10.5 用二元一次方程组解决问题 　教学设计　　2024-2025学年苏科版数学七年级下册

苏科版初中数学七年级下册 10.5 用二元一次方程组解决问题 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是苏科版《义务教育教科书•数学》七年级下册第10章“二元一次方程组”中的10.5节“用二元一次方程组解决问题”。主要内容是通过实际问题（如商品购买、行程问题、资源分配等）建立二元一次方程组的数学模型，掌握设未知数、列方程组、解方程组及检验结果合理性的完整解题流程。 2.内容解析 学生在已掌握二元一次方程组的解法基础上，本节重点学习如何将现实问题转化为数学模型。通过分析问题中的等量关系（如数量总和、总费用、路程关系等），设置两个未知数并列出方程组求解。这一过程培养了数学建模思想，为后续学习分式方程、函数应用及更复杂的实际问题奠定基础，同时提升逻辑推理和数据应用能力。 二、目标和目标解析 1.目标 (1) 能识别实际问题中的两个等量关系，合理设未知数并列出二元一次方程组。 (2) 通过列表、画示意图等策略梳理数量关系，提高分析问题的条理性。 (3) 运用消元法解方程组解决实际问题，检验解的合理性并规范表述答案。 2.目标解析 学生经历从实际问题抽象数学模型的完整过程，体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效工具。通过典型例题训练，提升信息提取能力和数学建模素养，形成“问题分析→建模→求解→验证”的思维模式。同时，为高中阶段学习线性规划、函数建模等积累经验。 三、教学问题诊断分析 1. 找不准等量关系：部分学生难以从复杂背景中提取关键数量关系（如忽略分段计费中的界限条件）。 1. 不会合理设元：面对多变量问题，无法确定需设哪两个量为未知数。 1. 忽略结果检验：求解后未验证解是否符合实际意义（如人数为整数、速度为正数等）。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 水果摊买菠萝和哈密瓜：林老师花78元买2个菠萝和1个哈密瓜，叶老师花84元买1个菠萝和2个哈密瓜。菠萝和哈密瓜单价各是多少元？ 问题2 班级联欢会买吉祥物：小明用420元买“冰墩墩”（48元/个）和“雪容融”（38元/个）共10个。两种吉祥物各买了几个？ 问题3 《九章算术》问题：5头牛和2只羊值10两金；2头牛和5只羊值8两金。牛和羊单价各是多少？ 设计意图： 通过生活化、历史名题激发兴趣，引导学生发现“两个未知量需两个方程”的必要性，对应目标(1)中的等量关系识别能力。 （二）合作探究1 探究1 针对问题1： · 师：问题中有哪些未知量？如何设未知数？ · 生：设菠萝单价 元/个，哈密瓜单价 元/个。 · 师：林老师的消费如何用方程表示？ · 生：。 · 师：叶老师的消费呢？ · 生：。 追问：解方程组 的方法是什么？ 生：加减消元法。①×2得 ，减②得 ，，代入得 。 （三）巩固练习1 1. 停车场有中型车（8元/次）和小型车（6元/次）共50辆，总停车费360元。两类车各有多少辆？ · 解：设中型车 辆，小型车 辆。 · → 解得 。 · 知识点：总量与总费用关系。 1. 牧童问题：每人分6竿竹多14竿；每人分8竿恰好用完。牧童与竹竿各多少？ · 解：设牧童 人，竹竿 根。 · → 解得 。 · 知识点：分配问题中的盈余与不足。 （四）合作探究2 探究2 行程问题（例5）： 环形跑道长400m，小明和小亮同起点出发。同向跑200s相遇，反向跑40s相遇。两人速度各是多少？ · 师：同向跑时，小明比小亮多跑多少？ · 生：多跑1圈，即 。 · 师：反向跑时，路程和与跑道长有什么关系？ · 生：路程和等于跑道长，。 猜想：方程组是否可化简？ 验证：化简得 ，相加得 ，，。 探究3 如何证明行程问题的等量关系？ 证明： 同向追及：快者路程 - 慢者路程 = 跑道周长（相遇一次）。 反向相遇：两者路程和 = 跑道周长。 设计意图： 通过示意图（文字描述）分析抽象关系，强化模型构建能力，对应目标(2)。动态问题验证提升逻辑严谨性。 （五）典例分析 例 分段计费问题（教材例2）： 居民用水：不超过180m³按基础价，超过部分加价。甲户用水190m³交费970元；乙户用水230m³交费1250元。求两种水价。 解： 1. 设未知数：基础水价 元/m³，超过部分水价 元/m³。 1. 列表梳理： 居民 基础水费 超额水费 总水费 甲 970 乙 1250 1. 列方程组： 1. 求解： · ②-①得 ，，代入得 。 设计意图： 强化复杂问题中的信息整合策略，训练列表分析能力，对应目标(2)(3)。 （六）巩固练习 1. 出租车计费：3km内起步价，超3km另收费。甲乘11km付20元；乙乘23km付38元。求起步价和超程单价。 · 解：设起步价 元，超程单价 元/km。 · → 解得 。 1. 图书分配：每人分3本剩20本；每人分4本缺25本。求学生数与书本数。 · 解：设学生 人，图书 本。 · → 解得 。 1. 火车过桥（例4）：桥长2120m，火车完全过桥需31s，完全在桥上需22s。求车速与车长。 · 解：设车速 m/s，车长 m。 · → 解得 。 设计意图： 多题型覆盖常见应用场景，强化建模步骤的熟练度，对应目标(3)。 （七）归纳总结 解决实际问题的步骤： 步骤 操作要点 方法工具 审题，识别两个未知量 标注关键信息 2 设两个未知数 单位需明确（如元、m） 3 挖掘两个等量关系 列表、画示意图 4 列出方程组 注意单位统一 5 解方程组 代入/加减消元法 6 检验解是否符合实际 如正数、整数等 7 规范书写答案 完整语句表述 （八）感受中考 1. (2023·江苏) 学校采购桌椅，买2桌3椅共900元，买1桌4椅共650元。每张桌子单价（ ）元。 · 答案：250 · 解析：设桌 元/张，椅 元/把。 · → 解得 。 1. (2024·浙江) A、B两地相距120km，甲车从A到B需2h，乙车从B到A需3h。两车同时出发相向而行，相遇时甲车行驶（ ）km。 · 答案：72 · 解析：甲速 km/h，乙速 km/h。设相遇时间 h，，。甲行 km。 1. (2023·福建) 工厂生产大、小礼盒。每个大礼盒用4kg原料，小礼盒用3kg原料。现有原料200kg，大小礼盒共60个。大礼盒有（ ）个。 · 答案：20 · 解析：设大礼盒 个，小礼盒 个。 · → 解得 。 1. (2024·河南) 船顺水航行60km用时2h，逆水航行40km用时2h。船在静水中的速度是（ ）km/h。 · 答案：25 · 解析：设船速 km/h，水速 km/h。 · → 解得 。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 知识关联图： 核心思想 典型问题类型 关键技巧 数学建模思想 商品购买问题 总价=单价×数量 等量关系双重构建 行程问题 路程=速度×时间 解的合理性检验 资源分配问题 列表分析数量关系 分段计费问题 划分标准段与超额段 （十）布置作业 必做题： 1. 习题10.5 第1题：篮球、排球共24队，篮球队每队12人，排球队每队10人，总运动员260人。两队各有多少队？ 1. 习题10.5 第3题：买花束，2支向日葵+7支康乃馨需44元；3支向日葵+8支康乃馨需56元。求4支向日葵+6支康乃馨的价格。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$