9.4探索三角形相似的条件同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

9.4 探索三角形相似的条件 一、单选题 1．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 3．下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，和相似需具备的条件是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 7．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 9．如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 10．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 11．如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 12．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 三、解答题 13．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 14．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 15．如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 16．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 《9.4 探索三角形相似的条件 2025-2026学年鲁教版数学九年级下册》参考答案 1．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 2．C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 3．C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 4．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，题中隐含条件，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例的性质即可推出答案． 【详解】解：∵在和中，， ∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件是：， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、但没有夹角相等，不能判定，故该选项符合题意； B、由可判定，故该选项不符合题意； C、由，可判定，故该选项不符合题意； D、由且，可判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．C 【详解】解：在和中，， ．平分，则，则，故该选项不符合题意； ．，则故该选项不符合题意； ．不是和对应的比例，不能判断和相似，故该选项符合题意； ．即，则，故该选项不符合题意； 7．C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 8．（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 11．（答案不唯一） 【分析】可添加或，根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；或添加，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】解： ， 当或或时，． 12．54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 13．见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 14．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ， ， 又， ∴． 15．(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 16．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $