专题12 概率统计（2大考点，30题）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题12 概率统计（2大考点，30题） 2大考点概览 考点01统计 考点02概率 一、单选题 1．（2026·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．第80百分位数 D．方差 3．（2026·上海静安·一模）如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 二、填空题 1．（2026·上海闵行·一模）某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是 2．（25-26高三上·上海松江·期末）某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为 ． 3．（25-26高三上·上海宝山·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 （以下摘自随机数表第7行）． 39832776    39918535    32591131     40469235     04982212    20671263 4．（2026·上海徐汇·一模）相关部门在上海市随机调查了10户居民六月份的用电量（单位：kW·h），从小到大排列依次为31、74、78、99、101、107、127、131、208、223，则这10户居民用电量的第75百分位数为 ． 三、解答题 1．（2026·上海普陀·一模）人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业．根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（2025）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示． 表一 表二 产业链层级 企业数量（家） 年份 市场规模（亿元） 第一层基础 1820 2021 800.2 2022 1200.3 第二层模型框架 1590 2023 1848.5 2024 2600.6 第三层应用 1890 2025 3500.4 (1)根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果精确到1亿元）； (2)赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数．请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型； (3)为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）． 2．（2026·上海长宁·一模）小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： (1)求这组数据的第60百分位数： (2)运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： (3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率． 3．（2026·上海闵行·一模）小闵同学某一天进行了10次100米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午集训6次的成绩（单位：s）：、、、、、. (1)求这6次成绩的中位数； (2)参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率； (3)若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s，方差是0.75，求他这一天10次训练成绩的平均值和方差. 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且． (1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中和的值； (2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率； (3)若甲乙两队的队员平均分相等，求的最大值，并写出此时和的值． 5．（2026·上海金山·一模）核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 6．（2026·上海奉贤·一模）A校高一年级共有学生462名，其中女生224名．为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，按分层随机抽样从中获取66名学生的身高（cm）和体重（kg），其中66名学生的身高（从低到高排序三列，每列22人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66名学生体重绘制茎叶图如右下图． A校66名高一年级学生身高数据 性别 身高/cm 性别 身高/cm 性别 身高/cm 女 152 女 164 男 172 女 153 男 165 男 172 女 154 女 172 女 155 男 173 女 156 男 173 女 156 男 174 女 156 男 174 女 157 男 174 女 157 男 174 女 159 男 175 女 159 男 176 女 160 男 176 女 160 男 177 女 160 男 177 女 160 男 178 女 161 男 178 女 162 男 178 女 163 男 170 男 178 女 163 男 170 男 179 女 164 男 170 男 181 女 164 男 170 男 182 女 164 男 170 男 184 A校66名高一年级学生身高的频率分布表 身高分组区间 频数 频率 累积频数 [151.5,154.5) 3 0.05 3 [154.5,157.5) 0.09 9 [157.5,160.5) 0.09 15 [160.5,163.5) 19 [163.5,166.5) 31 [166.5,169.5) 39 [169.5,172.5) 47 [172.5,175.5) 54 [175.5,178.5) 8 0.12 62 [178.5,181.5) 2 0.03 64 [181.5,184.5] 2 0.03 66    (1)能否推算出身高165cm的具体人数？ (2)求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数； (3)已知这66名学生中男生身高平均数为173.1cm，方差为25.9；女生身高平均数为161.3cm，方差为23.3．请计算该样本数据在区间中包含样本数据的个数． （其中是样本平均数，是样本标准差） 7．（25-26高三上·上海青浦·期末）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展.某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 09 88 17 83 25 79 33 76 02 96 10 88 18 83 26 79 34 75 03 95 11 86 19 82 27 78 35 74 04 93 12 86 20 82 28 78 36 74 05 92 13 85 21 81 29 78 37 73 06 91 14 85 22 81 30 77 38 72 07 89 15 84 23 81 31 76 39 66 08 89 16 84 24 80 32 76 40 63 (1)求这组数据的极差和第95百分位数. (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为，且这10个数据的平均数.记这10个数据的方差为，若用户的满意度评分在区间，则满意度等级为“级”.从这10个数据里面任取3个，求恰有2个满意度等级为“级”的概率. (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的样本容量占两个系统所有样本容量的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差. 8．（2026·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 9．（2026·上海黄浦·一模）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 10．（2026·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 11．（25-26高三上·上海松江·期末）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 12．（2026·上海嘉定·一模）A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下： (1)求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数； (2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm） (3)若一组数据落在（是平均数，是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由. 13．（2026·上海虹口·一模）班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 概率 考点2 一、单选题 1．（2026·上海青浦·一模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（   ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D． 二、填空题 1．（2026·上海普陀·一模）设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为 . 2．（2026·上海虹口·一模）若事件、互斥，且，，则 3．（2026·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为 . 4．（2026·上海黄浦·一模）甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为 ． 5．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 6．（2026·上海崇明·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是 ． 7．（2026·上海嘉定·一模）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 . 三、解答题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 2．（2026·上海静安·一模）为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 (1)假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； (2)求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； (3)求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 试卷第26页，共27页 试卷第27页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 概率统计（2大考点，30题） 2大考点概览 考点01统计 考点02概率 一、单选题 1．（2026·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数公式可求得结果. 【详解】由题意可知，抽取的株小麦的麦穗长度分别为：、、、、、、、 、、、、、，单位：， 用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为. 故选：B. 2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．第80百分位数 D．方差 【答案】D 【分析】根据平均值、中位数、百分位数的概念判断ABC，根据方差性质判断D. 【详解】加分后，与原始分数相比，平均值，中位数，第80百分位数的数值都会发生改变， 但根据方差的性质，一组数据同时加上相同的数后，方差大小不变. 故选：D. 3．（2026·上海静安·一模）如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 【答案】B 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 二、填空题 1．（2026·上海闵行·一模）某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是 【答案】 【分析】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，即可求解. 【详解】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是人. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海松江·期末）某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为 ． 【答案】 【分析】先读取茎叶图得到数据，再利用平均数公式求解平均数即可. 【详解】由题意得得分数据分别为， 则平均数为. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海宝山·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 （以下摘自随机数表第7行）． 39832776    39918535    32591131     40469235     04982212    20671263 【答案】11 【分析】由题目给出的随机数表，按照读取随机数表的方法得答案． 【详解】从随机数表第9个数字开始向右读，，（舍去），（舍去），，，（舍去），11……， 则第4支水笔的编号为． 故答案为：11． 4．（2026·上海徐汇·一模）相关部门在上海市随机调查了10户居民六月份的用电量（单位：kW·h），从小到大排列依次为31、74、78、99、101、107、127、131、208、223，则这10户居民用电量的第75百分位数为 ． 【答案】131 【分析】由百分位数的计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以第8个数131是第75百分位数， 故答案为：131 三、解答题 1．（2026·上海普陀·一模）人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业．根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（2025）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示． 表一 表二 产业链层级 企业数量（家） 年份 市场规模（亿元） 第一层基础 1820 2021 800.2 2022 1200.3 第二层模型框架 1590 2023 1848.5 2024 2600.6 第三层应用 1890 2025 3500.4 (1)根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果精确到1亿元）； (2)赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数．请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型； (3)为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）． 【答案】(1)该说法不正确；5062亿元 (2)3351；目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型 (3)0.880 【分析】（1）先计算出2021-2025年市场规模逐年增长率，指出五年内的变化趋势，即可得出说法不正确的结论；再求出五年的平均增长率，即可依据此模型预测2026年我国AIGC的市场规模； （2）由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式，求出我国AIGC产业链的赫希曼指数为，即可判断其产业分布结构类型； （3）先求出抽到的这4家企业全来自第一层的概率和来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率，用即可得解. 【详解】（1）2021-2025年市场规模逐年增长率分别为： ， 由此可看出：2021-2023年增长率加快，2023-2025年市场规模增长逐年放缓， 所以“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法不正确； 五年的平均增长率为， 则按照该模型预测2026年我国AIGC市场规模约亿元. （说明：若按照最后一年增长规模估计，亿元； 若按照最后两年增长规模估计，亿元） （2）由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式得，我国AIGC产业链的赫希曼指数为： 所以目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型； （3）抽到的这4家企业全来自第一层的概率为：； 抽到的这4家企业中来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率为： ； 则抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率为： . 2．（2026·上海长宁·一模）小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： (1)求这组数据的第60百分位数： (2)运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： (3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率． 【答案】(1)71； (2)0.3； (3). 【分析】（1）根据计算百分位数的步骤求解； （2）计算样本频率，利用频率估计概率； （3）根据古典概型的概率公式计算. 【详解】（1）把10天的记录按照从小到大排列为：， 因为是整数，所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数， 因为，这组数据的第60百分位数为71； （2）因为选取的样本中运动时长不达标的频率为， 所以估计该天运动时长不达标的概率为0.3； （3）因为前后两组数据的极差相同，所以随机删除的2个数为中的两个， 则概率 3．（2026·上海闵行·一模）小闵同学某一天进行了10次100米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午集训6次的成绩（单位：s）：、、、、、. (1)求这6次成绩的中位数； (2)参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率； (3)若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s，方差是0.75，求他这一天10次训练成绩的平均值和方差. 【答案】(1)； (2)； (3)均值，方差. 【分析】（1）将数据由小到大排列，然后由中位数定义求解可得； （2）根据上午的成绩，由频率估计概率的方法求出用时小于13s的概率，然后由相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解可得； （3）利用分层平均数和分层方差公式求解即可. 【详解】（1）将这6次成绩从小到大排列为: 12.9、13.3、13.7、13.9、14.9、15.3， 这6次成绩的中位数为：； （2）用时小于13s的概率为：，所以该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率为： ； （3）上午六次的成绩平均数为： ， 上午六次的方差为： ， 设下午四次成绩平均数为 ，下午四次的方差为 ， 总的平均数为： ， 总的方差为： 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且． (1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中和的值； (2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率； (3)若甲乙两队的队员平均分相等，求的最大值，并写出此时和的值． 【答案】(1)， (2) (3)时， 的最大值是. 【分析】（1）由甲队分数为：6，14，28，34，，乙队分数为：12，25，26，，31，分别利用极差和平均数的定义求解； （2）利用古典概型和对立事件的概率求解； （3）根据甲乙两队的队员平均分相等，得到，从而得到，再利用对勾函数的性质求解. 【详解】（1）由茎叶图知：甲队分数为：6，14，28，34，， 乙队分数为：12，25，26，，31， 因为甲队队员得分的极差为32， 所以，解得， 又因为乙得分的平均值为24， 所以 ，解得. （2）由图知，20分以上的队员中，甲队有28、34、共3人，乙队有25、26、、31共4人，总共7人， 从7人中随机抽取2人，有种，且每种情况等可能， 记“至少有1名来自乙队”为事件A， 其对立事件是“2名都来自甲队”，有种，且每种情况等可能， 所以至少有1名来自乙队的概率为. （3）甲队的平均数为， 又， 因为甲乙两队的队员平均分相等，所以，即， 则，由，解得， 令，由对勾函数的性质得在上递减，在上递增， 又，且， 所以的最大值是，此时，. 5．（2026·上海金山·一模）核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 【答案】(1)4； (2)①；②13个. 【分析】（1）根据分层抽样的特点计算即可‘ （2）①先求出克重大于20克的核桃共9个，再利用组合公式和古典概型即可得到答案； ②利用方差公式求出方差，则得到范围，再对照表格即可. 【详解】（1）个 则应抽取类核桃4个. （2）①因为克重大于20克的核桃共9个， 则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为. ②， 则标准差， ， . 对照表格可知则该20个核桃中有13个核桃的克重位于与之间. 6．（2026·上海奉贤·一模）A校高一年级共有学生462名，其中女生224名．为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，按分层随机抽样从中获取66名学生的身高（cm）和体重（kg），其中66名学生的身高（从低到高排序三列，每列22人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66名学生体重绘制茎叶图如右下图． A校66名高一年级学生身高数据 性别 身高/cm 性别 身高/cm 性别 身高/cm 女 152 女 164 男 172 女 153 男 165 男 172 女 154 女 172 女 155 男 173 女 156 男 173 女 156 男 174 女 156 男 174 女 157 男 174 女 157 男 174 女 159 男 175 女 159 男 176 女 160 男 176 女 160 男 177 女 160 男 177 女 160 男 178 女 161 男 178 女 162 男 178 女 163 男 170 男 178 女 163 男 170 男 179 女 164 男 170 男 181 女 164 男 170 男 182 女 164 男 170 男 184 A校66名高一年级学生身高的频率分布表 身高分组区间 频数 频率 累积频数 [151.5,154.5) 3 0.05 3 [154.5,157.5) 0.09 9 [157.5,160.5) 0.09 15 [160.5,163.5) 19 [163.5,166.5) 31 [166.5,169.5) 39 [169.5,172.5) 47 [172.5,175.5) 54 [175.5,178.5) 8 0.12 62 [178.5,181.5) 2 0.03 64 [181.5,184.5] 2 0.03 66    (1)能否推算出身高165cm的具体人数？ (2)求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数； (3)已知这66名学生中男生身高平均数为173.1cm，方差为25.9；女生身高平均数为161.3cm，方差为23.3．请计算该样本数据在区间中包含样本数据的个数． （其中是样本平均数，是样本标准差） 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)抽取的男生人数为人，抽取到的男生体重的中位数为 (3) 【分析】（1）结合表格可得身高为、的共人，不能得到身高165cm的具体人数； （2）借助茎叶图可得抽取的男生人数，再利用中位数定义可得抽取到的男生体重的中位数； （3）借助分层抽样的平均数与方差公式，可得与，即可得，再借助身高数据表格即可得解. 【详解】（1）由身高的频率分布表可得，身高位于的人数为人， 由身高数据表格可得身高的有人，则身高为、的共人， 故不能得到身高的具体人数； （2）由茎叶图可得抽取的男生人数为人， 抽取到的男生体重的中位数为； （3）， ， 则， 则，， 则由身高数据表格可得位于区间的人数为人. 7．（25-26高三上·上海青浦·期末）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展.某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 09 88 17 83 25 79 33 76 02 96 10 88 18 83 26 79 34 75 03 95 11 86 19 82 27 78 35 74 04 93 12 86 20 82 28 78 36 74 05 92 13 85 21 81 29 78 37 73 06 91 14 85 22 81 30 77 38 72 07 89 15 84 23 81 31 76 39 66 08 89 16 84 24 80 32 76 40 63 (1)求这组数据的极差和第95百分位数. (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为，且这10个数据的平均数.记这10个数据的方差为，若用户的满意度评分在区间，则满意度等级为“级”.从这10个数据里面任取3个，求恰有2个满意度等级为“级”的概率. (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的样本容量占两个系统所有样本容量的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差. 【答案】(1)极差为，第95百分位数为 (2) (3) 【分析】（1）根据极差与百分位数的定义求解即可； （2）先根据平均数据的计算公式求出丢失的数据，再计算方差，进而求得满意度等级为“级”的数据个数，进而利用古典概型概率公式求解即可； （3）根据两组数据合并后平均数与方差的计算公式求解即可. 【详解】（1）由表中可得这40个用户的评分从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76， 76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85， 85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，96，97. 所以极差为，， 所以第95百分位数为第38与第39个数据的平均数，即. （2）设丢失的数据为， 则，解得， 所以 ， 由题意知评分在，即的满意度等级为“级”， 样本中评分在内的数据有5个， 所以从这10个数据里面任取3个有，恰有2个满意度等级为“级”的取法有， 所以恰有2个满意度等级为“级”的概率为. （3）由（2）可知，老系统的平均分为，新系统的平均分为， 因为老系统的样本容量10占两个系统所有样本容量的，所以新系统的样本容量为20， 所以， . 所以新老系统所有评分的方差为. 8．（2026·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】(1) (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得. （2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 9．（2026·上海黄浦·一模）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据平均数的定义即可求解； （2）根据百分位数的定义即可求解； （3）根据古典概率公式即可求解. 【详解】（1）该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. （2）因为，所以第百分位数为，所以下个月每日苹果的平均进货量为. （3）20天中苹果销售量超过的有9天. 设“3天中每天的苹果销售量均超过”为事件，“3天中恰有2天的苹果销售量超过”为事件， 则，. 10．（2026·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 【答案】(1)；人 (2)平均数为，方差为 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，可求得的值；结合频率分布直方图可计算得出该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； （2）利用平均数和方差公式可求得剩余个分数的平均数与方差. 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 即，解得， 分及以上的学生所占的比例为， 故估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数为人. （2）不妨设，，根据题意可得， 故剩余个分数的平均数为， 因为原数据的方差为， 所以， 故剩余个分数的方差为. 11．（25-26高三上·上海松江·期末）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)一局定胜负对甲更有利 【分析】（1）根据极差和中位数的计算公式即可求解； （2）根据古典概型的概率的计算公式结合组合数公式即可求解； （3）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【详解】（1）将题中数据按从小到大的排序排列得： 3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4． 故极差为；中位数为. （2）因为长发球回合数，短发球回合数， 所以从 10 个中随机抽取 3 个，至少有 2 个是长发球回合的概率为： ； （3）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为， 则， 因为，所以，即， 所以一局定胜负对甲更有利. 12．（2026·上海嘉定·一模）A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下： (1)求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数； (2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm） (3)若一组数据落在（是平均数，是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)满足，说明见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图，求出身高在的频率，再求出频数即可得到答案； （2）求出66名学生的身高平均数，用样本估计总体即可得到结果； （3）根据题目数据求出约为，再根据频率分布直方图求出数据落在的频率，根据即可进行判断. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，身高在的频率为， ，所以该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数为人. （2）这66名高一年级学生身高平均数为， 因为该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，所以估计校高一年级全体学生身高的平均数为. （3）由（2）知，所以约为， 数据落在内的频率为， 因为，所以数据落在内的频率不小于， 所以这66个身高数据满足“常态”. 13．（2026·上海虹口·一模）班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 (3)不超过，理由见解析 【分析】（1）根据茎叶图判断出男生人数，然后由第百分位数的计算公式求得结果； （2）分别求解出，然后根据与的关系作出判断； （3）先确定出的值以及男生数据，再根据平均数公式以及等差数列的性质求解出女生数据，最后计算出方差即可作出判断. 【详解】（1）由茎叶图可知男生总人数为，所以， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，第位的数据分别为， 所以第百分位数为； （2）事件和事件不相互独立，理由如下： 由，解得， 所以女生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间有人，位于区间有人， 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间有人， 抽取的人中，每周平均手机使用时长位于区间的共有人， 所以，， 若抽取的是名男生和名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 若抽取的是名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 所以， 显然，所以事件和事件不相互独立； （3）由茎叶图和频率分布直方图可知，， 个数据中，男生数据为，设女生数据为且， 由题意可知，，解得， 又因为成等差数列，所以， 所以这个数据分别为：， 所以方差为， 所以这位学生每周平均手机使用时长的方差不超过. 概率 考点2 一、单选题 1．（2026·上海青浦·一模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（   ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】C 【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为未包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，， 而，故D错误. 故选：C. 二、填空题 1．（2026·上海普陀·一模）设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为 . 【答案】3（或5、7、9、11其中之一） 【分析】设第一次的点数为，第二次的点数为，进而依次讨论的情况即可得答案. 【详解】设第一次的点数为，第二次的点数为， 则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件， 故由题知，， 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 综上，的可能取值为 故答案为：3（或5、7、9、11其中之一） 2．（2026·上海虹口·一模）若事件、互斥，且，，则 【答案】/ 【分析】利用互斥事件的加法公式列方程求概率即可. 【详解】由互斥事件的概率加法有， 所以. 故答案为： 3．（2026·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为 . 【答案】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， 所以. 故答案为：. 4．（2026·上海黄浦·一模）甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为 ． 【答案】 【分析】根据甲、乙两人破译某个密码为独立事件，利用独立事件概率公式求出甲、乙两人均未破译的概率，再利用对立事件概率公式求出该密码被破译的概率． 【详解】设甲破译某个密码为事件，乙破译某个密码为事件, 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为， 甲未破译的概率为，乙未破译的概率为， 甲、乙两人均未破译的概率为， “甲、乙两人均未破译”的对立事件为“密码被破译”， 该密码被破译的概率为． 故答案为：． 5．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【答案】 【分析】根据互斥事件及所给条件求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 则． 故答案为：． 6．（2026·上海崇明·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是 ． 【答案】 【分析】由题可得投掷两枚质地均匀的骰子所对应点数的总情况数，然后可得掷得的点数之和为7的情况数，据此可得答案. 【详解】一枚骰子的点数有6种情况，则两枚骰子点数所对应总情况为36种. 又注意到点数之和为7的情况有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6种， 则掷得的点数之和为7的概率是. 故答案为： 7．（2026·上海嘉定·一模）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 . 【答案】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以. 故答案为：. 三、解答题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 【答案】(1)①；②一局定胜负对小明更有利，理由见解析 (2)，函数在上的单调递增；意义见解析 【分析】（1）①根据独立事件概率的乘法公式即可计算小明比赛结果依次为“赢、输、赢”的概率； ②分别计算“一局定胜负”和“三局两胜”赛制下小明获胜的概率，比较大小来确定哪种赛制对小明更有利； （2）先根据“五局三胜”的规则，分情况讨论小明获胜的情况，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式，求出的表达式，再通过求导判断函数的单调性，并分析现实意义. 【详解】（1）①根据题意，比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4，所以三局比赛相互独立，且小明每局输的概率为0.6， 所以小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率为； ②根据题意，一局定胜负时，小明赢得比赛的概率为， 三局两胜时，小明赢得比赛有两种情况： 情况一：前两局获胜，概率为， 情况二：前两局胜一局，输一局，第三局获胜，其概率为， 根据互斥事件的加法公式，所以在“三局两胜”的赛制下， 小明获胜的概率为， 因为，所以从小明的角度考虑，一局定胜负对小明更有利； （2）“五局三胜”的赛制下，小明获胜有以下几种情况： 情况一：前三局获胜，概率为， 情况二：前三局胜两局输一局，第四局获胜，则， 情况三：前四局胜两局输两局，第五局获胜，则， 所以小明赢的概率为： ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以函数在上的单调递增； 现实意义：在“五局三胜”的比赛中，小明每局获胜的概率越大，他最终获胜的概率就越大，即小明实力越强，他获胜的可能性就越大. 2．（2026·上海静安·一模）为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 (1)假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； (2)求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； (3)求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可列出其样本空间，即可求解； （2）符合“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，利用古典概率即可求解； （3）由题符合题意的有：，，有种可能，即可求解. 【详解】（1）样本空间为：. （2）事件“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，所以概率为， （3）事件“抽到的人中，恰好有名语文老师名数学老师，且这人恰好来自同一所学校”， 来自学校有两种可能：，，来自学校一种可能，总计结果有种可能， 所以概率为. 试卷第26页，共27页 试卷第27页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $