专题07 数列（5大考点，28题）（上海专用）2026年高考数学一模分类汇编

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07数列(5大考点，28题) ☆5大考点概览 考点01等差数列 考点02数列的概念与简单表示法 考点03等比数列 考点04数列新定义 考点05数列的其它综合问题 考点1 等差数列 一、单选题 1.(2026上海奉贤一模)已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，存在正整数k满足S=0, 有两个命题： 命题①：设数列公差d,则d·S,<0. 命题②：i、j均是小于k的正整数，则S,·S,=SSk- 以上判断正确的是() A.命题①②都是真命题 B.命题①是真命题，命题②是假命题 C.命题①②都是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题 二、填空题 上海静安一模)设等差数列Q,的前n项和为S,(n为正整数)，首项4三， S,= 2.(2026上海普陀一模)设n≥1，n∈N,Sn是等差数列{an}的前n项和，若a3=1,S,=3a6,则该等差数列 的公差为 3.(25-26高三上·上海青浦期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=5,a2=0,则a= 4.(2026上海长宁.一模)在等差数列{an}中，a2=1,公差d=2,an=11,则n= 1 8x2+3x-1,x< 5.(25-26高三上·上海浦东新·期末)已知f(x)= 7.1 4,若等差数列a,为无穷数列，且均满 +8x24 x 足递推关系an1=∫(an),则该数列首项a的取值范围为 试卷第23页，共24页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高三上·上海金山期末)已知S,是等差数列{an}的前n项和，若2a1+3a1=20,则S13的值 为 7.(2026上海慕定一模)已知数列a,满足4=写且a,=2+n≥2，则0w=一 2an-1+1 8.(2026上海杨浦一模)等差数列an}的公差不为0，前n项和为S,若a,a,a成等比数列，则 410 14 9.(2026广西来宾模拟预测)在公差不为0的等差数列an}中，若a是a与a,的等差中项，则二+-的最 x V 小值为 10.(2026上海黄浦一模)已知数列an}是公差为2的等差数列，数列lga1,lga,lga,也为等差数列，且 k∈{3,4,5}，则a=_ 三、解答题 1.(2026上海阅行一模)已知函数y=f),f)=Asn@x+9)(4>0,0>0,p水号，其部分图象 如图所示 (1)求y=f(x)的解析式； (2)在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若f(B)=1,a,b,c成等差数列，判断ABC的形状. 2.(25-26高三上·上海松江·期末)已知函数y=Asi(ox+9(A、o>0,0<p<π)的周期为刀，在 x=时取到最大值4，记y=f(x. 6 (I)求函数y=f(x的表达式 2若数列a为等差数列，=)，4= 记b,=2,求数列{bn}的前n项和T,. 考点2 数列的概念与简单表示法 试卷第24页，共24页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 1.(2024上海闵行一模)己知数列an}满足a1=a,+1+元an-1,其中入为常数.对于下述两个命题： ①对于任意的元>0，任意的a,∈R,都有{an}是严格增数列； ②对于任意的2<0，存在a,∈R,使得{an}是严格减数列. 以下说法正确的为() A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题 C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题 2.(2026上海长宁.一模)将正整数1~10按一定次序排列得到排列a,a2…,a1o,若排列a,a2…,a1。中 的任意一项a,(1≤i≤10)都满足：-1≤a,-i≤1，则满足题意的排列a,a,ao的个数为() A.36 B.55 C.89 D.144 二、填空题 1.(2026上海徐汇·一模)已知数列(an}满足：a,=0,对任意的正整数n均有a,-a-1∈{1,2，若存在正整 数k(1≤k≤9)，使得所有数列an}均满足a,+a2+…+as≤ak+1+ak+2+…+ao,则k的最大值为_ 考点3 等比数列 一、单选题 1.(2026上海普陀一模)设n≥1，neN,数列an}和{bn}满足a=b=1,且an+e{0,1}, bn+1=an+1-2anbn,现有如下两个命题： ①若数列bn}是等比数列，则数列{an}是常数列： ②设Sn是数列b,}的前n项和，若bo26是符合题意的bn的最大值，则S2026-2能被7整除。 则下列结论中正确的是() A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假 二、填空题 1.(2026上海闵行一模)己知{an}是等比数列，若a、a是函数y=x2+3x+1的两个零点，则a3= 试卷第23页，共24页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.(25-26高三上上海宝山期末)已知数列an}为等比数列，且41=3，公比9=2，则该数列的前4项的 和等于 3.(2026上海奉贤一模)已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1+a=16,a2+a4=4,则该等比数列 an}的公比为 考点4 数列新定义 一、单选题 1.(2026上海黄浦一模)若数列{an}同时满足如下条件：(i){an}是无穷数列；(iⅱ){an}是递增数列； (i)存在正数M,使得对任意的neN,都有{an}的前n项的和Sne[-M,M],则称{an}具有性质P.关 于如下结论：①存在等差数列具有性质P;②存在等比数列具有性质P.其中正确的说法是() A.①和②均正确B.①和②均错误C.①正确，②错误D.①错误，②正确 2.(2026上海闵行.一模)从等差数列：1、2、3、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列{an}.第 一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数的a2,再取出往后数到3的数4，…，以此类推，如 果某次取出的是数字“a”,则下一次从取出的“4”开始往后数k+1个数，再取出数到k+1的数字“a”；当 往后数的数字个数小于“k+1”时，结束取数.那么{an}的最后一项是() A.6 B.990 C.999 D.1000 3.(2026江西模拟预测)若数列{an}满足an+1=logma(m>1且m∈)，则称数列{an}为“对数m底数列” 己知正项数列{a,}是“对数2底数列且a=1,则当n2且n∈N时， 40+a+…+an aa -=() A.22 B.216 C.232 D.264 4.(25-26高三上·上海宝山期末)对任意正整数n,数列an}满足an1-an>1,则称该数列为“增长数列. 命题1：存在a=-1的等差数列a,}为增长数列，且满足其n前项和S.<广-2n 命题2：存在各项均为正整数的等比数列{an}为“增长”数列且 不是“增长”数列，使得 为“增长” 2 n+1 数列.() A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题 试卷第24页，共24页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.（2026上海虹口·一模)若每一项均为正数的数列{a,}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n,均存在 正整数m使符二3≤0，则称具有P性质”，对于以下两个命题，说法正确的是() an-Sm+ ①存在等比数列{an},使得{an}具有“p性质”； ②若{an}具有“P性质”，记△n=Sm+1-an且{△n}为等差数列，则Sn≤2”a1. A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 二、填空题 1.(2026上海杨浦一模)数列A:a1,a2,,a1oo满足：a,∈N(1≤i≤100)，且1=a1<a2<…<a1o=2025, 记集合M(A=(b,b2,,b0)b=1,bo=2025,b,=a1+1或b,=a1-1,i=2,3,…,99.若数列A满足：对任意 (b,b2,…,bo∈M(A,均有b<b<…<boo,则称数列A是“好的.“好的”数列A的个数为 考点5 数列的其它综合问题 一、单选题 1.(2026上海嘉定一模)数列an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am, 则下列命题中正确的是() A.对任意正整数n,总存在正整数m,使得an=Sm B.数列{an}一定是等差数列 C.存在公比为正整数的等比数列an}满足条件 D.对任意正整数k,总存在正整数m、n,使得as=am-an 二、解答题 1.(2026上海金山一模)现给出“U函数”的定义与性质. 定义：若函数y=f(x)在区间D上连续，且对于区间D内任意两数x、x2,如果都有 任兰)上生皮立，则搭届数=国为区间D上的U质数。 2 性质：若函数y=f(x)为区间D上的“U函数”，则对于任意x,x2…,xn∈D和满足+入2+…+入n=1的正 试卷第23页，共24页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数2…，n, 有f】 As[2f小a≥2aeN成立 ()判断下列两个函数是否为其定义域上的U函数”（不需要说明理由） ②y=x2+2x. (2)若函数y=x-a为区间(0+o)上的“U函数”，求实数a的取值范围： [1-x-1,0≤x<2 (3)若g,（x)= a'gx-2),x≥2 1≤i≤2025且i∈N),记S,为函数y=g,x)的图像与x轴所围成的图形 2025 2025 面积，当a>0且∑a,=1时，求∑S,的最小值. 1=1 试卷第24页，共24页 专题07 数列（5大考点，28题） 5大考点概览 考点01等差数列 考点02数列的概念与简单表示法 考点03等比数列 考点04数列新定义 考点05数列的其它综合问题 等差数列 考点1 一、单选题 1．（2026·上海奉贤·一模）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，存在正整数满足，有两个命题： 命题①：设数列公差，则． 命题②：、均是小于的正整数，则． 以上判断正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①是真命题，命题②是假命题 C．命题①②都是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】D 【分析】命题①：利用等差数列的求和公式，将条件整理得到，又，计算即可得解；命题②：利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，， 命题①：， ， ，， 当时，； 当且时，；故命题①错误； 命题②：，、均是小于的正整数， ， ， ，故命题②正确. 故选：D. 二、填空题 1．（2026·上海静安·一模）设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且，可得，解得， 所以. 故答案为：. 2．（2026·上海普陀·一模）设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为 ． 【答案】2 【分析】设出基本量，根据已知条件列方程组即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 即，解得. 故答案为：2. 3．（25-26高三上·上海青浦·期末）设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】6 【分析】设公差为，由条件，根据等差数列的项与前项和的基本量运算，求出，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 则. 故答案为：6. 4．（2026·上海长宁·一模）在等差数列中，，公差，，则 ． 【答案】 【分析】利用已知求得等差数列的通项公式，进而求得. 【详解】因为等差数列中，，公差， 所以数列的通项公式， 又，所以，解得. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知，若等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为 . 【答案】. 【分析】由递推关系，则，根据分段函数的解析式，分三种情况讨论，列出关系式，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的图像，如图所示， 因为等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则， 当时，， 可得，符合题意，此时； 当时，则，可得 ， 两式相减，可得，即， 所以，所以，此时数列为常数列， 可得，解得或（舍去）； 若，，则，解得 综上可得：首项的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】52 【分析】由可得，后由等差数列性质结合前n项和公式可得答案. 【详解】设公差为d ，由， 则. 则. 故答案为：52 7．（2026·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】观察递推式为分式的形式，通过取倒数将其转化为线性递推关系，构造等差数列可求得数列的通项公式，进而求解． 【详解】对的两边取倒数得， 所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，所以． 故答案为：． 8．（2026·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 9．（2026·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 10．（2026·上海黄浦·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 三、解答题 1．（2026·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（1）由图可知，，，将数值代入函数解析式即可求得相关参数； （2）根据求得，再利用正弦定理将化为，进一步化简得到，从而求出，即可求出答案. 【详解】（1）由图知：， ，因为，所以， ，所以，解得， 由得，所以， 所以. （2）因为且，所以， 因为成等差数列，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 将代入得， 展开得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以为等边三角形. 2．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦函数的性质，结合已知条件求出、、的值，进而得到函数的表达式； （2）先根据函数表达式求出和的值，再利用等差数列的通项公式求出，进而得到，最后根据等比数列的前项和公式求出. 【详解】（1）由题意，函数（、，）的周期为， 所以，即，解得， 又函数在时取到最大值，所以， 解得，， 又，所以当时，， 所以函数的表达式为； （2）由（1）知，函数的表达式为， 所以，， 又数列为等差数列，则，解得，， 所以， 又，所以，即数列为首项是，公比为的等比数列， 所以数列的前项和. 数列的概念与简单表示法 考点2 一、单选题 1．（2024·上海闵行·一模）已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】A 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 2．（2026·上海长宁·一模）将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A．36 B．55 C．89 D．144 【答案】C 【分析】设 满足题意的排列个数为，将排列按照与两种情况分类，可得，据此可得答案. 【详解】设 满足题意的排列个数为，本题所求为. 由题可得，，. 当，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，则，，，，， 此时没有整数使满足题意，即当，时，满足题意的排列不存在. 综上可得，. 注意到，，则， . 故选：C 二、填空题 1．（2026·上海徐汇·一模）已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题目条件列出到，要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值，验证即可. 【详解】由题可知：， 则：， ， ， ， 要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值， 当时，取， ，，符合； 当时，取， ，此时：， ，符合； 当时，取， ，此时：， ，不符；故当时，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 综上：的最大值为. 故答案为： 等比数列 考点3 一、单选题 1．（2026·上海普陀·一模）设，数列和满足，且，，现有如下两个命题： ①若数列是等比数列，则数列是常数列： ②设是数列的前项和，若是符合题意的的最大值，则能被7整除． 则下列结论中正确的是（　　） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【分析】对于①：结合等比数列的定义，采用反证法证明； 对于②分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值时的，再根据二项式定理处理整除问题. 【详解】假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，故①为真命题； 当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，而 ， 故，所以取得最大值时为， 此时，， 故 ， 根据二项式定理可知， 故除以7余数为1，所以可以被7整除，故②为真命题. 故选：A. 二、填空题 1．（2026·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则 【答案】 【分析】首先利用韦达定理可得，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知 ， 所以， 因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意）， 所以 与 同号，故 ,又因为 ， 综上可得 . 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于 ． 【答案】 【分析】直接运用等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，公比， 所以该数列的前4项的和为， 故答案为： 3．（2026·上海奉贤·一模）已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据等比数列的通项关系作除法运算即可得公比的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为各项均为正数，若，， 则， 故该等比数列的公比为. 故答案为：. 数列新定义 考点4 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】利用等差和等比数列的性质以及前项和公式的性质结合题意推导可得. 【详解】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. 2．（2026·上海闵行·一模）从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数的，再取出往后数到3的数，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 【答案】B 【分析】由题意得到的通项公式，即可求解. 【详解】由题知：， 则，， 所以的最后一项是990， 故选：B. 3．（2026·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义，即，再利用累乘，平方后再由根据递推关系可得答案. 【详解】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以， 所以且， 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 即，得，因为，所以； 同理，，所以，所以， 所以.故. 故选：C. 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）对任意正整数，数列满足，则称该数列为“增长”数列． 命题1：存在的等差数列为“增长”数列，且满足其前项和． 命题2：存在各项均为正整数的等比数列为“增长”数列且不是“增长”数列，使得为“增长”数列．（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【分析】首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到判断；设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“增长数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到判断. 【详解】假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由，得， 由题意，得对均成立，即. 当时，； 当时，， 因为， 所以，与矛盾，所以这样的等差数列不存在. ①是假命题； 设数列的公比为q，则， 因为的每一项均为正整数，且， 所以在数列中，为最小项. 同理，在数列中，为最小项. 由为“增长数列”，只需，即， 又因为不是“增长数列”，且为最小项， 所以，即， 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以，或，， 设， 当，时，， 则， 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 所以， 所以对于任意的，都有，即数列为“增长数列”. 当，时，，则. 因为， 所以数列不是“增长数列”. 综上：由于存在数列满足命题②的所有条件，故命题②为真命题. 故选：C 5．（2026·上海虹口·一模）若每一项均为正数的数列的前项和为，若对于任意的正整数，均存在正整数使得，则称具有“性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（ ） ①存在等比数列，使得具有“性质”； ②若具有“性质”，记且为等差数列，则． A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】对于①，举出实例即可验证；对于②，先得到，为常数列，依次类推可得，当时，每一个的最大值为，求和可得. 【详解】对于①，因为数列每一项均为正数，故， 又对于任意的正整数，均存在正整数使得， 故存在正整数使得，即， 设，则， 其中，故， 解得， 当时，取，满足要求， 对任意的正整数，均存在正整数，使得上式成立， 具有“性质”，故存在等比数列，使得具有“性质”；①正确； 对于②，当时，，故只能等于1，即， 当时，，故只能等于1，即，， 为等差数列，故公差为，所以， 假设，则当时，，这与矛盾， 故，所以为常数列， 易知，若，则，舍去， 若，则，令可得， 同理易知，若，则，舍去， 所以，，令，可得， 或，令，可得， 同理，可得或， 或可得，或可得， 依次类推可得，当时，每一个的最大值为， 当时，，②正确. 故选：A 二、填空题 1．（2026·上海杨浦·一模）数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为 . 【答案】1926 【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案. 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列的个数为1926. 故答案为：1926. 数列的其它综合问题 考点5 一、单选题 1．（2026·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 【答案】D 【分析】可根据数列的性质，对每一选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：取数列，易知不存在正整数，使得，故该选项错误； 选项B：取数列，则，满足对任意正整数，总存在正整数，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误； 选项C：设等比数列的公比为，首项为，则， 当时，，，则不恒为0，不符合题意； 当正整数时，，， 若，则， 由于正整数，则， 即…*， 由于单调递增，且在与之间不存在其他正整数，则*式不成立； 故C错误； 选项D：当正整数时，由题意，存在正整数使得， 且存在正整数使得，则符合题意； 当时，存在正整数使得，取，则符合题意； 故D正确. 故选：D. 二、解答题 1．（2026·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 【答案】(1)①不是；②是； (2)； (3). 【分析】（1）设，，由“U函数”定义，比较以及与0的大小关系，可完成判断； （2）设，由题可得，据此可得答案； （3）由题可得，，，，据此可得大致图像以及 ，设，由题可得为区间上的“U函数”.然后由题干提供信息结合取可得答案. 【详解】（1）设，取 则，， 则， 因，则，， 从而，，则， 即，当且仅当时取等号， 则不是定义域上的“U函数”； 设，， ，， ， 当且仅当时取等号，则是定义域上的“U函数”； （2）设，因是上的“U函数”， 则对，， 注意到，则； （3）由题可得， 当时，，则； 当，，则； 当时，，则； 当，，则； 依次类推可得：，， ，. 据此可得大致图像如下： 则， 则. 设，则 取， 因，则，，， ，从而， 即为区间上的“U函数”. 由题干提供信息可得：取， 则 试卷第24页，共24页 试卷第23页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $