数学一模突破卷（山西专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考数学第一次模拟考试 三 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(7分) C、 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) G 21(9分) D 0 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) D E B卡 A B 图1 图2 23.(13分) A D G G H B C B C B 图1 图2 备用 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 10 2 5 6 P ◇ A C B D C A D D 第二部分（非选择题共92分) 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.> 12.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=4360 13.S=20v2 14.0/0.7 15.等 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题10分) 【详解】解：（1)(2025-)°-2sim45°+（号）+V2+(V5)月 =1-2×号+(3)+反+5 =1-2-3+V2+5 =3;(5分) x-3(x-2)≤4① (2)解： >x-②· 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x<号， :原不等式组的解集为：1≤x<号(5分) 17.(本题7分) 【详解】解：设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为x元，则eVTOL飞行器平均每公里航程的能源成 1/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 本为x元，(1分) 根据题意可得：x 21600=2880+200,(3分) 解方程得：x=36,(5分) 经检验，x=36是分式方程的解，(6分) 则号x=×36=21.6, 答：eVT0L飞行器平均每公里航程的能源成本为21.6元.(7分) 18.(本题8分) 【详解】(1)解：m%=1-30%-45%-10%=15%, m=15,(1分) 由题意，两班的参赛人数均为：8+20+10十2=40， 由条形统计图可知：志远班竞赛成绩的第20和第21个数据均在B组， :40×30%=12(人)，40×15%=6（人），40×45%=18（人），40×10%=4（人）， ∴.明德班竞赛成绩的第20和第21个数据均在C组， 故a>b;(3分) (2)志远班的平均分为(8×97.5+20×90+10×80+2×67.5)÷40≈87.9（分）.(5分) 明德班的平均分为(12×975+6×90+18×80+4×67.5)÷40=85.5（分）.(7分) (3)志远班的预估平均分为87.9分，高于明德班的预估平均分85.5分，从平均分的角度看，志远班的成 绩高于明德班，（答案不唯一，合理即可）(8分) 19.(本题7分) 【详解】(1)解：点A(3,6)在反比例函数y=会的图象上， “6=专， k=18, :反比例的函数表达式为y=受，(2分) :点B(9,m)在反比例函数y=的图象上， :m=号=2.(4分) (2)解：设直线AB的解析式为y=ax+b(a≠0)， ∫3a+b=6 19a+b=2' 2/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得， a b=8 ，(5分) :直线AB的解析式为y=-号x十8， 在y=-号x+8中，当y=0时，x=12, .点C的坐标为(12,0)，(6分) :过点B作BD⊥y轴于点D, .D(0,2), 0C=12,DB=9,0D=2, :S△4cD=S梯形0CBD+S△4BDS△0CD =412+支×9×(6-2)-支×12×2 2 =21+18-12 =27, .△ACD的面积为27.(7分) 20.(本题8分) 【详解】解：延长FJ交AB于点C, G B (2分) 由题可知，四边形FGIH和四边形FGBC为矩形， ·FG=H1=BC=1.5m,FH=G1=12m, 在Rt△AFC中，∠ACF=90°，∠AFC=38°， tan∠AFC=能，即FC=aSN% 在Rt△AHC中，∠ACH=90°，∠AHC=53° :tan∠AHC=能，即HC=≈，(4分) FH=FC-HC=12, %=12。 解，得AC≈22.63m.(7分) AB=AC+BC, 3/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AB≈22.63+1.5=24.13m≈24.1m 答：拱极门的高度AB约为24.1m·(8分) 21.(本题9分) 【详解】(1)解：阅读材料中给出的证明过程依据的定理是勾股定理， 故答案为：勾股定理；(1分) (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·0A=0C,0B=0D,(2分) :在△ABC中，BO是中线， “由中线定理得，AB2+BC2=2B02+20C2,(4分) :在△ADC中，DO是中线， 由中线定理得，AD2+DC2=2D02+20A2,(5分) ÷AC2+BD2=(20A2+(20B)2=40A2+40B2=20A2+20c2+20B2+20D2=AB2+BC2+AD2+DC2, (6分) (3)解：：四边形ABCD是平行四边形， ·∠BAD=∠DCB, :☐ABCD内接于⊙O, ·∠BAD+∠DCB=180°， ·∠BAD=90°， ·口ABCD是矩形，(7分) 连接AC,BD交于O,连接OP 图3 :□ABCD是矩形， :.AC=BD.OA=AC,OB=BD, :.0A=OB 根据中线定理，得PA2+PC2=20A2+20P2,PB2+PD2=20B2+20P2(8分) 4/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :PA2+PC2=PB2+PD2=42+72=65.(9分) 22.(本题13分) 【详解】(1)解：由题意，得 A(-2,0),B(2,0),抛物线顶点为(0,2).(1分) 设抛物线的表达式为y=ax2+c(a≠0)，将顶点(0,2)代入，得 C=2: .抛物线的表达式为y=ax2+2a≠0)， 将B(2,0)代入，得 0=4a+2, 解得a=-专， :抛物线的表达式为y=-x2+2.(3分) (2):游船宽1.6m,从桥下正中间通过时， 将x=0.8代入抛物线y=-x2+2,得 y=-×0.82+2=1.68,(5分) :船顶高出水面1.3m,且船顶与拱桥至少间隔0.1m, “所需最小高度为1.3+0.1=1.4m)(6分) :1.68>1.4, 游船能安全通过.(7分) (3)过点P作PF⊥AB于F,PM⊥DE于M,过点C作CNLx轴于点N,如图1 DM A FO N B Y 图1 ∴∠DMP=∠AFP=∠ANC=90°， ÷∠PAF+∠APF=90°， :PD⊥AC, ·∠APD=90°， ÷∠APF+∠DPM=90°， 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴∠MPD=∠PAF, :tan∠MPD=tan∠PAF=支 即器=器=器=， .PM=2DM,AF=2PF,AN=2CN,(9) 设点D(a,-2+2)、P点纵坐标为m,C点坐标为x。-xc2+2),则 PF=m,AF=2m PM=-n2+2-m.A(-2,0),AN=xc+2,CN=-x2+2 :DM=-n2-3m+1,P(2m-2,m),xc+2=2(-3xc2+2) “DM=2m-2-n,xc=1或xc=-2(不符合题意，舍去)， -n2-m+1=2m-2-n,C(1,2), 即m=六n2+n+号，点C关于y轴的对称点为(1，)， “DM=-n2-支×（品n2+n+)+1 =-n2-n+君，(11分) :点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段AC的上方或AC,点C关于y轴的对称点为(-1，)，DE‖AB -1≤n≤0， “PD=VDM2+PM2=5DM, 号PD=号x5×2-a+到=2-a+1, :点D、E关于y轴对称， DE=-2n, 与PD+DE=专n2n+1-2n =-n2.n+1 =(+)2+要12分) 由a=-专<0，开口向下，对称轴为n=-号， :当-1≤n≤0时，与PD十DE随n的蜡大而减小， :当n=-1时，与PD+DE取得最大值，为-×（-1+)2+号=3. 答：与PD十DE取得最大值为3.(I3分) 6/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(本题13分) 【详解】(1)解：如图， A D 4C G B 图1 :点E是边AD的中点， EA=ED, :四边形ABCD是正方形， ∠D=∠BAD=90°， “折叠， ∴ED=ED,∠EDF=∠D=90°， EA=ED,∠EDG=90°=∠BAD,(1分) ∴∠1=∠2 ∠3=∠4，(2分) .GA=GD, :△AGD是等腰三角形；(3分) (2)解：GP=PH,理由如下： 过点H作GD的平行线，与DP的延长线交于点Q,则∠5=∠Q,∠6=∠7， D 6 P 图2 (4分) “折叠， DF=D F, ∴∠FDD=∠FDD: 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 '∠GDP=∠FDD, ∠Q=∠FDD, :QH=DH, :GH‖AD,正方形中AG‖DH, :四边形AGHD是平行四边形，(5分) .AG=DH, 又：AG=GD, ..GD QH, △GPD兰△HPQ(ASA)(6分) GP=PH;(7分) (3)解：存在， A E D G 6 H B C 当点P在DD的延长线上， :∠DPH<90°， ∴.∠DPG>90°， :△PGD是等腰三角形，则PG=PD ∴∠5=∠6=∠8=∠9， 设∠5=∠6=∠8=∠9= ·∠DPH=∠5+∠6=2a, :∠9+∠DPH=90°， a+2a=90°， 解得：《=30°， 由折叠可得DD⊥EF, ∠DFE=90°-∠9=60°， :点E是边AD的中点， 8/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴EA=ED=2, DF=器=品0=5：(9分) DE 2 当点P在线段DD上，如图： A E D 9. H 6D' B C “FD=FD, ·∠9=∠FDD<90 ∴∠PDG>90°， :△PGD是等腰三角形，则D'G=PD ∠5=∠6=∠8， 设∠5=∠6=∠8=x ∠FDD=∠5十∠6=2a=∠9， :∠9+∠8=90°， .a+2=90°， 解得：《=30°， ∠9=60°， 由折叠可得DD⊥EF, ∠DFE=90°-∠9=30°， :点E是边AD的中点， EA=ED=2, ∴DF=25E=m0=25,(1分) 综上所述，存在某一时刻，使△PGD是等腰三角形，DF的长为2V5或号V5.(13分) 9/92026年中考数学第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分) 1 [A][B][C][D] 5][B][CID] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A]B][C][D] 10 [A][B][c][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分) y 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(7分) 20.(8分) G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) p 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) VA D BA B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23(13分) D D D G P G H B C B 图1 图2 备用 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考数学第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（7分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第一次模拟考试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1[][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(7分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) F- G B 21(9分) A D p 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) D E A B主 A O 图1 图2 23.(13分) E D D P G G H B C B C B 图1 图2 备用 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．下列四家人工智能科技公司的logo图案示意图，其图案是中心对称图形的是（    ） A．微云人工智能 B．工易机器人 C．觅客科技 D．小i机器人 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 6．如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ） A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 7．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 8．如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 9．常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 10．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较大小：_____．（填“”或“”） 12．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程_______． 13．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 14．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________． 15．如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接，．点M是的中点，连接交于点H，若，．则的长为__________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题10分）（1）计算：； （2）解不等式组 17．（本题7分）年低空经济的核心产业（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 18．（本题8分）为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以“科学家精神指引我”为主题的知识竞赛活动．志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩（分）分为4组：A．“”，    B．“”，    C．“”，    D．“”． 分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；若志远班竞赛成绩的中位数为分，明德班竞赛成绩的中位数为分，则_____（填“”“”或“”）． (2)若预估两个班A组的平均分都为97.5分，B组的平均分都为90分，C组的平均分都为80分，D组的平均分都为67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到0.1分）． (3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）． 19．（本题7分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 20．（本题8分）拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容： 活动主题 测量拱极门的高度 测量工具 卷尺、测角仪 方案设计 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，的度数； 第二步：沿着方向走到I处，用皮尺测得的长； 第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角的度数． 说明：地面上的点G，I，B在同一水平直线上，，表示测角仪，表示拱极门的高，，，均与垂直． 测量数据 ，，， 参考数据 ，，，，，． 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请根据该小组的报告计算拱极门的高度（结果精确到）． 21．（本题9分）阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日  星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； (2)如图2，在中，和相交于点O，求证：； (3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 22．（本题13分）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： （1）如图1，求证：是等腰三角形； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． （2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．下列四家人工智能科技公司的logo图案示意图，其图案是中心对称图形的是（    ） A．微云人工智能 B．工易机器人 C．觅客科技 D．小i机器人 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 6．如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ） A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 7．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 8．如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 9．常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 10．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较大小：_____．（填“”或“”） 12．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程_______． 13．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 14．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________． 15．如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接，．点M是的中点，连接交于点H，若，．则的长为__________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题10分）（1）计算：； （2）解不等式组 17．（本题7分）年低空经济的核心产业（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 18．（本题8分）为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以“科学家精神指引我”为主题的知识竞赛活动．志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩（分）分为4组：A．“”，    B．“”，    C．“”，    D．“”． 分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；若志远班竞赛成绩的中位数为分，明德班竞赛成绩的中位数为分，则_____（填“”“”或“”）． (2)若预估两个班A组的平均分都为97.5分，B组的平均分都为90分，C组的平均分都为80分，D组的平均分都为67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到0.1分）． (3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）． 19．（本题7分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 20．（本题8分）拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容： 活动主题 测量拱极门的高度 测量工具 卷尺、测角仪 方案设计 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，的度数； 第二步：沿着方向走到I处，用皮尺测得的长； 第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角的度数． 说明：地面上的点G，I，B在同一水平直线上，，表示测角仪，表示拱极门的高，，，均与垂直． 测量数据 ，，， 参考数据 ，，，，，． 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请根据该小组的报告计算拱极门的高度（结果精确到）． 21．（本题9分）阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日  星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； (2)如图2，在中，和相交于点O，求证：； (3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 22．（本题13分）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： （1）如图1，求证：是等腰三角形； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． （2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，根据例题的思路，以及正数和负数的意义，即可解答． 【详解】 解：若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是， 故选：C． 2．下列四家人工智能科技公司的logo图案示意图，其图案是中心对称图形的是（    ） A．微云人工智能 B．工易机器人 C．觅客科技 D．小i机器人 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、积的乘方等知识，根据相关运算性质进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 4．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，求出可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据分式方程的形式求解即可． 【详解】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画， ∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个． 故选：A． 6．如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ）    A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定，矩形、正方形和菱形的判定．先证明和，推出四边形是平行四边形，再根据矩形，菱形和正方形性质和判定定理逐一证明判断即可． 【详解】解：当时， ∵、、都是等边三角形； ∴， ， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵当时 ∴， ∴平行四边形是矩形，故B正确，选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴矩形为正方形，故C正确，选项C不符合题意； ∵，且， ∴， ∴平行四边形是菱形，故D正确，选项D不符合题意； 当， ∴， 即D，A，F三点在同一直线上， ∴四边形不存在， 故A不正确，选项A符合题意； 故选：A． 7．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，几何变换的类型，过E作于H，判定，推出，求出，因此，于是得到答案． 【详解】解：过E作于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 其依据的图形变化是图形的相似． 故选：D． 8．如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 即圆的半径为． 故选：D． 9．常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象，正确识别图象逐项判断即可． 【详解】解：A、随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大，说法正确，不符合题意； B、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力逐渐增大，原说法错误，符合题意； C、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大，说法正确，不符合题意； D、随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为，说法正确，不符合题意； 故选：B． 10．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较大小：_____．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法，进行比较即可。 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 12．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程_______． 【答案】 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，据此列出方程即可． 【详解】∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 可得：． 故答案为：． 13．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，观察数据发现规律是解决本题的关键 ． 观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数，设出二次函数解析式将数值代入求解即可 ． 【详解】解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数， 设， 由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得 ， 解得， 所以， 即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 故答案为： ． 14．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________． 【答案】/0.7 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：把王红和李明分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，画树状图如图： 共有20种等可能出现的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有14种， ∴王红和李明至少有一人参与演奏的概率为． 故答案为：． 15．如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接，．点M是的中点，连接交于点H，若，．则的长为__________________ ． 【答案】 【分析】取的中点N，连接，由平行四边形的性质和线段之间的数量关系，求出，，，，等线段的长，利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得和是等边三角形，求出，，利用中位线定理得到，，进而说明，最后根据相似三角形的对应边成比例，计算即可求解． 【详解】解：如图：取的中点N，连接， 平行四边形中，， ，，， ， ， F是的中点， ， 点N是的中点， ， ， E为的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点M是的中点，点N是的中点， ，， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题10分）（1）计算：； （2）解不等式组 【答案】（1）3 （2） 【分析】此题考查了实数的混合运算和求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则和解不等式组的步骤是关键． （1）利用零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、算术平方根的性质进行化简，再计算即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为： 17．（本题7分）年低空经济的核心产业（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 【答案】元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，首先设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元，根据飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元， 根据题意可得：， 解方程得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：飞行器平均每公里航程的能源成本为元． 18．（本题8分）为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以“科学家精神指引我”为主题的知识竞赛活动．志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩（分）分为4组：A．“”，    B．“”，    C．“”，    D．“”． 分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；若志远班竞赛成绩的中位数为分，明德班竞赛成绩的中位数为分，则_____（填“”“”或“”）． (2)若预估两个班A组的平均分都为97.5分，B组的平均分都为90分，C组的平均分都为80分，D组的平均分都为67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到0.1分）． (3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）． 【答案】(1)15； (2)志远班的平均分为87.9分，明德班的平均分为85.5分 (3)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查统计图，求平均数和中位数，从统计图中有效地获取信息是解题的关键： （1）根据扇形图中的百分数之和为1，求出的值，求出两个班的中位数所在的组，比较大小即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用平均数进行说明即可． 【详解】（1）解：， ∴， 由题意，两班的参赛人数均为：， 由条形统计图可知：志远班竞赛成绩的第20和第21个数据均在组， ∵（人），（人），（人），（人）， ∴明德班竞赛成绩的第20和第21个数据均在组， 故； （2）志远班的平均分为（分）． 明德班的平均分为（分）． （3）志远班的预估平均分为87.9分，高于明德班的预估平均分85.5分，从平均分的角度看，志远班的成绩高于明德班．（答案不唯一，合理即可） 19．（本题7分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)27 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，函数与结合图形面积的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，则点的坐标为，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例的函数表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为27． 20．（本题8分）拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容： 活动主题 测量拱极门的高度 测量工具 卷尺、测角仪 方案设计 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，的度数； 第二步：沿着方向走到I处，用皮尺测得的长； 第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角的度数． 说明：地面上的点G，I，B在同一水平直线上，，表示测角仪，表示拱极门的高，，，均与垂直． 测量数据 ，，， 参考数据 ，，，，，． 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请根据该小组的报告计算拱极门的高度（结果精确到）． 【答案】拱极门的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键． 延长交于点C，求出，，解直角三角形得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：延长交于点C， 由题可知，四边形和四边形为矩形， ，， 在中，，， ，即． 在中，， ，即． ， ． 解，得． ， ． 答：拱极门的高度约为． 21．（本题9分）阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日  星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； (2)如图2，在中，和相交于点O，求证：； (3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)勾股定理 (2)见解析 (3)65 【分析】（1）根据题意填空结论； （2）根据平行四边形的性质和中线定理即可得到结论； （3）根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形，推出AC，BD是直径，连接AC，BD交于O，连接根据矩形的性质和中线定理得到结论． 【详解】（1）解：阅读材料中给出的证明过程依据的定理是勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∵在中，是中线， ∴由中线定理得，， ∵在中，是中线， 由中线定理得，， ； （3）解：四边形是平行四边形， ， ∵内接于， ， ， 是矩形， 连接，交于O，连接 是矩形， ，，， 根据中线定理，得， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握中线定理是解题的关键． 22．（本题13分）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为． (1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）． 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查二次函数的实际应用，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将顶点，分别代入，求出a，c的值，即可解答； （2）根据游船宽，从桥下正中间通过，求出当时，，再求出游船从桥下正中间通过所需最小高度为，由，得到游船能安全通过，即可解答； （3）过点P作于F，于M， 推导出，得到，即，设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，推导出，，得到，，则，点C关于y轴的对称点为，继而推导出，再由点D、E关于y轴对称，得到，根据勾股定理，得到，得到，由，开口向下，对称轴为，推导出当时，随n的增大而减小，则当时，取得最大值，为． 【详解】（1）解：由题意，得 ，抛物线顶点为． 设抛物线的表达式为，将顶点代入，得 ； ∴抛物线的表达式为， 将代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵游船宽，从桥下正中间通过时， ∴将代入抛物线，得 ， ∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔， ∴所需最小高度为 ∵， ∴游船能安全通过． （3）过点P作于F，于M，过点C作轴于点N，如图1 ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． 即， ∴， 设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则 ，， ∴，， ∴，或（不符合题意，舍去）， ∴，， 即，点C关于y轴的对称点为， ∴ ， ∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E关于y轴对称， ∴， ∴ 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，随n的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为． 答：取得最大值为3． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： （1）如图1，求证：是等腰三角形； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． （2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）存在，的长为或 【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明； （2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么； （3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故， 解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求． 【详解】（1）解：如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作的平行线，与的延长线交于点，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，正方形中， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：存在， 当点在的延长线上， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，如图： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 o 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 o 第一部分（选择题共30分） : 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.中国人很早就开始使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别 表示正数和负数（红色为正，黑色为负）.若红色算筹 表示的数是“+32”，则黑色算筹 表示的数是() : O O A.+53 B.+35 C.-53 D.-35 2.下列四家人工智能科技公司的1g0图案示意图，其图案是中心对称图形的是() : 拟 : A. 微云人工智能 B.工易机器人 C. 觅客科技 D.小i机器人 : 3.下列运算正确的是() A.a4.a2=2a6 B.(-3x)2=-9x2 C.x2+x2=x4 D.(-ab)4÷(-ab)2=a2b2 4.将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图.己知ABIED,BC=CD,∠ABC=∠EDC=162°， : 则LBCD的度数是() 光屏 : ○ 光具座 试题第1页（共8页） : 可学科网·学易金卷做概德：就限家是鲁普 A.18° B.28° C.36° D.38 5.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，.若单枪充电桩的单 价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程8四-0+1”刻画，则”表示的条件为《) A.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 6,如图，已知△ABC,在BC边的同侧作正△ABD、正△ACF和正△BCE,连接 单枪充电桩双枪充电桩 DE,EF,则下列选项中不正确的是() A.一定会出现平行四边形ADEF B.当∠BAC=150时，四边形ADEF为矩形 C.当LBAC=150°，且AB=AC时四边形ADEF为正方形 D.当AB=AC,且∠BAC≠60时，四边形ADEF为菱形 2 7.我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高“的数学道理，即用 曲尺测量物体高度的方法，如图所示：设曲尺平行于水平线的一边DE长度为a,垂直于水平线的一边CD长 度为b,当人眼F,曲尺两边端点C,E,物体AB的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度 为h,人眼F到物体AB的水平距离为c,则可求得物体AB的高度等于g+h.其依据的图形变化是（) 水平线 A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的旋转 D.图形的相似 8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=75°，D是AO延长线上一点，且BD与⊙O相切于点B,若AD= 4,则⊙0的半径为() ● A.8-4V3 C.2 D.8V3-12 9.常温下，用浓度为0.1mol·L-1的NaOH溶液分别滴入10mL浓度均为0.1mol·L1的盐酸和醋酸溶液.利 用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的NaOH溶液体积的变化如图所示，其中曲线I,Ⅱ分别对应 盐酸和醋酸的变化曲线.下列说法错误的是() 试题第2页（共8页） ©学科网·学易金卷德概德：就限彩是鲁潜 电导率 0 101520NaOH溶液)/mL A.随着滴入NaOH溶液体积的增加，I曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B.随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C.随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D.随着滴入NaOH溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为c<a<b<d 10.如图，先以正方形ABCD的边AD为直径画圆，然后以A为圆心，AB为半径画BD,最后以AB的中点E 为圆心，BE为半径画BF与AD交于点F,若AD=2,则图中阴影部分的面积为() B A.3π-1 B.π-1 C.4 D.n+1 第二部分（非选泽题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.比较大小：V7(填"或”<”) 12.某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文 化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有 1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长 率.若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x,则可列方程 13.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车 距离”.通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度V之间的部分对应值 如下表： 刹车时车速(km/h) 0 10 20 30 40 50 刹车距离(m) 0 0.5 2.0 4.5 8 12.5 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： 14.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D乐器，E武术共五 类社团活动.王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人 上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是 15.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,E,F分别为BC,AD的中点，连接EF并延长至G,满足 试题第3页（共8页） FG=EF,连接AG,GD.点M是DG的中点，连接AM交EG于点H,若∠B=60°，CD=4.则FH的长为 兵 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本题10分)(1)计算：(2025-m°-2sim45°+(-)'+V2+(W⑤2： 张 x-3x-2)≤4① (2)解不等式组} >x-@ 3 游 游 17.(本题7分)2025年低空经济的核心产业VT0L(电动垂直起降飞行器)发展火热，其核心技术在于电 动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本.经过对某款VTOL飞行器和燃油直升机对比调查发现 S eVTOL飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且eVTOL飞行器充电费21600元比燃油直升机燃 O 油费28800元飞行航程多200公里，那么eVT0L飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 18.(本题8分)为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以“科学家精神指引我”为主题的知识竞 世 赛活动.志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩(x分)分为4组： A.“95≤x≤100”，B.85≤x<95”,C."75≤x<85”,D."60≤x<75. 分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下： 志远班竞赛成绩频数分布直方图 明德班竞赛成绩扇形统计图 频数/人 20 D 10% A 30% 45% B m% 0 B D组别 O 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：m=一；若志远班竞赛成绩的中位数为a分，明德班竞赛成绩的中位数为b分，则ab(填 试题第4页（共8页） : “>”“<"或“=”). (2)若预估两个班A组的平均分都为97.5分，B组的平均分都为90分，C组的平均分都为80分，D组的平 o 均分都为67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到01分）. (3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）. ·: 斯 19.(本题7分)如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3,6),B(9,m),直线AB与x轴交于点C O B % C (1)求反比例函数的表达式及m的值： (2)过点B作BD⊥y轴于点D,连接AD,CD.请直接写出△ACD的面积. .: . 舒 O 20.（本题8分)拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一.某数学兴趣小组开 展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容： 活动主题 测量拱极门的高度 O : 测量工具 卷尺、测角仪 : 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，∠AFJ的度数： : 第二步：沿着GB方向走到1处，用皮尺测得GI的长： 射 K 第三步：在1处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角∠AH的 方案设计 度数 : 说明：地面上的点G,1,B在同一水平直线上，FG,HI表示测角仪，AB表 : 示拱极门的高，FG,HI,AB均与BG垂直， O : 试题第5页（共8页） 可学科网·学易金卷做概慧：然限是兽普 测量数据 FG=HI=1.5m,Gl=12m,∠AFJ=38°，∠AH=53 sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，c0s53°≈ 参考数据 0.60,tan53°≈1.33. 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请根据该小组的报告计算拱极门的高度AB(结果精确到0.1m). 21.(本题9分)阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务， 2025年5月4日星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条一一中线定理.该词条由《中国科技信息》杂志社 参与编辑并审核，经科普中国科学百科认证. 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍. 如图1，在△ABC中，D为BC的中点，可得AB2+AC2=2AD2+2BD2. 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作AE1BC于点E. 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2, 同理可得，AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2. 为证明方便，不妨设BD=CD=x,DE=y, AB2 +AC2=AE2+BE2+AE2+CE2 B D E … 图1 我有如下思考：将图1中的△ABC以点D为旋转中心旋转180°，可得到一个平行四边形，通过探究，得出 一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”… 试题第6页（共8页） ©学科网·学易金卷德概德：就限彩是鲁潜 图2 图3 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是 (2)如图2，在□ABCD中，AC和BD相交于点O,求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2; (3)如图3，已知口ABCD内接于⊙O,P为⊙O内一点，若PB=4,PD=7,请直接写出PA2+PC2的值. 22.(本题13分)如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面AB的距离为2m,水面AB的 宽度约为4m. D E P A B A 0 图1 图2 (1)如图1，以AB的中点0为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不 写自变量的取值范围)： (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m,已 知游船的宽度约为1.6m,船顶高出水面约为1.3m,请问游船是否能安全通过？并说明理由： (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，AC与水面 夹角的正切值为冷号P为AC上的一个动点，PD1AC于点P,DE AB,.通过多方面测试，当受PD+DE达到 最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段AC的上方 或AC上) 试题第7页（共8页） 23.(本题13分)综合与探究 问题情境：在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点，点F是边CD上的一个动点，将△DEF沿EF折叠，点 D的对应点为D',FD'的延长线与边AB交于点G,连接AD D A D D D P G G H 兵 B B B C 图1 图2 备用 数学思考： (1)如图1，求证：△AGD是等腰三角形： 拓展探究： :: 张 加 过点G再折出AD的平行线，与边CD交于点H,射线DD'与GH交于点P. (2)如图2，若点P在DD'的延长线上，试判断线段GP与PH的数量关系，并说明理由； 游 (3)若AD=4,在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使△PGD'是等腰三角形？若存在，请直接写出 DF的长；若不存在，请说明理由， S E脚 世 试题第8页（共8页）@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数 学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.中国人很早就开始使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分 别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）.若红色算筹三 表示的数是“+32”，则黑色算筹 表示的数是() A.+53 B.+35 C.-53 D.-35 2.下列四家人工智能科技公司的0g0图案示意图，其图案是中心对称图形的是() A.微云人工智能 B.工易机器人 C.觅客科技 D.小i机器人 3.下列运算正确的是() A.a4.a2=2a6 B.(-3x)2=-9x2 C.x2+x2=x4 D.(-ab)4÷(-ab)2=a2b2 4.将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图.己知ABIED,BC=CD,∠ABC=∠EDC=162°， 1/10 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则∠BCD的度数是() 光屏 E 光具座 A.18° B.28 C.36 D.38 5.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，. 若单枪充电桩的 单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程4000=400+1刻画，则"表示的条件为() x+2 单枪充电桩双枪充电桩 A.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D.双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 6.如图，己知△ABC,在BC边的同侧作正△ABD、正△ACF和正△BCE,连接 DE,EF,则下列选项中不正确的是() A.一定会出现平行四边形ADEF B.当∠BAC=150时，四边形ADEF为矩形 C.当∠BAC=150°，且AB=AC时四边形ADEF为正方形 D.当AB=AC,且∠BAC≠60时，四边形ADEF为菱形 7.我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高的数学道理，即用 曲尺测量物体高度的方法.如图所示：设曲尺平行于水平线的一边DE长度为a,垂直于水平线的一边CD长 度为b,当人眼F,曲尺两边端点C,E,物体AB的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高 度为九，人眼F到物体AB的水平距离为c,则可求得物体AB的高度等于：+九.其依据的图形变化是() h B 水平线 2/10 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的旋转 D.图形的相似 8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=75°，D是A0延长线上一点，且BD与⊙O相切于点B,若AD= 4,则⊙0的半径为() B D A.8-4v3 B后 C.2 D.8V3-12 9.常温下，用浓度为0.1mol·L-1的NaOH溶液分别滴入10mL浓度均为0.1mol·L-1的盐酸和醋酸溶液.利 用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的NaOH溶液体积的变化如图所示，其中曲线I,Ⅱ分别对应 盐酸和醋酸的变化曲线.下列说法错误的是() 电导率 a 101520NaOH溶液)/mL A.随着滴入NaOH溶液体积的增加，I曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B.随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C.随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D.随着滴入NaOH溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为c<a<b<d I0.如图，先以正方形ABCD的边AD为直径画圆，然后以A为圆心，AB为半径画BD,最后以AB的中点E 为圆心，BE为半径画BF与AD交于点F,若AD=2,则图中阴影部分的面积为() B A.2n-1 B.π-1 C.4 D.m+1 3/10 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.比较大小：V7(填“>或<) 12.某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源'为主题的直播，现场讲解山西的美食 文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有 1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长 率.若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x,则可列方程 13.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹 车距离”.通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离y与刹车时速度ⅴ之间的部分对应 值如下表： 刹车时车速(kn/h) 0 10 20 30 40 50 刹车距离(m) 0 0.5 2.0 4.5 8 12.5 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： 14.“双减政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D乐器，E武术共五 类社团活动.王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两 人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是 15.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,E,F分别为BC,AD的中点，连接EF并延长至G,满足 FG=EF,连接AG,GD.点M是DG的中点，连接AM交EG于点H,若∠B=60°，CD=4.则FH的长为 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本题10分)(1)计算：(2025-m0-2sin45+(-)'+-V2+(W⑤： x-3(x-2)≤4① (2)解不等式组} >x@ 4/10 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(本题7分)2025年低空经济的核心产业eVT0L(电动垂直起降飞行器)发展火热，其核心技术在于 电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本.经过对某款VTOL飞行器和燃油直升机对比调查发现 eVTOL飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且eVTOL飞行器充电费21600元比燃油直升机 燃油费28800元飞行航程多200公里，那么eVT0L飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 18.(本题8分)为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以科学家精神指引我”为主题的知识竞 赛活动.志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩(x分)分为4组： A.“95≤x≤100”， B.85≤x<95',C.“75≤x<85”,D.“60≤x<75. 分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下： 志远班竞赛成绩频数分布直方图 明德班竞赛成绩扇形统计图 频数/人 20 D 10% A 0% 45% B m% B D组别 根据以上信息，回答下列问题： (I)填空：m=；若志远班竞赛成绩的中位数为a分，明德班竞赛成绩的中位数为b分，则ab(填 >x<”或=”). (2)若预估两个班A组的平均分都为97.5分，B组的平均分都为90分，C组的平均分都为80分，D组的 平均分都为67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到0.1分）. (3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）. 5/10 耐学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(本题7分)如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过点A3,6),B(9,m),直线AB与x轴交于点C. D (1)求反比例函数的表达式及m的值： (2)过点B作BD⊥y轴于点D,连接AD,CD.请直接写出△ACD的面积. 20.(本题8分)拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一.某数学兴趣小组 开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容： 活动 测量拱极门的高度 主题 测量 卷尺、测角仪 工具 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，∠AFJ的度数： 第二步：沿着GB方向走到I处，用皮尺测得GI的长： 方案 第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角∠AH的度 设计 数 说明：地面上的点G,I,B在同一水平直线上，FG,HI表示测角仪，AB表示 拱极门的高，FG,HI,AB均与BG垂直. 6/10 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A G 测量 FG=HI=1.5m,GI=12m,∠AFJ=38°，∠AH=53 数据 参考 sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈ 数据 0.60,tan53°≈1.33. 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请根据该小组的报告计算拱极门的高度AB(结果精确到0.1m). 21.(本题9分)阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务. 2025年5月4日星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条一中线定理.该词条由《中国科技信息》杂志社 参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证. 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍. 如图1，在△ABC中，D为BC的中点，可得AB2+AC2=2AD2+2BD2. 下面是该定理的证明过程： 7/10 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 证明：如图1，过点A作AE1BC于点E. 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2, 同理可得，AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2. 为证明方便，不妨设BD=CD=x,DE=y, AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2 D E 图1 我有如下思考：将图1中的△ABC以点D为旋转中心旋转180°，可得到一个平行四边形，通过探究，得出 一个猜想平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”… 0 图2 图3 任务： (①)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是 (2)如图2，在□ABCD中，AC和BD相交于点O,求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2; (3)如图3，己知□ABCD内接于⊙O,P为⊙0内一点，若PB=4,PD=7,请直接写出PA2+PC2的值. 8/10 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(本题13分)如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面AB的距离为2m,水面AB的 宽度约为4m. D E C 6 A 0 Bx A 0 B 图1 图2 (1)如图1，以AB的中点0为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式 (不写自变量的取值范围)： (2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m,已 知游船的宽度约为1.6m,船顶高出水面约为1.3m,请问游船是否能安全通过？并说明理由： (3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，AC与水 面夹角的正切值为号P为AC上的一个动点，PD L AC于点P,DE W AB,.通过多方面测试，当PD+DE 达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段AC的 上方或AC上). 9/10 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(本题13分)综合与探究 问题情境：在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点，点F是边CD上的一个动点，将△DEF沿EF折叠， 点D的对应点为D',FD'的延长线与边AB交于点G,连接AD'. D D D P G G H B C B C B C 图1 图2 备用 数学思考： (1)如图1，求证：△AGD'是等腰三角形： 拓展深究： 过点G再折出AD的平行线，与边CD交于点H,射线DD'与GH交于点P. (2)如图2，若点P在DD'的延长线上，试判断线段GP与PH的数量关系，并说明理由： (3)若AD=4,在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使△PGD是等腰三角形？若存在，请直接写 出DF的长；若不存在，请说明理由， 10/10