精品解析：江苏扬州市2026届高三第一次调研测试数学试卷

扬州市2026届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. -12 D. -8 4. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 11. 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， 13. 已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是______. 14. 定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点． （1）若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； （2）当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 16. 近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求； （3）若，当角最大时，求面积 18. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19. 过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. （1）求双曲线方程； （2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市2026届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再结合交集、子集的定义，即可求解. 【详解】由，则，元素个数为3个， 则集合的子集个数为个； 故选：C 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若复数满足， 则， 故复数的虚部为. 3. 展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. -12 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】将给定式子变形，再结合二项式定理求解作答. 【详解】因， 则展开式的通项公式为， 由解得，所以展开式中的常数项为. 故选：B 4. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 5. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率. 【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种， 所以任意相邻两个数字奇偶性不同的6位数有种， 任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： 当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； 2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种； 所以个位是偶数共有20种； 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数. 6. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 7. 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合两角和差的余弦公式化简，进而可求得，再根据二倍角的正弦公式化简可得. 【详解】易知， 令，则，所以或； 可得或， 因此或， 又因为，所以； 所以 . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据和差角公式得出，是解决本题的关键. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列， 设，则，去掉后，新数据为共8个数. 选项A：原极差：，  新极差：， 极差变小，A正确； 选项B：原平均数：，  新平均数：，平均数不变，B错误； 选项C：原平均数和新平均数均为， 原方差 新数据的方差 所以方差变小，C正确； 选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数 新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均， 百分位数变大，D错误. 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 11. 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为，则其体积，根据两者的高和半径的比得到体积之比，再由圆锥的体积为1，得到圆柱的体积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为， 则其体积，所以， 所以. 答案为： 13. 已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设为抛物线上任意一点， 则， 因为， 所以对称轴， 又由于，且最小时，， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点． （1）若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； （2）当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面和平面平行可证线面平行或者 （2）利用线面角求出线段的长度，建立坐标系，求出法向量可求二面角 【小问1详解】 解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN． 因为，，所以且， 因此四边形PCBN平行四边形，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 因为，，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 而平面PMN， 所以平面平面CDB， 又平面PMN，所以平面CDB． 解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME， 又，所以，且， 又，且，所以，且． 所以四边形PCEM是平行四边形，所以， 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 【小问2详解】 由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF， 因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB， 所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以， 因为， 所以． 连接OD，则，即点F为OB的中点． 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 于是． 设平面APD的法向量为，则，得， 取，可得． 设平面PDB的法向量为，则，得， 取，可得． 所以， 故二面角的正弦值为． 16. 近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】（1），很强的线性正相关关系 （2） X 80 150 210 P 【解析】 【小问1详解】 由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. 【小问2详解】 由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求； （3）若，当角最大时，求的面积 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出； （2）方法：由三角形的面积可得，结合正弦定理和三角恒等变换可得，结合（1）可求； 方法：同方法1可得，结合（1），可得，进而可得，结合（1）可得，可求； （3）方法一：由余弦定理可得，可得，利用基本不等式可求的最大值，进而可求； 方法二：结合（1）可得，结合基本不等式求出的最大值，进而可求. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得：， ，， 两边同时除以，可得：. 【小问2详解】 方法1：，则， 结合正弦定理得，， 即， 则， 所以，即， 解得，又， 所以. 方法2：同方法可得， 由（1）可得，所以， 即，又， 所以，解得，， 所以. 【小问3详解】 方法1：，， ，， ， 当且仅当时等号成立，此时取到最大值， ，当最大时，. 方法2：由（1）知，则， 所以 ，当且仅当，即时，取“=”， 此时，则，. 18. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. 【小问2详解】 ，由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问3详解】 由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 19. 过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. （1）求双曲线方程； （2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知可得出，利用点到直线的距离公式可得出，再利用、、的关系求得的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，则，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可得出，由可求得的值； （ii）由已知可得，令，可得出，利用导数求出函数的值域，即可得出的最小值. 【小问1详解】 解：双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 双曲线上一点到渐近线距离之积， 即，又，， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 解：（i）设直线方程，则，设点、， 联列方程组，可得， 由题意可得且恒成立， 又，， 直线的方程为，令，有， 即，同理， 直角三角形中，设直线交轴于点， 因为，则， 所以，，所以，， 则 ， 即， 当时，因为，可得； （ii）由（i）知：，从而， 令，则， 则 ，则， 当时，；当时，， 所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $