第8章 5一元二次方程的根与系数的关系-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（鲁教版 五四制）

*5一元二次方程的根与系数的关系（答案P17) 通基础 7.已知关于x的一元二次方程x2一x一3=0的 两个实数根分别为a,3,则(a十3)(3+ 知识点1根据根与系数的关系确定x,十x2与 3)= x,x,的值 8.已知m2+3m-5=0,n2+3n一5=0，则 1.已知关于x的一元二次方程x2+4x十3=0 1+1 的两根分别为T1,x,则上+1的值为( 知识原4根据根与系数的关系求字母的值 C.- 2 9.已知x1,x2是一元二次方程x2+2a.x十b=0 3 D.3 的两根，且x1十x2=3,x1x2=1,则a,b的值 2.已知x1,x2是一元二次方程x2十4x十3=0 分别是( 的两根，则x1十x2十2x1x:的值为( A.d=-3,b=1 B.a=3,b=1 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3 3.如果一元二次方程x2一3x十1=0的两实数 C.a=-2b=-1 D.a=- 26-1 根分别为x1,x:,不解方程，求出下列代数式 10.关于x的方程x2+(k2一4)x+k+1=0的 的值. 两个实数根互为相反数，则k的值是( (1)x+x. A.k=士2 B.k=2 (2)(x1-2)(x:-2). C.k≥-1 D.k=-2 帽利用根与系数的关系解决问题时，忽略 二次项系数和判别式的条件 11.已知关于x的方程4x2一(k十5)x一k一9 0有两个不相等的实数根x1,x2,且x,= 一1,0<x<1,则k的取值范围是() A.-18<k<-10 知识赢2根据根与系数的关系确定方程的根 B.0k8 4.已知关于x的一元二次方程x2+mz一8=0 C.-9<k<-5 的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分 D.-18<k<-10且k≠-13 别为() 通能力》n9999a9999%999 A.4,-2 B.-4,-2 12.已知a,b,m,n为互不相等的实数，且(a十m)· C.4,2 D.-4,2 (a十n)=2,(b十m)(b十n)=2,则ab一n的值 5.已知方程x2十b.x+3=0的一根为5十2，则 为( 方程的另一根为 A.4 B.1 C.-2 D.-1 知识3根据根与系数的关系求代数式的值 13.关于x的方程x2一2mx十m2=4的两个根 6.若x1x2是一元二次方程x2一2x一1=0的 x1,x2满足x1=2.x2十3，且x1>x2,则m的 两个根，则x号一x1十x2的值为( ) 值为( A.-1 B.0 C.2 D.3 A-3 B.1 C.3 D.9 一八年级下时数学色教烟 65 14.抽象能力》若长方形的长和宽分别是方程 通素养 x2一5x+6=0的两根，则长方形的周长是 ,面积是 19.探究拓展如果方程x”十.x十g=0有两个实 15.若关于x的一元二次方程(m一2)x”十 数根x1,x,那么x1十x2=一p,x1x2=q,请 3.x十m2一4=0有一个根为0，则另一个根为 根据以上结论，解决下列问题： (1)已知a,b是方程x2十15.x+5=0的两 16.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0 的两实数根，则2十中的值 (2)已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=16, 是 求正数c的最小值. 17.已知关于x的一元二次方程x2十(m十3)x+ (3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问 m十1=0的两个实数根分别为x1,x2,若 题：已知 T=I1: T=T2; 和 是关于x,y的方 x十x号=4，则m的值为 y=y 18.设关于x的一元二次方程x+2p.x十1=0 x2-y十k=0, 程组 的两个不相等的实数 有两个实数根，一根大于1，另一根小于1，试 r-y=1 求实数p的取值范围。 解.间：是否存在实数，使得一一 两位同学通过探索提出自己的部分想法 如下： 工2=2？若存在，求出k的值：若不存在，请说 T 甲：求力的取值范围，只需要考虑判别式 明理由. △>0即可. 乙：设两根为x1,x2,由题意得(x: 1)(x1一1)<0，根据根与系数的关系可得p 的取值范围。 请你综合参考甲、乙两人的想法，解决上述 问题. 66 优中学擦讲时避.方程2x2-25x+1=0是“邻根方程” 3 (2)解方程，得(x一m)(x+1)=0, k<一4 .x1=mx:=-1. k2+2k=0. ",方程x2一(m一1)x一m=0(m是常数)是“邻根方程” 解得k=一2. ∴.m=一1十1，或m=一1一1，.m=0或-2. 专题四 一元二次方程根与系数 (3)解方程，得r=一6士y一a 关系的综合应用 2a L.解：存在.，x1x,是一元二次方程(a一6)x2+2ax十a=0的两 :关于x的一元二次方程a.r”十br十1=0(a,b是常数，a≥ 个实数根， 0)是“邻根方程”， :二6牛V-a -b-=如=1， 即a≠6， 2a0.20. la≥0. 2a 2a 假设存在实数a,使一x,+x1x:=4十x,成立， .b2=a2+4a. :1=12a-b2, 则1十(x1十x:)-x1x3=0. t=8a-a=-(a-4)2+16.a>0. +。6 ,当a=4时，1有最大值为16. “5一元二次方程的根与系数的关系 4+-2-。 a-6a-6=0,解得a=24. 1.D2.D 经检验，a=24是原方程的解. 3.解：：方程x2-3x十1=0的两实数根分别为x11: 又a=24满足a≥0且a≠6， 41十r:=3,x1re=1. “存在实数a=24,使一x1十x1x1=4十x:成立. (1)x十x=(x1+x2)-2r1x:=32-2×1=7. 2.解：(1)，关于x的一元二次方程x一6x十m十4=0有两个 (2)(x1-2)(x:-2)=x1x:-2(x,+x)+4=1-2×3+ 实数根xr: 4=-1. ∴.△=(-6)2一4(m+4)=20-4m≥0， 4D55-E6D798号 9.D10.D11.C 解得m≤5. ,∴.m的取值范围为m≤5. 2.e1C4.0615 16.617.-1或-3 (2):关于x的一元二次方程x2一6x十m十4=0有两个实 18.解：：方程十2px十1=0有两个不相等的实数根， 数根x1r2· x1十x,=6①，x1·x2=m+4②. .△=(2p)4X1×1=4p2-4>0, ∴.p>1,或p<-1. 3.x1=|x2+2, 设方程的两根分别为x1,x, 当x2≥0时，有3x1=x:+2③. 联立①③，解得x1=2,x·=4. 由题意可得(.x:一1)(x1一1)<0， 又，xr1十11=-2p12=1, .2X4=m十4，m=4. .(x:-1)(x1-1)=x1x:-(x1+x2)+1=2+2p<0, 当x2<0时，有3x1=-x4十2④. 解得p<一1. 联立①④，解得x1=一2，：=8（不合题意，舍去）. 综上，实数p的取值范围为p<一L, 符合条件的m的值为4. 19.解：(1)43 3.解：(1)证明：一元二次方程(x-3)(x一2)=p(p十1)可变形 (2),a+b+c=0,ab=16, 为x2-5x+6-p2-p=0. ia+b=-c.ab-16 △=(-5)-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p+ 4p+1=(2p+1)≥0， a,b是方程r+c+15=0的解， ·无论争取何值，此方程总有两个实数根。 (2):原方程的两根分别为x1,x2, e-4.16 02-≥0.≥0 x1+x1=5,x1x:=6-p-p, 又：方程的两根x13满足x+r-x:x=3p+1 c是正数， (x1十r:)-3x1x:=3p+1, .c8-4≥0.e3≥4，c≥4， .5-3(6-p-p)=3p2+1. 正数的最小值是1， .25-18+3p2+3p=3p2+1. 1_=2. (3)存在，当k=一2时，yy一五， ∴.3p=-6. 由x2一y十k=0变形，得y=x”+k, ,p=-2, 即p的值为一2. 由x一y=1变形，得y=r-1,把y=x一1代人y=x2+k 4.解：(1)，关于x的一元二次方程x一5r十k■0有实数根。 并整理，得x9一x十k十1=0， 由题意可知，x1x:是方程x一x十k+1=0的两个不相等 △=(-5)2-4×1×k≥0. 的实数根，故有： (-1)-4(k十1)>0. 解得长草。 x1+x:=1, 故k的取值范周是6<织 rir:=k+1. (2)由(1)知， y13y:=(x1-1)(x1-1), 符合条件的最大整数点的值为6. 44=6,-1,-1D-4+,24-2 i.yy:z:a 将x=6代人x2-5r+k=0,得 x12 x2-5x+6=0, 17