专题11 排列组合与二项式（4大考点，32题）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题11 排列组合与二项式（4大考点，32题） 4大考点概览 考点01排列 考点02组合 考点03二项式定理 考点04加法原理与乘法原理 排列 考点1 1．（2026·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为 【答案】 【分析】将甲、乙相邻的排列种数减去甲、乙相邻且甲站在两端的排列种数，即可得到答案. 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 【答案】72 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 3．（25-26高三上·上海松江·期末）将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有 种不同的排法．（结果用数值表示） 【答案】 【分析】根据分类加法与分步乘法原理将第二位分为男生和女生两种情况，结合排列组合数逐步计算即可得结论. 【详解】由题可知，从左边开始第一个学生为男生有种安排方法： ①若第二位为男生： 第三位为男生时的方法数为种， 第三位为女生时第四位为男生时有种，第四位为女生时种， 综上，第二位为男生的方法总数为； ②若第二位为女生： 第三位必为男生，则第四位为男生时有种，第四位为女生时种， 综上，第二位为女生的方法总数为； 根据分类分步计数原理可得总方法数为种不同的排法． 故答案为：. 4．（2026·上海金山·一模）某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有 种． 【答案】48 【分析】用“捆绑法”以及全排列即可求解. 【详解】将每个班的2人捆绑，然后全排列，故总的排法有, 故答案为：48 组合 考点2 一、填空题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有 种. 【答案】130 【分析】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类，结合计数原理和组合数知识求解. 【详解】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类， 每类情况均先从个时段中选取“非正常绿波协调”的时段个数，且因 “非正常绿波协调”有两种情况， 则“非正常绿波协调”的时段数1个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数2个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数3个的记录有种； 故 “非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有：种； 故答案为： 2．（2026·上海普陀·一模）某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有 个． 【答案】18 【分析】先选出数值，再把它们分配到三个位置上，结合乘法计数原理可得答案. 【详解】先从这3个数中选2个，有种选法； 再分配2个数到3个位置，必有2个位置的数是相同的， 选择出现1次的数：从选中的2个数中选1个，有种选法， 选择出现1次的数的位置：有种选择； 共有种编码. 故答案为：18 3．（2026·上海徐汇·一模）从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有 种． 【答案】329460 【分析】从男女共38中选出5人组成一个宣传小组，要求男生和女生均不少于2人， 分选出的5人为2男3女，和3男2女两种情况讨论即可. 【详解】从男女共38中选出5人组成一个宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，分为以下两类情况： 当选出的5人为2男3女时，不同选法共为种， 当选出的5人为3男2女时，不同选法共为种， 即从中选出5人组成一个宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有种， 故答案为：329460. 4．（2026·上海奉贤·一模）从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有 种．（用数字表示答案） 【答案】 【分析】根据组合数及乘法原理计算求解. 【详解】从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种． 故答案为：. 5．（2026·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得中共8个元素，记为，假设中最大交集为，从而可得含的四元集合最多有个, 且对在中最多出现3次，求得一个四元集中出现个二元数对，从而可得，求解即可. 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 6．（2026·上海虹口·一模）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】对每个台阶上所站的人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】当每个台阶上各站人时有种， 当两个人站在同一个台阶上时，有种， 综上所述，共有种不同的站法. 故答案为：. 二、解答题 1．（2026·上海长宁·一模）小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位：min），小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： (1)求这组数据的第60百分位数： (2)运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： (3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率． 【答案】(1)71； (2)0.3； (3). 【分析】（1）根据计算百分位数的步骤求解； （2）计算样本频率，利用频率估计概率； （3）根据古典概型的概率公式计算. 【详解】（1）把10天的记录按照从小到大排列为：， 因为是整数，所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数， 因为，这组数据的第60百分位数为71； （2）因为选取的样本中运动时长不达标的频率为， 所以估计该天运动时长不达标的概率为0.3； （3）因为前后两组数据的极差相同，所以随机删除的2个数为中的两个， 则概率 2．（2026·上海普陀·一模）人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业．根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（2025）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示． 表一 表二 产业链层级 企业数量（家） 年份 市场规模（亿元） 第一层基础 1820 2021 800.2 2022 1200.3 第二层模型框架 1590 2023 1848.5 2024 2600.6 第三层应用 1890 2025 3500.4 (1)根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果精确到1亿元）； (2)赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数．请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型； (3)为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）． 【答案】(1)该说法不正确；5062亿元 (2)3351；目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型 (3)0.880 【分析】（1）先计算出2021-2025年市场规模逐年增长率，指出五年内的变化趋势，即可得出说法不正确的结论；再求出五年的平均增长率，即可依据此模型预测2026年我国AIGC的市场规模； （2）由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式，求出我国AIGC产业链的赫希曼指数为，即可判断其产业分布结构类型； （3）先求出抽到的这4家企业全来自第一层的概率和来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率，用即可得解. 【详解】（1）2021-2025年市场规模逐年增长率分别为： ， 由此可看出：2021-2023年增长率加快，2023-2025年市场规模增长逐年放缓， 所以“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法不正确； 五年的平均增长率为， 则按照该模型预测2026年我国AIGC市场规模约亿元. （说明：若按照最后一年增长规模估计，亿元； 若按照最后两年增长规模估计，亿元） （2）由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式得，我国AIGC产业链的赫希曼指数为： 所以目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型； （3）抽到的这4家企业全来自第一层的概率为：； 抽到的这4家企业中来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率为： ； 则抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率为： . 3．（25-26高三上·上海宝山·期末）某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且． (1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中和的值； (2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率； (3)若甲乙两队的队员平均分相等，求的最大值，并写出此时和的值． 【答案】(1)， (2) (3)时， 的最大值是. 【分析】（1）由甲队分数为：6，14，28，34，，乙队分数为：12，25，26，，31，分别利用极差和平均数的定义求解； （2）利用古典概型和对立事件的概率求解； （3）根据甲乙两队的队员平均分相等，得到，从而得到，再利用对勾函数的性质求解. 【详解】（1）由茎叶图知：甲队分数为：6，14，28，34，， 乙队分数为：12，25，26，，31， 因为甲队队员得分的极差为32， 所以，解得， 又因为乙得分的平均值为24， 所以 ，解得. （2）由图知，20分以上的队员中，甲队有28、34、共3人，乙队有25、26、、31共4人，总共7人， 从7人中随机抽取2人，有种，且每种情况等可能， 记“至少有1名来自乙队”为事件A， 其对立事件是“2名都来自甲队”，有种，且每种情况等可能， 所以至少有1名来自乙队的概率为. （3）甲队的平均数为， 又， 因为甲乙两队的队员平均分相等，所以，即， 则，由，解得， 令，由对勾函数的性质得在上递减，在上递增， 又，且， 所以的最大值是，此时，. 4．（2026·上海金山·一模）核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 【答案】(1)4； (2)①；②13个. 【分析】（1）根据分层抽样的特点计算即可‘ （2）①先求出克重大于20克的核桃共9个，再利用组合公式和古典概型即可得到答案； ②利用方差公式求出方差，则得到范围，再对照表格即可. 【详解】（1）个 则应抽取类核桃4个. （2）①因为克重大于20克的核桃共9个， 则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为. ②， 则标准差， ， . 对照表格可知则该20个核桃中有13个核桃的克重位于与之间. 二项式定理 考点3 一、单选题 1．（2026·上海徐汇·一模）已知，集合（为维向量）若，其中，定义，设满足的的个数为．关于下列两个命题的判断：①当时，则；②当，是正整数时，则．说法正确的是（   ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】C 【分析】先通过的全1结构，确定对应中1的个数，得；验证命题①时代入满足和为8，命题②利用二项式定理计算和并举例验证其不成立. 【详解】由，得，即的值为向量中分量1的个数， 故为中分量1的个数为的向量个数，即. 对于命题①：当时，.故命题①成立. 对于命题②：当（为正整数）时，. 由二项式定理，，故. 而，取（即），左边，右边，， 故命题②不成立. 故选：C 二、填空题 1．（2026·上海奉贤·一模）在二项式的展开式中，的系数是 ．（用数字表示答案） 【答案】 【分析】根据二项式展开式计算求解. 【详解】二项式的展开式中，通项公式为， 当时，， 的系数是． 故答案为：. 2．（2026·上海虹口·一模）的二项展开式中的系数是 【答案】 【分析】根据二项展开式通项公式求的系数. 【详解】根据二项式定理，的通项为， 当，即， 将代入系数部分得：. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海宝山·期末）的展开式中的系数为 ． 【答案】12 【分析】写出展开式的通项，得，再代入计算可得； 【详解】二项式展开式的通项为， 令，则，则，即的系数为. 故答案为：12. 4．（2026·上海嘉定·一模）在的二项展开式中，各项系数的和是 . 【答案】 【分析】令即可得出答案. 【详解】令，则，则各项系数的和为. 故答案为： 5．（2026·上海徐汇·一模）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为：， 由于， 则当时，； 故答案为： 6．（2026·上海普陀·一模）的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为： 7．（2026·上海长宁·一模）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】15 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，可得， 所以，项的系数为. 故答案为：15. 8．（2026·上海闵行·一模）的展开式中，项的系数为 ． 【答案】10 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数． 【详解】的展开式的通项公式为，令，求得， 可得展开式中项的系数为. 故答案为：10. 9．（2026·上海浦东·一模）在的二项展开式中，常数项为 . 【答案】20 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的二项展开式中，常数项为， 故答案为： 10．（2026·上海崇明·一模）的二项展开式中的常数项是 ． 【答案】 【分析】由题可得展开式的第项，令指数为0，可得常数项对应，即可得答案. 【详解】由题的二项展开式的第项为. 令，则常数项为. 故答案为：. 11．（2026·上海青浦·一模）的展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】10 【分析】的展开式的通项公式为,求常数项即令，解得 ，然后可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为. 则的展开式中的常数项，令, 解得，即常数项为 故答案为：10. 【点睛】本题考查二项式定理中的指定项，考查二项式的通项公式，属于基础题. 12．（2026·上海黄浦·一模）在的展开式中的系数为，则 ． 【答案】2 【解析】首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值. 【详解】由题知， 当时有， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题. 13．（2026·上海金山·一模），则 . 【答案】80 【分析】由二项式定理可得． 【详解】由题意． 故答案为：80． 14．（（2026·上海松江·一模）已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是 . 【答案】10 【解析】根据二项式系数和为得到，再利用二项式定理得到答案. 【详解】二项式的展开式的二项式系数之和为，故. 展开式的通项为：， 取得到项的系数是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15．（2026·上海杨浦·一模）(x－2)6的展开式中x2的系数为 . 【答案】240 【分析】先求得(x－2)6的展开式的通项公式，再令x次数为2求解. 【详解】(x－2)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝·(－2)r·x6－r， 令6－r＝2，求得r＝4， 所以(x－2)6的展开式中x2的系数为·(－2)4＝240. 故答案为：240 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数，属于基础题. 加法原理与乘法原理 考点4 1．（2026·上海金山·一模）已知正整数，满足，且，则有序数对有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题设条件可得，利用枚举法可求有序数对的个数. 【详解】因为， 故， 所以，故即， 因为，故， 若，则，而，故， 若，则，而，故， 若，则，而，故， 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，故， 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，此时无正整数解； 故有序数对的个数为4， 故选：B. 2．（2026·上海嘉定·一模）、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为 . 【答案】 【分析】先判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数. 【详解】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 故答案为：. 试卷第16页，共17页 试卷第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11排列组合与二项式(4大考点，32题) ☆4大考点概览 考点01排列 考点02组合 考点03二项式定理 考点04加法原理与乘法原理 考点1 排列 1. (2026上海闵行·一模)某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且 甲不站在两端，则不同的排法种数为 2.(25-26高三上·上海青浦·期末)现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有_种 (用数字作答)· 3.(25-26高三上·上海松江·期末)将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右 数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有种不同的排法.（结果用数值表示） 4.(2026上海金山·一模)某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排 成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有_种。 考点2 组合 一、填空题 1.(25-26高三上·上海浦东新·期末)某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个 时段的信号灯状态对应一个数字（见下表) 信号灯状 非正常绿波协调 正常绿波协调 态 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 -1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号L,0-1,01表示5个时段中有3个时段 是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正 常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有种 2.(2026上海普陀·一模)某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需 用-一个6维向量表示.若某位置编码可以写成(a,b,c,d,e,的形式，其中a,6c∈12,4 ,则在仅 试卷第1页，共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a,b,c 考虑前3个位置的情况下， 恰好取2个不同值的编码共有一个。 3.(2026上海徐汇·一模)从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不 少于2人的选法有种. 4.(2026上海奉贤·一模)从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的 选法有种.（用数字表示答案） 5.(2026上海金山一模)已知四边形4444为平行四边形，集合0=A可i≠方je山23,4， M,M,…,M均为集合的四元子集，若对于任意m、n∈，2，，当m≠n时，M.∩M.中的元素个 数都不超过2个，则正整数k的最大值为一· 6.(2026上海虹口·一模)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶 上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是一·（用数字作答） 二、解答题 1.(2026上海长宁·一模)小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长（单位： min),小明从最近90天的记录中随机选取了10天的记录，具体数据如下： 6834、70、45、74、126、108、66、36、72. (1)求这组数据的第60百分位数： (2)运动时长不超过60mi为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率： (3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率. 2.(2026上海普陀·一模)人工智能生成内容(AIGC)是引领未来的新兴战略性产业.根据国家工信部 发布的《人工智能产业发展年报(2025)》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业 链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示. 表一 表二 产业链层级 企业数量（家） 年份 市场规模（亿元） 2021 800.2 第一层基础 1820 2022 1200.3 2023 1848.5 第二层模型框架 1590 2024 2600.6 试卷第2页，共17页 列学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第三层应用 1890 2025 3500.4 (I)根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否 正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果 精确到1亿元)； (2)赫希曼指数(HH)是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为 HHI= ×10000 其中工为第i 个层级的企业数量，T为企业总数.请根据表一所提供的数据，计算我国AGC产业链的HHⅡ指数（结果 保留整数)，并参照“HHI<1500为竞争型，1500≤HHⅢ≤2500为低集中寡占型，HHl>2500为高集中寡 占型”的标准，判断其产业分布结构类型： (3)为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的 这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）· 3.(25-26高三上·上海宝山期末)某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶 ,y∈N4≤x≤9,6≤y≤9 图如图.已知 ，且 甲1乙 60 412 8 2 56y x43 (1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中x和y的值： (2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率： 50 x+ (3)若甲乙两队的队员平均分相等，求y的最大值，并写出此时x和y的值。 4.(2026上海金山·一模)核桃有很多品种.小何购买了其中4种品类的核桃：A类核桃100个，B类核 桃120个，C类核桃80个和D类核桃200个. 试卷第3页，共17页 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取C类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从D类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位： 克) 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个， 则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，'为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重 位于X-5与×+5之间？ 考点3 二项式定理 、单选题 1.(2026-上海徐汇一模)已知m∈N,集合B={=(,5,,,戈∈0,1,1≤i≤m,ie(x为n a-6=a,b 维向量)若a=(a,a,a,,a∈Pn,其中a=l1≤i≤n,ieN),b=(,b,b,…,b.)ePn,定义00名 ∑fml=8 设满足ā石=m的i的个数为f(m.关于下列两个命题的判断：①当n=3时，则。 ；②当n=2k, 分fm=2 k是正整数时，则 说法正确的是() A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 二、填空题 1.(2026上海奉贤一模)在二项式x+1的展开式中，弋的系数是一。 (用数字表示答案) 3)9 2.(2026上海虹口·一模) 的二项展开式中x的系数是 试卷第4页，共17页 列学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 2)6 3.(25-26高三上·上海宝山期末) x+ x)的展开式中x4的系数为. 4.(2026上海嘉定一模)在1-2 的二项展开式中，各项系数的和是一 5.（2026上海徐汇一模)已知1+2”=a+ax+a,r++a°，则4 6.(206上-1-}x+2 的展开式中含xy项的系数是一· 7.(2026上海长宁一模)在x-的展开式中，广项的系数为一 8.(2026上海闵行一模)(x+1的展开式中，x项的系数为一 1) x+ 9.(2026上海浦东·一模)在x的二项展开式中，常数项为一 10.(2026上海崇明一模) 的二项展开式中的常数项是一· 1。(2026上海青浦一模)。+)的展开式中的常数项为一（用数字作答) 12.(2026上海黄浦一模)在x+的展开式中的‘系数为160，则4= 13.(2026-上海金山一模)1+2=a,+a+a,r+a,r+a,r+a,r,则4 14.《(2026上海松江一模)已知二项式：+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中合x项 的系数是 15.(2026上海杨浦·一模)(x-2)的展开式中x的系数为一 考点4 加法原理与乘法原理 1.(2026-上海金山一模)已知正整数4、、4，满足1≤a<4<a≤10，且 a+ala+a)=(aa,+a,a,则有序数对a,a,a有()个. 试卷第5页，共17页 6学科网 www.zxx k com 让教与学更高效 A.5 B.4 C.3 D.2 2。(2026上海嘉定一模)4、4、4、、“是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的1(2,3， a和中至少有一个大于“，则满足要求的排列的总数为一 试卷第6页，共17页