2026年河北省中考数学模拟测试卷二

2026年河北省九年级巩固练习（二） 总分 核分人 数学 市、区、乡 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟 .密 三 题号 学校 17 18 19 20 31 22 23 24 得分 班级 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)》 姓名 1. 如图1，在数轴上，五角星遮挡住的点表示的数可能是( A.0.5 考场 B.-0.5 C.-1.5 图1 考号 D.-2.5 封 2. 某天14：00，我国五个城市的气温如下表所示，其中与石家庄气温最接近的城市 是( 座位号 城市 哈尔滨 石家庄 广州 武汉 西安 气温/°C -20 -8 10 5 -2 A.哈尔滨 B.广州 C.武汉 D.西安 个正面 3.如图2，该几何体的左视图是( 图2 C. D 4. 在公园地图上测量景点A,B,C之间的距离后换算得到：景点A,B之间的直线距离为 线 150米，景点A,C之间的直线距离为80米，则下列长度可能是景点B,C之间的直线 距离的是( A.50米 B.60米 C.100米 D.240米 5.位于河北省石家庄市正定县的正定城墙，是明朝时期的古建筑遗存，周长为24华里. 已知1华里=500米，则正定城墙的周长用科学记数法表示为( A.1.2×105米 B.1.2×10米 C.12×10米 D.12×10米 数学（二）第1页（共8页）》 6.园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方 差均发生变化.关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是() A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变大 D.平均数变大，方差变小 7.如图3，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE,AC的延长线分别交BD,DE于点F,G,下 列结论一定正确的是( D A.BF=DE B.∠CBD=∠EBD C.CB∥DE 图3B D.AG⊥DE 8.图4-1是一种彭罗斯地砖图案，它的局部图案形如图4-2所示的由“胖”“瘦”两种菱形拼接而 成（不重叠、无缝隙）的正十边形，则图4-2中的∠α的度数为( A.30° B.36 C.38 D.40° 图4-1 图4-2 9.已知a+b=3,则4(ab)+80的值为( ㎡+2ab+b2 A号 B. 3 C.4 D.4 10.根据欧姆定律=可知，若一个灯泡的电压U(V)保持不变，通过灯泡的电流1(A)越大，则灯 R 泡就越亮.当电阻R从30Ω变为15Ω时，灯泡亮度的变化情况为() A.变亮 B.不变 C.变暗 D.不确定 11如图5，在△ABC中，中线CD,BE交于点F,连接DE,若△ABC的面积为8，则△DEF的面积 A 为() A号 B.1 0 c D号 图5 数学（二）第2页（共8页） 12.图6-1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的平行四边形ABCD,将其剪拼成不重叠， 无缝隙的大正方形（如图6-2）.记①，②，③，④的面积分别为S,S2,S,S4,已知S,=4S2.对于下 面两个结论，判断正确的是() D 结论①：S1:S2=4:3; ①2 ③ B 结论②：若平行四边形ABCD的周长比长方形③的周长大 图6-1 4V13+8,则BC的长为16 (④ A.只有结论①正确 B.只有结论②正确 ③ C.结论①②都正确 D.结论①②都不正确 图6-2 得分 评卷人 二 、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） D 13.计算：d2c 14.如图7，点A在射线BD上，添加一个条件： 可使得 AE∥BC.(写出一个即可) B 15.为弘扬长征精神，某校准备购买一批印有“长征精神永流传”的纪念册 图7 该纪念册的单价是14元，当购买数量超过20本时，每多买1本，单价就 降低0.1元，但单价最低不低于10元.学校最终共花费480元购买纪念 册，则学校购买了 本纪念册 16.如图8，正方形ABCD的边长为4，直线l经过正方形的中心0，过点B作 图8 BE⊥L,垂足为E,连接CE,当∠BCE最大时，CE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 图9是一个程序计算图， 输入0 (1)若开始输入a=1,请你计算出输出结果； (2)若输出结果大于2，求输人的有理数α的取值范围 图9 ■ 数学（二）第3页（共8页） 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 老师在黑板上留了下面一道作业： 先化简，再求值：(x+2)P+(x+1)(1-x)-3,其中x=V48 21/3 下面是小明的化简过程： (x+2)2+(x+1)(1-x)-3 =x2+4x+4+(x2-1)-3① 密 =x2+4x+4+x2+1-3 ② =2x2+4x+2 ③ : 判断这个过程是否正确，若正确，继续代入求值；若不正确，指出第几步开始出错，再进 行正确的化简求值. 得分 评卷人 19.(本小题满分8分)》 如图10，已知△ABC和△ADE,AB=AD,∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AD与BC交 于点P,点C在DE上 (1)求证：△ABC兰≌△ADE: (2)若∠BAD=40°，求∠E的度数， B D 线 图10 : 数学（二）第4页（共8页） 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验 是什么”进行问卷调查，选项为五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C木炭还原氧 化铜：D.一氧化碳还原氧化铜；E.石灰石与稀盐酸制取二氧化碳，要求每个学生只能选择 一项，并将调查结果绘制成如图11所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无 人弃权). 密 (1)a= E所对应的扇形圆心角的度数是 (2)通过学习化学，小明知道了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水 会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C,D,E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从 五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求选取的两个实验所产生的气体 均能使澄清石灰水变浑浊的概率。 来人数/人 100 80 E 60 60 B 40 30% 40 22 C 20 0 B C D 选项 图11 得 分 评卷人 21.(本小题满分9分) 【综合与实践】 在艺术创作中，透视法是基于数学原理，在二维平面上刻画三维物体的艺术表现手法。 “灭点”指在透视图中，在三维空间中原本平行的直线交汇于一点上.图12-1是一幅关 于公路的矩形图片，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是 平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，为了让 图片画面规整、平衡，突出公路本身的纵深感，“灭点”一般与图片中心重合，矩形的中心 是对角线的交点 【提出问题】 用数学方法判断图12-1中的“灭点”是否与图片中心重合 【分析问题】 如图12-2，将图12-1的矩形图片放置于平面直角坐标系内，矩形的边OA,0C分别在x 轴，y轴上，点B的坐标为(13,8)，已知公路的左侧边界线所在的直线1，经过点E(0,1) 和F(5,3),右侧边界线所在的直线l2的函数解析式为y=-0.4x+6.6,l,和2相交于点P, 即点P为“灭点” 数学（二）第5页（共8页） ■ 【思考探究】 (1)矩形OABC的中心坐标为 直接说明中心坐标是否在直线2上； (2)求直线l,的函数解析式； (3)求“灭点”P的坐标； 【解决问题】 (4)判断图12-1中的“灭点”P是否与图片中心重合，若重合，请说明理由；若不重合，保持直线2 的位置不变，将直线向上或向下平移，使得“灭点”P与图片中心重合，求直线应向上或向下平 移多少个单位长度！ B 0 图12-1 图12-2 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 已知半圆O的直径AB=6,点C在线段AB上，以BC为直径作⊙D (1)如图13-1，当点C与点0重合时，P是⊙D上半圆上的一个动点(P不与点B,0重合)，BP的 延长线交半圆O于点Q,求证：BP=PQ; (2)如图13-2，半圆O中的弦MWN∥AB,且与⊙D相切于点G,当MN=4时，求⊙D的半径长； (3)若E是半圆AB的三等分点，当CE与⊙D相切时，设BE与⊙D交于点F,直接写出劣弧BF的 长 以 B 0 D (C) 图13-1 图13-2 数学（二）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形 的“紫金线” (1)如图14-1，已知△ABC,AB=AC,AC≠BC. ①用尺规作图作出△ABC的一条“紫金线”；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②过点C能作出△ABC的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； B 图14-1 M (2)如图14-2，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=10,∠B=60°， 点M在AD上，且AM=8.若点N在BC上，且直线MW是平行四 B 边形ABCD的“紫金线”，则线段MN的长度为 图14-2 (3)如图14-3，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3,BC=8,CD=5.小明利用尺规作图作出了 直线PQ,与AD,BC的交点为F,E.下面是他证明直线PQ是四边形ABCD的“紫金线”的部分过 程，老师看了下面的过程后说：“直线PQ确实是四边形ABCD的‘紫金线'，但证明过程有问题，不 能从图中观察得到BE=CD,CE=AB.”请你写出正确的完整证明过程 证明：连接AE,DE ,PQ是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE,AF=DF∴.SAB=S△ER .∠B=∠C=90°，从图中观察得到BE=CD=5,CE=AB=3, AB+BE+AF=CE+CD+DF,· 图14-3 数学（二）第7页（共8页） ■ 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图15，已知抛物线C:y=ax2+bx-1(a,b是常数，且a≠0)，顶点为P,且点(-2，-1) 和(1，-4)都在抛物线C上. (1)求a,b的值和点P的坐标； (2)将抛物线C,沿x轴翻折得到抛物线C2,请直接写出C2的解析式； (3)在(2)的条件下，将抛物线C2向下平移，与x轴的两交点记为A,B ①从最初的状态，将C2至少向下平移个单位长度，点A,B之间的距离不少于4 密 个单位长度； ②若将抛物线C,向下平移6个单位长度后，再向右平移1个单位长度，得到抛物线C, 已知直线y=2+m与抛物线C和C,共只有两个公共点，求m的取值范围； ③直线ykxk>0)与②中的抛物线C交于E,F两点，M为线段EF的中点；直线)无x 4 与抛物线C,交于G,H两点，V为线段GH的中点，小明经过研究发现，无论k如何变 化，直线MWN始终经过一个定点.请你直接写出这个点的坐标.（参考知识：若R(x,y), Q(,),则线段RQ的中点的坐标为(，Y2) 2 2 封 图15 y来 线 0 备用图 数学（二）第8页（共8页） ■ 2026年河北省九年级巩固练习（二) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共计36分） 题号 10 12 答案 B 二、（每小题3分，共计12分） 13.a 14.∠DAE=∠B(答案不唯一) 15.40 16.2V2 三、17.解：(1)1X(-4)÷2(-1)=-2+1=-1;…(4分) (2)由题意得-2a+1>2,解得a<- …（7分)》 2 18.解：不正确： …(1分) 第①步开始出错：…… …(3分) (x+2)2+(x1）(1-x)-3=x2+4x+4+1-x2-3=4x+2.… (6分) ④细 =2时，原式=10. …(8分) 2V3 19.解：(1)证明：，∠BAD=∠CAE,∴.∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,.∠BAC=∠DAE. 又AB=AD,∠B=∠D,.△ABC≌△ADE(ASA);…(4分) (2)△ABC≌△ADE,∴.AC=AE,.∠ACE=∠E.,∠CAE=∠BAD=40°， ∠B=X(180°-40°）=70°.(8分） 2 20.解：(1)48；72°；…(4分) (2)列表如下：…(6分) B C D E A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E) 0 (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) 由列表可知， 共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种， ·两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是。-3 ……(8分) 2010 13 21.解：(1)（，4)；… …(1分) 中心坐标在直线12上；… …(2分) 数学（二）第1页（共3页） (2)设直线1的函数解析式为y=kx+b,代入点E(0,1)和F(5,3), 得6=1， k=0.4, 。解得 .直线1，的函数解析式为y=0.4x+1;…(5分) 5k+b=3, b=1, (3)令0.4x+1=-0.4x+6.6,解得x=7,代入y=0.4x+1,得y=3.8, “灭点”P的坐标为(7,3.8)；…(7分) (4)通过(1)(3)可知“灭点”P与图片中心不重合，但图形中心在直线12上. 设直线1向上平移m个单位长度后点P与图片中心重合，则此时y=0.4x+1+m 路C号，代入y0,4x+1m,得04X3 +1+m=4,解得m=0.4, 2 .直线l应向上平移0.4个单位长度.…(9分) 22.解：(1)证明：连接OP.OB是⊙D的直径，∴∠OPB=90°，即OP⊥BQ,∴.BP=PQ;…(3分) (2)如图1，连接ON,DG,则DG_LMN..过点0作OH⊥MN于点H,则HN=MH=二MN=2, 2 ∠HG ∴.0H=V0N-HN2=√9-4=√5 N/AB,DG=0H,⊙D的半径长为√5；…(7分) 22题图1 8)穷孩时的长为受收号 …(9分) 【精思博考：如图2，当点E靠近点A时，∠AEB=90°，∠A0E=60°，∠ECB-90°，∠ABE=∠A0B=30°， 2 9 8BE=ABcos30°-3V3,BC=-BEeos330°=号，BD 4 ,DF=DB,.∠DFB=∠DBF=30°，∴.∠BDF=120°，.劣弧BF的长为 120T×93π 180x4=2 当点E靠近点B时，同理可得劣弧即的长为牙】 22题图2 23.解：（1)①如图1；… …(2分) ②过点C不能作出△ABC的“紫金线”； …（3分) 理由：如图2，设过点C且平分△ABC面积的直线与AB交于点D,则D为AB的中点 ,AC≠BC,∴.AD+AC≠BD+BC,.△ACD与△BCD的周长不相等，故CD不能平分周长， .不能过点C作出△ABC的“紫金线”；…(6分) (2)2V37;… ……(9分) (3)证明：连接AE,DE PQ是线段AD的垂直平分线，AE=DE,AF=DF,.S△am=SA ,∠B=∠C=90°，.AE=AB+BE,DE=DC+CE, B ∴.3+BE=5+(8-BE)2,解得BE=5,.CE=8-5=3,即CE=AB,CD=BE, 23题图1 23题阁2 .'.AB+BE+AF=CE+CD+DF,SAABE=SADBE> ∴.S△e+S△eS△tSA,∴.直线PQ平分该图形的周长和面积， .直线PQ是四边形ABCD的“紫金线”，… …(（11分) 24.解：(1)将（-2，-1)和(1，-4)代入y=ax2+bx-1,解得a=-1,b=-2,…（2分) ∴.抛物线C的解析式为y=-x2-2x-1=-(x+1)2,.点P的坐标为(-1,0)；…(4分) (2)抛物线C的解析式为y=(x+1)2(或y=x+2x+1);…(6分) 数学（二）第2页（共3页）2026年河北省九年级巩固练习（二） 总分 核分人 数学 市、区、乡 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟. 三 题号 学校 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 班级 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 姓名 1. 如图1，在数轴上，五角星遮挡住的点表示的数可能是( A.0.5 考场 B.-0.5 C.-1.5 图1 考号 D.-2.5 衬 2.某天14：00，我国五个城市的气温如下表所示，其中与石家庄气温最接近的城市 是( ) 座位号 城市 哈尔滨石家庄 广州 武汉 西安 气温/C -20 -8 10 5 -2 A.哈尔滨 B.广州 C.武汉 D.西安 个正面 3.如图2，该几何体的左视图是( 图2 B C D 线 4.在公园地图上测量景点A,B,C之间的距离后换算得到：景点A,B之间的直线距离为 150米，景点A,C之间的直线距离为80米，则下列长度可能是景点B,C之间的直线 ... 距离的是( A.50米 B.60米 C.100米 D.240米 5.位于河北省石家庄市正定县的正定城墙，是明朝时期的古建筑遗存，周长为24华里， 已知1华里=500米，则正定城墙的周长用科学记数法表示为( A.1.2×105米 B.1.2×10米 C.12×10米 D.12×10米 数学（二）第1页（共8页） 6.园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方 差均发生变化.关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是() A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变大 D.平均数变大，方差变小 7.如图3，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE,AC的延长线分别交BD,DE于点F,G,下 列结论一定正确的是( D A.BF=DF B.∠CBD=∠EBD C.CB∥DE 图3B D.AG⊥DE 8.图4-1是一种彭罗斯地砖图案，它的局部图案形如图4-2所示的由“胖”“瘦”两种菱形拼接而 成（不重叠、无缝隙）的正十边形，则图4-2中的∠α的度数为( A.30° B.36° C.38 D.40° 图4-1 图4-2 9.已知a+b=3,则4ab)+86的值为( 2+2ab+b2 A号 B. 3 c D 10.根据欧姆定律I=可知，若一个灯泡的电压U(V)保持不变，通过灯泡的电流I(A)越大，则灯 R 泡就越亮.当电阻R从30Ω变为152时，灯泡亮度的变化情况为() A.变亮 B.不变 C.变暗 D.不确定 11.如图5，在△ABC中，中线CD,BE交于点F,连接DE,若△ABC的面积为8，则△DEF的面积 A 为() A B.1 c号 D 图5 数学（二）第2页（共8页） 12.图6-1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的平行四边形ABCD,将其剪拼成不重叠， 无缝隙的大正方形（如图6-2）.记①，②，③，④的面积分别为S,S2,S,S4,已知S,=4S2.对于下 面两个结论，判断正确的是( 4 结论①：S1:S2=4:3; ①② ③ (4 结论②：若平行四边形ABCD的周长比长方形③的周长大 图6-1 4V13+8,则BC的长为16 ②① (④ A.只有结论①正确 B.只有结论②正确 ③ C.结论①②都正确 D.结论①②都不正确 图6-2 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） D 13.计算：2d= 14.如图7，点A在射线BD上，添加一个条件： ,可使得 AE∥BC.(写出一个即可) 15.为弘扬长征精神，某校准备购买一批印有“长征精神永流传”的纪念册， 图7 该纪念册的单价是14元，当购买数量超过20本时，每多买1本，单价就 降低0.1元，但单价最低不低于10元.学校最终共花费480元购买纪念 E 册，则学校购买了 本纪念册 16.如图8，正方形ABCD的边长为4，直线1经过正方形的中心O,过点B作 B 图8 BE⊥L,垂足为E,连接CE,当∠BCE最大时，CE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 图9是一个程序计算图， 输入a (1)若开始输入a=1,请你计算出输出结果； (2)若输出结果大于2，求输入的有理数α的取值范围. -1) 图9 ■ 数学（二）第3页（共8页） ■ 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 老师在黑板上留了下面一道作业： 先化简，再求值：(x+2P+(x+1)(1-x)-3,其中x=V48 2V3 下面是小明的化简过程： (x+2)2+(x+1)(1-x)-3 =x2+4x+4+(x2-1)-3 ① =x2+4x+4+x2+1-3 ② =2x2+4x+2. ③ 判断这个过程是否正确，若正确，继续代入求值；若不正确，指出第几步开始出错，再进 行正确的化简求值. 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 如图10，已知△ABC和△ADE,AB=AD,∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AD与BC交 于点P,点C在DE上 (1)求证：△ABC≌△ADE; (2)若∠BAD=40°，求∠E的度数. P D 线 图10 数学（二）第4页（共8页） ■ 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验 是什么”进行问卷调查，选项为五个实验：A高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C,木炭还原氧 化铜；D.一氧化碳还原氧化铜；E.石灰石与稀盐酸制取二氧化碳，要求每个学生只能选择 一项，并将调查结果绘制成如图11所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无 人弃权). 密 (1)a= ,E所对应的扇形圆心角的度数是 (2)通过学习化学，小明知道了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水 会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C,D,E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从 五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求选取的两个实验所产生的气体 均能使澄清石灰水变浑浊的概率。 来人数/人 100 80 E 60 0 B 40 30% 40 C 20 A B C 选项 图11 得 分 评卷人 21.(本小题满分9分) 【综合与实践】 在艺术创作中，透视法是基于数学原理，在二维平面上刻画三维物体的艺术表现手法， “灭点”指在透视图中，在三维空间中原本平行的直线交汇于一点上.图12-1是一幅关 于公路的矩形图片，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是 平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，为了让 图片画面规整、平衡，突出公路本身的纵深感，“灭点”一般与图片中心重合，矩形的中心 是对角线的交点 【提出问题】 用数学方法判断图12-1中的“灭点”是否与图片中心重合 【分析问题】 如图12-2，将图12-1的矩形图片放置于平面直角坐标系内，矩形的边0A,0C分别在x 轴，y轴上，点B的坐标为(13,8)，已知公路的左侧边界线所在的直线1，经过点E(0,1) 和F(5,3),右侧边界线所在的直线l2的函数解析式为y=-0.4x+6.6,l和2相交于点P, 即点P为“灭点” 数学（二）第5页（共8页） : ■ 【思考探究】 (1)矩形OABC的中心坐标为 直接说明中心坐标是否在直线马上； (2)求直线1的函数解析式 (3)求“灭点”P的坐标； 【解决问题】 (4)判断图12-1中的“灭点”P是否与图片中心重合，若重合，请说明理由；若不重合，保持直线2 的位置不变，将直线，向上或向下平移，使得“灭点”P与图片中心重合，求直线应向上或向下平 移多少个单位长度 B 0 图12-1 图12-2 得分评卷人 22.(本小题满分9分) 已知半圆O的直径AB=6,点C在线段AB上，以BC为直径作⊙D. (1)如图13-1，当点C与点0重合时，P是⊙D上半圆上的一个动点(P不与点B,0重合)，BP的 延长线交半圆0于点Q,求证：BP=PQ; (2)如图13-2，半圆0中的弦MN∥AB,且与⊙D相切于点G,当MN=4时，求⊙D的半径长； (3)若E是半圆AB的三等分点，当CE与⊙D相切时，设BE与⊙D交于点F,直接写出劣弧BF的 长 B 0 D (C) 图13-1 图13-2 数学（二）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形 的“紫金线” (1)如图14-1，已知△ABC,AB=AC,AC≠BC. ①用尺规作图作出△ABC的一条“紫金线”；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②过点C能作出△ABC的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； 图14-1 M (2)如图14-2，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=10,∠B=60°， 点M在AD上，且AM=8.若点N在BC上，且直线MW是平行四 边形ABCD的“紫金线”，则线段MN的长度为 图14-2 (3)如图14-3，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3,BC=8,CD=5.小明利用尺规作图作出了 直线PQ,与AD,BC的交点为F,E.下面是他证明直线PQ是四边形ABCD的“紫金线”的部分过 程，老师看了下面的过程后说：“直线PQ确实是四边形ABCD的‘紫金线'，但证明过程有问题，不 能从图中观察得到BE=CD,CE=AB.”请你写出正确的完整证明过程。 证明：连接AE,DE. PQ是线段AD的垂直平分线AE=DE,AF=DF,∴.SAE=S△ER ,∠B=∠C=90°，从图中观察得到BE=CD=5,CE=AB=3, AB+BE+AF=CE+CD+DF,· 0 图14-3 ■ 数学（二）第7页（共8页） ■ 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图15，已知抛物线C1:y=ax2+bx-1(a,b是常数，且a≠0)，顶点为P,且点(-2，-1) 和(1，-4)都在抛物线C,上. (1)求a,b的值和点P的坐标； (2)将抛物线C,沿x轴翻折得到抛物线C2,请直接写出C,的解析式； (3)在(2)的条件下，将抛物线C2向下平移，与x轴的两交点记为A,B. ①从最初的状态，将C2至少向下平移个单位长度，点A,B之间的距离不少于4 个单位长度； ②若将抛物线C2向下平移6个单位长度后，再向右平移1个单位长度，得到抛物线C, 已知直线y=2x+m与抛物线C,和C,一共只有两个公共点，求m的取值范围； ③直线)xk>0)与②中的抛物线C交于E,F两点M为线段EF的中点：直线)一专x 与抛物线C,交于G,H两点，N为线段GH的中点.小明经过研究发现，无论k如何变 化，直线MW始终经过一个定点.请你直接写出这个点的坐标.（参考知识：若R(x1,y), Q(,小，则线段Q的中点的坐标为(，》 2 封 0 图15 0 备用图 数学（二）第8页（共8页）2026年河北省九年级巩固练习（二） 总分 核分人 数学 市、区、乡 本试卷共8页.总分120分.考试时间120分钟 .密 三 题号 学校 17 18 19 20 31 22 23 24 得分 班级 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)》 姓名 1. 如图1，在数轴上，五角星遮挡住的点表示的数可能是( A.0.5 考场 B.-0.5 C.-1.5 图1 考号 D.-2.5 封 2. 某天14：00，我国五个城市的气温如下表所示，其中与石家庄气温最接近的城市 是( 座位号 城市 哈尔滨 石家庄 广州 武汉 西安 气温/°C -20 -8 10 5 -2 A.哈尔滨 B.广州 C.武汉 D.西安 个正面 3.如图2，该几何体的左视图是( 图2 C. D 4. 在公园地图上测量景点A,B,C之间的距离后换算得到：景点A,B之间的直线距离为 线 150米，景点A,C之间的直线距离为80米，则下列长度可能是景点B,C之间的直线 距离的是( A.50米 B.60米 C.100米 D.240米 5.位于河北省石家庄市正定县的正定城墙，是明朝时期的古建筑遗存，周长为24华里. 已知1华里=500米，则正定城墙的周长用科学记数法表示为( A.1.2×105米 B.1.2×10米 C.12×10米 D.12×10米 数学（二）第1页（共8页）》 6.园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方 差均发生变化.关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是() A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变大 D.平均数变大，方差变小 7.如图3，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE,AC的延长线分别交BD,DE于点F,G,下 列结论一定正确的是( D A.BF=DE B.∠CBD=∠EBD C.CB∥DE 图3B D.AG⊥DE 8.图4-1是一种彭罗斯地砖图案，它的局部图案形如图4-2所示的由“胖”“瘦”两种菱形拼接而 成（不重叠、无缝隙）的正十边形，则图4-2中的∠α的度数为( A.30° B.36 C.38 D.40° 图4-1 图4-2 9.已知a+b=3,则4(ab)+80的值为( ㎡+2ab+b2 A号 B. 3 C.4 D.4 10.根据欧姆定律=可知，若一个灯泡的电压U(V)保持不变，通过灯泡的电流1(A)越大，则灯 R 泡就越亮.当电阻R从30Ω变为15Ω时，灯泡亮度的变化情况为() A.变亮 B.不变 C.变暗 D.不确定 11如图5，在△ABC中，中线CD,BE交于点F,连接DE,若△ABC的面积为8，则△DEF的面积 A 为() A号 B.1 0 c D号 图5 数学（二）第2页（共8页） 12.图6-1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的平行四边形ABCD,将其剪拼成不重叠， 无缝隙的大正方形（如图6-2）.记①，②，③，④的面积分别为S,S2,S,S4,已知S,=4S2.对于下 面两个结论，判断正确的是() D 结论①：S1:S2=4:3; ①2 ③ B 结论②：若平行四边形ABCD的周长比长方形③的周长大 图6-1 4V13+8,则BC的长为16 (④ A.只有结论①正确 B.只有结论②正确 ③ C.结论①②都正确 D.结论①②都不正确 图6-2 得分 评卷人 二 、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） D 13.计算：d2c 14.如图7，点A在射线BD上，添加一个条件： 可使得 AE∥BC.(写出一个即可) B 15.为弘扬长征精神，某校准备购买一批印有“长征精神永流传”的纪念册 图7 该纪念册的单价是14元，当购买数量超过20本时，每多买1本，单价就 降低0.1元，但单价最低不低于10元.学校最终共花费480元购买纪念 册，则学校购买了 本纪念册 16.如图8，正方形ABCD的边长为4，直线l经过正方形的中心0，过点B作 图8 BE⊥L,垂足为E,连接CE,当∠BCE最大时，CE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 图9是一个程序计算图， 输入0 (1)若开始输入a=1,请你计算出输出结果； (2)若输出结果大于2，求输人的有理数α的取值范围 图9 ■ 数学（二）第3页（共8页） 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 老师在黑板上留了下面一道作业： 先化简，再求值：(x+2)P+(x+1)(1-x)-3,其中x=V48 21/3 下面是小明的化简过程： (x+2)2+(x+1)(1-x)-3 =x2+4x+4+(x2-1)-3① 密 =x2+4x+4+x2+1-3 ② =2x2+4x+2 ③ : 判断这个过程是否正确，若正确，继续代入求值；若不正确，指出第几步开始出错，再进 行正确的化简求值. 得分 评卷人 19.(本小题满分8分)》 如图10，已知△ABC和△ADE,AB=AD,∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AD与BC交 于点P,点C在DE上 (1)求证：△ABC兰≌△ADE: (2)若∠BAD=40°，求∠E的度数， B D 线 图10 : 数学（二）第4页（共8页） 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验 是什么”进行问卷调查，选项为五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C木炭还原氧 化铜：D.一氧化碳还原氧化铜；E.石灰石与稀盐酸制取二氧化碳，要求每个学生只能选择 一项，并将调查结果绘制成如图11所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无 人弃权). 密 (1)a= E所对应的扇形圆心角的度数是 (2)通过学习化学，小明知道了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水 会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C,D,E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从 五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求选取的两个实验所产生的气体 均能使澄清石灰水变浑浊的概率。 来人数/人 100 80 E 60 60 B 40 30% 40 22 C 20 0 B C D 选项 图11 得 分 评卷人 21.(本小题满分9分) 【综合与实践】 在艺术创作中，透视法是基于数学原理，在二维平面上刻画三维物体的艺术表现手法。 “灭点”指在透视图中，在三维空间中原本平行的直线交汇于一点上.图12-1是一幅关 于公路的矩形图片，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是 平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，为了让 图片画面规整、平衡，突出公路本身的纵深感，“灭点”一般与图片中心重合，矩形的中心 是对角线的交点 【提出问题】 用数学方法判断图12-1中的“灭点”是否与图片中心重合 【分析问题】 如图12-2，将图12-1的矩形图片放置于平面直角坐标系内，矩形的边OA,0C分别在x 轴，y轴上，点B的坐标为(13,8)，已知公路的左侧边界线所在的直线1，经过点E(0,1) 和F(5,3),右侧边界线所在的直线l2的函数解析式为y=-0.4x+6.6,l,和2相交于点P, 即点P为“灭点” 数学（二）第5页（共8页） ■ 【思考探究】 (1)矩形OABC的中心坐标为 直接说明中心坐标是否在直线2上； (2)求直线l,的函数解析式； (3)求“灭点”P的坐标； 【解决问题】 (4)判断图12-1中的“灭点”P是否与图片中心重合，若重合，请说明理由；若不重合，保持直线2 的位置不变，将直线向上或向下平移，使得“灭点”P与图片中心重合，求直线应向上或向下平 移多少个单位长度！ B 0 图12-1 图12-2 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 已知半圆O的直径AB=6,点C在线段AB上，以BC为直径作⊙D (1)如图13-1，当点C与点0重合时，P是⊙D上半圆上的一个动点(P不与点B,0重合)，BP的 延长线交半圆O于点Q,求证：BP=PQ; (2)如图13-2，半圆O中的弦MWN∥AB,且与⊙D相切于点G,当MN=4时，求⊙D的半径长； (3)若E是半圆AB的三等分点，当CE与⊙D相切时，设BE与⊙D交于点F,直接写出劣弧BF的 长 以 B 0 D (C) 图13-1 图13-2 数学（二）第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形 的“紫金线” (1)如图14-1，已知△ABC,AB=AC,AC≠BC. ①用尺规作图作出△ABC的一条“紫金线”；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②过点C能作出△ABC的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； B 图14-1 M (2)如图14-2，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=10,∠B=60°， 点M在AD上，且AM=8.若点N在BC上，且直线MW是平行四 B 边形ABCD的“紫金线”，则线段MN的长度为 图14-2 (3)如图14-3，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3,BC=8,CD=5.小明利用尺规作图作出了 直线PQ,与AD,BC的交点为F,E.下面是他证明直线PQ是四边形ABCD的“紫金线”的部分过 程，老师看了下面的过程后说：“直线PQ确实是四边形ABCD的‘紫金线'，但证明过程有问题，不 能从图中观察得到BE=CD,CE=AB.”请你写出正确的完整证明过程 证明：连接AE,DE ,PQ是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE,AF=DF∴.SAB=S△ER .∠B=∠C=90°，从图中观察得到BE=CD=5,CE=AB=3, AB+BE+AF=CE+CD+DF,· 图14-3 数学（二）第7页（共8页） ■ 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图15，已知抛物线C:y=ax2+bx-1(a,b是常数，且a≠0)，顶点为P,且点(-2，-1) 和(1，-4)都在抛物线C上. (1)求a,b的值和点P的坐标； (2)将抛物线C,沿x轴翻折得到抛物线C2,请直接写出C2的解析式； (3)在(2)的条件下，将抛物线C2向下平移，与x轴的两交点记为A,B ①从最初的状态，将C2至少向下平移个单位长度，点A,B之间的距离不少于4 密 个单位长度； ②若将抛物线C,向下平移6个单位长度后，再向右平移1个单位长度，得到抛物线C, 已知直线y=2+m与抛物线C和C,共只有两个公共点，求m的取值范围； ③直线ykxk>0)与②中的抛物线C交于E,F两点，M为线段EF的中点；直线)无x 4 与抛物线C,交于G,H两点，V为线段GH的中点，小明经过研究发现，无论k如何变 化，直线MWN始终经过一个定点.请你直接写出这个点的坐标.（参考知识：若R(x,y), Q(,),则线段RQ的中点的坐标为(，Y2) 2 2 封 图15 y来 线 0 备用图 数学（二）第8页（共8页） ■2026年河北省九年级巩固练习（二) 数学参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共计36分） 题号 10 12 答案 B 二、（每小题3分，共计12分） 13.a 14.∠DAE=∠B(答案不唯一) 15.40 16.2V2 三、17.解：(1)1X(-4)÷2(-1)=-2+1=-1;…(4分) (2)由题意得-2a+1>2,解得a<- …（7分)》 2 18.解：不正确： …(1分) 第①步开始出错：…… …(3分) (x+2)2+(x1）(1-x)-3=x2+4x+4+1-x2-3=4x+2.… (6分) ④细 =2时，原式=10. …(8分) 2V3 19.解：(1)证明：，∠BAD=∠CAE,∴.∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,.∠BAC=∠DAE. 又AB=AD,∠B=∠D,.△ABC≌△ADE(ASA);…(4分) (2)△ABC≌△ADE,∴.AC=AE,.∠ACE=∠E.,∠CAE=∠BAD=40°， ∠B=X(180°-40°）=70°.(8分） 2 20.解：(1)48；72°；…(4分) (2)列表如下：…(6分) B C D E A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E) 0 (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) 由列表可知， 共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种， ·两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是。-3 ……(8分) 2010 13 21.解：(1)（，4)；… …(1分) 中心坐标在直线12上；… …(2分) 数学（二）第1页（共3页） (2)设直线1的函数解析式为y=kx+b,代入点E(0,1)和F(5,3), 得6=1， k=0.4, 。解得 .直线1，的函数解析式为y=0.4x+1;…(5分) 5k+b=3, b=1, (3)令0.4x+1=-0.4x+6.6,解得x=7,代入y=0.4x+1,得y=3.8, “灭点”P的坐标为(7,3.8)；…(7分) (4)通过(1)(3)可知“灭点”P与图片中心不重合，但图形中心在直线12上. 设直线1向上平移m个单位长度后点P与图片中心重合，则此时y=0.4x+1+m 路C号，代入y0,4x+1m,得04X3 +1+m=4,解得m=0.4, 2 .直线l应向上平移0.4个单位长度.…(9分) 22.解：(1)证明：连接OP.OB是⊙D的直径，∴∠OPB=90°，即OP⊥BQ,∴.BP=PQ;…(3分) (2)如图1，连接ON,DG,则DG_LMN..过点0作OH⊥MN于点H,则HN=MH=二MN=2, 2 ∠HG ∴.0H=V0N-HN2=√9-4=√5 N/AB,DG=0H,⊙D的半径长为√5；…(7分) 22题图1 8)穷孩时的长为受收号 …(9分) 【精思博考：如图2，当点E靠近点A时，∠AEB=90°，∠A0E=60°，∠ECB-90°，∠ABE=∠A0B=30°， 2 9 8BE=ABcos30°-3V3,BC=-BEeos330°=号，BD 4 ,DF=DB,.∠DFB=∠DBF=30°，∴.∠BDF=120°，.劣弧BF的长为 120T×93π 180x4=2 当点E靠近点B时，同理可得劣弧即的长为牙】 22题图2 23.解：（1)①如图1；… …(2分) ②过点C不能作出△ABC的“紫金线”； …（3分) 理由：如图2，设过点C且平分△ABC面积的直线与AB交于点D,则D为AB的中点 ,AC≠BC,∴.AD+AC≠BD+BC,.△ACD与△BCD的周长不相等，故CD不能平分周长， .不能过点C作出△ABC的“紫金线”；…(6分) (2)2V37;… ……(9分) (3)证明：连接AE,DE PQ是线段AD的垂直平分线，AE=DE,AF=DF,.S△am=SA ,∠B=∠C=90°，.AE=AB+BE,DE=DC+CE, B ∴.3+BE=5+(8-BE)2,解得BE=5,.CE=8-5=3,即CE=AB,CD=BE, 23题图1 23题阁2 .'.AB+BE+AF=CE+CD+DF,SAABE=SADBE> ∴.S△e+S△eS△tSA,∴.直线PQ平分该图形的周长和面积， .直线PQ是四边形ABCD的“紫金线”，… …(（11分) 24.解：(1)将（-2，-1)和(1，-4)代入y=ax2+bx-1,解得a=-1,b=-2,…（2分) ∴.抛物线C的解析式为y=-x2-2x-1=-(x+1)2,.点P的坐标为(-1,0)；…(4分) (2)抛物线C的解析式为y=(x+1)2(或y=x+2x+1);…(6分) 数学（二）第2页（共3页） (3)①4；… …(8分) ②由题意得抛物线C的解析式为y=x-6. 令2x+m=(x+1)2,整理得x2-m+1=0,△=0-4(m+1)=0,解得m=1; 令2x+m=x2-6,整理得x2-2xm-6=0,△=4-4（m-6)=0,解得m=-7, 结合图象，可得m的取值范围为-7<m<1;…(10分) ③这个点为(0,2)，… …（12分) 【精思博考：将ykx代入yx-6,得x-x6=0,以k,M(,). 22 将y=4x代入yx-6,得x+4x6=0,-4,W(-2,8). k k2-4 设直线MN为y=dx+n(d≠0)，将点M,N的坐标代入可解得d ，n=2, k 以直线w为当司时，，平W经过定点2》】 数学（二）第3页（共3页）