若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由条件结合解出的值即可. 【详解】由可得， 代入可得，解得或（舍） 所以，所以 故选：B 6．(21-22高二·贵州·)若第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合求出即可得出. 【详解】因为第三象限角，所以， 因为，且， 解得或， 则. 故选：D. 7．(20-21高一下·河南新乡·期末)已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】C 【分析】先联立，解出，的值，再把，的值代入表达式求解即可. 【详解】联立， 解得或， 当，时， ； 当，时， . 故选：C. 8．(24-25高一下·四川成都石室天府中学·期中)已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解. 【详解】由，， 则， 则，解得（舍去）或， 所以实数t所有可能值的和为1. 故选：C. 9．(23-24高一上·上海洋泾中学·期末)若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则，所以，. 故选：D. 10．(21-22高一上·四川遂宁绿然国际学校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】从可得，，所以， 因为， 故选：A. 11．(22-23高一上·海南华侨中学·期末)若，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可推出，进而可得出.然后根据的范围，开方即可求出. 【详解】因为， ， 所以，. 所以，. 又，所以， 所以. 故选：A. 12．(22-23高一上·山东烟台·期末)已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意，得到，，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为是第二象限角，所以，， 又，所以， 即，得， 所以. 故选：C. 13．(22-23高一上·重庆第八中学校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可直接构造方程求解. 【详解】， . 故选：C. 14．(24-25高一上·江苏无锡北高级中学·)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角间的三角函数关系式计算． 【详解】∵，，∴， ∴， 故选：B． 15．已知，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】根据弦切互化求出，即可代入求解. 【详解】，解得，故. 故选：C 16．(23-24高一下·云南玉溪·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 17．已知，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据同角三角函数之间的关系化简求解即可. 【详解】， 化简整理得， 解得或， 又，则. 故选：A 18．(24-25高一下·北京中央民族大学附属中学（朝阳）·月考)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的商数关系得，构造齐次式求解即可． 【详解】由得，， 则， 故选：A． 19．(24-25高一下·江西南昌第二中学·月考)已知角为第三象限角，且 (1)求的值； (2)化简求值：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方关系和商数关系求出，，代入即可; （2）利用诱导公式化简即可得出答案. 【详解】（1）由题得，又角为第三象限角， 解得，，所以原式； （2）原式. 20．已知. (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解； （2）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解. 【详解】（1） ； （2）因为，即，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $