数学一模突破卷（浙江专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C C B C B D D B 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3a+1）（3a﹣1） 12．（2，﹣1） 13．6． 14． 15． 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0， ∴（x﹣4）（x+2）＝0， 则x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣2； ……………………………………………………4分 （2）， ②﹣①×2，得：x＝6， 将x＝6代入①得6+2y＝0， 解得y＝﹣3， 所以方程组的解为． ……………………………………………………8分 18．（8分） 【解答】解：原式 ， ……………………………………………………6分 当时， 原式． ……………………………………………………8分 19．（8分） 【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求； ……………………………………………………4分 （2）证明：如图2，连接OD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∵OD为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线． ……………………………………………………8分 20．（8分） 【解答】解：（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为9﹣x， 根据题意列方程，得：（9﹣x）x＝6， ∴x2﹣9x+6＝0， 解得：，， ∴此时命题成立； ……………………………………………………4分 （2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x． 根据题意列方程，得：x[k（m+n）﹣x]＝kmn， 即x2﹣k（m+n）x+kmn＝0， 根据求根公式得：b2﹣4ac＝k2（m+n）2﹣4kmn＝k[k（m+n）2﹣4mn]， ∵k＞1， ∴[k（m+n）2﹣4mn]＞（m+n）2﹣4mn， 又（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2≥0， ∴[k（m+n）2﹣4mn]＞0， ∴存在矩形B， ∴此命题成立． ……………………………………………………8分 21．（8分） 【解答】解：（1）过点B作BH⊥CD，设BH＝xm，由题意，得：∠BEH＝45°，∠BDH＝37°， ∴BExm，BExm， ， ∵， ∴x＝4.5， ∴； ……………………………………………………4分 答：EB之间的距离为6.3m； （2）过点B作BF⊥OC，则：四边形BHCF为矩形， ∴BF∥CD，BF＝CH， ∴∠OBF＝∠BEH＝45°， ∴△BOF为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：EH＝4.5m， ∴BF＝CH＝CE﹣HE＝0.5m， ∴． ∵点O为AB的中点， ∴， ……………………………………………………8分 答：AB的长度约为1.4m． 22．（10分） 【解答】解：（1） 补全图形如下： 故答案为：17%，33.3； ……………………………………………………4分 （2）答案为：③； ……………………………………………………6分 （3）由题意可得，树状图如图所示， 由树状图知，共有12种等可能结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的有8种结果， ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率是． ………………………………………10分 23．（10分） 【解答】（1）解：∵点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上， ∴n1，n2， ∵“域差值”t＝﹣4， ∴n2﹣n1＝﹣4， 即4， 整理，得：m2+m﹣1＝0， 解得：m1，m2， 经检验，m1，m2均是方程4的解， ∴m的值为或； ……………………………………………………3分 （2）证明：设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0， 当x＝m时，n1＝﹣2m2， 当x＝m+1时，n2＝﹣2（m+1）2， ∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2， ∵m＞0， ∴﹣4m＜0， ∴﹣4m﹣2＜﹣2， 即t＜﹣2， 故该函数的“域差值”t＜﹣2； ……………………………………………………5分 （3）∵点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点， ∴b＝﹣2a2， ∵对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2， ∴W2：y＝2x2+2b＝2x2﹣4a2（x≤a）， ①当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W1的图象上时， 由（2）得：t＝﹣4m﹣2， 则﹣4m﹣2≤1， 解得：m，即a； ……………………………………………………6分 ②当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W2的图象上，即m+1≤a时， 则t＝2（m+1）2+2b﹣2m2﹣2b＝4m+2≤1， 解得：m， ∴m+1，即a； ……………………………………………………8分 ③当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上时， ∴m＜a＜m+1，即a﹣1＜m＜a， 则n1＝2m2﹣4a2，n2＝﹣2（m+1）2， ∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣2m2+4a2＝﹣4m2﹣4m﹣2+4a2＝﹣4（m）2+4a2﹣1， 若a，则﹣4a2﹣4a﹣2+4a2＝﹣4a﹣2≤1， 解得：a， ∴a； 若a﹣1a，即a， 则4a2﹣1≤1， 解得：a， ∴a； 若a﹣1，即a时， 则﹣4（a﹣1）2﹣4（a﹣1）﹣2+4a2＝4a﹣2≤1， 解得：a， ∴a； ∴当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上，且满足“域差值”t≤1时，a； ……………………………………………………10分 综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，a的取值范围为a． 24．（12分） 【解答】（1）证明：如图①，连接OB，OC，则OB＝OC， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△ACO≌△ABO（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO平分∠BAC； ……………………………………………………4分 （2）证明：如图②，AB＝AC，EF∥AC，连接AD，交BC于点K，连接EK， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC，∠EFC＝∠ACB， ∴∠EFC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC， ∵∠KFE+∠EFC＝180°， ∴∠KFE+∠ADC＝180°， ∴K，D，E，F四点共圆， ∴∠BKD＝∠DEF，∠DKE＝∠DFE， 在△BDK和△EDK中， ， ∴△BDK≌△EDK（SAS）， ∴∠BKD＝∠EKD， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF， ∵DE＝DB， ∴DB＝DF； ……………………………………………………8分 （3）解：如图③，AB＝AC，OB＝OC，连接BE， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC，AO⊥BC， ∵EF∥AC， ∴∠EFC＝∠ACB， ∴∠EFC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠EFC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC＝45°， ∵DE＝DB，∠BDC＝90°， ∴∠DBE＝∠DEB＝45°， ∴∠BEC＝∠BFE＝135°， ∵∠EBF＝∠CBE ∴△BFE∽△BEC， ∴， ∴BE2＝BF•BC， ∵△ABF的面积为8， ∴， ∴BF•AO＝16， ∴BF•2AO＝32， ∴BF•BC＝32， ∴BE2＝32， 解得：（负值已舍去）， ∴DB＝BEsin45°＝4＝DE， ∵CE＝2， ∴DC＝DE+EC＝6， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∴⊙O的半径． ……………………………………………………12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分) 1 [A][B][C][D] 5][B][CID] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][c][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 11 13 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 刀 E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) A 0 537 545° D C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 作业完成时间统计图 +人数（人） 影响作业完成时间的主要原因统计图 200 180 180 11.5% 160 D 130 16.1% 39.1% 100 85 A 39 m% 20 20 B 5060708090100 作业完成时间x(分钟) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B 00 E B O E D D 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考数学第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第一次模拟考试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12. 12 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) C D E B 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 537° 145 D C 22.(10分) 作业完成时间统计图 人数（人） 影响作业完成时间的主要原因统计图 200 180 11.5% D 130 16.1% 39.1% 100 85 A 0600 m% 20 B 0 5060708090100 作业完成时间x(分钟) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) E E G Q P B B H D C 父 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考数学第一次模拟考试 三 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12 15 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) D E 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 0 145 E C 22.(10分) 作业完成时间统计图 +人数（人） 影响作业完成时间的主要原因统计图 200 180 1.5% D 130 16.1% 39.1% A 000 85 m% 20 20 B 0 5060708090100 作业完成时间x(分钟) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) E E G Q y P B y B C D H F 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．以上都不是 2．如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是甲、乙两家公司在1﹣8月份盈利情况统计图，据图判断下列结论不正确的是（　　） A．甲公司的盈利正在下跌 B．乙公司的盈利在1﹣4月间上升 C．乙公司在9月份的盈利一定比甲的多 D．在8月份，两家公司获得相同的盈利 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 5．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD，直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，若BN＝a，PN＝b，则用含a、b的式子表示的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG，则AG的长度为（　　）cm． A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，4），B（3，0），其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则△APB的面积是（　　） A．30 B．24 C．18 D．15 9．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，C，F为顶点的四边形为平行四边形的是（　　） 方案一 F为DA和CE的延长线上的交点 方案二 F为DC和AG的延长线上的交点 A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行 10．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：9a2﹣1＝　 　 ． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为（﹣3，4.5），（﹣6，3）．点A的对应点C的坐标是（1，﹣1.5），则点D的坐标是 　 　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE＝2cm，则菱形ABCD的面积等于　 　 cm2． 14．如图A，B两地相距50km，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 　 　 时间就追上甲． 15．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是4，∠P＝60°，则的长是　 　 ．（结果保留π） 16．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点N，M分别是边AB和AC上的动点，始终保持CM＝AN，连接CN，MB，则CN+MB的最小值为 　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程或方程组： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E． （1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BC是⊙O的切线； 20．（8分）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 21．（8分）某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上． （1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离； （2）求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.41） 22．（10分）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷： 1．近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题． 2．作业超时的主要原因是（单选） A．作业难度大无法按时完成 B．作业会做，但题量大无法按时完成 C．学习效率低无法完成 D．其他 平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组： ①50≤x＜60；②60≤x＜70；③70≤x＜80；④80≤x＜90；⑤90≤x＜100． 根据以上信息，解答下列问题： （1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 　 　 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的m＝　 　 ，补全作业完成时间统计图； （2）本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 　 　 组； （3）何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率． 23．（10分）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2． （1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值； （2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2； （3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围． 24．（12分）点B，C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，连接AB，AC，BC，AB＝AC． （1）如图①，求证：AO平分∠BAC； （2）如图②，D为弦BC下方⊙O上一点，连接BD，CD，E是CD上一点，DE＝DB，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接DF，求证：DB＝DF； （3）如图③，在（2）的条件下，若BC为⊙O的直径，△ABF的面积为8，CE＝2，求⊙O的半径． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 九年级数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. 1 的相反数是() 2026 1 1 A.-2026 B. C.-2026 D.以上都不是 2026 2.如图所示的几何体的左视图是() 从正面看 A 8 D. 3.如图，是甲、乙两家公司在1-8月份盈利情况统计图，据图判断下列结论不正确的是() 利润百万元 50叶甲 40 30H 20 10 0 12345678月份 A.甲公司的盈利正在下跌 B.乙公司的盈利在1-4月间上升 C.乙公司在9月份的盈利一定比甲的多 118 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D.在8月份，两家公司获得相同的盈利 4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB,.垂足为点D,taA-多CD=6,则BD的长为() A.7 B.8 C.9 D.12 5.我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗 各一尺共直钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10 尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱.问两种布每 尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为() A.120-92 96_896 X B.120-896=896 =30-x c.120+20=g29 D.896896 +120 X 30-X 6.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和 中间的小正方形MNPO拼成的一个大正方形ABCD,直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,若BN AE =a,PN=b,则用含b的式子表示BE的值是（） M b a+1 A.b+i B. a+b C.a a b D.a+2b 7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为2Cm,若G为CD的中点，连接AG,则AG的长度为() cnL. B G A.V11 B.V13 C.15 D.V17 8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,4),B(3,0),其两个锐 218 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 角的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y=的图象上，则△4PB的面积是() A.30 B.24 C.18 D.15 9.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点.下列两个方案中，能得到以A,B,C,F为顶点 的四边形为平行四边形的是() 方案一 方案二 A B C F为DA和CE的延长线上的交点 F为DC和AG的延长线上的交点 A.只有方案一 B.只有方案二 C.两个方案都不行 D.两个方案都行 10.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=2+bx+1(a≠0)，其中什b=-1. ①若这个函数的图象经过点(-1,0)，则函数必有最大值： ②若0<x<1时，y随x的增大而减小，则必有a>0; ③若这个函数的图象经过点(4,1)，则不等式ax2+br>0的解集为x<0或x>4: ④若方程m2+bx+1=0（a≠0)有一根为x1,且-2<x1<-1,则必有a>b. 上述四个结论中：所有正确的个数() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解：92-1= 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD是以O为位似中心的位似图形，A,B两点的坐标 分别为(-3,4.5)，（-6,3).点A的对应点C的坐标是(1，-1.5)，则点D的坐标是 318 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 13.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC,点E,F分别是AC,BC上的点，且EF垂直平分 BC,若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于 cm2. B 14.如图A,B两地相距50，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车 按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关 系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲. As/km 个 50-------- 40- 30 20-- Q 10 0 P/M 1 2 3 45t/时 15.不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图 1),图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O).己知帽子的边缘PA,PB分别与⊙O相 切于点A,B,若该圆半径是4，∠P=60°，则AMB的长是 (结果保留π) M 图1 图2 16.在Rt△ABC中，AB=4,BC=3,∠ABC=90°，点N,M分别是边AB和AC上的动点，始终保持CM =AN,连接CN,MB,则C件MB的最小值为 4/8 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M B 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)解方程或方程组： (1)x2-2x-8=0: (2)g+2=0 3x+4y=61 18,(8分》先化简，再求值：0m+2-+2其中m=V2+1. 19.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作AD的垂线交AB于 点E. (1)请画出△ADE的外接圆⊙O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：BC是⊙O的切线： 518 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(8分)命题：已知矩形A两边长分别为m,,存在一个矩形B,它的周长与面积都是矩形A的k倍(k 为大于1的正整数) (1)当=1，=2，k=3时，命题是否成立.若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由. (2)判断命题的真假，并说明理由. 21.(8分)某校组织学生进行综合实践活动一一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为 AB,点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点D,E与C在一条直线上，DE=1.5,EC=5m.该校 学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°·此时点A、 B与E在一条直线上 (1)求观测点E与电池板边缘点B之间的距离： (2)求太阳能电池板宽AB的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sim37”≈号cos37°≈膏am37 ≈景2≈14) B 537° 145 D 618 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(10分)2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业 负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟.开学初某初级 中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况， 从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图. 调查问卷： 1.近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分 钟，请回答第2个问题， 2.作业超时的主要原因是（单选） A.作业难度大无法按时完成 B.作业会做，但题量大无法按时完成 C.学习效率低无法完成 D.其他 作业完成时间统计图 ↑人数（人） 影响作业完成时间的主要原因统计图 180 11.5% D 130 39.1% 16.1% 100 85 A 80 01020 m% 20 B 0 5060708090100 作业完成时间x(分钟) 平均每天完成作业时间x（分钟)分为5组： ①50≤x<60:②60≤x<70:③70≤x<80:④80≤x<90:⑤90≤x<100 根据以上信息，解答下列问题： (1)书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ;影响作业完成时间的 主要原因统计图中的= ，补全作业完成时间统计图； (2)本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 组； (3)何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同 学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率。 718 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(10分)定义：若函数图象上存在点M(,m),M(+1,2),且满足2-=t,则称t为该函数的 “域差值”.例如：函数y=2x+3,当x=时，M=2+3:当x=叶1时，2=2+5,2~M=2则函数 y=2x+3的“域差值”为2. (1)点M(,m),M(t1,2)在y=的图象上，“域差值”t=-4,求m的值： (2)已知函数y=-2x2(x>0),求证该函数的“域差值”t<-2; (3)点A(a,b)为函数y=-2x2图象上的一点，将函数y=-2x2(x≥a)的图象记为W1,将函数y =-2x2(x≤)的图象沿直线y=b翻折后的图象记为W2.当W1,W2两部分组成的图象上所有的点都 满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围. 24.(12分)点B,C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，连接AB,AC,BC,AB=AC. (1)如图①，求证：AO平分∠BAC: (2)如图②，D为弦BC下方⊙O上一点，连接BD,CD,E是CD上一点，DE=DB,过点E作EF∥ AC交BC于点F,连接DF,求证：DB=DF: (3)如图③，在(2)的条件下，若BC为⊙O的直径，△ABF的面积为8，CE=2,求⊙O的半径. B C ⊙ F D D 图① 图② 图③ 8/82026年中考第一次模拟考试 九年级数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 1 1. 一的相反数是() 202 1 1 A.一 2026 B. C.-2026 D.以上都不是 2026 : 2.如图所示的几何体的左视图是() O 从正面看 A. B C D 3.如图，是甲、乙两家公司在1-8月份盈利情况统计图，据图判断下列结论不正确的是( A.甲公司的盈利正在下跌 利润百万元 50叶甲 : B.乙公司的盈利在1-4月间上升 40 30 20- : C.乙公司在9月份的盈利一定比甲的多 10H : D.在8月份，两家公司获得相同的盈利 04 1广2345678月份 4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB,垂足为点D, tanA 2,CD= : 6,则BD的长为() A.7 B.8 C.9 D.12 5.我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗 : 各一尺共直钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10 尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱.问两种布每 尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为() 试题第1页（共6页） .: : ©学科网·学易金卷做概德：就限？是鲁” 896896 A.120- 3-X B.120-896-896 Γ30-X c.120+96-g29 D.896896 +120 X30-x 6.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四 E M 个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD,直线 MP交正方形ABCD的两边于点E,F,若BN=a,PN=b,则用含a、b的式子表 b 示二的值是( BE A C.a a D. atb a+b a+2b 7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为2c,若G为CD的中点，连接AG, 则AG的长度为()c. A.V11 B.V13 C.V15 D.17 8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,4),B(3,0),其两个锐角 的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y-3的图象上，则△4PB的面积是() B A.30 B.24 C.18 D.15 9.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点，下列两个方案中，能得到以A,B,C,F为项点的 四边形为平行四边形的是() 方案一 方案二 F为DA和CE的延长线上的交点 F为DC和AG的延长线上的交点 A.只有方案一 B.只有方案二 C.两个方案都不行 D.两个方案都行 10.在平面直角坐标系xOy中，己知二次函数y=ax2+bx+1（a≠0)，其中什b=-1. ①若这个函数的图象经过点(-1,0)，则函数必有最大值： 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁背 ②若0<x<1时，y随x的增大而减小，则必有a>0: ③若这个函数的图象经过点(4,1)，则不等式2+bx>0的解集为x<0或x>4: ④若方程a2+bx+1=0（a≠0)有一根为x1,且-2<x1<-1,则必有a>b. 上述四个结论中：所有正确的个数() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解：9a2-1=」 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD是以O为位似中心的位似图形，A,B两点的坐标分 别为(-3,4.5)，(-6,3).点A的对应点C的坐标是(1，-1.5)，则点D的坐标是 13.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC,点E,F分别是AC,BC上的点，且EF垂直平分BC, 若CE=2c,则菱形ABCD的面积等于」 c2. B 14.如图A,B两地相距50a,甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按 相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系， 根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲. As/km R 50-------- 40 30 20 Q 10 0 P/M 1 2 345t/时 15.不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1）， 图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O).已知帽子的边缘PA,PB分别与⊙0O相切于 点A,B,若该圆半径是4，∠P=60°，则AMB的长是 ,(结果保留π) 试题第3页（共6页） M 图1 图2 ☑ 16.在Rt△ABC中，AB=4,BC=3,∠ABC=90°，点N,M分别是边AB和AC上的动点，始终保持CM =AN,连接CN,MB,则CHMB的最小值为 张 扣 B 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 数 17.(8分)解方程或方程组： 游 (1)x2-2x-8=0: (2)+2y=0 3x+4y=61 18,8分》先化筒，再求信：0m+)共中m=2+1. 19.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作AD的垂线交AB于 点E. (1)请画出△ADE的外接圆⊙O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： 世 (2)求证：BC是⊙O的切线： D E B 席 20.(8分)命题：己知矩形A两边长分别为，，存在一个矩形B,它的周长与面积都是矩形A的k倍(k 为大于1的正整数). : (1)当m=1,=2,k=3时，命题是否成立.若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由， O (2)判断命题的真假，并说明理由. 试题第4页（共6页） 21.(8分)某校组织学生进行综合实践活动一一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB, 点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点D,E与C在一条直线上，DE=1.5,EC=5.该校学生 O 在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°·此时点A、B与 E在一条直线上. (1)求观测点E与电池板边缘点B之间的距离： ,3 (2)求太阳能电池板宽AB的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈写，cos37°≈ 3 ，tan37°≈ V21.41) o ---- % 37 145 D E C 22.(10分)2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业 .: 负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟.开学初某初级中 ·: 学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从 O 本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图. 调查问卷： 1.近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分 钟，请回答第2个问题， 2.作业超时的主要原因是（单选） A.作业难度大无法按时完成 B.作业会做，但题量大无法按时完成 C.学习效率低无法完成 : D.其他 : 作业完成时间统计图 : 个人数（人） 影响作业完成时间的主要原因统计图 : 200 180 180 11.5% 160 、D 130 16.1% 39.1% 100 A 80 m% ⊙ 20 20 0 O 50 60 708090100 作业完成时间x(分钟) : 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷做概蕊：就限是鲁普 平均每天完成作业时间x(分钟)分为5组： ①50≤x<60:②60≤x<70;③70≤x<80:④80≤x<90:⑤90≤x<100. 根据以上信息，解答下列问题： (1)书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ；影响作业完成时间的主 要原因统计图中的= 一，补全作业完成时间统计图： (2)本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 组： (3)何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同 学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率. 23.（10分)定义：若函数图象上存在点M(m,M),M(叶1,2)，且满足2-=t,则称t为该函数的 “域差值”.例如：函数y=2x+3,当x=m时，=2叶3；当x=+1时，2=2+5,2-=2则函数 y=2x+3的“域差值”为2. (1)点M(,m),M(mt1,)在y=生的图象上，“域差值”t=-4,求m的值； (2)己知函数y=-2x2(x>0),求证该函数的“域差值”t<-2: (3)点A(a,b)为函数y=-2x2图象上的一点，将函数y=-2x2(x≥a)的图象记为W1,将函数y =-2x2(x≤α)的图象沿直线y=b翻折后的图象记为W2.当W1,W2两部分组成的图象上所有的点都满 足“域差值”t≤1时，求a的取值范围. 24.(12分)点B,C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，连接AB,AC,BC,AB=AC. (1)如图①，求证：AO平分∠BAC: (2)如图②，D为弦BC下方⊙O上一点，连接BD,CD,E是CD上一点，DE=DB,过点E作EF∥ AC交BC于点F,连接DF,求证：DB=DF; (3)如图③，在(2)的条件下，若BC为⊙O的直径，△ABF的面积为8，CE=2,求⊙O的半径. B D D 图① 图② 图③ 试题第6页（共6页） 2026年中考第一次模拟考试 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．以上都不是 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的要用虚线进行表示． 【解答】解：由图可知，左视图为选项B的图形． 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意左视图是从物体的左面看得到的视图． 3．（3分）如图，是甲、乙两家公司在1﹣8月份盈利情况统计图，据图判断下列结论不正确的是（　　） A．甲公司的盈利正在下跌 B．乙公司的盈利在1﹣4月间上升 C．乙公司在9月份的盈利一定比甲的多 D．在8月份，两家公司获得相同的盈利 【分析】根据折线统计图中所反映的数据增减变化情况，做出判断即可， 【解答】解：由折线统计图可以看出：甲公司1﹣8月份的盈利的曲线呈下降趋势，因此盈利在逐月下跌，A不符合题意， 乙公司1﹣4月份盈利曲线是上升的，因此B不符合题意， 9月的盈利很难取得谁的多、谁的少，不确定，因此C符合题意， 8月时，甲、乙公司的盈利是一样的，因此D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查折线统计图，从中获取数据做出分析的能力，正确识别图中的数据是解题的关键． 4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 【分析】根据同角的余角相等，得到∠BCD＝∠A，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴， 在Rt△CDB中，， ∵CD＝6， ∴BD＝9； 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（3分）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，根据绫布和罗布分别出售均能收入896文钱求出绫布和罗布的单价（每尺），再根据绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱即可列出方程． 【解答】解：根据绫布和罗布分别出售均能收入896文钱求出绫布和罗布的单价（每尺），再根据绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱可得： ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程即可． 6．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD，直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，若BN＝a，PN＝b，则用含a、b的式子表示的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】作AL∥BP，交FE的延长线于点L，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：作AL∥BP，交FE的延长线于点L， ∴△ALM∽△NPM， ∴1， ∴AL＝AM＝BN＝a， ∵AL∥NP， ∴△AEL∽△BEP， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，相似三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 7．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG，则AG的长度为（　　）cm． A． B． C． D． 【分析】连接OC，AC，AD，根据正六边形的性质可得，AD为⊙O的直径，再根据圆的半径都相等可得△COD是等边三角形，进而求出CD＝2cm，根据AD为⊙O的直径，得∠ACD＝90°，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG， 如图，连接OC，AC，AD ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴，AD为⊙O的直径． 又∵OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD＝2cm． ∵AD是⊙O的直径， ∴AD＝4cm，∠ACD＝90°， ∴在Rt△ACD中，， ∵G是CD的中点， ∴， 在Rt△ACG中，∠ACG＝90° ． 故选：B． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，4），B（3，0），其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则△APB的面积是（　　） A．30 B．24 C．18 D．15 【分析】过点P分别作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，PC⊥AB于点C，先证明四边形ODPE是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出PC＝6，再根据勾股定理求出AB＝5，即可求得答案． 【解答】解：如图，过点P分别作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，PC⊥AB于点C， ∵OE⊥OD， ∴四边形ODPE是矩形， ∵△AOB两个锐角的外角平分线相交于点P， ∴PE＝PC， 同理PD＝PC， ∴PE＝PD， ∴四边形ODPE是正方形， 设P（m，m）， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 解得m＝6或m＝﹣6（舍去）， ∴PC＝PE＝6， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴， ∴S△APB． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，角平分线的性质，勾股定理，添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 9．（3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，C，F为顶点的四边形为平行四边形的是（　　） 方案一 F为DA和CE的延长线上的交点 方案二 F为DC和AG的延长线上的交点 A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行 【分析】方案一证明△AFE≌△BCE（AAS）可得AF＝BC，AF∥BC，即可判断四边形ABFC是平行四边形；方案二通过证明△ABI≌△FCI（AAS）可得AB＝CF，AB∥CF，即可判断四边形ABFC是平行四边形，从而可得结论． 【解答】解：方案一：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点， ∴AD∥BC，AE＝BE， ∴∠FAE＝∠CBE，∠AFE＝∠BCE， 在△AFE和△BCE中， ， ∴△AFE≌△BCE（AAS）， ∴AF＝BC， 又AF∥BC， ∴四边形ABFC是平行四边形， 方案二：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AC，BD互相平分于点H，如图， 又E为AB的中点， ∴G为△ABC的重心， ∴AI为BC边上的中线，I为BC边的中点， ∵AB∥CF， ∴∠BAI＝∠CFI，∠ABI＝∠FCI， 又BI＝CI， ∴△ABI≌△FCI（AAS）， ∴AB＝CF， 又AB∥CF， ∴四边形ABFC是平行四边形， 综上，方案一和方案二都正确， 故选：D． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质，掌握相关的性质和定理是解题的关键． 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+bx+1（a≠0），又a+b＝﹣1．则b＝﹣a﹣1，从而y＝ax2﹣（a+1）x+1，再结合二次函数的性质逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，∵a+b＝﹣1， ∴b＝﹣1﹣a． 把b＝﹣1﹣a代入y＝ax2+bx+1， ∴y＝ax2﹣（a+1）x+1． 又∵图象过点（﹣1，0）， ∴a•（﹣1）2﹣（a+1）•（﹣1）+1＝0，则a+a+1+1＝0． ∴a＝﹣1＜0． ∴二次函数图象开口向下，必有最大值，故①正确； ∵二次函数为y＝ax2﹣（a+1）x+1， ∴对称轴是直线x， 又∵当0＜x＜1时，y随x增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当a＞0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴直线x， ∴0＜a≤1； 当a＜0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴是直线x0， ∴a≥﹣1． ∵a＜0， ∴﹣1≤a＜0． 综上，﹣1≤a＜0或0＜a≤1，故②错误； 由题意，∵函数图象过点（4，1）， ∴16a﹣4（a+1）+1＝1． ∴a，则b＝﹣1， ∴不等式ax2+bx＞0化为：x2﹣4x＞0． ∴x＜0或x＞4，故③正确； 由题意，方程ax2+bx+1＝0可化为ax2﹣（a+1）x+1＝0， ∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0． ∴x1，x2＝1． 又∵一根x1满足﹣2＜x1＜﹣1，即﹣2， ∴a＜0． ∴﹣1， ∴﹣1＜2a+1＜0． 又∵b＝﹣1﹣a，则a﹣b＝a﹣（﹣1﹣a）＝2a+1， ∴a﹣b＜0，则a＜b，故④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）因式分解：9a2﹣1＝　 　 ． 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【解答】解：9a2﹣1＝（3a）2﹣12＝（3a+1）（3a﹣1） 故答案为：（3a+1）（3a﹣1）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为（﹣3，4.5），（﹣6，3）．点A的对应点C的坐标是（1，﹣1.5），则点D的坐标是 　 　 ． 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：1， ∴点D的坐标为（﹣6×（），3×（）），即（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE＝2cm，则菱形ABCD的面积等于　 cm2． 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质求出BC＝CD，∠ACB＝∠ACD＝30°，OCAC，OBBD，AC⊥BD，解直角三角形求出CFcm，BC＝2cm，OBcm，OC＝3cm，BD＝2cm，AC＝6cm，再根据菱形ABCD的面积AC•BD求解即可． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， 在菱形ABCD中，∠BCD＝60°， ∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD＝30°，OCAC，OBBD，AC⊥BD， ∵EF垂直平分BC， ∴CFBC，∠EFC＝90°， ∴cos∠ACB， ∵CE＝2cm， ∴CFcm， ∴BC＝2cm， ∴OBBCcm，OCBC＝3cm， ∴BD＝2cm，AC＝6cm， ∴菱形ABCD的面积AC•BD＝6（cm2）， 故答案为：6． 【点评】此题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟记菱形的性质是解题的关键． 14．（3分）如图A，B两地相距50km，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 　 　 时间就追上甲． 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【解答】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在QR段的速度是（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（km/h）， 乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（km/h）， ∴20+10x＝50x， 解得x＝0.5， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲， 故答案为：0.5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解给定的图象并求出各自的速度是解题的关键． 15．（3分）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是4，∠P＝60°，则的长是 ．（结果保留π） 【分析】利用切线的性质可得∠PAO＝∠PBO＝90°，进而得到∠AOB＝120°，以及所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可解题． 【解答】解：由题意可得：∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠P＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴所对圆心角为360°﹣∠AOB＝240°， ∵该圆半径是4， ∴的长是， 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键． 16．（3分）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点N，M分别是边AB和AC上的动点，始终保持CM＝AN，连接CN，MB，则CN+MB的最小值为 　 ． 【分析】过点C作CG∥AB，使CG＝AC，连接GM、BG，根据勾股定理求出AC，BG，证明△GCM≌△CAN（SAS），得GM＝CN，所以BM+CN＝BM+GM≥BG，当点G、M、B三点共线时，BM+CN的值最小，最小值为BG的值，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，使CG＝AC，连接GM、BG， ∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°， ∴AC5， ∴CG＝AC＝5， ∵CG∥AB， ∴∠GCB＝∠ABC＝90°， ∴BG， ∵CG∥AB， ∴∠GCM＝∠BAC， ∵CM＝AN，CG＝AC， ∴△GCM≌△CAN（SAS）， ∴GM＝CN， ∴BM+CN＝BM+GM≥BG， ∴当点G、M、B三点共线时，BM+CN的值最小，最小值为BG的值， ∴BM+CN的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关定理得出当点G、M、B三点共线时，BM+CN的值最小，最小值为BG的值是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程或方程组： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0， ∴（x﹣4）（x+2）＝0， 则x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣2； （2）， ②﹣①×2，得：x＝6， 将x＝6代入①得6+2y＝0， 解得y＝﹣3， 所以方程组的解为． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E． （1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BC是⊙O的切线； 【分析】（1）根据圆周角定理可知AE是△ADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点O，以O为圆心以OA为半径画圆即可； （2）根据连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线． 【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求； （2）证明：如图2，连接OD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∵OD为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，涉及切线的判定与性质，解题的关键是利用平行线的性质得出OD⊥BC． 20．（8分）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 【分析】（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可； （2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【解答】解：（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为9﹣x， 根据题意列方程，得：（9﹣x）x＝6， ∴x2﹣9x+6＝0， 解得：，， ∴此时命题成立； （2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x． 根据题意列方程，得：x[k（m+n）﹣x]＝kmn， 即x2﹣k（m+n）x+kmn＝0， 根据求根公式得：b2﹣4ac＝k2（m+n）2﹣4kmn＝k[k（m+n）2﹣4mn]， ∵k＞1， ∴[k（m+n）2﹣4mn]＞（m+n）2﹣4mn， 又（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2≥0， ∴[k（m+n）2﹣4mn]＞0， ∴存在矩形B， ∴此命题成立． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法，掌握其性质是解题的关键． 21．（8分）某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上． （1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离； （2）求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.41） 【分析】（1）过点B作BH⊥CD，设BH＝xm，分别解Rt△BHE，Rt△BHD，求出HE，HD的长，根据DE的长，列出方程求出x的值，进而求出BE的长； （2）过点B作BF⊥OC，易得：BF＝OF＝CH，进而求出OB的长，根据点O是AB的中点，求出AB的长即可． 【解答】解：（1）过点B作BH⊥CD，设BH＝xm，由题意，得：∠BEH＝45°，∠BDH＝37°， ∴BExm，BExm， ， ∵， ∴x＝4.5， ∴； 答：EB之间的距离为6.3m； （2）过点B作BF⊥OC，则：四边形BHCF为矩形， ∴BF∥CD，BF＝CH， ∴∠OBF＝∠BEH＝45°， ∴△BOF为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：EH＝4.5m， ∴BF＝CH＝CE﹣HE＝0.5m， ∴． ∵点O为AB的中点， ∴， 答：AB的长度约为1.4m． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 22．（10分）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷： 1．近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题． 2．作业超时的主要原因是（单选） A．作业难度大无法按时完成 B．作业会做，但题量大无法按时完成 C．学习效率低无法完成 D．其他 平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组： ①50≤x＜60；②60≤x＜70；③70≤x＜80；④80≤x＜90；⑤90≤x＜100． 根据以上信息，解答下列问题： （1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 　 　 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的m＝　 　 ，补全作业完成时间统计图； （2）本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 　 　 组； （3）何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率． 【分析】（1）用第⑤组人数除以总人数即可，根据百分比之和为1可得m的值，根据五个小组人数之和为500可得第④组人数，从而补全图形； （2）根据中位数的定义可得答案； （3）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【解答】解：（1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为85÷500×100%＝17%， 影响作业完成时间的主要原因统计图中的m%＝1﹣（39.1%+16.1%+11.5%）＝33.3%，即m＝33.3， 80≤x＜90人数为500﹣（20+130+180+85）＝85， 补全图形如下： 故答案为：17%，33.3； （2）这组数据的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在③70≤x＜80， 本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第③组， 故答案为：③； （3）由题意可得，树状图如图所示， 由树状图知，共有12种等可能结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的有8种结果， ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率是． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（10分）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2． （1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值； （2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2； （3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围． 【分析】（1）由题意得：n1，n2，由n2﹣n1＝﹣4，得4，即可求得答案； （2）设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0，可得t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，再利用不等式的性质即可得出﹣4m﹣2＜﹣2，即t＜﹣2； （3）函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2，则W2：y＝2x2+2b＝2x2﹣4a2（x≤a），分三种情况：当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W1的图象上时，当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W2的图象上，当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上时，分别根据新定义讨论即可得出答案． 【解答】（1）解：∵点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上， ∴n1，n2， ∵“域差值”t＝﹣4， ∴n2﹣n1＝﹣4， 即4， 整理，得：m2+m﹣1＝0， 解得：m1，m2， 经检验，m1，m2均是方程4的解， ∴m的值为或； （2）证明：设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0， 当x＝m时，n1＝﹣2m2， 当x＝m+1时，n2＝﹣2（m+1）2， ∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2， ∵m＞0， ∴﹣4m＜0， ∴﹣4m﹣2＜﹣2， 即t＜﹣2， 故该函数的“域差值”t＜﹣2； （3）∵点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点， ∴b＝﹣2a2， ∵对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2， ∴W2：y＝2x2+2b＝2x2﹣4a2（x≤a）， ①当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W1的图象上时， 由（2）得：t＝﹣4m﹣2， 则﹣4m﹣2≤1， 解得：m，即a； ②当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W2的图象上，即m+1≤a时， 则t＝2（m+1）2+2b﹣2m2﹣2b＝4m+2≤1， 解得：m， ∴m+1，即a； ③当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上时， ∴m＜a＜m+1，即a﹣1＜m＜a， 则n1＝2m2﹣4a2，n2＝﹣2（m+1）2， ∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣2m2+4a2＝﹣4m2﹣4m﹣2+4a2＝﹣4（m）2+4a2﹣1， 若a，则﹣4a2﹣4a﹣2+4a2＝﹣4a﹣2≤1， 解得：a， ∴a； 若a﹣1a，即a， 则4a2﹣1≤1， 解得：a， ∴a； 若a﹣1，即a时， 则﹣4（a﹣1）2﹣4（a﹣1）﹣2+4a2＝4a﹣2≤1， 解得：a， ∴a； ∴当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上，且满足“域差值”t≤1时，a； 综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，a的取值范围为a． 【点评】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想等，解题关键是正确理解并运用新定义解决问题． 24．（12分）点B，C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，连接AB，AC，BC，AB＝AC． （1）如图①，求证：AO平分∠BAC； （2）如图②，D为弦BC下方⊙O上一点，连接BD，CD，E是CD上一点，DE＝DB，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接DF，求证：DB＝DF； （3）如图③，在（2）的条件下，若BC为⊙O的直径，△ABF的面积为8，CE＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）如图①，连接OB，OC，证明△ACO≌△ABO（SSS）即可证明AO平分∠BAC； （2）如图②，连接AD，交BC于点K，连接EK，证明K，D，E，F四点共圆，得到∠DKE＝∠DFE，∠BKD＝∠DEF，再证明△BDK≌△EDK（SAS），等量代换证明即可结论； （3）先证明△BFE∽△BEC，得到BE2＝BF•BC，再根据△ABF的面积为8，得到BF•BC＝32，确定，继而得到DB＝DE＝4，后利用勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：如图①，连接OB，OC，则OB＝OC， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△ACO≌△ABO（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO平分∠BAC； （2）证明：如图②，AB＝AC，EF∥AC，连接AD，交BC于点K，连接EK， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC，∠EFC＝∠ACB， ∴∠EFC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC， ∵∠KFE+∠EFC＝180°， ∴∠KFE+∠ADC＝180°， ∴K，D，E，F四点共圆， ∴∠BKD＝∠DEF，∠DKE＝∠DFE， 在△BDK和△EDK中， ， ∴△BDK≌△EDK（SAS）， ∴∠BKD＝∠EKD， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF， ∵DE＝DB， ∴DB＝DF； （3）解：如图③，AB＝AC，OB＝OC，连接BE， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC，AO⊥BC， ∵EF∥AC， ∴∠EFC＝∠ACB， ∴∠EFC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠EFC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADC＝45°， ∵DE＝DB，∠BDC＝90°， ∴∠DBE＝∠DEB＝45°， ∴∠BEC＝∠BFE＝135°， ∵∠EBF＝∠CBE ∴△BFE∽△BEC， ∴， ∴BE2＝BF•BC， ∵△ABF的面积为8， ∴， ∴BF•AO＝16， ∴BF•2AO＝32， ∴BF•BC＝32， ∴BE2＝32， 解得：（负值已舍去）， ∴DB＝BEsin45°＝4＝DE， ∵CE＝2， ∴DC＝DE+EC＝6， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∴⊙O的半径． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆的性质，四点共圆，正弦函数的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．以上都不是 2．如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是甲、乙两家公司在1﹣8月份盈利情况统计图，据图判断下列结论不正确的是（　　） A．甲公司的盈利正在下跌 B．乙公司的盈利在1﹣4月间上升 C．乙公司在9月份的盈利一定比甲的多 D．在8月份，两家公司获得相同的盈利 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 5．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD，直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，若BN＝a，PN＝b，则用含a、b的式子表示的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG，则AG的长度为（　　）cm． A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，4），B（3，0），其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则△APB的面积是（　　） A．30 B．24 C．18 D．15 9．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，C，F为顶点的四边形为平行四边形的是（　　） 方案一 F为DA和CE的延长线上的交点 方案二 F为DC和AG的延长线上的交点 A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行 10．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：9a2﹣1＝　 　 ． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为（﹣3，4.5），（﹣6，3）．点A的对应点C的坐标是（1，﹣1.5），则点D的坐标是 　 　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE＝2cm，则菱形ABCD的面积等于　 　 cm2． 14．如图A，B两地相距50km，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 　 　 时间就追上甲． 15．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是4，∠P＝60°，则的长是　 　 ．（结果保留π） 16．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点N，M分别是边AB和AC上的动点，始终保持CM＝AN，连接CN，MB，则CN+MB的最小值为 　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程或方程组： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E． （1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BC是⊙O的切线； 20．（8分）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 21．（8分）某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上． （1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离； （2）求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.41） 22．（10分）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷： 1．近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题． 2．作业超时的主要原因是（单选） A．作业难度大无法按时完成 B．作业会做，但题量大无法按时完成 C．学习效率低无法完成 D．其他 平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组： ①50≤x＜60；②60≤x＜70；③70≤x＜80；④80≤x＜90；⑤90≤x＜100． 根据以上信息，解答下列问题： （1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 　 　 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的m＝　 　 ，补全作业完成时间统计图； （2）本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 　 　 组； （3）何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率． 23．（10分）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2． （1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值； （2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2； （3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围． 24．（12分）点B，C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，连接AB，AC，BC，AB＝AC． （1）如图①，求证：AO平分∠BAC； （2）如图②，D为弦BC下方⊙O上一点，连接BD，CD，E是CD上一点，DE＝DB，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接DF，求证：DB＝DF； （3）如图③，在（2）的条件下，若BC为⊙O的直径，△ABF的面积为8，CE＝2，求⊙O的半径． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $