9.6黄金分割同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制 ）数学八年级下册

9.6 黄金分割 同步训练 一、单选题 1．把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）． A． B． C．3 D． 3．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知直线垂直于线段于点．我们按如下步骤尺规作图：第一步，分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点、，作直线交于点；第二步，以为圆心，为半径作弧，与射线交于点；第三步，以为圆心，为半径作弧，与射线交于点；第四步，以为圆心，为半径作弧，与线段交于点．则点是线段的（    ） A．二等分点 B．三等分点 C．四等分点 D．黄金分割点 6．顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，，，都是黄金三角形，且，则长为（   ） A． B． C． D． 7．如图（1）是古希腊时期的帕特农神庙，如果把图（1）中用虚线表示的矩形画成图（2）中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以发现，，点是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．大自然是美丽设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，即，若，则的长为___________． 9．若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少_____处？ 10．如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____． 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长为___________（结果保留根号）． 12．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么_____． 三、解答题 13．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 14．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？过点作的垂线，并在垂线上取；连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理，若，求的长． 15．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． (1)图1中，若线段，求线段的长． (2)如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 16．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． (1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； (2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查黄金分割的定义，根据黄金分割中较长线段与原线段的比例关系计算即可. 【详解】解：∵黄金分割中，较长线段与原线段的比值为， 又∵原线段长为， ∴较长线段的长为 . 2．D 【分析】本题考查黄金分割，二次根式的运算，掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割比，可得，代入计算即可． 【详解】解： P为的黄金分割点（）， ， ， （）． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：． 故选C． 4．D 【分析】设雕像的下部的高度为，由黄金分割的定义得，即可求解． 【详解】解：设雕像的下部的高度为， ∵雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比， ∴， 解得：， 即雕像的下部的高度为． 5．D 【分析】本题考查了黄金分割的定义，勾股定理，基本作图，设，根据作图可得，进而根据勾股定理求得，根据作图得出，即可求解． 【详解】解：设，根据作图可得， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点， 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查了黄金三角形，先根据为黄金三角形，，求出，再根据为黄金三角形，求出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴， ∴； ∵为黄金三角形， ∴． 故选：D． 7．B 【分析】利用正方形的性质将转化为，结合题目给出的比例关系建立方程求解．首先设的长为，由正方形性质得，代入得到关于的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解即可得到的长度． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴，即， 根据题意，， 整理得：， ∴， 此时都是原分式方程的解． ∵，而，不符合题意，舍去， ∴，即． 8．/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，是解题的关键．根据，，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了黄金分割的定义及应用． 先确定黄金分割比，计算离点较近的黄金分割点距离原线段长减去较长线段长，即． 【详解】解：黄金分割比为，设离点较近的黄金分割点为． 离点的距离 ， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：∵某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了黄金分割、矩形的性质以及正方形的性质．由黄金矩形的定义得，，再由正方形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．见解析 【分析】本题考查黄金分割点，相似三角形的判定，根据黄金分割点的定义可得，由已知推出，再结合，即可证明结论． 【详解】证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，， ， 又，， ，即， ． 14．见解析， 【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理和解一元二次方程．掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：设，则， 设，即，， 为直角三角形， ． 即， 化简得， ，（舍去）， 即 ， 所以点为黄金分割点． 由作图可知， ． 即． 15．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了黄金分割点的意义，解一元二次方程． （1）设，则，根据，列得一元二次方程，解之取正值即可求解； （2）利用黄金分割点的意义求得和的长，进一步求得和的长，再分别求得和，据此判断即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得（舍去负值）， ∴； （2）证明：∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 【详解】（1）解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． （2）如图，点P即为的黄金分割点． 学科网（北京）股份有限公司 $