第十七章 三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第十七章 三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．以下列各组三条线段长为边能构成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．2，3，6 C．3，4，5 D．5，4，9 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：A、，1，2，4不能组成三角形，该选项不符合题意； B、，2，3，6不能够组成三角形，该选项不符合题意； C、，3，4，5能组成三角形，该选项符合题意； D、，5，4，9不能组成三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 2．下面四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形高的定义，正确理解三角形高的定义是解题的关键．根据三角形高的定义回答即可． 【详解】解：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 根据三角形高的定义可知，选项D中是的高． 故选：D． 3．能判断的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判定即可得出答案． 【详解】解：A．由不能判定，故不符合题意； B．由不能判定，故不符合题意； C．由不能判定，故不符合题意； D．由能判定，故符合题意； 故选：D． 4．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 故选：B． 5．下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断． 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误； 全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键． 6．如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用平行线的性质得出的度数，再利用翻折的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折的性质得， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知中，，那么中最大角的度数为________． 【答案】/75度 【分析】此题考查三角形内角和定理、一元一次方程的应用．由题意可设由三角形内角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可设 则， 解得， ∴ ∴中最大角的度数为 故答案为： 8．若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______． 【答案】7或9或11 【分析】设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：，然后再根据第三边是偶数，确定a的值即可． 【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：． 即：， ∵周长是偶数， ∴第三边的长为奇数，即：或或． ∴第三边长为7或9或11． 故答案为：7或9或11． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 9．如图，是一个直角三角形，已知，那么______． 【答案】/60度 【分析】此题考查三角形内角和定理．根据邻补角的性质得出，进而利用三角形内角和得出即可． 【详解】解：， ， 是一个直角三角形， ， ． 故答案为：． 10．如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是__________ 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先结合条件与图形得出，，因为根据“”证明，则添加条件是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴要根据“”证明，需要添加一个条件是 故答案为： 11．如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、(在直角三角形中)．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 点在同一条直线上，且，即在和中，已经有两边对应相等，根据判定两个三角形全等的方法：，所以可添加条件为． 【详解】解：． 以下证明添加条件为时，． ， ， ， ， 在和中， ∴． 故答案为：． 12．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是________． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D、E分别为边、， ∴，， ∴， ∵点F为的中点， ∴； 故答案为：2． 13．如图，，，，若，则_______． 【答案】/117度 【分析】本题考查了全等三角形的判定及其性质等知识，根据平行线的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，，则________．    【答案】/72度 【分析】由“”可证，可得，由外角的性质可得，可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 15．中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 【答案】2或3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 16．如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 _________________． 【答案】/140度 【分析】设交于点，由已知，推出 ，证明，得，可求得，则，即可得到结论；此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：设交于点， 在和中， ， ， 故答案为：． 17．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，分别为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小． （2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明． 【答案】（1）40，30°；（2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B），理由见解析. 【分析】(1)由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ACD中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC； (2)由(1)知，用∠C和∠B表示出∠EAD，即可知∠EAD与(∠C-∠B)的关系． 【详解】解：（1）∵∠B=20°，∠C=80°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠BAC=40°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=80°， ∴∠CAD=90°﹣∠C=10°， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=40°﹣10°=30°； （2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B）． 理由：∵三角形的内角和等于180°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°﹣∠C， ∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C） =∠C﹣∠B=（∠C﹣∠B）． 故答案为（1）40，30°；（2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B）. 【点睛】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解. 20．（本小题6分）如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先证明，再由证明，则． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴≌， ∴． 21．（本小题6分）如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米． (1)根据题意，画出示意图； (2)求小亮在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)80米，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的实际应用．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据题意可判断米，米，即可画出示意图． （2）根据题意直接利用“”可判断，根据全等三角形的性质可得出米 【详解】（1）解：根据题意可知米，米． 故可画示意图如下： （2）根据题意可知：， ∴在和中 ， ∴， ∴米 ∴小刚在点A处时他与电线塔的距离为80米． 22．（本小题8分）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）首先证明出，得到，即可证明； （2）首先求出，然后由得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴ ∴； （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 23.（本小题8分）如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度之间的关系找到全等三角形的对应角，再结合已知边相等的条件证明三角形全等，进而得出边的等量关系． 先根据垂直条件得出多个直角，利用同角的余角相等推出两组角相等；结合已知证明和全等；由全等三角形的性质得到和最后通过线段的和差关系说明． 【详解】∵ ∴，． ∵（对顶角相等）， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ． ∵且 ∴． 24．（本小题8分）如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据“”证明即可； （2）根据，求出．根据三角形全等的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． ， ， 在和中 ． （2）解：， ． 由（1），知 ， ． ． 25.（本小题10分）【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：（1）证明：直线直线， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2）的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证明：， ， ， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．以下列各组三条线段长为边能构成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．2，3，6 C．3，4，5 D．5，4，9 2．下面四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 3．能判断的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知中，，那么中最大角的度数为________． 8．若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______． 9．如图，是一个直角三角形，已知，那么______． 10．如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是__________ 11．如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件________，使得． 12．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是________． 13．如图，，，，若，则_______． 14．如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，，则________．    15．中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 16．如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 _________________． 17．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 18．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 19．（本小题6分）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小． （2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明． 20．（本小题6分）如图，已知．求证：． 21．（本小题6分）如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米． (1)根据题意，画出示意图； (2)求小亮在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 22．（本小题8分）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 23.（本小题8分）如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 24．（本小题8分）如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 25.（本小题10分）【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $