第8章 整式乘法 章节（5知识详解+20典例分析）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第8章 整式乘法 章节（5知识详解+20典例分析） 【知识点01】单项式与单项式相乘 示例 单项式与单项式相乘 教材延伸 单项式乘单项式的常见拓展应用 单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.如2a⋅3b⋅6c=(2×3×6)⋅abc=36abc. 【知识点02】单项式乘多项式 示例 单项式与多项式相乘 说明： 一般情况下,非零单项式与多项式相乘的结果仍是多项式,其项数与因式中多项式的项数相同. 【知识点03】多项式乘多项式 示例 多项式与多项式相乘 注意：在进行多项式的乘法运算时,要注意防止出现漏项的现象,如出现 这样的错误. 说明：多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘,即按顺序先将前两个多项式相乘,再把乘积和第三个多项式相乘,【知识点04】完全平方公式 1.完全平方公式 . 也就是说,两个数的和（或差）的平方,等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 说明：本节中的字母a,b 可以是单项式,也可以是多项式. 2.完全平方公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导完全平方公式 （2）借助几何图形推导完全平方公式 如图（1）,边长是>>的正方形的面积是,它的面积还可以视为两个小正方形与两个小长方形面积的和,即><,所以<. 如图（2）,边长是 的正方形的面积是 ,它的面积还可以视为大正方形的面积与两个小长方形面积的差,即 ,所以 . 用几何图形推导完全平方公式的方法还有很多，举例如下： 3.完全平方公式的结构特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方,两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式,其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方,中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍,两个公式等号右边的中间项仅有一个“符号”的差异. 示例1 利用完全平 方公式计算 说明：三项或三项以上的和（或差）的平方可转化为两项的和（或差）的平方,如 . 【知识点05】平方差公式 1.平方差公式 也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫作（乘法的）平方差公式. 2.平方差公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导平方差公式 （2）借助几何图形推导平方差公式如图所示,图（1）中阴影部分的面积是 ,图（2）中阴影部分的面积是 ,于是 用几何图形推导平方差公式的方法还有很多，如下方式都可以得到 3.平方差公式的结构特征 （1）等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; （2）等号右边是一个二项式,这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 示例2 利用平方差公式计算 4.平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 增项变化 连用公式 注意：在运用平方差公式时,要分清哪一项相当于公式中的a ,哪一项相当于公式中的b ,不要混淆. 【题型一】计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）有一个长方体模型，它的长为，宽为，高为，它的体积是多少？ 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则求出即可． 【详解】解：长方体的体积为：． 答：这个长方体模型的体积是． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式以及科学记数法的表示方法，正运用同底数幂的乘法法则是解题关键． 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 4．若，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 直接根据单项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 7．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）一个长方体的长、宽、高分别为，，，它的体积等于 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键；根据长方体的体积公式，体积等于长、宽、高的乘积，将给定的代数表达式相乘即可． 【详解】解：由长方体的体积公式为可得： ． 故答案为： ． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以多项式，熟练掌握幂的乘方和单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型四】单项式乘多项式的应用 9．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为，表示出阴影部分的面积，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：C． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，根据长方形的面积边长边长计算即可． 【详解】解：根据题意可得这个长方形的面积 ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 【答案】(1)水渠的横断面积为平方米． (2)水渠可以蓄水立方米． 【知识点】单项式乘多项式的应用、列代数式 【分析】本题主要考查代数式的运用，整式的混合运算，掌握代数式表示数或数量关系的方法，整式的运算法则是解题的关键． （1）根据几何图形面积的计算公式代入计算即可； （2）根据体积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：平方米， ∴水渠的横断面的面积为平方米； （2）解：立方米， ∴水渠可以蓄水立方米． 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 13．（24-25七年级下·江苏无锡）要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 【题型六】计算多项式乘多项式 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式与多项式相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据多项式乘多项式的法则先求出，得出，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ． 故选：A． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，根据结果中的一次项系数为5即可得到答案． 【详解】解： ， ∵结果中的一次项系数为5， ∴， ∴， 故答案为；7． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】，见解析． 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，熟练掌握整式的混合运算和利用作差法比较大小是解题的关键． 利用作差法比较大小，即计算的正负，即可比较与的大小． 【详解】解：，理由如下： ， ∵不论x为何值，， ∴， ∴， 即． 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 18．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，若都是整数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式乘多项式，进行分类讨论是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，再根据和为整数，进行分类讨论计算即可． 【详解】解：， ， 都是整数，， 或，或或， 当时，； 当时； 当时， ； 当时，； 综上所述，的值为或， 故的值不可能是， 故选：C． 19．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 20．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、幂的混合运算 【分析】（1）利用积的乘方和幂的乘方，同底幂的乘法法则，同底数幂的除法法则来进行计算求解； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则来求解． 【详解】（1） ； （2） 【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，同底幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，多项式乘以多项式的运算法则．理解相关法则是解答关键． 【题型八】多项式乘多项式——化简求值 21．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值，其中． 【答案】；26 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 【题型九】已知多项式乘积不含某项求字母的值 24．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，多项式中不含某项，掌握以上知识是解题的关键． 先计算，再由乘积中不含的一次项，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 25．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若多项式不含的一次项，则 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 先把多项式合并，然后令的一次项系数等于，再解方程即可． 【详解】解：多项式不含的一次项， ， 解得． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，不含项的理解，解一元一次方程，求代数式的值等． （1）先将整式展开后得，再由常数项为得，继而求得，后得到本题答案； （2）先将整式乘法计算完成得，再代入（1）中的数值即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∵的展开式中不含项， ∴， ∵常数项是， ∴，即：， ∴， ∴ （2）解：由（1）得，， ∴， ∴． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 27．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有足够多张如图所示的甲类、乙类正方形卡片和丙类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要乙类卡片的张数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的乘法，计算，结果中项的系数即为需要乙类卡片的张数． 【详解】解：， 需要乙类卡片张， 故选：B． 28．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为 ． 【答案】7 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴需要类卡片的张数为7张， 故答案为：7． 29．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【答案】(1)；； 9 (2)25 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积、列代数式等知识点，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法列代数式并整理即可解答； （2）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①当时，如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长为；如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形A、B和阴影部分组成一个边长为3的正方形， ∴， ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；； 9． （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是5的正方形，即 ∴边长是 和的长方形的最大面积是25， ∴ 的最大值为25． 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 30．（24-25七年级下·江苏常州·月考）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了“杨辉三角”的理解与运用，多项式乘多项式的规律问题，掌握相关知识是解题的关键． 对于①，项为，其中为第2026行的第2个数2025，则系数为； 对于②，通过“杨辉三角”得到规律：第行系数的绝对值之和为，所以所在的第行系数的绝对值之和为； 对于③，第行计算结果为，所以的计算结果为； 对于④，“杨辉三角”奇数行除以余数为1，偶数行除以余数为，所以除以余数为， 【详解】解：①观察“杨辉三角”可知， 各项系数对应“杨辉三角”中第行的数，该行共有个数， 项的系数对应“杨辉三角”所在行的第1个数，项的系数对应第2个数，a项的系数对应第个数， 各项系数对应“杨辉三角”中第行的数， 项的系数对应“杨辉三角”所在行的第2个数，即， 由于中，， ∴项的系数为，故①符合题意， ②首先在“杨辉三角”中找规律， 第3行系数的绝对值之和为， 第4行系数的绝对值之和为， 第5行系数的绝对值之和为， ∴第行系数的绝对值之和为， ∴所在的第行系数的绝对值之和为，故②符合题意， ③在“杨辉三角”中找规律，当时， 第3行计算结果为， 第4行计算结果为， 第5行计算结果为， 因此第n行计算结果为 ， ∴的计算结果为，故③符合题意， ④，在“杨辉三角”中找规律，当时， 计算第3行除以，，余数为1， 计算第4行除以，，余数为， 计算第5行除以，，余数为， 因此得出规律，奇数行除以，余数为，偶数行除以，余数为， 系数所在行为行，为偶数行， ∴除以余数为，故④不符合题意， 综上所述，①②③符合题意，共个， 故选：C． 31．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 32．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，观察等式发现规律是解题关键． （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为，再利用所得规律计算可得； （3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：， 故答案为：； （2） （3） ． 【题型十二】整式乘法混合运算 33．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】列代数式、整式乘法混合运算 【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 34．（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知正数，，，满足，． (1) ______； (2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，求这三张正方形纸片的面积之和． 【答案】(1)2 (2)7 【知识点】整式乘法混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，整式混合运算的应用． （1）由等式，得出比大，比大，由此得出比大． （2）根据，得出，，将其代入得出，通过计算张正方形纸片的面积和，化简后得出面积和，用整体代入法把代入得出面积和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴． 故答案为：． （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 这三张正方形纸片的面积之和： ． 35．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘法即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型十三】运用平方差公式进行运算 36．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式的应用，设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个方阵的边长为a，减少120人后组成一个方阵的边长为b，由题意得，，，且a、b都是4的倍数，进而得，再利用240的约数情况进行讨论，求出a、b的值即可求解． 【详解】解：设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个正方形队列的边长为a，减少120人后组成一个正方形队列的边长为b， ∴增加120人后组成一个正方形队列总人数为，减少120人后组成一个正方形队列总人数为，且a、b都是4的倍数， 由此可得，， ∴， ， ∴当时，满足， 则人， 当时，满足， 则人， ∴原有战士有904人或136人， 故选：A． 37．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）（ ）． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式结构特征求解即可，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：由， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知下列等式： ； ； ； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 【答案】(1)19 (2)1509 (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题利用平方差公式和观察规律解决问题． （1）根据平方差公式可得出相应的结果； （2）同样利用平方差公式可得出相应的结果； （3）求出比大3的数，再根据平方差公式来证明题目所给的两个数是否能被3整除． 【详解】（1）解：． 故答案为：19． （2）解：． 故答案为：1509． （3）证明：由题意知，比大3的数为， 根据平方差公式，， 由于是整数，因此能被3整除， 即比大3的数与的平方差能被3整除． 【题型十四】平方差公式与几何图形 39．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）我们知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，通过计算如图所示图形的面积，验证的一个恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，理解图形各个部分面积之间的和差关系是解决问题的前提，用含有a、b的代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键． 分别用含有a、b的代数式表示图形中各个正方形、长方形的面积，再根据面积之间的和差关系得出答案． 【详解】解：如图，正方形①的边长为，正方形②的边长为b， 长方形③、④的长都是，宽都是b，由①②③④拼成的大正方形的边长为a， ， 由得， ． 故选：B． 40．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积解答即可． 本题考查了图形面积的不同表示，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积， 故． 故答案为：． 41．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 【答案】（1）改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了 （2），见解析 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】此题主要考查了平方差公式． （1）根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，比较即得结论； （2）设种植草坪的一边长为，另一边长为，进而得种植草坪的面积为，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形草坪的边长为， ∴正方形草坪的面积； 将正方形草坪的东西方向需要加长，南北方向缩短，边长为，， ∴改造后的草坪面积， 故改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了； （2）最大面积是，理由如下： 设种植草坪的一边长为，另一边长为， ∴种植草坪的面积， ∴，种植草坪的面积最大，最大面积为． 【题型十五】运用完全平方公式进行运算 42．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解决问题的关键．根据完全平方公式将变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴原式最小值为1． 故选：C． 43．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用完全平方公式运算，把两式相减，再利用完全平方公式把等号左边展开化简即可求解，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 根据上述规律解答下列问题： (1)写出第4个等式_______ (2)①直接写出第n个（，且n是整数）等式_______； ②请证明你在①中所写的等式成立． 【答案】(1)； (2)①； ②见解析． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律及完全平方公式，通过观察所给的式子，探索出式子一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子，类比直接写出第4个式子即可； （2）①通过观察所给的式子，找到个数之间的关系，即可求解；②利用完全平方公式，单项式乘多项式运算加以证明即可． 【详解】（1）解：第4个式子为， 故答案为：； （2）解：①解：第个式子为：， 故答案为：； ②证明：左边， 右边， 左边右边， 等式成立． 【题型十六】通过对完全平方公式变形求值 45．（24-25七年级下·江苏南京·月考），， 则的值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，将化为，代值计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 46．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，则代数式的值为 ． 【答案】10 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查利用完全平方公式的变形求值．根据完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：10 47．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读理解：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：， ． ， ． 试利用上述阅读材料解决下列问题： (1)填空：____________________； (2)已知，则的值为__________； (3)若，，请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照题干的方法，将代数式配成完全平方式即可； （2）将等式转化为，利用非负性进行求解即可； （3）求出的符号，进行判断即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2） ， ， ∴， ∴， ∴； （3） ， ∵， ∴， ∴． 【题型十七】完全平方公式在几何图形中的应用 48．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设直角三角形的另一条直角边长为a，利用割补法分别表示出和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的另一条直角边长为a， 则， ， ∴． 则的值为． 故选：． 49．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查完全平方公式的运用，熟记公式内容是此题关键．根据各种纸片数量，不超过张，写出完全平方公式． 【详解】①，即可以用、正方形纸片各张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形； ②，即可以用正方形纸片张，纸片张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形： ③，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ④，即可以用正方形纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑤，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑥，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形． 综上所述，共有种不同的正方形． 故答案为：． 50．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系：_________． (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)的值为； (3)阴影部分的面积为． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先利用完全平方公式进行计算可得，然后根据阴影部分的面积的面积梯形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，边长为的正方形的面积个长为，宽为的长方形的面积边长为的正方形面积， ∴，即， 故答案为：； （2）解：∵， ， 的值为：； （3）解：∵， ， ∴阴影部分的面积的面积梯形的面积的面积 ， ∴阴影部分的面积为． 【题型十八】求完全平方式中的字母系数 51．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若是完全平方式，则k的值为（   ） A． B．3或1 C．6 D．或6 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解，据此可得出答案． 【详解】解：， 解得． 故选：D． 52．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． 利用完全平方公式计算． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， 多项式写成， 或， 或， ． 故答案为：． 53．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)【解决问题】数53_____“完美数”（填“是”或“不是”）； (2)【探究问题】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； (3)【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最大值． 【答案】(1)是 (2)； (3)的最大值为2． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】（1）把53分为两个整数的平方即可； （2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （3）由已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． ∴数53是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵S是完美数， ∴是完全平方式， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴ ， 当时，最大，最大值为2． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【题型十九】完全平方式在几何图形中的应用 54．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要B类卡片 张．    【答案】4 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量． 【详解】解：∵， ∴拼成一个边长为的正方形需要A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积是解题的关键． 55．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、多项式乘多项式——化简求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 【题型二十】整式的混合运算 56．已知M＝，N＝，则M、N的大小关系是（  ） A．M=N B．M＞N C．M＜N D．不能确定 【答案】D 【知识点】整式的混合运算 【分析】若比较M，N的大小关系，只需计算M-N的值即可． 【详解】解：∵M＝，N＝， ∴ 当 时，M>N； 当 时，M=N； 当 时，M<N； ∴M、N的大小关系不能确定． 故选D． 【点睛】本题的主要考查了比较代数式的大小，可以让两者相减再分析情况． 57．（24-25七年级下·江苏南京·月考）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的 ，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、列代数式 【分析】本题考查了代数式表示，整式的加减运算，根据题意正确表示出不同种植面积下白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量是解题的关键． 根据题意设白黄瓜的亩产量是，则青黄瓜的亩产量是，分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，进而表示出水果黄瓜的亩产量是，再分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，据此表示出白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量并求总产量之比，即可解题． 【详解】解：设白黄瓜的亩产量是，则青黄瓜的亩产量是， 当在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为时，分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为， 则白黄瓜的产量是，则青黄瓜的产量是，水果黄瓜的产量是， 水果黄瓜的亩产量是， 当在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为时， 分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为， 则白黄瓜的总产量是，则青黄瓜的总产量是，水果黄瓜的总产量是， 则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为； 故答案为：． 58．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式的混合运算、负整数指数幂、运用完全平方公式进行运算、零指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加法即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可得解； （3）利用完全平方公式计算即可得解； （4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法 章节（5知识详解+20典例分析） 【知识点01】单项式与单项式相乘 示例 单项式与单项式相乘 教材延伸 单项式乘单项式的常见拓展应用 单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.如2a⋅3b⋅6c=(2×3×6)⋅abc=36abc. 【知识点02】单项式乘多项式 示例 单项式与多项式相乘 说明： 一般情况下,非零单项式与多项式相乘的结果仍是多项式,其项数与因式中多项式的项数相同. 【知识点03】多项式乘多项式 示例 多项式与多项式相乘 注意：在进行多项式的乘法运算时,要注意防止出现漏项的现象,如出现 这样的错误. 说明：多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘,即按顺序先将前两个多项式相乘,再把乘积和第三个多项式相乘,【知识点04】完全平方公式 1.完全平方公式 . 也就是说,两个数的和（或差）的平方,等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 说明：本节中的字母a,b 可以是单项式,也可以是多项式. 2.完全平方公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导完全平方公式 （2）借助几何图形推导完全平方公式 如图（1）,边长是>>的正方形的面积是,它的面积还可以视为两个小正方形与两个小长方形面积的和,即><,所以<. 如图（2）,边长是 的正方形的面积是 ,它的面积还可以视为大正方形的面积与两个小长方形面积的差,即 ,所以 . 用几何图形推导完全平方公式的方法还有很多，举例如下： 3.完全平方公式的结构特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方,两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式,其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方,中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍,两个公式等号右边的中间项仅有一个“符号”的差异. 示例1 利用完全平 方公式计算 说明：三项或三项以上的和（或差）的平方可转化为两项的和（或差）的平方,如 . 【知识点05】平方差公式 1.平方差公式 也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫作（乘法的）平方差公式. 2.平方差公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导平方差公式 （2）借助几何图形推导平方差公式如图所示,图（1）中阴影部分的面积是 ,图（2）中阴影部分的面积是 ,于是 用几何图形推导平方差公式的方法还有很多，如下方式都可以得到 3.平方差公式的结构特征 （1）等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; （2）等号右边是一个二项式,这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 示例2 利用平方差公式计算 4.平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 增项变化 连用公式 注意：在运用平方差公式时,要分清哪一项相当于公式中的a ,哪一项相当于公式中的b ,不要混淆. 【题型一】计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算 ． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）有一个长方体模型，它的长为，宽为，高为，它的体积是多少？ 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 4．若，则的值为 ． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）一个长方体的长、宽、高分别为，，，它的体积等于 ． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 【题型四】单项式乘多项式的应用 9．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·江苏无锡）要使的展开式中不含项，则的值为 ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【题型六】计算多项式乘多项式 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知，则（    ） A．3 B．2 C． D． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为 ． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）试比较与的大小，并说明理由． 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 18．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，若都是整数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： ． 20．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【题型八】多项式乘多项式——化简求值 21．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 22．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值，其中． 【题型九】已知多项式乘积不含某项求字母的值 24．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 25．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若多项式不含的一次项，则 ． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 27．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有足够多张如图所示的甲类、乙类正方形卡片和丙类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要乙类卡片的张数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 28．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为 ． 29．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 30．（24-25七年级下·江苏常州·月考）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 32．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【题型十二】整式乘法混合运算 33．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 34．（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知正数，，，满足，． (1) ______； (2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，求这三张正方形纸片的面积之和． 35．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算题 (1)； (2)． 【题型十三】运用平方差公式进行运算 36．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 37．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）（ ）． 38．（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知下列等式： ； ； ； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 【题型十四】平方差公式与几何图形 39．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）我们知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，通过计算如图所示图形的面积，验证的一个恒等式为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ． 41．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 【题型十五】运用完全平方公式进行运算 42．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 43．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则 ． 44．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 根据上述规律解答下列问题： (1)写出第4个等式_______ (2)①直接写出第n个（，且n是整数）等式_______； ②请证明你在①中所写的等式成立． 【题型十六】通过对完全平方公式变形求值 45．（24-25七年级下·江苏南京·月考），， 则的值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 46．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，则代数式的值为 ． 47．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读理解：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：， ． ， ． 试利用上述阅读材料解决下列问题： (1)填空：____________________； (2)已知，则的值为__________； (3)若，，请比较A与B的大小，并说明理由． 【题型十七】完全平方公式在几何图形中的应用 48．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 49．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ． 50．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式． (1)如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出，，之间的一个等量关系：_________． (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若，，求阴影部分的面积． 【题型十八】求完全平方式中的字母系数 51．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若是完全平方式，则k的值为（   ） A． B．3或1 C．6 D．或6 52．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 53．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)【解决问题】数53_____“完美数”（填“是”或“不是”）； (2)【探究问题】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； (3)【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最大值． 【题型十九】完全平方式在几何图形中的应用 54．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要B类卡片 张．    55．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【题型二十】整式的混合运算 56．已知M＝，N＝，则M、N的大小关系是（  ） A．M=N B．M＞N C．M＜N D．不能确定 57．（24-25七年级下·江苏南京·月考）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的 ，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ． 58．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 1 学科网（北京）股份有限公司 $