专题04 三角函数与解三角形（5大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学一模分类汇编

命学科网 www.zxxk.com 专题04三角函数与解三角形 考点1 三角函数图像性质 1.D 2.A 3.B. 4.D. 5.ACD 6.AB 7.AC 8.AD 9.BC 10. 考点2 三角恒等变换 1.B. 2.B. 3.C. 4.C 5.D 6.C. 7.D 8.B 9.ABD 10.BC 11.BCD 12.【详解】()根据题意知f)=a-6=25 eossin-cos2r=V5sin2r -5 22小anar8引 1/9 让教与学更高效 cos 2x 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据正弦函数的周期公式T-召-受-， 所以'=刊最小正周期为元 (2y据“先知有减”的原则，可袋国=2m+引-引2m2x+君 引.2+后. 当2x+名号时，8到=2sm2x+君取最大值，最大值为2： 当2x+-7石时，8=2sim2x+石)取最小值，最小值为-1 66 所以当x0,2时，函数y=gx)的值域为-2 (3)把y=sinr的图象上所有点向右平移6个单位得到 再把y=sin x- 的图象上所有点的横坐标缩短到原米的；，纵坐标不变得到的图象y=sm2x》, π y=sin 2x- 再把 6)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 =2n2x-引 考点3 解三角形常规问题 1.4. V145 2. 5· 3.15 sin(B+C)2a=0 sin(元-A+2sinA=0 4.【详解】(1)因为sinC.cosB ,所以sinC.cosB sin C 即sinA +2sin4=0,所以 nA1+2=0, sinC.cosB sin C sin C\cosB 219 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又A,B,C∈(0，)，所以sinA≠0，sinC≠0，所以eosB 2=0,即os8= 所以8-子 (2)在△ABC中，由a=1,h=5,及=+e2-2得， 3=1+c2-2×1×c× 1 2,即+c-2=0解得c=1或=-2（舍去)， 所以△48C的面积为ace=acsin B=)xIx1x5_6 1 2 2-4. 5.【详解】(1)依题意，f()=a.6-1=V5sin2x+2cos2x-1=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+乃 6 由2版-受52+名2+号eZ,解得红-骨sxsa+后， 6 6’keZ, 所以四的单词特区可为血亭a引女长 6 262, ,A,π_π 图AE0,得名e(牙于是263解得4 3’ 由a2=bc及正弦定理得，sin2A=sinB.sinC, 11 cos B cosC sin Ccos B+cos Csin B 所以tanB+tanC sin B sinC sin Bsin C _sin(B+C)sin A sin A 11 23 sin BsinC sin BsinC sin'A sin 4 sin3 6.【详解】(I)）已知V2 esin AcosB=asinC 边角互换得 V2 sin C.sin A.cos B=sin A.sin C 因为sinA,sinC>0, 则5csB=1,即asB-= 2. 又因为B是△ABC的内角，所以0<B<π 3/9 耐学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 可得B=交 4 2）余孩定理：6=心+e-2csB将=2，C=2,B-骨 4代入得 (V2)2=a2+22-2a-2-cos 整理得0-22a+2=0 解得aV② 7.【详解】(1)由题可得sinAcosC+V5sin4sinC-sinB-sinC=0 又n8=s如4+C=sindesC+oin,所以VinisinC-inc-snC-0 又C∈(0，，则sinC≠0，所以 1=3sinA4-cos4=2sin 6), ππ %ma》8.两到wfa-小7。 所以sinB=simB+-》=72x巨_2互3 X +44-1021025, COSB=cosB+I2x24 441021025, 所以mc-例=m[仔+8小9手号×3-346 252510, 及7面知s=号absinc=2R2sin4 sinBsinc=4y2R2=8+2V5T 50 ,其中R为△ABC外接圆的半径， 4/9 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得R=10 3,所以b=2 RsinB=4: 考点4 解三角形范围问题 1.A 2.55 asin A-csinC=(b-c)sin B 3.【详解】(1)由 a2-c2=(b-c)b 则根据正弦定理有 6,即a2=b2+c2-bc 又由余弦定理有 -2bccos2cs=1 所以在△ABC中，得A-背： (2)由△ABC为锐角三角形，且A=买 3 则有 0< 3 2 sinπ +C 所以根据正弦定理有b_sinB (3 2 c sinC sin C sin C 考点5 高线与角平分线问题 1.【详解】(1)因为 2c-2acos B=3b 根据正弦定理得， 2sin C-2sin Acos B=3 sin B 因为C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B), 所以2sin(A+B)-2 sin AcosB=V5sinB 所以2 cos AsinB=V5sinB 因为B0.)'’所以sinB≠0'所以cos43 2 5/9 耐学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为4E@对：所以48 (2)根据余弦定理得，a2=b2+c2-2 becos刀 6, 将a=l,bc=25代入上式整理得，6+2=7， 又因为c=2W5且b<C,解得b=5,c=2, 所以a+2=c2 所以△ABC为以AB为斜边的直角三角形， h=a驰=1x5_V5 所以斜边AB上的高为”c22· 2【粥】因为分-.e@,所m=os万=2 , 又△18C的面积S=CmB= 12W25V2 S= 2，所以2acx 32, 所以ac=I5 2 bsinc_22=3 C= 15 (2)由正弦定理得 -si血C=c-si咖B=2V2则sinB2V2 ,所以a=2= 3 32’ 3解得6=9 由余弦定理，=a+c22 accos=至9-2xx3x81 2 ，又△1aC的盾积5-4CxBD-×3D5V2 即1C9 -22 2, 解得BD-10V5 10W2 9,即AC边上的高BD为9· 3.【详】因为D下分∠C·所以<0-<C0D--5 又因为O为AC中点，且边AC与边BD相交于点O, 所以在△ABC中，BD是∠ABC的平分线且过对边AC的中点， 619 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故△ABC是等腰三角形，即AB=BC=2, AC2=AB2+BC2-2.AB.BC.cos120 在△ABC中，由余弦定理得： 4+4-2×2×2×(--)=12 所以4C=25,A0=0C=V5 则在△80中，B=2,A0=5,∠AB0=60,由余弦定理得： A02=AB2+BO2-2.AB.BO-cos60 3=4+BO2-2×2×BO× ×2,解得B0=1: 又因为D0=20 ,则0D=2B0=2, 所以BD=BO+OD=3, 同理，在△ABD中，AB=2,BD=3,∠ABD=60°，由余弦定理得： AD2=AB2+BD2-2AB.BD.cos60°， =4+9-2×2x3x)=7, 2 所以D=V万 (2)以B为原点，BA所在直线为x轴，垂直于BA的直线为y轴建立平面直角坐标系，如下图所示： y B 由图可知坐标为 -2,0) 33V3 因为BC=3'∠A8C=120,得c坐标为3cos60,3sin60]=(号， 13W3、 又因为0为4C中点，由中点坐标公式得出0点坐标为44)， 719 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 39W3 设D点坐标为cm,由D0=20B和B0,0),得出D点坐标为4：4， 595 所以AB=(2,0), AD=( 4’4, 9W5 ABAD 2×二+0× 则cOs∠BAD= 4 4 2 5 AB AD 2+2 2xV67267, 2 所以sin<BMD=V1-cos2∠BAD= 259W201 /1 4×67134, 所以sin<BAD=9V207 134. B 4.【详解】(1)由asi C-bcos4及正弦定理，得sin4sinB- sin C-sin Bcos A. B 'sin C=sin(+B)=sin Acos B+sin Bcos,sin A4sin=sin Acos B, 2 B 2=1-2sin2 2=cosB,.sin B 或sin B 1 A∈(0，'sinA≠0'sin 2，sin 21 Be(0,2 3 (2)如图： A D C SMARC=SMABD+SACBD 1 n写分x2 xexsin+x2×axn天， 62 "6’v5ac=2(a+c)①， 又在△ABC中，由余弦定理可得+d2-2acos号=24，即：a+0-3ac=24@, 3 将0代入@得a+o-25(a+e-24=0,a+c=4W5或25（合），a+e+h=4W5+26 8/9 学科网 ·△ABC的周长为 45+26 www zxxk.com 让教与学更高效 9/9 专题04 三角函数与解三角形 5大考点概览 考点01三角函数图像性质 考点02三角恒等变换 考点03解三角形常规问题 考点04解三角形范围问题 考点05高线与角平分线问题 三角函数图像性质 考点1 1．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林白城联合体·一模）函数的图象的一个对称中心可以为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．3 4．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 6．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．在区间内单调递增 D．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称 7．（2026·吉林长春·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．函数的图象关于点中心对称 D．将函数的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 8．（2026·黑龙江吉林·一模）（多选）下列关于函数.的说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 9．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．的零点为， C．图象的对称轴方程为， D．的单调递减区间为， 10．（2026·吉林白山·一模）（多选）已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 三角恒等变换 考点2 1．（2026黑龙江哈九中·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）若，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁辽阳·一模）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林长春·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·吉林白山·一模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 8．（2026·黑龙江研远联合·一模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·吉林白城联合体·一模）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位得到 B．是的图象的一条对称轴 C．的值域为 D．在区间上单调 11．（2026·辽宁辽阳·一模）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（    ） A． B．直线是图象的对称轴 C．点是图象的对称中心 D．在上单调递增 12．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 解三角形常规问题 考点3 1．（2026·辽宁沈阳·一模）在△ABC中，角的对边分别为，若且，则__________． 2．（2026·吉林白城联合体·一模）在△ABC中，，，其面积为，则______. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 4．（2026·吉林白山·一模）在△ABC中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． (1)求的大小； (2)若，，求△ABC的面积． 5．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知函数，其中，． (1)求的单调递增区间； (2)在△ABC中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值． 6．（2026·辽宁辽阳·一模）已知△ABC的内角，，的对边分别是，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知分别为△ABC三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求的值. 解三角形范围问题 考点4 1．（2026·黑龙江研远联合·一模）在△ABC中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 3．（2026·三省三校·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 高线与角平分线问题 考点5 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在△ABC中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 2．（2026·吉林长春·一模）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若，且△ABC的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 3．（2026·辽宁大连·一模）已知△ABC与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. (1)若平分，求； (2)若，求. 4．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求△ABC的周长. 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数与解三角形 5大考点概览 考点01三角函数图像性质 考点02三角恒等变换 考点03解三角形常规问题 考点04解三角形范围问题 考点05高线与角平分线问题 三角函数图像性质 考点1 1．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可. 【详解】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误 故选：D 2．（2026·吉林白城联合体·一模）函数的图象的一个对称中心可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称中心，再逐一验证即可. 【详解】令，则， 则的对称中心为， 当时，对称中心为，故A符合题意， 不存在，使得取到，故BCD不符合题意. 故选：A 3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据图象的平移变换得到的解析式，再根据在区间上单调递增，即可得到的最大值. 【详解】根据题意得， 又因为函数在区间上单调递增，此时， 所以，解得，所以的最大值为. 故选：B. 4．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数中得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】由，即，得， 所以，则． 故选：D. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】ACD 【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假. 【详解】因为，又，所以，故B错误； 因为， 由图可知，，所以，故A正确； 所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确； 将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 6．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．在区间内单调递增 D．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称 【答案】AB 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得图象的一条对称轴为，B正确； 对于C，由，得，则函数在上不单调，C错误； 对于D，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度得的图象， 而函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，D错误. 7．（2026·吉林长春·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．函数的图象关于点中心对称 D．将函数的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 【答案】AC 【分析】A利用公式计算；B求出的范围，结合正弦型函数性质判断；C根据 判断；D利用变换得出函数解析式，代入判断. 【详解】对于A，最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 令，则， 因为在区间上单调递增，正弦函数在区间上单调递增， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，由可知， 函数的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位得到， 因为，所以不是奇函数，故D错误. 故选：AC 8．（2026·黑龙江吉林·一模）（多选）下列关于函数.的说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D. 【详解】对于A，，为奇函数，故A正确. 对于B，， ， ，不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C， ， ，不是的周期，故C错误， 对于D，， 令，即，解得或， 当时，，， 当时，，，故函数极值为. 的值域为，故D正确. 9．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．的零点为， C．图象的对称轴方程为， D．的单调递减区间为， 【答案】BC 【分析】由图象变换得到解析式，根据余弦型函数的周期、零点、对称轴、单调递减区间即可计算得到正确选项. 【详解】的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到图象， 再将所有的点向左平移个单位长度得到的图象， 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，令，得，解得，则的零点为，B正确； 对于C，令，得，则图象的对称轴方程为，C正确； 对于D，令，得，的单调递减区间为，D错误. 故选：BC 10．（2026·吉林白山·一模）（多选）已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 【答案】/ 【分析】由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求. 【详解】由题意可知，，所以， 所以，所以， 又函数的图象关于对称， 又，且，所以. 故答案为：. 三角恒等变换 考点2 1．（2026黑龙江哈九中·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 2．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解 【详解】因为，则，① 又因为，则， 故①式整理可得，，解得或（舍去）， 故，所以． 故选：． 3．（2026·辽宁辽阳·一模）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和及是锐角求出，利用二倍角的余弦公式求出，利用二倍角的余弦公式求出，利用公式求出，利用两角差的正切公式得到，代入数值求出，从而得到的值. 【详解】，，， ，， 是锐角，，， ， ， ，，， ， . 故选：C. 4．（2026·吉林长春·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的和角公式展开已知条件，再通过平方关系结合二倍角公式求解. 【详解】依题意得：， 化简得：， 所以， 因为，， 代入得：， 解得：. 故选：C. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 6．（2026·吉林白山·一模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式先得再根据平方和关系得，即可得解. 【详解】由， 可得为锐角， 可得. 故选：C. 7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和倍角公式，求得，再由两角和的正切公式，代入计算，即可求解. 【详解】由，故， 而，故， 则，， 所以，则. 故选：D. 8．（2026·黑龙江研远联合·一模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果. 【详解】由题设，所以， 因为，则，又因为，则， 又， 所以，解得． 故选：B 9．（2026·吉林白城联合体·一模）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位得到 B．是的图象的一条对称轴 C．的值域为 D．在区间上单调 【答案】BC 【分析】先化简得，根据与的振幅不相等，从而判断A；代入求值即可判断B；根据整体法求值域即可判断C；由函数单调性判断D即可． 【详解】因为， 所以， 由于与的振幅不相等，的图象不能仅由的图象平移得到，故A错误； 因为，所以是的图象的一条对称轴，故B正确； 当时，，所以的值域为，故C正确； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在区间上不单调，故D错误； 故选：BC. 11．（2026·辽宁辽阳·一模）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（    ） A． B．直线是图象的对称轴 C．点是图象的对称中心 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】对A，由诱导公式结合的最小值求解判断；对B、C，代入法验证；对D，整体代换结合性质判断. 【详解】对于A：将的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 所以，．因为的最小值为， 所以，解得，A错误； 对于B、C：因为， 则，，B、C都正确； 对于D：当时，，在上单调递增，D正确． 故选：BCD. 12．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【答案】(1) (2) (3)详细见解析 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到的表达式，然后结合给定区间求出的值域； （3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程. 【详解】（1）根据题意知 ， 根据正弦函数的周期公式， 所以最小正周期为. （2）根据“左加右减”的原则，可得， 已知，则， 当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 所以当时，函数的值域为 （3）把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象； 再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象， 再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到. 解三角形常规问题 考点3 1．（2026·辽宁沈阳·一模）在△ABC中，角的对边分别为，若且，则__________． 【答案】4 【分析】利用三角形内角和的性质推出角，再利用正弦定理化简并求解． 【详解】三角形内角和， ， ， ，故， C是三角形内角，，故，则， ， ， 根据正弦定理得， ， ． 故答案为：4． 2．（2026·吉林白城联合体·一模）在△ABC中，，，其面积为，则______. 【答案】 【分析】根据三角形面积公式可得，利用平方公式求解的值，从而得，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，则， 又，则，即， 因为，所以，所以， 由余弦定理得到， 所以. 故答案为：. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在△ABC中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 4．（2026·吉林白山·一模）在△ABC中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． (1)求的大小； (2)若，，求△ABC的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用特殊角的余弦值及角的范围可得； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式计算即可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 又，所以，所以，即， 所以； （2）在△ABC中，由，，及得， ，即，解得或（舍去）， 所以△ABC的面积为. 5．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知函数，其中，． (1)求的单调递增区间； (2)在△ABC中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量积的坐标表示列式，并用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解. （2）由（1）中信息求出角A，再利用正弦定理及三角恒等变换求解. 【详解】（1）依题意，， 由，解得，， 所以的单调增区间为. （2）由（1）得，则， 由，得，于是，解得， 由及正弦定理得，， 所以. 6．（2026·辽宁辽阳·一模）已知△ABC的内角，，的对边分别是，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）边角互换化简可得，则得到角大小. （2）直接代入余弦定理计算可得答案. 【详解】（1）已知边角互换得 ， 因为， 则，即. 又因为是△ABC的内角，所以 可得. （2）余弦定理：，将，，代入得 ( 整理得 解得。 7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知分别为△ABC三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求解； （2）根据条件及（1）中结果，得到，再利用面积公式及正弦定理边角互换，得到，即可求解. 【详解】（1）由题可得， 又，所以， 又，则，所以， 得到，又，所以，解得. （2）因为，则， 因为，所以， 所以， ， 所以， 又面积，其中为△ABC外接圆的半径， 解得，所以. 解三角形范围问题 考点4 1．（2026·黑龙江研远联合·一模）在△ABC中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解，再利用正弦定理边化角，结合辅助角公式，可求最大值. 【详解】由正弦定理，原等式可化为， 若，整理得， 故，因为，所以. 由正弦定理，， 则 ，其中为锐角，， 因为，故当时，取得最大值为. 故选：A. 2．（2026·黑龙江·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【分析】通过正弦定理、割补法计算平面几何图形面积，基本不等式求解. 【详解】依题意，要使手电筒在内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过边，如图，在正△ABC中，，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，最大值为． 若，，， 若，，， 所以，最大值为． 3．（2026·三省三校·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可得到，进而得到，即可求出A的大小； （2）根据三角形内角和为，且△ABC为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解． 【详解】（1）由， 则根据正弦定理有，即， 又由余弦定理有，得， 所以在△ABC中，得； （2）由△ABC为锐角三角形，且， 则有，得，即，即， 所以根据正弦定理有． 高线与角平分线问题 考点5 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在△ABC中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断△ABC的形状，从而求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以△ABC为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 2．（2026·吉林长春·一模）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若，且△ABC的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 又△ABC的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又△ABC的面积， 解得，即边上的高为. 3．（2026·辽宁大连·一模）已知△ABC与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. (1)若平分，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定理判断三角形类型，确定边长关系，再结合余弦定理直接求解. （2）利用坐标将几何问题代数化，利用向量点积公式计算夹角余弦值，进一步得出正弦值. 【详解】（1）因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在△ABC中，是的平分线且过对边的中点， 故△ABC是等腰三角形，即， 在△ABC中，由余弦定理得：， ， 所以，， 则在中，，，，由余弦定理得： ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，，，，由余弦定理得： ， ， 所以. （2）以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知坐标为， 因为，，得坐标为， 又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为， 设点坐标为，由和，得出点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 4．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求△ABC的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在△ABC中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . △ABC的周长为. 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $