专题09 解析几何（5大考点，46题）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09解析几何(5大考点，46题) ☆5大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03双曲线 考点04椭圆 考点05抛物线 考点1 直线与方程 1.(2026上海静安一模)已知直线13x-V3y+10=0与1，：x-√3y=0,则直线1与Z的夹角大小 是 2.（2026上海奉贤一模)已知向量=(1,1)，则经过点1,0)且与ā垂直的直线方程为__ 3.(2026上海杨浦一模)圆C(x-5)+(y-3)2=10的圆心到直线x-y+2=0的距离为 4.(2026上海嘉定一模)已知直线1经过点(-1，-1、(2,2)，则1的倾斜角为一 5.(2026上海静安·一模)抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射 后都过这条抛物线的焦点；设抛物线的方程为y2=12x,一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线 所在直线交抛物线y2=12x于一点，这点的纵坐标为12，则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法 向量为 6.(2026上海虹口一模)己知双曲线C的焦点分别为F(-1,0)和F,(1,0),若点P为C上的点，且满足 PR,1FR,s如∠PF-},则点到C的一条蒲近线的距离为 7.(2026上海黄浦一模)若直线4：x+2y-1=0与l2:ax-4y+5=0平行，则a= 8.(2026上海金山一模)已知ABC的三个顶点A-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),则AC边上的高所在的直线 方程为」 9.(25-26高三上·上海宝山期末)已知第一象限的点m,n)和(6,2)经过直线1，若直线1的倾斜角为135°， 则上+4的最小值为 m n 10.(2026上海普陀一模)设meR,直线1：2x+y+m=0经过点P,若向量PQ=(L,3),则点Q到直线1的 距离为」 试卷第53页，共54页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点2 圆与方程 “、 单选题 1.(2026上海徐汇一模)设P为椭圆+二=1止上一动点，M、N分别为圆C,:x+3列2+y2=1和圆 2516 C2:(x-3)}2+y2=4上的动点，则PM+PW不可能为() A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.5 二、填空题 1.(2026上海黄浦一模)若图形Γ上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为「的一个覆盖圆，设 『由函数y=2-4(-2<x<2)与y=V2x-x2的图像所组成，则Γ的最小覆盖圆的半径为一 2.(2026上海奉贤一模)在平面中，e和e,是互相垂直的单位向量，向量ā满足a-6e=1,向量6满足 5-6g+5-8e=20,则a-的最大值是一 3.(2026上海徐汇一模)某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点0，城市有两个交通枢纽站点A、 B,其中站点A在市中心0的正东方向，距离0点4公里，站点B在市中心0的正北方向，距离0点也是4 公里.为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心0点2公里的位置，设置一个移动数据采集点C, 通过监测∠ACB的大小来优化信号.当∠ACB最大时，sin ZACB= (结果精确到0.01） 4.(2026上海闵行一模)过点P1,)的直线被圆x2+y2=4截得的最短弦长为 5.(25-26高三上·上海青浦期末)设A为圆x2+(y+1)2=1上的动点，PA是圆的切线，且PA=1,则点P的 轨迹方程是 6.(2026上海崇明一模)以C(3,4)为圆心，√3为半径的圆的标准方程是 三、解答题 1.(2026上海徐汇一模)已知抛物线「：y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1. M B (1)若点E(4,4)在抛物线T上，求EF所在直线的斜率； 试卷第54页，共54页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若准线1：x=-1,点P为抛物线Γ准线I上的一个动点，过点P作圆M:x2-4x+y2+3=0的两条切线，切 点分别为A、B,若两条切线PA、PB与y轴分别交于点S、T,求ST的最小值： (3)若点F到准线I的距离为2，过抛物线Γ的准线1上一点2作圆N:x-m)+y2=1(m>0)的两条切线☑、 Z,且4、Z分别与下交于C(s,4)、D(s2,2)两点和G(s,4)、H(s4,44)两点.问：是否存在某个圆N,使 得当点Q运动时，4为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由。 2,（2026上海静安一瘦)在平面直角坐标系：0，中，已知双曲线「若卡=a>06>0的焦距为4.点 (6,)在T上. D B (1)求双曲线厂的方程； Q设直线1的斜率为2,1交双曲线Γ于八两点，且与圆x+少=4相切，切点位于X轴上方，求 0p.00的值： (3)如图，设过双曲线「的左焦点F的直线AB交T的左支于点A、B,过的右焦点F的直线CD交「的右 支于点C、D,若直线CD/1AB,且四边形ABCD的面积为4√6，求直线AB的方程 考点3 双曲线 一、 单选题 1.(25-26高三上上海浦东新期末)如图，椭圆G、C,的离心率分别为e、e2,双曲线C、C4的离心率分 别为e、e4,则下列结论正确的是() A.e;>ea>e,>eB.ea>e;>e>e, C.es>es>e>e2 D.es>es>e2>e 试卷第53页，共54页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026上海普陀一模)设点M是抛物线=85y的焦点，点F是双曲线：r产-上=1的左焦点，点0 4 是「上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是() A.lQF-QM的最大值是5 B.QF+2M的最小值是5 C.QF-QM的最大值是7 D.QF+QM的最小值是7 3.(25-26高三上·上海宝山·期末)双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直 线旋转一周所形成的曲面，如图所示.己知它的下口直径为20√10米，上口直径为20√2米，最小直径为20 米，高为80米，则此双曲线的焦距为() A.10√5 B.105 C.20w5 D.20√5 4.(2026上海奉贤.一模)曲线C的方程为Ax2-By2=入2（A、B不同时为0)，则下列说法正确的是（) A.曲线C不可能是直线 B.当A>0,B<0时，曲线是椭圆 C.若曲线C是双曲线，则双曲线的渐近线与1无关 D.曲线C是抛物线 5.(226上海长宁一模)已知4-20,12.0，若曲线日+后--0a>0>0上存在点P满 足：P刷=PA+2,则的取值范围是() A.(0W5） B.（5+o】 03 3 C D 3 6.(24-25高三上·上海金山·期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线， 其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已 知高PO=2,底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF⊥AB,则双曲线的两条渐近 线所成角的余弦值为(. 试卷第54页，共54页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c D.5 3 A. 6 7.(2026上海杨浦一模)已知双曲线C:-上=1，点M(4,6),点A、B分别在双曲线C的左、右两支上， 49 则向量MA、MB的夹角O() A.有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值 C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值 二、填空题 1.(25-26高三上·上海青浦·期末)在平面直角坐标系中，0为坐标原点.已知点A0,2),B(2,0),C-2,0), 若PC-PB=2√2，QA=1,则向量O0在向量OP方向上的数量投影的取值范围是 2.（15-16高二下陕西延安期末)双曲线父-少=1的离心率为」 916 三、解答题 1.（2526底三上上海宝期米)已知双曲线c号若=1a>06>0的离心车为5，点P12-在双 曲线C上 (1)求双曲线C的标准方程： (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E:x-4)+y2=1上的动点，且直线ST与圆E相切，求ST的最小值： 试卷第53页，共54页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图，A、B是双曲线C上两点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N,点Q在直线AB上.若M、N关 于原点对称，且PQ⊥AB,证明：存在点R,使得QR为定值， 2.(2026上海黄浦·一模)已知双曲线厂的中心位于坐标原点0，焦点F,F分别在x轴的正、负半轴上， FF引=2V2,直线y=-x是Γ的一条渐近线，直线1，：y=V2x+1(t<0)与r有且只有一个公共点P. (1)求Γ的方程； (2)若点Q在y轴上，且∠FQP为直角，求点Q的坐标： (3)设动直线马平行于OP,与Γ交于点A,B,与I交于点K,是否存在常数元，使得KAKB=1|KP2总 成立？若存在，请求出入的值；若不存在，请说明理由。 3.(2026上海闵行一模)已知双曲线T:x2-y2=1,直线1过点M(m,0),m∈R,且与T的右支交于P、Q 两点，与「的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限. (1)求「的两条渐近线的夹角； (2)若M为Γ的右焦点，求△0AB的面积的最小值； (3)若AB=3PQ,求m的取值范围. 八、填空题-考点04椭圆 32.(2026上海静安一模)已知椭圆的标准方程为+二-1，则该椭圆的长轴的长等于」 925 考点4 椭圆 、解答题 1(2026上海普陀一核)设0>2.Rk+是不全为专的实数，椭圆T+=,个E分别为T的左✉ 右两个焦点，直线：x+y+m=0与Γ交于A,B两点，O为坐标原点. (I)若k=0,t+m=0,且四边形ABEF为矩形，求『的离心率； 试卷第54页，共54页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若1=0，且aFAB的周长的最大值为12，求Γ的方程； 6若a=4,1=-12>0,直线0A与0B的斜率之积为-子C为01上的一点，且O1=4C,直线BC与椭圆 T交于点D,且BD=入DC,求1的值以及△ABD的面积S的值. 2（②02上海杨浦一肉)已如椭圆C:千+号->回，过动点M0的直线交于点，交样 圆C于A,P(点P在第一象限)，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q,延长QM交椭圆C于点B L)若椭圆C的离心率为5，求a的值： 2 2)已知m= ,且BQ是线段PN的垂直平分线，求a的值； (3)己知a=2,点M是线段PN的中点，且OM=2MB,求直线AB的斜率. 3.(2026上海虹口一模)已知椭圆r:号+y=1的左、右焦点分别为R和R,点P是r的长轴上的动点， 点Q为Γ上的动点，且异于点P. (I)当点P位于椭圆Γ的左焦点，且Q、P、F能构成三角形时，求△QPF,的周长； ②当点P位于跳圆r的左预时，直线D与y能交于点80兮》，历=亚，求实数：的位： (3)当点P与椭圆Γ的左、右顶点均不重合时，记直线P?与椭圆Γ的另一个交点为S,过点P作直线1与椭圆 Γ交于C、D两点，设M和N分别为弦OS和弦CD的中点，若P、Q、M、N为四个相异的点， PM+PN=MN,且直线MN恒过定点 ,求点P的坐标 26高三上上海青浦期末)已知椭圆工名干 、2 =1(a>2)的左、右焦点分别为F,F,A,B为T上两 个不同的点，记△ABF的周长和面积分别为C和S. ()若r的离心率为)，求a的值： (2)若满足AF=10的点A有且仅有两个，求a的取值范围； (3)若a=√5，是否存在点A,B使得C和S同时取到最大值？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明 试卷第53页，共54页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 理由 5.(2026上海奉贤一模)椭圆+ -=1(a>b>0),P是第一象限内椭圆上的点，A(-a,0),B,(0,b), 48=5,椭圆的离心率是5.M(-,0,N6,0,1>0且t≠a. 2 A By B A O A MO 图1 图2 不 珠 P O 0 图3 备用图 (①)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据： (2)如图2，设t=1,三角形PMN的面积记为S,三角形PAB,的面积记为S2,若S2=2S,求点P的坐标； PMPN ③)设P(x,,连结PM与椭圆交于点A,连结PN与椭圆交于点B,判断MA+N8是否为定值？请说 明理由 6.(2026上海金山一模)已知椭圆T:￡+上=1，点0为坐标原点，点M为椭圆r上一点。 164 (①)求椭圆下的离心率； ②已知点5为椭圆Γ的右焦点，直线，：x=85,证明：点M到点5的距离与到直线的距离之比为定值： 3 (3)过线段OM中点N的直线1交椭圆Γ于PQ两点，求S.P№的最大值， 7,(25-26高三上上海浦东新期末)已知椭圆C:+二=1，点0为坐标原点，椭圆的右顶点为A,左右焦 98 试卷第54页，共54页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点分别为F、E,点E为椭圆在x轴上方的一动点 (1)求椭圆C的焦距与△EFF,的周长： 2法E团丽-}，求点E到x的距离， (3)过点E作斜率为k的直线I交y轴正半轴于点P,点P位于椭圆内.直线1与椭圆C交于G、H两点，记 H、△OFP的面积分别为S、S,求。的取值 ⑧(25.26高三上上海松江期末已知猫烟名+ =1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于 4,B两点.4F的最大值是M,BF的最小值是m,满足Mm=3a 4 (1)求该椭圆的离心率； (2)若a=2,点P在椭圆上，且在x轴上方，线段PF的中点Q在以原点0为圆心，OF为半径的圆上，求 直线PF的斜率； (3)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点，O是坐标原点，记△GFD的面 积为S,△OED的面积为S2,求 2SS2的取值范围。 S2+S2 十、单选题-考点05抛物线 41.(2026上海闵行.一模)抛物线y2=x的准线方程为() 1 1 1 A.x= B.x= 4 C.y= D.y=- 4 4 考点5 抛物线 一、填空题 1.(2026上海虹口一模)小虹同学要在边长为10的正方形纸片RSNM上剪出一个等腰梯形ABCD的图案， 如图所示，腰AB、CD与正方形内的抛物线厂分别相切于E、F两点，其中Γ的顶点O为RM的中点.若当 点E到RM的距离为4.5时，EF=6,则当等腰梯形ABCD的面积取到最小值时，EF=一（结果保留2 位小数)》 试卷第53页，共54页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R B 2.(25-26高三上·上海宝山期末)焦点为1,0)的抛物线的标准方程为 二、解答题 1.(2425高三上上海金山期末)已知椭圆工，：女+ 43 =1,抛物线「，：y2=2px(p>0)与「1有一个相同的 焦点F.过点F作互相垂直的两条直线1与L,直线1与交于点A、B,直线与「，交于点C、D. (1)求椭圆的离心率及抛物线「，的方程； ②若直线1的倾斜角为，求B中点M的坐标， (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 2.(2026上海嘉定一模)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知抛物线T:y=x2的焦点为F,点A 的坐标为1,2). (①)若点E在T上，且OE=√2，求点E的坐标； (2)若P是T上的任意一点，求AP+PF的最小值； (3)过点A的动直线与抛物线「交于B、C两点，过点B、C分别作T的切线，切线交点为D,求证：点D的 轨迹是一条直线 3.(2026上海长宁.一模)已知抛物线T:y2=4x的焦点为F,经过点F的直线1与抛物线「交于A、B两点. (①)设AF=5,求点A的横坐标； 2设0为坐标原点，线段B中点的纵坐华标为，求△0AB的面积， (3)设线段AB的垂直平分线与抛物线T交于点M、N,若以线段MN为直径的圆经过点A、B,求直线1的方 程 试卷第54页，共54页 专题09 解析几何（5大考点，46题） 5大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03双曲线 考点04椭圆 考点05抛物线 直线与方程 考点1 1．（2026·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是 ． 【答案】/ 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 2．（2026·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式. 【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 3．（2026·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 4．（2026·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线经过点、，则直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 5．（2026·上海静安·一模）抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点；设抛物线的方程为，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线于一点，这点的纵坐标为12，则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ． 【答案】，答案不唯一 【分析】先求出反射光线所在直线的一个方向向量，然后设反射光线所在直线的法向量为，建立等式求解即可得到答案. 【详解】设入射光线所在直线交抛物线于点，由题意得点坐标为， 设抛物线的焦点为，所以反射光线所在直线的一个方向向量为， 设反射光线所在直线的法向量为， 则，取，则， 所以这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为. 故答案为：，答案不唯一.    6．（2026·上海虹口·一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理和双曲线的定义及的关系，先求出双曲线的方程及渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为和， 所以，所以. 因为，，所以在中，有. 设，则由勾股定理可得 ，所以， 所以，所以. 又由，可得， 所以双曲线的方程为. 其渐近线方程为，即. 取渐近线，则点到该直线的距离为 . 故答案为： 7．（2026·上海黄浦·一模）若直线与平行，则 ． 【答案】 【分析】根据直线平行列方程求解的值，检验平行即可. 【详解】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 8．（2026·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式，先求出直线AC的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，可得边上的高的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 【答案】//1.125 【分析】由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”的代换求最小值即可. 【详解】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 10．（2026·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，并求出点的坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 圆与方程 考点2 一、单选题 1．（2026·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案. 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 二、填空题 1．（2026·上海黄浦·一模）若图形上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为的一个覆盖圆．设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性结合圆的方程得其图像构成，由函数的奇偶性与一次函数关系得其图像构成，从而可确定最小覆盖圆的圆心位置，设覆盖圆的半径为，根据几何性质列不等式求解最小半径即可. 【详解】函数的定义域满足，解得，即， 则函数为偶函数， 又，整理得，则函数的图像为： 以为圆心，为半径的上半圆与以为圆心，为半径的上半圆， 函数为偶函数，图象为先减后增的“V”型图，最低点为， 则的图像大致如下： 由于的图像关于轴对称，要使得覆盖圆的半径最小，则覆盖圆的圆心在轴上， 设，且，覆盖圆的半径为， 设点在半圆上，满足三点共线， 则， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上可得，故的最小值为. 故答案为：. 2．（2026·上海奉贤·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据模长值得出圆的轨迹，再根据模长关系得出椭圆，最后应用圆与椭圆的位置关系得出最值即可. 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设， 向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆， ， 向量满足， 表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点， 因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离， 则. 故答案为：16． 3．（2026·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，利用直线的夹角公式，表示出直线与的夹角的正切，再利用换元法令以及直线与圆的位置关系，求出的范围，再结合函数单调性，得到当最大时点的坐标，再根据向量夹角公式，求出，再利用同角三角函数的基本关系，计算出，即可得解. 【详解】    不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设. ，， 结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设， 则两直线夹角的正切值公式为： 则：， ， 又因为在圆上，故， 因此，， 令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得. 由于点在第一象限的圆上，易知，因此， 故. 由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大. 当时，结合，解得，即. ， ， 又因为， 解得， 故答案为：. 4．（2026·上海闵行·一模）过点的直线被圆截得的最短弦长为 【答案】 【分析】先确定圆的圆心与半径，计算点到圆心的距离，利用“直线与圆心和点的连线垂直时弦长最短”的结论，结合弦长公式计算最短弦长. 【详解】圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离为. 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大（等于），此时弦长最短. 最短弦长为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质可得，再利用圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 6．（2026·上海崇明·一模）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】直接根据已知写出圆的标准方程得解. 【详解】由题得圆的标准方程为. 故答案为：. 三、解答题 1．（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且定值为 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出该抛物线的标准方程，可求出其焦点的坐标，再利用斜率的斜率公式可求出直线的斜率； （2）设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设这两条切线的斜率分别为、，设过点的切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，结合韦达定理得出，，求出、的坐标，结合韦达定理可求出的最小值； （3）设点，设过点的切线的方程为，因为圆心到切线的距离为，可得出，设切线、的斜率分别为、，则、为该方程的两根，利用韦达定理得出，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，同理可得出，化简的表达式，根据韦达定理结合为定值可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 故直线的斜率为. （2）圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 因为抛物线的准线方程为，即，可得，故抛物线的方程为， 设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设它们的斜率分别为、， 不妨设过点的切线方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离为，即， 整理可得， 依题意，、是关于的方程的两根， 所以，且，， 易知直线的方程为，令可得，即得点，同理点， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. （3）若点到准线的距离为，即，故抛物线的方程为， 其准线的方程为，设点， 圆的圆心为，半径为，    由题意可知，过点的切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离为，则， 整理可得， 设切线、的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 故，， 将直线的方程与抛物线的方程联立，可得， 由韦达定理可得，同理可得， 故 为定值，则， 因为，解得， 故当时，即存在定圆，使得当点运动时，为定值. 2．（2026·上海静安·一模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据双曲线的焦距为及点在上，列方程即可求得结果； （2）设直线的方程为，利用直线与圆相切，求出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理或求出两个交点坐标，从而求得； （3）由双曲线的对称性，易知四边形为平行四边形，设直线的方程为（或），求出直线和直线的距离，再将直线方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出的长，根据平行四边形的面积为列出方程，求出，再根据直线与双曲线左支有两个交点对结果进行取舍，从而得到答案. 【详解】（1）由双曲线的焦距为4，点在上， 可得，所以，且，又因为，即， 联立方程组，解得，，所以的方程为. （2）设直线l方程为，代入圆的方程整理得，直线与圆相切， 所以判别式，所以，切点位于轴上方，故. 将直线代入双曲线方程，整理得，解得， 两点的坐标分别为（）、（）， 从而； 另解：由题意设直线方程为，该直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得. 联立得 设，，则， （3）由题意直线与平行，由双曲线的对称性，易知=，四边形为平行四边形． 当直线垂直于x轴时，，此时四边形的面积为，不合题意，舍去； 设直线方程为，则直线方程为， 直线和的距离就是点到直线的距离， 设，，联立方程组，整理的， 则，且，， 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点、，可得，() 则， 所以，化简可得， 解得，或，因为，所以， 故直线的方程为或． 另解：设直线方程为，代入双曲线方程得，整理得 ，(因为双曲线的渐近线斜率为，直线AB与双曲线左支交于两点，所以) ，，所以， 点到直线的距离，， 化简可得，解得，或，因为当时，直线AB斜率平方， 此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以， 故直线的方程为，或． 双曲线 考点3 一、单选题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线离心率：，椭圆离心率，比较大小即可判断. 【详解】双曲线离心率：，椭圆离心率， 如图可知椭圆中，，所以， 双曲线、中，，所以， 综上：. 故选：D. 2．（2026·上海普陀·一模）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A．的最大值是5 B．的最小值是5 C．的最大值是7 D．的最小值是7 【答案】D 【分析】作出图象，根据图象利用两边之和、差与第三边的关系分析最大值与最小值即可得解. 【详解】如图， 由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，， 故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确. 故选：D 3．（25-26高三上·上海宝山·期末）双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示．已知它的下口直径为米，上口直径为米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到双曲线的方程，设，得到，将其代入双曲线的方程，联立方程组，求得，进而求得，即可求解. 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为通风塔的外形最小直径为20米，可得，所以，即， 又因为通风塔的外形的下口直径为米，上口直径为米，且高为米， 设，其中，则， 将的坐标代入双曲线的方程，可得， 整理得，即，所以，解得， 所以，则， 所以此双曲线的焦距为. 故选：D.    4．（2026·上海奉贤·一模）曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 【答案】C 【分析】根据的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线的方程. 【详解】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误； B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误； C．因为，，所以曲线是双曲线，则，则渐近线，故C正确； D．因为曲线，、不同时为0， 当时， 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是点； 当时，曲线是点； 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时， 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是圆； 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 所以曲线不能是抛物线，故D错误； 故选：C. 5．（2026·上海长宁·一模）已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及直线与双曲线相交求解的取值范围. 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. 6．（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值. 【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，， 如图，，，则，故， 将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故.         故选：D 7．（2026·上海杨浦·一模）已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（   ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 【答案】A 【分析】根据题意，得到点在双曲线的渐近线上，结合双曲线的几何性质，以及向量的夹角的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为， 则点满足渐近线，所以点在双曲线的渐近线上， 所以过点存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量的夹角不存在最小值， 过点作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为两点，此时， 因为，所以向量的夹角存在最大值，最大值为， 综上可得，向量的夹角存在最大值，不存在最小值. 故选：A.    二、填空题 1．（25-26高三上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，若，则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，结合双曲线的定义、圆的定义，可得点P、Q的轨迹方程，由题意，即求在向量方向上的数量投影再加减半径即可，设，根据数量投影的公式，代入化简，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，， 所以点P的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则点P的方程为， 因为，且， 所以点Q的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， 所以Q的方程为， 要求向量在向量方向上的数量投影， 只需求在向量方向上的数量投影再加减半径即可， 设，， 所以在向量方向上的数量投影为， 令，则当时，， 当时，，则， 综上，即， 所以在向量方向上的数量投影的取值范围是. 故答案为： 2．（15-16高二下·陕西延安·期末）双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】∵由题可知 ∴ ∴离心率 故答案为：. 三、解答题 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      2．（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在符合题意. 【分析】（1）利用双曲线的焦距确定c，渐近线斜率确定，结合求出，进而得到双曲线方程. （2）联立直线与双曲线，由判别式得以确定点坐标，设点坐标后，利用向量垂直的数量积为0求解的坐标. （3）先确定直线的方程，联立与双曲线得韦达定理，联立与得点坐标，计算和并化简对比，得出常数的值. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. （3），设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 3．（2026·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3). 【分析】（1）求得渐近线方程，得到倾斜角即可求解； （2）设直线方程为：，联立渐近线方程求得坐标，结合直角三角形面积公式即可求解； （3）由，得到，即，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； （2）由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； （3） 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 因为， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. 八、填空题-考点04椭圆 32．（2026·上海静安·一模）已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于 ． 【答案】10 【分析】根据椭圆方程，直接求解. 【详解】由椭圆方程可知，，， 所以椭圆的长轴长为. 故答案为：10 椭圆 考点4 一、解答题 1．（2026·上海普陀·一模）设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． (1)若，且四边形为矩形，求的离心率； (2)若，且的周长的最大值为12，求的方程； (3)若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）求出，根据题意得到，从而求出离心率； （2）根据，再由题意可求出，即可求出方程； （3）设，根据题目信息求出，将点代入椭圆方程并化简得到，根据点均在上以及得到，解方程即可求出；根据题目信息及求出的可得，求出的长及原点到直线的距离，利用三角形面积公式即可求出答案. 【详解】（1）由，得，， 将代入椭圆方程得，解得，则， 又四边形是矩形，则，即离心率. （2）由得，，即轴， 则， 当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为， 即，即， 则方程为 （3）设， 由得，点，又， 则， 因为点在上，所以 则， 又点均在上，则， 由得，即， 则，又，即. 由得，， 又，即直线， 由得，， 则， 则 由得，， 即， 即， 化简整理得，，则， 又原点到直线的距离为， 则 则. 2．（2026·上海杨浦·一模）已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.    (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)已知，且是线段的垂直平分线，求的值； (3)已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据离心率的概念列式求即可. （2）根据题意，设，则，，根据列式可求的值，在根据点在椭圆上，可求的值. （3）根据题意，可求出的坐标，进而求直线的斜率. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，又，所以. （2）因为，且是线段的垂直平分线， 所以是线段的中点. 所以可设，则，. 所以，. 由. 又点在第一象限，所以，所以，即. 又点在椭圆上，所以. 又，所以. （3）因为，所以椭圆：. 如图，作出符合题意的图形，    因为点是线段的中点，可设，，则. 设，因为. 因为都在椭圆上，所以. 因为点在第一象限，所以. 所以，，. 因为，所以直线的方程为：. 由. 由. 所以. 可得，即直线的斜率为. 3．（2026·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点三角形的周长计算公式求解出结果； （2）联立直线与椭圆方程，求得点坐标，然后根据纵坐标求得的值； （3）先判断出的位置关系，然后通过联立直线与椭圆方程求得中点的坐标，由此可表示出直线的方程，根据直线过定点可求解出结果. 【详解】（1）由椭圆方程可知，， 所以的周长为； （2）因为，所以，则，即， 联立，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以； （3）因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和点重合，故不符合条件； 当为坐标原点时，此时均与点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令，解得， 因为直线恒过定点，所以，所以， 所以. 4．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上两个不同的点，记的周长和面积分别为和. (1)若的离心率为，求的值； (2)若满足的点有且仅有两个，求的取值范围； (3)若，是否存在点使得和同时取到最大值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率的定义计算； （2）根据椭圆的对称性以及即可求出； （3）根据椭圆的定义得出，得出当三点共线时最大，进而设，与椭圆方程联立，再分别令，，结合基本不等式分别求面积的最大值，再作比较即可. 【详解】（1）由题意知，，则， 因，则离心率为，得； （2）对于椭圆上任意一点，有， 因满足的点有且仅有两个且椭圆为对称图形，则， 得， 故的取值范围为； （3）若，则，， 由椭圆的定义可知，， 则， 等号成立时三点共线， 故当三点共线时，取得最大值； 因直线的斜率不为，则可设直线，， 联立，得， 则，得， 由韦达定理可知，， 则， 则， 令，则， 若，则，则，等号成立时； 若，则， 则，等号成立时； 因，    则不存在点使得和同时取到最大值. 5．（2026·上海奉贤·一模）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为，作图见解析 (2) (3)为定值 【分析】（1）根据椭圆中的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点； （2）设，则，根据三角形面积公式即可得，关于的式子，利用面积比例求解即可得所求； （3）设，其中，，其中，分别与椭圆方程联立，根据根于系数的关系得与，与的关系，再根据线段比例关系计算验证是否为定值即可. 【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；    （2）设，则①，且， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为，即， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即②， 联立①②，且，解得， 故点的坐标为； （3）如图所示，，且，，则，    过作轴于，过作轴于， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 因为， 所以 为定值， 所以为定值. 6．（2026·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据离心率公式即可求解； （2）根据两点距离以及点到直线的距离公式，化简即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，可得面积的表达式，进而根据中点关系以及三角换元，根据判别式求解的范围，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）中，，故离心率为， （2）设，则，则， 故到直线的距离， 所以为定值. （3）设，则， 由于是线段的中点，故到直线的距离与到直线的距离相等， 故， 设直线：， 联立其与椭圆的方程可得， 设，则， 故， ，故， ， 令，由于在直线上，所以， 由于，故， 化简可得， 由于该关于的方程在上有解，故，解得， 则，故当时，此时取到最大值. 7．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1)焦距为2，的周长8； (2)； (3). 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 8．（25-26高三上·上海松江·期末）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； (3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点的直线交椭圆于两点，由椭圆性质得，结合题意得到，即可求出离心率； （2）若，结合（1）得到和椭圆的方程，设点，线段的中点，列方程组计算得到点，再根据直线的斜率公式计算即可. （3）根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围. 【详解】（1）设，则根据椭圆性质得， 而，所以有，即， 因此椭圆的离心率为. （2）若，因为，所以，且， 以原点为圆心，为半径的圆的方程为， 设点，线段的中点， 则，消化简可得，解得或， 因为，所以，计算得，点， 所以直线的斜率为； （3）由（1）可知，，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为， 并设则由消去并整理得 从而有， 所以. 因为，所以，. 由与相似， 所以 令，则，从而， 即的取值范围是. 十、单选题-考点05抛物线 41．（2026·上海闵行·一模）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程求出准线方程. 【详解】解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，， 抛物线的准线方程为． 故选：B． 抛物线 考点5 一、填空题 1．（2026·上海虹口·一模）小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时， . （结果保留2位小数）    【答案】 【分析】如图建系，设抛物线方程为，根据题意得到，将其代入抛物线得到，根据抛物线设，，利用导数求出，设直线的方程为，利用直线的方程求出和，求出，利用基本不等式求最小值即可得解. 【详解】如图建系，设抛物线方程为，    当点到的距离为4.5时，， 则，代入抛物线，解得， 则，即，设，则， 设，， ，，， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值，此时. 故答案为： 2．（25-26高三上·上海宝山·期末）焦点为的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意设出抛物线的方程，再根据焦点坐标求出即可得出答案. 【详解】由题意设抛物线的方程为 ， 由焦点为，则，则， 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 二、解答题 1．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆的离心率，抛物线； (2)； (3)存在，最小面积为8. 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； （3）讨论直线的斜率，斜率存在时，设直线为，则直线为，分别联立椭圆、抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积公式得到关于的表达式，即可得结论. 【详解】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. （3）    依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 2．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 3．（2026·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义及，求出； （2）设，设直线的直线方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到，，再根据中点的纵坐标为，可解得结果； （2）设，，求出，利用可得结果. 【详解】（1）由抛物线方程知：，设， 由得：，. （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，， ，又因为中点的纵坐标为，所以， 所以的面积为； （3）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，，所以中点为， 因为线段的垂直平分线与抛物线交于点， 设， 联立可得， 由韦达定理可得，， 若以线段为直径的圆经过点， ， ，不相等，不相等， 所以，同理 可得，不相等， 所以 即，解得. 所以直线的方程为. 试卷第54页，共54页 试卷第53页，共54页 学科网（北京）股份有限公司 $