2026年河北省中考数学模拟测试卷四

翩 …宿 条形码粘贴处 0 0 2026年河北省九年级巩固练习（四） 总分核分人 数学 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟 三 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.样本数据7,8,8,9的平均数是( A.7 B.8 C.8.5 D.9 2.下列计算结果等于2的是( A.±V4 B.V(-2) C.2V2÷2 D.2V2-V2 3.如图1，已知△A'B'C'与△ABC是以点0为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下 列说法不正确的是() A.AC∥A'C B.SAABC:S△Bc=9:25 B C.△BCO∽△B'C'O B D.OB′：BB'=5:3 A A 图1 4.下列运算正确的是( ) A停儿 B.龙-Y=1 x-yx一y C.a-j-b-a D.1+1=2 a b a+b 5.如图2，过反比例函数y=左(x<0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B.若SAo6 则k的值为() A.3 B.-3 C.12 B 0 D.-12 图2 数学（四）第1页（共8页） 6.京杭大运河河北段开凿始于东汉末年，沟通海河和黄河两大水系，全长530公里.某校社会实 践小组计划测量大运河两岸相对的两点A,B的距离，设计了如图3所示的方案：在AB的垂线 BF上取两点C,D,使BC=CD,再作BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上，通过证明 △ABC≌△EDC,得到DE的长就等于AB的长.这里证明三角形全等的依据是( A.AAS A B.SAS C.ASA D.HL 7. 长江和黄河是我们中华儿女的母亲河，地质工作部门测量得到长江比黄河长图3 836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米.设长江长为x千米， 黄河长为y千米，下面所列方程组正确的是( A./+-836, B. x-y=836, 5x-6y=1284 6x-5y=1284 C. x+y=836, x-y=836, D. 6x-5y=1284 6y-5x=1284 8.如图4-1，已知线段a,∠1，求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠BCA=∠1，嘉琪的作法如图4-2所 2 示，下列说法一定正确的是() A.弧EF是以DK长为半径画的 B.弧MN是以点A为圆心，a为半径画的 C.弧PQ是以点C为圆心，OD长为半径画的 图4-1 图4-2 D.弧GH是以OD长为半径画的 9.如图5-1所示的风车是常见的小玩具，兼具制作简单和有趣 好玩的特点.如图5-2，在平面直角坐标系中，风车图案的四个 叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A,C的 坐标分别为(2,2)，(0,4).将风车绕点0顺时针旋转，每次旋 转90°，则第2026次旋转结束时，点B的坐标为( 图5-1 图5-2 A.(-2,-6) B.(6,-2) C.(-2,-4) D.(-6,2) 10.金砖国家(BRICS)是一个国际合作组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国.图6-1是 金砖国家的图标，可近似看作如图6-2所示的圆及其内接正五边形ABCDE,则∠CAD的度数 为( A.22.5° B.30° BRICS C.36° D.38° 11若方程x2-x-2=0的两个根是1和x2,则xx2+x2的值为( A.-2 B.2 图6-1 图6-2 C.-1 D.1 数学（四）第2页（共8页） 12.如图7，在△ABC中，AB=3V5,AC=2V10,∠BAC=45°，AH是边BC上的高，将△ACH沿 AC翻折至△ACE,将△ABH沿AB翻折至△ABD,延长DB,EC交于点F,连接FH.下列结论中 正确的有( A ①∠ABD+∠ACE=135°；②四边形ADFE是正方形； ③AD=6;④AB∥FH D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 图7 13,金凤扒鸡是河北省的著名美食，其历史可追溯到清朝末年.图8是金凤扒鸡厂家修建的一个矩 形标准化养鸡场的平面示意图，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用长为35米的篱笆围 成，所围的面积是150平方米.若设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则可列方程为 14.如图9，⊙0是△ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点D,E,F,∠B=42°，P是劣弧EF上一 点，则∠DPE的度数是 15.冬季是流感高发季节，尤其是像学校这种人员比较集中的场所，更易传染，因此，各学校都采取 各种方式预防流感.某校采取对教室喷雾消毒的方式，如图10，已知喷雾阶段教室内每立方米 空气中含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，喷雾完成后y与x成反比例，每立方米空气中含 药量不低于4mg时消毒效果最佳，那么本次消毒过程中，消毒效果最佳的时长为 min. 16.如图11，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,以AB为直径作⊙0，E是⊙0上的动点，M为CE的 中点，连接DM,则DM的最小值是 y/mg D 0 E M 5 x/min 图8 图9 图10 图11 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.（本小题满分7分) (1)解不等式7x<35; (2)解不等式3x-4>2; (3)直接写出不等式组 7x<35,的所有整数解. 13x-4>2 ■ 数学（四）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) (1)下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误 计算：V3(V3+2)+(V3-1)2 解：原式=(V3)P+2V3+(V3)2-1① =3+2V3+3-1② =5+2V3.③ 小雷同学的解答过程是从第 步（写步骤序号）开始出现错误的；请你写出正确 的解答过程； 2计算：-m15-31+(号+子名(4 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 根据近五年的统计数据显示，溺水和交通事故在中学生安全事故统计中占比最高， 为此，各地中学定期开展形式各样的安全教育活动.近期某校开展了以“关爱生命”为主 封 题的知识讲座，讲座后，该校还开展了安全知识答题竞赛活动.现从该校九年级中随机 抽取20名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共 分成四组：80≤x<85;85≤x<90;90≤x<95;95≤x≤100)，并绘制了如图12所示的不完 整的统计图.下面给出了部分信息：九年级20名学生的成绩在90≤x<95中的数据是 90,90,91,91,92,92,93,94. 根据以上信息，解答下列问题. (1)填空：a= ,并补全频数分布直方图： (2)所抽取学生的竞赛成绩的中位数为 分； (3)从九年级抽取的20名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选 两名学生参加市级安全知识竞赛，求选中的两名学生都是女生的概率； (4)该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计九年级参加竞赛活动的学生 线 成绩不低于90分的有多少人 85≤x<90 10%/ 频数/人 10 8 80≤x<85 90≤x<95 6 4 95≤x≤100 2 a% 3 80859095100成绩/分 图12 数学（四）第4页（共8页） ■ 0 ………… 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 这么近，那么美，周末到河北！为应对即将到来的旅游热，“燕赵”汽车服务公司推出 以下租车服务项目 【项目】“燕赵”汽车服务公司为满足不同用户的需求，推出了两种计费套餐： 经济套餐：收费公式为：y=0.4x+20; 轻享套餐：收费公式为：y2=0.8x. 其中，y代表租车的总费用（元），x代表用户的行驶里程（公里）. 【模型】(1)请解释“经济套餐”公式中的“0.4”和“20”以及“轻享套餐”公式中的“0.8”在实 际计费中分别表示什么意义； 【应用】(2)琪琪一家从南方坐飞机来河北旅游，入住酒店位于市区，到“抱犊寨”景区的 单程距离为18公里.他家计划租一辆汽车前往“抱犊寨”景区游玩，并预计在景区附近 和返回市区后还会产生约15公里的额外行驶里程.请你通过计算判断，他家选择哪个 套餐更省钱； 【决策】(3)如果你是“燕赵”汽车服务公司的运营经理，你需要告诉用户选择哪个套餐更 省钱.请通过计算给出明确的建议 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 【综合与实践】嘉嘉在研究如何将一个梯形裁剪拼接成一个 A 三角形时，采用了如下的做法， 如图13-1，在梯形ABCD中，AD∥BC,取腰CD的中点0， 连接AO并延长，交BC的延长线于点E,得到△ABE. (1)求证：△AOD≌△E0C; 图13-1 (2)请仿照以上做法，利用中点，将此梯形剪拼成另一个不同的以BC所在直线为一边的 三角形，在图13-2中画出示意图（用字母标出中点）； (3)请仿照以上做法，利用中点，将此梯形剪拼成一个矩形，在图13-3中画出示意图（用 字母标出中点)； (4)图13-4是一个直角梯形ABCD,AD∥BC,∠C=90°，分别取AB,CD的中点E,F,沿 图13-4所示的虚线剪开，拼成如图13-4所示的△GMN.若MG⊥AB,∠M=30°，∠N= 45°，求AD:BC的值， B G 图13-2 图13-3 图13-4 数学（四）第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分)》 如图14-1，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,分别交AC,BC于点D,E. (1)证明：E是BD的中点； (2)如图14-2，连接E0并延长，交⊙0于点F,过点F作⊙0的切线，交BA的延长线于点M. ①判断FM与直线AC的位置关系，并说明理由； ②若sin∠BAC=Y5,AM=6,求边BC的长， 3 R A 0 B E B E 图14-1 图14-2 数学（四）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 如图15-1，在菱形ABCD中，AB=2V3cm,BD=6cm.点M,N同时从点B出发，分别以 V3cms,2cm/s的速度在边BA,BD上运动，当点M运动到点A时都停止运动，以MN为边按如 图15-1所示方式在其右方作等边三角形MN0,设点M的运动时间为t(s) (1)①∠ABD= 度； ②当= s时，点O落在边AD上； (2)如图15-2，连接AC交BD于点R,线段AC交△MN0的边于点P,Q,求当1=7时线段PQ的长； (3)△MN0与菱形重合部分的面积记为S,当>3时，求S与1之间的函数关系式，并写出S最 2 大时t的值； (4)如图15-3，连接CM,C0,分别交BD于点E,F,用含t的代数式表示四边形OMEF的面积S,(直 接写答案)。 M ⊙ R C C 图15-1 图15-2 图15-3 备用图 ■ 数学（四）第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 磁州窑是中国古代北方最大的民窑体系，窑址在我省邯郸市磁县一带.图16-1是 我省开发的一款文创产品一磁杯的俯视图和主视图，如图16-2，将其主视图放到平 面直角坐标系中，左侧AB为线段，右侧EF为抛物线yx+bx+c的一部分，点A的坐标为 (-2,10),点B的坐标为(-1,1)，点E的坐标为(1,1)，点F的坐标为(4,10).（坐标系中 单位长度为1cm) 密 (1)求EF所在抛物线的解析式； (2)如图16-3，若杯中装有一部分水，水深为2cm,求主视图中水面的宽度GH的长； (3)如图16-4，若杯中装满水，将杯子向左倾斜45°，一部分水溢出，求此时主视图中水 面的宽度AK的长； (4)如图16-5，若杯中装满水，将杯子向右倾斜45°，一部分水溢出，此时，当x取某值 时，竖直方向水的最高点和最低点的差称为水的“垂直高度”，请直接写出此时水的最大 “垂直高度”是多少 俯视图 主视图 C OD 图16-1 图16-2 图16-3 E B D 线 B 图16-4 图16-5 数学（四）第8页（共8页）翩 …宿 条形码粘贴处 0 0 2026年河北省九年级巩固练习（四） 总分核分人 数学 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟 三 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.样本数据7,8,8,9的平均数是( A.7 B.8 C.8.5 D.9 2.下列计算结果等于2的是( A.±V4 B.V(-2) C.2V2÷2 D.2V2-V2 3.如图1，已知△A'B'C'与△ABC是以点0为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下 列说法不正确的是() A.AC∥A'C B.SAABC:S△Bc=9:25 B C.△BCO∽△B'C'O B D.OB′：BB'=5:3 A A 图1 4.下列运算正确的是( ) A停儿 B.龙-Y=1 x-yx一y C.a-j-b-a D.1+1=2 a b a+b 5.如图2，过反比例函数y=左(x<0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B.若SAo6 则k的值为() A.3 B.-3 C.12 B 0 D.-12 图2 数学（四）第1页（共8页） 6.京杭大运河河北段开凿始于东汉末年，沟通海河和黄河两大水系，全长530公里.某校社会实 践小组计划测量大运河两岸相对的两点A,B的距离，设计了如图3所示的方案：在AB的垂线 BF上取两点C,D,使BC=CD,再作BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上，通过证明 △ABC≌△EDC,得到DE的长就等于AB的长.这里证明三角形全等的依据是( A.AAS A B.SAS C.ASA D.HL 7. 长江和黄河是我们中华儿女的母亲河，地质工作部门测量得到长江比黄河长图3 836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米.设长江长为x千米， 黄河长为y千米，下面所列方程组正确的是( A./+-836, B. x-y=836, 5x-6y=1284 6x-5y=1284 C. x+y=836, x-y=836, D. 6x-5y=1284 6y-5x=1284 8.如图4-1，已知线段a,∠1，求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠BCA=∠1，嘉琪的作法如图4-2所 2 示，下列说法一定正确的是() A.弧EF是以DK长为半径画的 B.弧MN是以点A为圆心，a为半径画的 C.弧PQ是以点C为圆心，OD长为半径画的 图4-1 图4-2 D.弧GH是以OD长为半径画的 9.如图5-1所示的风车是常见的小玩具，兼具制作简单和有趣 好玩的特点.如图5-2，在平面直角坐标系中，风车图案的四个 叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A,C的 坐标分别为(2,2)，(0,4).将风车绕点0顺时针旋转，每次旋 转90°，则第2026次旋转结束时，点B的坐标为( 图5-1 图5-2 A.(-2,-6) B.(6,-2) C.(-2,-4) D.(-6,2) 10.金砖国家(BRICS)是一个国际合作组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国.图6-1是 金砖国家的图标，可近似看作如图6-2所示的圆及其内接正五边形ABCDE,则∠CAD的度数 为( A.22.5° B.30° BRICS C.36° D.38° 11若方程x2-x-2=0的两个根是1和x2,则xx2+x2的值为( A.-2 B.2 图6-1 图6-2 C.-1 D.1 数学（四）第2页（共8页） 12.如图7，在△ABC中，AB=3V5,AC=2V10,∠BAC=45°，AH是边BC上的高，将△ACH沿 AC翻折至△ACE,将△ABH沿AB翻折至△ABD,延长DB,EC交于点F,连接FH.下列结论中 正确的有( A ①∠ABD+∠ACE=135°；②四边形ADFE是正方形； ③AD=6;④AB∥FH D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 图7 13,金凤扒鸡是河北省的著名美食，其历史可追溯到清朝末年.图8是金凤扒鸡厂家修建的一个矩 形标准化养鸡场的平面示意图，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用长为35米的篱笆围 成，所围的面积是150平方米.若设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则可列方程为 14.如图9，⊙0是△ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点D,E,F,∠B=42°，P是劣弧EF上一 点，则∠DPE的度数是 15.冬季是流感高发季节，尤其是像学校这种人员比较集中的场所，更易传染，因此，各学校都采取 各种方式预防流感.某校采取对教室喷雾消毒的方式，如图10，已知喷雾阶段教室内每立方米 空气中含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，喷雾完成后y与x成反比例，每立方米空气中含 药量不低于4mg时消毒效果最佳，那么本次消毒过程中，消毒效果最佳的时长为 min. 16.如图11，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,以AB为直径作⊙0，E是⊙0上的动点，M为CE的 中点，连接DM,则DM的最小值是 y/mg D 0 E M 5 x/min 图8 图9 图10 图11 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.（本小题满分7分) (1)解不等式7x<35; (2)解不等式3x-4>2; (3)直接写出不等式组 7x<35,的所有整数解. 13x-4>2 ■ 数学（四）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) (1)下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误 计算：V3(V3+2)+(V3-1)2 解：原式=(V3)P+2V3+(V3)2-1① =3+2V3+3-1② =5+2V3.③ 小雷同学的解答过程是从第 步（写步骤序号）开始出现错误的；请你写出正确 的解答过程； 2计算：-m15-31+(号+子名(4 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 根据近五年的统计数据显示，溺水和交通事故在中学生安全事故统计中占比最高， 为此，各地中学定期开展形式各样的安全教育活动.近期某校开展了以“关爱生命”为主 封 题的知识讲座，讲座后，该校还开展了安全知识答题竞赛活动.现从该校九年级中随机 抽取20名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共 分成四组：80≤x<85;85≤x<90;90≤x<95;95≤x≤100)，并绘制了如图12所示的不完 整的统计图.下面给出了部分信息：九年级20名学生的成绩在90≤x<95中的数据是 90,90,91,91,92,92,93,94. 根据以上信息，解答下列问题. (1)填空：a= ,并补全频数分布直方图： (2)所抽取学生的竞赛成绩的中位数为 分； (3)从九年级抽取的20名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选 两名学生参加市级安全知识竞赛，求选中的两名学生都是女生的概率； (4)该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计九年级参加竞赛活动的学生 线 成绩不低于90分的有多少人 85≤x<90 10%/ 频数/人 10 8 80≤x<85 90≤x<95 6 4 95≤x≤100 2 a% 3 80859095100成绩/分 图12 数学（四）第4页（共8页） ■ 0 ………… 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 这么近，那么美，周末到河北！为应对即将到来的旅游热，“燕赵”汽车服务公司推出 以下租车服务项目 【项目】“燕赵”汽车服务公司为满足不同用户的需求，推出了两种计费套餐： 经济套餐：收费公式为：y=0.4x+20; 轻享套餐：收费公式为：y2=0.8x. 其中，y代表租车的总费用（元），x代表用户的行驶里程（公里）. 【模型】(1)请解释“经济套餐”公式中的“0.4”和“20”以及“轻享套餐”公式中的“0.8”在实 际计费中分别表示什么意义； 【应用】(2)琪琪一家从南方坐飞机来河北旅游，入住酒店位于市区，到“抱犊寨”景区的 单程距离为18公里.他家计划租一辆汽车前往“抱犊寨”景区游玩，并预计在景区附近 和返回市区后还会产生约15公里的额外行驶里程.请你通过计算判断，他家选择哪个 套餐更省钱； 【决策】(3)如果你是“燕赵”汽车服务公司的运营经理，你需要告诉用户选择哪个套餐更 省钱.请通过计算给出明确的建议 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 【综合与实践】嘉嘉在研究如何将一个梯形裁剪拼接成一个 A 三角形时，采用了如下的做法， 如图13-1，在梯形ABCD中，AD∥BC,取腰CD的中点0， 连接AO并延长，交BC的延长线于点E,得到△ABE. (1)求证：△AOD≌△E0C; 图13-1 (2)请仿照以上做法，利用中点，将此梯形剪拼成另一个不同的以BC所在直线为一边的 三角形，在图13-2中画出示意图（用字母标出中点）； (3)请仿照以上做法，利用中点，将此梯形剪拼成一个矩形，在图13-3中画出示意图（用 字母标出中点)； (4)图13-4是一个直角梯形ABCD,AD∥BC,∠C=90°，分别取AB,CD的中点E,F,沿 图13-4所示的虚线剪开，拼成如图13-4所示的△GMN.若MG⊥AB,∠M=30°，∠N= 45°，求AD:BC的值， B G 图13-2 图13-3 图13-4 数学（四）第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分)》 如图14-1，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,分别交AC,BC于点D,E. (1)证明：E是BD的中点； (2)如图14-2，连接E0并延长，交⊙0于点F,过点F作⊙0的切线，交BA的延长线于点M. ①判断FM与直线AC的位置关系，并说明理由； ②若sin∠BAC=Y5,AM=6,求边BC的长， 3 R A 0 B E B E 图14-1 图14-2 数学（四）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 如图15-1，在菱形ABCD中，AB=2V3cm,BD=6cm.点M,N同时从点B出发，分别以 V3cms,2cm/s的速度在边BA,BD上运动，当点M运动到点A时都停止运动，以MN为边按如 图15-1所示方式在其右方作等边三角形MN0,设点M的运动时间为t(s) (1)①∠ABD= 度； ②当= s时，点O落在边AD上； (2)如图15-2，连接AC交BD于点R,线段AC交△MN0的边于点P,Q,求当1=7时线段PQ的长； (3)△MN0与菱形重合部分的面积记为S,当>3时，求S与1之间的函数关系式，并写出S最 2 大时t的值； (4)如图15-3，连接CM,C0,分别交BD于点E,F,用含t的代数式表示四边形OMEF的面积S,(直 接写答案)。 M ⊙ R C C 图15-1 图15-2 图15-3 备用图 ■ 数学（四）第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 磁州窑是中国古代北方最大的民窑体系，窑址在我省邯郸市磁县一带.图16-1是 我省开发的一款文创产品一磁杯的俯视图和主视图，如图16-2，将其主视图放到平 面直角坐标系中，左侧AB为线段，右侧EF为抛物线yx+bx+c的一部分，点A的坐标为 (-2,10),点B的坐标为(-1,1)，点E的坐标为(1,1)，点F的坐标为(4,10).（坐标系中 单位长度为1cm) 密 (1)求EF所在抛物线的解析式； (2)如图16-3，若杯中装有一部分水，水深为2cm,求主视图中水面的宽度GH的长； (3)如图16-4，若杯中装满水，将杯子向左倾斜45°，一部分水溢出，求此时主视图中水 面的宽度AK的长； (4)如图16-5，若杯中装满水，将杯子向右倾斜45°，一部分水溢出，此时，当x取某值 时，竖直方向水的最高点和最低点的差称为水的“垂直高度”，请直接写出此时水的最大 “垂直高度”是多少 俯视图 主视图 C OD 图16-1 图16-2 图16-3 E B D 线 B 图16-4 图16-5 数学（四）第8页（共8页） 2026年河北省九年级巩固练习（四) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共计36分） 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D 0 二、（每小题3分，共计12分） 13.×(35-2x)=150(或2x2-35x+150=0) 14.699 15.7.5 16. V145-3 2 【精思博考：16.如图，在CD的延长线上截取DF=CD,连接EF,则DM为△CEF的中位线， DM=EF,当EF最短时，则DM也最小.当点E为OF与⊙0的交点时，EF最短为V145-3, 2 DM的最小值为Y145-3】 16题图 三、17.解：(1)不等式的解集为x<5;… (2分) (2)不等式的解集为x>2;…(5分) (3)不等式组的所有整数解为3,4.…(7分) 18.解：（1)①： (1分) 原式=（5)2+2√3+(5)2-2V3+1=3+2√3+3-2√5+1=7；…(4分) (2)原式=-8.5.… …(8分) 19.解：（1)30；………… …（1分) 4频数/人 如图；…… …(2分) 1() (2)91.5: …(4分) 6 3 2 (3)2名男生用A,B表示，2名女生用a,b表示，列表如下 00859095100成绩/分 B b 19题图 A (A,B) (A,a) (A,b) (B,A) (B,a) (B,b) a (a,A) (a,B) (a,b) b (b,A) (b,B) (b,a) 共有12种等可能的结果，其中选中的两名学生都是女生的结果数为2， ·选中的两名学生都是女生的概率为2=」 …(6分) 126 8+6 (4)参加九年级竞赛活动的学生成绩不低于90分的约有600× =420(人).…（8分) 20 20.解：(1)“经济套餐”公式中的“0.4”表示每行驶1公里的费用为0.4元；“20”表示租车的基础费用（或 起步价)为20元： 数学（四）第1页（共4页） “轻享套餐”公式中的“0.8”表示每行驶1公里的费用为0.8元： …(3分) (2)根据题意得总行驶里程为2×18+15=51（公里)， ∴.y=0.4×51+20=40.4,y=0.8×51=40.8. y<y2,他家选择“经济套餐”更省钱；… …(5分) (3)当y=y2时，0.4x+20=0.8x,解得x=50: 当y<y2时，0.4x+20<0.8x,解得x>50;当y1>y2时，0.4x+20>0.8x,解得x<50. 综上所述，当行驶里程大于50公里时，应选择“经济套餐”；当行驶里程等于50公里时，选择“经济套餐” 和“轻享套餐”费用相同；当行驶里程小于50公里时，应选择“轻享套餐”·… …(8分) 21.解：(1)证明：，AD∥BC,∴∠D=∠OCE,∠DA0=∠E. .0是CD的中点，∴.0D=0C ∠D=∠OCE, 在△A0D与△E0C中， ∠DA0=∠E, ∴.△A0D≌△E0C(AAS);·(3分) A D 0D=0C, 人 Q B (2)如图1（答案不唯一，J,K为中点)；…(4分) 21题图1 21题图2 (3)如图2(P,Q为中点)；… (6分) (4)如图3，过点A作AH LBC于点H,设CF=DF=x,则DN=CG=x,AH=2x, M- AD/BC,六∠McB=∠k30°.G1AB,÷∠B=60°，BH=23x 3 B e,EE2,3,0c心1+x HG 3 21题图3 3 AD-CH-BC-B42xD:BC-5+25 …(9分) 3 3 3 13 22.解：（1)证明：连接AE.,AB为⊙0的直径，.∠AEB=90°，∴AE⊥BC AB=AC,∴∠BAE=∠CAE,弧BE=弧DE,即E是弧BD的中点；…(3分) (2)①FM与直线AC垂直；…(4分) 理由：MF为⊙0的切线，，EF⊥F,∴.∠MFE=90°.在△ABC中，，AB=AC,.∠B=∠C. 在⊙0中，，OB=OE,∴.∠B=∠OEB,∴.∠C=∠OEB,∴.EF∥AC 如图，延长CA交FM于点H,则∠MHC=∠MFE=90°，∴FMLAC;…(6分) ②：sin∠BACe5,coBAC-号：F/AC,∠A0F=Z0 C.oA0Rs2 31 3 设0的并径是n在△6中，cw∠ar8附，6子r12,a-62=2 B 22题图 如图，连接BD.AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°， cOS∠BAD=AD-AD2 AB243,AD=16,CD=aC-AD=24-16=8 :sin∠BAD-BD-BD.5,BD=85,÷BC=V0D+BD86、 …（9分) AB-243 23.解：(1)①30：②2： …(2分) (2)在菱形ABCD中，AC⊥BD,∠ABD=30°，AB=2V3,BR=3. 数学（四）第2页（共4页）2026年河北省九年级巩固练习（四） 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共计36分） 题号 1 2 4 5 6 7 8 10 11 12 答案 B B D D 二、（每小题3分，共计12分） 13.×(35-2x)=150(或2x2-35x+150=0) 14.69 15.7.5 16. V145-3 2 【精思博考：16.如图，在CD的延长线上截取DF=CD,连接EF,则DM为△CEF的中位线， DMER,当EF最短时，则DM也最小.当点E为OF与⊙0的交点时，EF最短为√145-3， 2 DM的最小值为Y145-3】 16题图 三、17.解：(1)不等式的解集为x<5;…。 …(2分) (2)不等式的解集为X>2;…(5分) (3)不等式组的所有整数解为3,4.…(7分) 18.解：(1)①： (1分) 原式=(3)2+2W3+(W5)2-25+1=3+2√3+3-25+1=7；…(4分) (2)原式=-8.5.… (8分) 19.解：（1)30；…………………… …（1分) 4频数/人 如图；… …(2分) 1(0 8 (2)91.5: …(4分) 6 2 (3)2名男生用A,B表示，2名女生用a,b表示，列表如下. 00859095100成绩/分 A B 6 19题图 A (A,B) (A,a) (A,b) (B,A) (B,a) (B,b) a (a,A) (a,B) (a,b) b (b,A) (b,B) (b,a) 共有12种等可能的结果，其中选中的两名学生都是女生的结果数为2， ·选中的两名学生都是女生的概率为2=」 …(6分) 126 8+6 (4)参加九年级竞赛活动的学生成绩不低于90分的约有600× =420(人).…(8分) 20 20.解：(1)“经济套餐”公式中的“0.4”表示每行驶1公里的费用为0.4元；“20”表示租车的基础费用（或 起步价)为20元： 数学（四）第1页（共4页） “轻享套餐”公式中的“0.8”表示每行驶1公里的费用为0.8元； (3分) (2)根据题意得总行驶里程为2×18+15=51（公里)， ∴.y=0.4×51+20=40.4,y=0.8×51=40.8. y<y2,他家选择“经济套餐”更省钱；… …(5分) (3)当y=y2时，0.4x+20=0.8x,解得x=50: 当y<y2时，0.4x+20<0.8x,解得x>50;当y1>y2时，0.4x+20>0.8x,解得x<50. 综上所述，当行驶里程大于50公里时，应选择“经济套餐”；当行驶里程等于50公里时，选择“经济套餐” 和“轻享套餐”费用相同；当行驶里程小于50公里时，应选择“轻享套餐”·… …(8分) 21.解：(1)证明：，AD∥BC,.∠D=∠0CE,∠DA0=∠E. .0是CD的中点，∴.0D=0C ∠D=∠OCE, 在△A0D与△E0C中， ∠DA0=∠E, .△AOD≌△E0C(AAS);·(3分) A,✉ 0D=0C, 人 Q B (2)如图1（答案不唯一，JK为中点)；…(4分) 21题图1 21题图2 （3)如图2(P,Q为中点)；…（6分) (4)如图3，过点A作AH LBC于点H,设CF=DF=x,则DN=CG=x,AH=2x M- AD/BC,六∠McB=∠k30°.G1AB,÷∠B=60°，BH=23x 3 B C e+,EE2,3x4,80cc心1+ HG 3 21题图3 3 AD-CHi-BC--4x+AD:B-5+25 …(9分) 3 3 3 13 22.解：（1)证明：连接AE.,AB为⊙0的直径，.∠AEB=90°，AE⊥BC AB=AC,∴∠BAE=∠CAE,弧BE=弧DE,即E是弧BD的中点；…(3分) (2)①FM与直线AC垂直；…(4分) 理由：，MF为⊙0的切线，EF⊥MF,∴∠MFE=90°.在△ABC中，，AB=AC,∴，∠B=∠C 在⊙0中，OB=OE,.∠B=∠OEB,.∠C=∠0EB,.EF∥AC 如图，延长CA交FM于点H,则∠MHC=∠MFE-90°，.FM⊥AC;…(6分) gsn∠io9os∠o号∠a=20cos∠p-号 31 3 皮0的牛径地在△中，ca∠2F8,6-子2，a0=62-2 B 22题图 如图，连接BD.AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°， .cOS∠BAD=AD-AD2 AB-243,六AD=16,CD=AC-AD=24-16=8 :sin∠BAD-BD-BD.5,BD=85,÷BC=V0D+BD86、 …(9分) AB-243 23.解：(1)①30：②2：… (2分) (2)在菱形ABCD中，AC⊥BD,∠ABD=30°，AB=2V3,BR=3. 数学（四）第2页（共4页） 在△BMN中，B=V3,BN=2t,:M_驯 BR AB 又，'∠MBN=∠RBA,.△BMN∽△BRA,∴.∠BMN=∠ARB=9O°，∠BM=∠BAR=6O°，.MN=t. ,'∠OMN=∠BNM60°，∴.OM∥BD,∴.AP⊥OM Ar中，AM:Aa-8w=a5-a,p-94M-e店-- .OP-OM-MP=1-6-3t-5-6,P=OP=13(651-6) 2 2 2 当 5时，Pe=3, 2 …(5分) (3)当t> 时，△OMN的位置如图1所示，设ON交AD于点T,MO交AD于差 M 人 0 在等边三角形MWO中，∠OMN=∠0=∠MN0=60°，，∴.∠DN0=60°，∠DTN=90°. 在△DTN中，DN=6-2t,NT=DN=6-2=3-,.0T=0N-NT=1-6-0=2y-3. 2 2 23题图1 在△0TK中，∠0=60°，∠0TK=90°，.TK=V30T=√5(2t-3), amx51-2-x5(x-动，整理得S-75f6w-y5（号<≤2)：…8分) S-SAom -tx 4 2 2 开口向下，在顶点处取最大值，此时=-b三一 6W3 12 …(9分) 2a 2x75 7 4 (4)S- 3+43 (11分) 8+4t 【精思博考：如图2，过点C作CG⊥OM,垂足为G,交BD于点H. 在等边三角形0中，N,AGH-5(.易求CH-5,C8-5+5 EFCH EF3 11 .OM∥EF,.△CEF∽△CMO,. QMcG'即- t6,V3’、2t 2+t 8r400x6H=x320*5,.5rt4区】 23题图2 2`2+t 2 8+4t 24.解：(1)将点E(1,1)和点F(4,10)分别代入y=x2+bx+c中， 得1+b+e1, b=-2, 解得 y=X2-2x叶2；…(3分) 16+4b+c=10, c=2, (2)设直线AB的解析式为y=r+d,将点B(-1,1)和点A(-2,10)分别代入，解得k=-9,d=-8. ∴.直线AB的解析式为y=-9x-8, 当-9x8=3时，解得x=-；当x-2x+2=3时，解得x=1+反，x=1-V5（舍去)， 9 数学（四）第3页（共4页） .GH1+2-（）-20+2(cm）;…（7分） 99 (3)将题图16-4中的杯子主视图绕点C向右旋转45°，得到如图1所示的图形. 设原来水面AK的函数解析式为y=:+e,延长AK交x轴于点L,过点A作ANLx轴于 点N AK与y轴夹角为45°，∴.∠LAN=45°，∴.△ALN为等腰直角三角形. NC OD 点A(-2,10),点L(8,0). 24题图1 将点A(-2,10)和点L(8,0)分别代入y=:+e中，解得f=-1,e=8,.直线AK的解析式为y=-x8. y=-x+8, 解 y=x2-2x+2, 得x=3,x=-2(舍去)，∴.K(3,5)，.AK=V(3+2)+(10-5)=5√2(cm):…(10分) (4) 25V2 cm …(12分) 8 【精思博考：如图2，在抛物线上取点P,过点P作y轴的平行线，交线段MF于点Q,则PQ为水的垂直高度. 将杯子放正，如图3，则直线MF与y轴的夹角为45°. 与(3)同理可得直线MF的解析式为y=x+6. 在图3中，过点P作y轴的平行线，交线段MF于点R.设点R(t,t+6),则点P(t,t2-2t+2), 即=+0-Ge-2+2-F++4.当3时，即25，此时0-5e255252】 4 2428 M CE P E OD COD 24题图2 24题图3 数学（四）第4页（共4页）核分人 2026年河北省九年级巩固练习（四） 总分 数学 市、区、乡 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟. 三 题号 学校 18 19 20 2 22 23 24 得分 班级 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 姓名 1. 样本数据7,8,8,9的平均数是( A.7 B.8 考场 C.8.5 D.9 2.下列计算结果等于2的是( 考号 封 A.±V4 B.V-2 ... C.2V2÷2 D.2V2-V2 3.如图1，已知△A'B'C与△ABC是以点0为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下 座位号 列说法不正确的是( A.AC∥A'C C' : B.SA4Bc:S△4B=9:25 C.△BCO∽△B'C'O 0:: D.OB':BB'=5:3 A 图1 4.下列运算正确的是( A.(x)= B.x-Y=1 y273y5 x-yx一y 线 C.a-j-b-a D.1+1=2 a b a+b 5. 如图2，过反比例函数y=人(x<0)的图象上一点A作AB1x轴于点B.若SA06, : 则k的值为() A.3 B.-3 C.12 B 0 D.-12 图2 数学（四）第1页（共8页） 6.京杭大运河河北段开凿始于东汉末年，沟通海河和黄河两大水系，全长530公里.某校社会实 践小组计划测量大运河两岸相对的两，点A,B的距离，设计了如图3所示的方案：在AB的垂线 BF上取两点C,D,使BC=CD,再作BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上，通过证明 △ABC≌△EDC,得到DE的长就等于AB的长.这里证明三角形全等的依据是( A.AAS A N B.SAS C.ASA D.HL 7.长江和黄河是我们中华儿女的母亲河，地质工作部门测量得到长江比黄河长 图3 836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米.设长江长为x千米， 黄河长为y千米，下面所列方程组正确的是() x+y=836, A. x-y=836, B. 5x-6y=1284 6x-5y=1284 x+y=836, x-y=836, C. D. 6x-5y=1284 (6y-5x=1284 8.如图4-1，已知线段a,∠1，求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠BCA=∠1，嘉琪的作法如图4-2所 a 示，下列说法一定正确的是() K、 E、 A.弧EF是以DK长为半径画的 B.弧MN是以点A为圆心，a为半径画的 了1 ID B R C.弧PQ是以点C为圆心，OD长为半径画的 图4-1 图4-2 D.弧GH是以OD长为半径画的 9.如图5-1所示的风车是常见的小玩具，兼具制作简单和有趣 好玩的特点.如图5-2，在平面直角坐标系中，风车图案的四个 叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A,C的 坐标分别为(2,2)，(0,4).将风车绕点0顺时针旋转，每次旋 转90°，则第2026次旋转结束时，点B的坐标为() 图5-1 图5-2 A.(-2,-6) B.（6,-2) C.（-2,-4) D.(-6,2) 10.金砖国家(BRICS)是一个国际合作组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国.图6-1是 金砖国家的图标，可近似看作如图6-2所示的圆及其内接正五边形ABCDE,则∠CAD的度数 为() A.22.5 B.30 BRICS C.36° D.38° 11.若方程x2-x-2=0的两个根是x1和2，则xx2+xx2的值为( A.-2 B.2 图6-1 图6-2 C.-1 D.1 数学（四）第2页（共8页） 12.如图7，在△ABC中，AB=3V5,AC=2V10,∠BAC=45°，AH是边BC上的高，将△ACH沿 AC翻折至△ACE,将△ABH沿AB翻折至△ABD,延长DB,EC交于点F,连接FH.下列结论中 正确的有( ①∠ABD+∠ACE=135°；②四边形ADFE是正方形； ③AD=6;④AB∥FH A.1个 D B.2个 H E C.3个 D.4个 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 图7 13金凤风扒鸡是河北省的著名美食，其历史可追溯到清朝末年.图8是金凤扒鸡厂家修建的一个矩 形标准化养鸡场的平面示意图，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用长为35米的篱笆围 成，所围的面积是150平方米.若设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则可列方程为 14.如图9，⊙0是△ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点D,E,F,∠B=42°，P是劣弧EF上一 点，则∠DPE的度数是 15.冬季是流感高发季节，尤其是像学校这种人员比较集中的场所，更易传染，因此，各学校都采取 各种方式预防流感.某校采取对教室喷雾消毒的方式，如图10，已知喷雾阶段教室内每立方米 空气中含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，喷雾完成后y与x成反比例，每立方米空气中含 药量不低于4g时消毒效果最佳，那么本次消毒过程中，消毒效果最佳的时长为 min. 16.如图11，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,以AB为直径作⊙0，E是⊙0上的动点，M为CE的 中点，连接DM,则DM的最小值是 A y/mgA 8f-- x/min 图8 图9 图10 图11 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) (1)解不等式7x<35; (2)解不等式3x-4>2; (3)直接写出不等式组 7x<35,的所有整数解 3x-4>2 ■ 数学（四）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) (1)下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误。 计算：V3(V3+2)+(V3-1)2 解：原式=(V3)+2V3+(V3)2-1① =3+2V3+3-1② =5+2V3.③ 密 小雷同学的解答过程是从第 步（写步骤序号）开始出现错误的；请你写出正确 的解答过程； (2)计算：-1m115-3+(号+子专)(-4力 346 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 根据近五年的统计数据显示，溺水和交通事故在中学生安全事故统计中占比最高， 为此，各地中学定期开展形式各样的安全教育活动.近期某校开展了以“关爱生命”为主 题的知识讲座，讲座后，该校还开展了安全知识答题竞赛活动.现从该校九年级中随机 抽取20名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共 分成四组：80≤x<85;85≤x<90;90≤x<95;95≤x≤100)，并绘制了如图12所示的不完 整的统计图.下面给出了部分信息：九年级20名学生的成绩在90≤x<95中的数据是 90,90,91,91,92,92,93,94. 根据以上信息，解答下列问题 (1)填空：a= ,并补全频数分布直方图； (2)所抽取学生的竞赛成绩的中位数为 分； (3)从九年级抽取的20名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选 两名学生参加市级安全知识竞赛，求选中的两名学生都是女生的概率； (4)该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计九年级参加竞赛活动的学生线 成绩不低于90分的有多少人， 85≤x<90 10% 频数/人 10 8 80≤x<85 (90≤x<95 6 4 95≤x≤100 4 2 2 a% 80859095100成绩/分 图12 数学（四）第4页（共8页） 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 这么近，那么美，周末到河北！为应对即将到来的旅游热，“燕赵”汽车服务公司推出 以下租车服务项目 【项目】“燕赵”汽车服务公司为满足不同用户的需求，推出了两种计费套餐： 经济套餐：收费公式为：y=0.4x+20; 轻享套餐：收费公式为：y2=0.8x. 其中，y代表租车的总费用（元），x代表用户的行驶里程（公里）. 密 【模型】(1)请解释“经济套餐”公式中的“0.4”和“20”以及“轻享套餐”公式中的“0.8”在实 际计费中分别表示什么意义； 【应用】(2)琪琪一家从南方坐飞机来河北旅游，入住酒店位于市区，到“抱犊寨”景区的 单程距离为18公里.他家计划租一辆汽车前往“抱犊寨”景区游玩，并预计在景区附近 和返回市区后还会产生约15公里的额外行驶里程.请你通过计算判断，他家选择哪个 套餐更省钱； 【决策】(3)如果你是“燕赵”汽车服务公司的运营经理，你需要告诉用户选择哪个套餐更 省钱.请通过计算给出明确的建议， 封 得分 评卷人 21.(本小题满分9分》 【综合与实践】嘉嘉在研究如何将一个梯形裁剪拼接成一个 三角形时，采用了如下的做法， 如图13-1，在梯形ABCD中，AD∥BC,取腰CD的中点O, 连接AO并延长，交BC的延长线于点E,得到△ABE. (1)求证：△AOD≌△E0C; 图13-1 (2)请仿照以上做法，利用中点，将此梯形剪拼成另一个不同的以BC所在直线为一边的 三角形，在图13-2中画出示意图（用字母标出中点）； 线 (3)请仿照以上做法，利用中点，将此梯形剪拼成一个矩形，在图13-3中画出示意图（用 字母标出中点)； (4)图13-4是一个直角梯形ABCD,AD∥BC,∠C=90°，分别取AB,CD的中点E,F,沿 图13-4所示的虚线剪开，拼成如图13-4所示的△GMN.若MG⊥AB,∠M=30°，∠N= 45°，求AD:BC的值 M-3------ B G 图13-2 图13-3 图13-4 数学（四）第5页（共8页） ■ 得分评卷人 22.(本小题满分9分) 如图14-1，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙0，分别交AC,BC于点D,E. (1)证明：E是BD的中点； (2)如图14-2，连接E0并延长，交⊙0于点F,过点F作⊙0的切线，交BA的延长线于点M ①判断FM与直线AC的位置关系，并说明理由； ②若in∠BAC=Y5,AM=6,求边BC的长 3 】 E B 图14-1 图14-2 h 数学（四）第6页（共8页）》 ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 如图15-1，在菱形ABCD中，AB=2V3cm,BD=6cm.点M,N同时从点B出发，分别以 V3cms,2cm/s的速度在边BA,BD上运动，当点M运动到点A时都停止运动，以MN为边按如 图15-1所示方式在其右方作等边三角形MN0,设点M的运动时间为(s) (1)①∠ABD= 度； ②当= s时，点O落在边AD上； (2)如图15-2，连接AC交BD于点R,线段AC交△MW0的边于点P,Q,求当1=7时线段PQ的长； (3)△MN0与菱形重合部分的面积记为S,当>？时，求S,与1之间的函数关系式，并写出S,最 大时t的值； (4)如图15-3，连接CM,C0,分别交BD于点E,F,用含t的代数式表示四边形OMEF的面积S,(直 接写答案)。 图15-1 图15-2 图15-3 B 备用图 数学（四）第7页（共8页） ■ 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 磁州窑是中国古代北方最大的民窑体系，窑址在我省邯郸市磁县一带.图16-1是 我省开发的一款文创产品一磁杯的俯视图和主视图，如图16-2，将其主视图放到平 面直角坐标系中，左侧AB为线段，右侧EF为抛物线y=x2+bx+c的一部分，点A的坐标为 (-2,10),点B的坐标为(-1,1)，点E的坐标为(1,1)，点F的坐标为(4,10).（坐标系中 单位长度为1cm) 密 (1)求EF所在抛物线的解析式； (2)如图16-3，若杯中装有一部分水，水深为2cm,求主视图中水面的宽度GH的长； (3)如图16-4，若杯中装满水，将杯子向左倾斜45°，一部分水溢出，求此时主视图中水 面的宽度AK的长； (4)如图16-5，若杯中装满水，将杯子向右倾斜45°，一部分水溢出，此时，当x取某值 时，竖直方向水的最高点和最低点的差称为水的“垂直高度”，请直接写出此时水的最大 “垂直高度”是多少 封 俯视图 主视图 图16-1 图16-2 图16-3 E 线 B O D 图16-4 图16-5 数学（四）第8页（共8页） ■