第26章反比例函数测试卷-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第26章 反比例函数 测试卷 一、单选题 1．反比例函数的比例系数为（     ） A． B．-3 C．-5 D． 2．点在反比例函数的图像上，则k值为（   ） A．2 B． C．8 D． 3．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 4．函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 6．下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 7．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作轴，取中点，点在轴上，连接、，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 二、填空题 9．已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为10，则的长为__________．    10．在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为________分钟． 11．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是_________． 12．反比例函数为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：；四边形的面积不变；当点是的中点时，则点是的中点，其中正确结论是______． 13．如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为___________． 三、解答题 14．在平面直角坐标系中，点． (1)若反比例函数的图象经过点和点，求和的值； (2)若反比例函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围______． 15．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 16．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 18．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 19．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章 反比例函数 测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C B D B D 1．A 【分析】求出反比例函数解析式中k的值即可． 【详解】解：反比例函数的比例系数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数解析式的一般形式是解本题的关键． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：根据题意：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米． 故选：D 4．C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 7．B 【分析】本题主要考查反比例函数与三角形的综合，比例系数的几何意义，连接，由轴，则，故有，又为中点，则，所以，再根据比例系数的几何意义即可求解，掌握反比例函数图象的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．D 【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，设，得以得到点，然后可以得到，然后得到点F的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵三角形，三角形是等腰直角三角形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． 故选D． 9．10或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论数学思想的巧妙运用是解题的关键．对等腰三角形的腰进行分类讨论即可解决问题． 根据题意分3种情况讨论，然后分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1所示，当时，； 如图2所示，当时，； 如图3所示，当时，设， 因为， 所以， 即， 令， 则， 解得或36， 则或36． 又因为， 所以或6， 则点A的坐标为或． 当时，； 当时，． 综上所述，的长为10或或． 故答案为：10或或． 10．52 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出反比例函数的解析式，求出温度上升至和下降到时的时间，进行求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 由图象，把点代入，得：， ∴， 当时，， ∵刚燃烧时，落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高， ∴当温度上升到时，所需时间为：， ∴糖化过程时长为； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确画出函数图象是解题关键．由图可知点P不可能在点A下方，故点P在点A上方，结合函数图象列出不等式组求解即可． 【详解】解：依题意，如图所示： 则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图： 如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即， 结合图象可知，当时，区域内有8个整数点． 结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于， 则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去； 结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2， 则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，解答本题的关键是正确理解的几何意义． 由反比例系数的几何意义可得答案； 由四边形的面积矩形的面积（三角形的面积三角形的面积），解答即可求解； 连接，点是的中点可得和的面积相等，根据的面积的面积、与的面积相等解答即可求解． 【详解】解：由于、在同一反比例函数图象上， 则与的面积相等，都为，正确； ， 又矩形、三角形、三角形为定值， 则四边形的面积不会变化，正确； 连接，点是的中点， 则和的面积相等， 的面积的面积，与的面积相等， 与的面积相等， 与的面积相等， 点一定是的中点，正确； 故答案为：． 13．6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 14．(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征： （1）将分别代入即可求解； （2）先确定，再求出临界状态即为经过点时的m值即可求出取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点和点，点， ∴， ∴； （2）解：∵在第四象限，反比例函数的图象与线段有交点， ∴， 当反比例函数的图象经过点时， ∴， ∴当反比例函数的图象与线段有交点时，， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案； 对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴点； （2）将点代入， 得， ∴． 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 16．(1)，画图见详解 (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 17．(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，根据点E是中点，求出点E的坐标，直接代入解析式求解即可； （2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键． 18．(1)是矩形的“友好函数” (2)①；② 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 19．(1) (2)个月 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出反比例函数解析式为，当时，，解得，即可求出答案； （3）当时，，当时，，设这个降低的百分率为，根据题意得到一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工过程中关于的函数解析式是， （2）当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工结束后关于的函数解析式为， 当时，，解得， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； （3）当时，， 当时，， 设这个降低的百分率为，根据题意得， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $