第8章 整式乘法（一）：单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式讲义2025-2026学年苏科版数学七年级下册

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来！ 初中数学辅导教案 学生姓名 年 级 学 校 上课时间 课 时 数 学习课题 整式乘法（一）——单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式 学习目标 1、从计算面积中得出单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则。 2、能熟练地进行单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算。 教学内容 知识回顾 1、单项式：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫作单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数。 2、 多项式：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式。 多项式中，每个单项式叫作多项式的项。其中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数，不含字母的项叫作常数项。 3、 整式：单项式和多项式统称整式。 4、 同类项：一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。 5、 合并同类项：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项。 6、 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 知识点一、单项式乘单项式 1、 单项式乘单项式的法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、 单项式乘单项式的步骤： （1） 系数：积的系数等于各因式系数的积。（先确定符号，再计算结果） （2） 相同字母：同底数幂相乘，所得结果作为积的因式。 （3） 单独字母：只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积。 注意： 1、 单项式乘单项式时，如果单项式里有幂的运算，先进行幂的运算，再进行单项式乘单项式运算。 2、 单项式乘单项式的结果仍是单项式。 3、 三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则。 例：已知，，则的值为 （ ） A. 1 B. -1 C. 7 D. 知识点二、单项式乘多项式 1、单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2、用式子表示： 3、 单项式乘多项式的步骤： （1） 利用乘法分配律转化为单项式乘单项式。 （2） 将相乘得到的积相加。 注意： 1、 单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题。 2、 单项式乘多项式结果是多项式，展开后的项数与原多项式的项数相同。 3、 计算的过程中要注意符号问题。 4、 对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。 例： 1、若要使的展开式中不含的项，则常数的值为 2、若A是单项式，且，则A= 3、若关于的多项式除以，所得商恰好为，没有余式，则 4、计算： （1） （2）． 知识点三、多项式乘多项式 1、多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2、用式子表示： 3、常用变形： 4、多项式中的“不含”问题： （1）多项式中“不含”某项，即该项不存在，即该项系数为0； （2）多项式的值与某字母取值无关，即多项式不存在该字母，即该字母所有次项系数均为0； （3）两个多项式恒相等（等式恒成立），即等号两边对应项完全相同。 注意： 1、 多项式与多项式相乘，仍得多项式。在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。 2、 多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。 例： 1、（2024江苏无锡江阴期中）若，，则 ． 2、若，则的值是 ． 3、（2024江苏苏州期中）计算的结果中不含的一次项，则常数的值为 4、若的结果是关于的二次二项式，则= 5、在的运算结果中不含x项，且项的系数是-2，那么 ． 6、先化简，再求值： ，其中。 7、（1）已知关于的代数式与的乘积中，不含有项，求的值． （2）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，求的值． 8、（2024 江苏苏州姑苏月考）观察以下等式： ；；；…… （1） 按以上等式的规律，填空： （2） 利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立。 （3） 利用（1）中的公式化简： 知识点四、新定义，材料阅读 1、（2024江苏苏州期中）对于多项式，，，，用任意两个多项式的积减去剩余两个多项式的积，并算出结果，称为“积差操作”。例如：.下列说法：①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论取何值，都为3的倍数；②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；③所有的“积差操作”共有5种不同的结果。其中正确的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取 2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为。一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作， 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作。 （1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ （2）探索发现： 计算： ， ， ， ， ， 。 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系。（只写结论，不需要说明了理由） （3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算： 3、（2024南京校级月考）【阅读材料】周末，小红自学了课本上整式乘法部分的内容，然后遇到了一道题目： 计算：.小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：34×25，过程如图①；小红想：是否可以用这个方法计算？她尝试写了解题过程如图②，结果正确。小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图③，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图④，爸爸检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神。 【问题解决】下面请你用学到的方法解决以下问题： （1）小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 （ ） A.数形结合 B.方程 C.类比 D.分类讨论 （2）请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算： （3）请计算的商式与余式。 （4）若，那么的值是 参考答案： 单项式×单项式： 1、 已知，，则的值为 （ C ） A.1 B. -1 C. 7 D. 单项式乘多项式 1、若要使的展开式中不含的项，则常数的值为 1 2、若A是单项式，且，则A=（） 3、若关于的多项式除以，所得商恰好为，没有余式，则 3 4、计算 （1）= （2）=15x3y-29x2y2+9xy3 多项式乘多项式 1、（2024江苏无锡江阴期中）若，，则 2 ． 2、若，则的值是 4 ． 3、（2024江计算的结果中不含的一次项，则常数的值为 -4 4、若的结果是关于的二次二项式，则= 1或0 5、在的运算结果中不含x项，且项的系数是-2，那么 4 ． 6、先化简，再求值： ，其中。 解：原式=-10x-2= 7、 （1）已知关于的代数式与的乘积中，不含有项，求的值． m=6 （2）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，求的值． 8、（2024 江苏苏州姑苏月考）观察以下等式： ；；；…… (1)按以上等式的规律，填空：()(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立。 (3)利用（1）中的公式化简： 解：（3）原式= 新定义，材料阅读 1、 （2024江苏苏州期中）对于多项式x+1，x+3，2x+2，2x+6，用任意两个多项式的积减去剩余两个多项式的积，并算出结果，称为“积差操作”。例如：(x+1)(x+3)-(2x+2)(2x+6)=-3x2-12x-9.下列说法：①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论取何值，都为3的倍数；②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；③所有的“积差操作”共有5种不同的结果。其中正确的个数是 （C） A.0 B. 1 C. 2 D. 3 2、先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取 2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为。一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作， 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作。 （1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ 35 （2）探索发现： 计算： 3 ， 1 ， 4 ， 10 ， 5 ， 15 。 有上述计算，试猜想，，之间有什么关系。（只写结论，不需要说明了理由） 解： （4） 请你直接利用（2）中猜想的结论计算： 解： 3、（2024南京校级月考）【阅读材料】周末，小红自学了课本上整式乘法部分的内容，然后遇到了一道题目： 计算：(3m+n)(m-2n).小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：34×25，过程如图①；小红想：是否可以用这个方法计算(3m+n)(m-2n)？她尝试写了解题过程如图②，结果正确。小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图③，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图④，爸爸检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神。 （1） 小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 （ C. ） A.数形结合 B.方程 C.类比 D.分类讨论 （2）请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算：(x+y)(x2-xy+y2) =x3+y3 （3）请计算的商式与余式。商式是：x2+x+2，余式为：-9 （4）若，那么的值是 2x4+5x3+23x-6 Yanln5 学科网（北京）股份有限公司 $