第04讲 正方形（1命题点+9题型+5突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 第04讲 正方形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 正方形的判定与性质 题型01利用正方形的性质求解 题型02利用正方形的性质证明 题型03正方形的折叠问题 题型04添加一个条件使四边形是正方形 题型05证明四边形是正方形 题型06根据正方形的性质与判定求解 题型07根据正方形的性质与判定解决多结论问题 题型08正方形与函数结合 题型09与正方形有关的材料阅读类问题 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 正方形的判定与性质综合 突破二与正方形有关的新定义问题 突破三与正方形有关的动点问题 突破四与正方形有关的最值问题 突破五与正方形有关的存在性问题 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 正方形 深圳卷T8 广州卷T18 深圳卷T10 广东卷T10 广东卷T15 广东卷T20 广州卷T14 广州卷T25 理解正方形的概念； 探索并证明菱形的性质定理及其判定定理； 理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 命题预测 正方形是最特殊的四边形，它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，对于正方形的考查多数是考查其性质，即在正方形的背景下考查全等三角形、相似三角形、圆等内容，试题形式多样，难度不等. 正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2026年广东中考还将出现. 其中，正方还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而正方其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视. 解答题中考查正方形的性质和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大． 考点一 正方形 知识点01、正方形的定义 正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形. 知识点02、正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 知识点03、正方形的对称性： 1、正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2、正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 知识点04、正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 1．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是______（写出一个答案即可）．    3．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 4．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．    (1)若，求证：是等边三角形； (2)延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 命题点一 正方形的判定与性质 ►题型01 利用正方形的性质求解 在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来证两条线段相等，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等. 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，已知两点在正方形的对角线上移动，，连接，并延长分别交于两点，则____． ‍ 【变式1】（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为______ ． 【变式2】（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图1，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上． 【知识技能】（1）如图1，当四边形是正方形时，的面积为_____； 【构建联系】（2）如图2，当四边形是菱形时，若，的面积为S，求S与x之间的函数解析式； 【拓展应用】（3）如图3，正方形是某小区旁一块边长为100米的空地，为了提升附近居民的生活环境，现要把这块空地及其周边打造成一个生态公园．按设计要求，为广场区域，正方形是休息区，是儿童娱乐区，，点N在边的延长线上．为满足各区域及绿化用地，想让广场的面积尽可能小，求面积的最小值及这时点D到点E的距离． ►题型02 利用正方形的性质证明 【典例】（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图1所示，已知四边形是正方形，点是边上的中点，连接，在线段上有一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接与延长线交于点． (1)证明：； (2)当点与点重合时，如图2所示，求的值； (3)当点与点不重合时，求、与之间的数量关系． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与点，重合），连接，将绕点在平面内按顺时针方向旋转至位置，连接，交于点． (1)求证：； (2)过点作于点，其延长线交于点． ①连接，求证：平分； ②当时，求的值． ►题型03 正方形的折叠问题 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为________． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则_______． 【变式2】（2025·广东清远·二模）如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为_____． 【变式3】（2025·江苏宿迁·二模）数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 (1)如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 (2)如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 (3)将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． ►题型04 添加一个条件使四边形是正方形 【典例】（2025·江苏盐城·一模）如图，四边形是菱形，点、在线段上，且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当的值为________时，四边形是正方形（直接写出结果，不需要证明） 【变式1】（2025·湖北咸宁·二模）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． (1)判定四边形的形状并证明； (2)给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 【变式3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） ►题型05 证明四边形是正方形 判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 【典例】（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？ (1)当______时，四边形为菱形； (2)当______时，四边形为矩形； (3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论． 【变式1】（2024·广东河源·一模）课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． (1)为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程．已知：如图所示，已知平行四边形，对角线，相交于点O，且．求证：平行四边形是矩形． (2)如图，利用尺规作的角平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）的条件下，延长交于点F．若，求证：四边形是正方形． 【变式2】（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 【变式3】如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． ►题型06 根据正方形的性质与判定求解 【典例】（2025·广东汕头·一模）如题图1，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为．展开后再折叠一次，如题图2，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于．    (1)若，求证：点为的一个三等分点； (2)若，如题图3，求与之间的数量关系； (3)若，求的值． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）数学活动 按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸长边对折、裁开，便成纸． 【操作与观察】 （1）将一张纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是和），线段落在线段上，点的对应点是点，观察发现点恰好与点重合，求证：纸的长是宽的倍． 【猜想与验证】 （2）利用图，请连接，求证：是等腰直角三角形． 【类比与归纳】 （3）按照国际标准，类比上述研究可以得到用纸裁剪出的最大正方形的面积为 ． 【变式2】（2023·广东佛山·模拟预测）已知：如图，边长为6的菱形的对角线与相交于点，若． (1)求证：四边形是正方形． (2)是上一点，，且，垂足为，与相交于点，求线段的长． 【变式3】（2023·广东清远·二模）在等腰中，，等腰的直角顶点P是边上的一个动点，斜边交所在的直线于点Q，连接． (1)如图1，当时，①与的关系是__________；②推断：与的位置关系是__________． (2)当点P在线段上运动时，上述结论是否成立？请说明理由． (3)如图2，过点D作交的延长线于点C，过点E作交于点H，已知，，求的面积． ►题型07 根据正方形的性质与判定解决多结论问题 【典例】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，其对角线、相交于点，四边形为正方形，直线和相交于点，则下列说法中，正确的有______（填序号）． ①；②为等腰直角三角形；③若正方形的面积为4，则长度的最小值为；④若三点共线，则．    【变式1】（2025·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边交于点，连接，则下列说法中：①；②；③tan∠AFE=3；④.正确的有(    ) A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④ 【变式3】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，在边长为1的正方形中，为边上一点，连接，将沿对折，点恰好落在对角线上的点处，延长，与边交于，延长，与的延长线交于点，则下列说法：①为等腰直角三角形；②；③；④；⑤，其中正确的说法是_________． ►题型08 正方形与函数结合 【典例】（2025·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东汕头·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点，点B在第三象限内，点在函数的图像上 (1)求该反比例函数的解析式； (2)连接，记的面积为S，设，求T的最大值． 【变式2】（2023·广东佛山·三模）如图，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为____________．    【变式3】（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． ►题型09 与正方形有关的材料阅读类问题 【典例】（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践：老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． (1)操作应用：操作一，将两块相同的等腰直角三角板斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空： ①在图1中，四边形的形状是 　 　； ②在图2中，若，，求四边形的面积； (2)迁移拓展：将两块相同的等腰直角三角板换成两块相同的含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为4，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． 【变式1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题； 【深入探究】（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． ①甲组提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题： ②乙组提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长． 【变式2】（2025·广东佛山·二模） (1)动手操作：如图1，将一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，打开，剪出的是一个______形．再利用图形的“旋转”开展数学探究活动，体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法； (2)问题探究：如图2，由“动手操作”所得的四边形的对角线相交于点，把一个与它全等的四边形绕点旋转，交于，交于．探究线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展迁移：如图3，矩形的对角线交点为，直角的边，分别与边，相交于，．设（为常数），探究线段，之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 突破一 正方形的判定与性质综合 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，，将线段绕点顺时针旋转，连接、；点为中点，连接，直线与直线交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)连接并延长至点，使，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，当点、、共线时，，连接，，请直接写出的值． 【变式1】（2023·广东东莞·一模）如图，在矩形中，沿对折，点B与点E重合，再沿对折，点A与点F重合，两条折痕交于点O，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东清远·二模）综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，是角平分线． (1)求证：； (2)如图，四边形是正方形，根据的结论，在对角线上找到点，以为圆心，为半径画圆，使圆恰好与相切， ①请写出画法，画出该圆． ②请证明圆与边相切． (3)若（2）中圆的半径是，求出正方形的边长． 突破二 与正方形有关的新定义问题 【典例】（2023·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______； (2)如图1，在正方形中，E是对角线延长线上一点，连接．求证：四边形是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得，，发现它是一个筝形，还得到，，，求筝形的面积． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 【变式2】（2025·山西太原·二模）阅读下列研究性学习报告内容，并完成相应的任务． 课题：关于“等邻边四边形”的研究报告 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1所示的四边形为“等邻边四边形”，其中． 性质探究： 性质：等邻边四边形的两组邻边分别相等． 如图2，，，对角线恰好平分．求证：四边形是“等邻边四边形”． 证明：，．（依据1） 又∵平分，． ，．（依据2） ，，∴四边形是等腰梯形． ，．∴四边形是“等邻边四边形”． 任务： (1)根据“等邻边四边形”的定义，下列四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______．（请填写正确的两个选项） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)填空：材料中的“依据1”是指______，“依据2”是指______； (3)如图3，四边形ABCD是“等邻边四边形”，，，，，请直接写出“等邻边四边形ABCD”的面积． 【变式3】（2025·河南·模拟预测）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 突破三 与正方形有关的动点问题 【典例】（2024·广东深圳·模拟预测）【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点， 【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：； 【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为______． 【变式1】（2024·广东广州·一模）如图，已知正方形的边长为，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点，则的取值范围是______． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．    (1)求的正切值； (2)若平分，求出点的坐标； (3)若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点． 【变式3】（2024·安徽阜阳·三模）如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接． (1)求证：； (2)如图2，点G为的中点，连接． ①是什么特殊三角形，并说明理由； ②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论． 突破四 与正方形有关的最值问题 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，点P是对角线上的一个动点，则线段的最小值是 _______________． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，正方形的边长为4，点在边上，为对角线上一动点，连接，，若的最小值，则____________． 【变式3】（2024·广东江门·模拟预测）如图，在正方形中，分别为边上的动点．交于点，且．连接，则当的值最小时，的值为______． 突破五 与正方形有关的存在性问题 【典例】（2025·山东菏泽·二模）如图1，在边长为5的正方形中，点，分别是，边上的点，且，. (1)求的值； (2)延长交正方形的外角平分线于点（如图2），试判断与的大小关系，并说明理由； (3)在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【变式2】（2023·湖北恩施·模拟预测）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．    (1)求k的值． (2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式． (3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2023·陕西西安·三模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 1．（2025·广东广州·一模）如图，正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于x轴，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·三模）如图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个与图1中完全相同的直角三角形分别摆放为如图2、图3所示的图形，其中阴影小正方形的面积分别记为，则的值为（    ） A．9 B．4 C．1 D．0 4．（2024·广东·模拟预测）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东东莞·一模）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 __________． 6．（2024·广东东莞·一模）已知正三角形的边长为2cm，若以为边作一个正方形，则点到边距离为______cm． 7．（2024·宁夏银川·一模）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形；若，则的长度为________．    8．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为_________． 9．（2025·广东汕头·一模）如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点． (1)与是否相似？为什么？ (2)试问：与有什么关系？ 10．（2025·广东珠海·一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点． (1)求证：CE＝BF； (2)若AB＝4，求GF的值． 11．（2024·广东广州·一模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（　　） A．2 B． C． D．1 12．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．（2025·陕西·模拟预测）如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A．6 B． C． D． 14．（2025·广东中山·二模）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 15．（2024·广东清远·一模）如图，正方形和正方形按照如图所示方式放置，连接、、，若，则线段的最小值为______． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过作，交于点，若，则正方形的面积为________． 17．（2024·广东·模拟预测）如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．则线段长的最小值为______． 18．（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是______． 19．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 20．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 21．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 22．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 23．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 24．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 25．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 26．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 27．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 28．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 29．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 30．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 31．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 32．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 33．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 34．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 35．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 36．（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． (1)求证：． (2)若四边形的周长为，求的长． 37．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 第04讲 正方形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 正方形的判定与性质 题型01利用正方形的性质求解 题型02利用正方形的性质证明 题型03正方形的折叠问题 题型04添加一个条件使四边形是正方形 题型05证明四边形是正方形 题型06根据正方形的性质与判定求解 题型07根据正方形的性质与判定解决多结论问题 题型08正方形与函数结合 题型09与正方形有关的材料阅读类问题 05·重难突破·思维进阶难 71 突破一 正方形的判定与性质综合 突破二与正方形有关的新定义问题 突破三与正方形有关的动点问题 突破四与正方形有关的最值问题 突破五与正方形有关的存在性问题 06·优题精选·练能提分 111 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 正方形 深圳卷T8 广州卷T18 深圳卷T10 广东卷T10 广东卷T15 广东卷T20 广州卷T14 广州卷T25 理解正方形的概念； 探索并证明菱形的性质定理及其判定定理； 理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 命题预测 正方形是最特殊的四边形，它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，对于正方形的考查多数是考查其性质，即在正方形的背景下考查全等三角形、相似三角形、圆等内容，试题形式多样，难度不等. 正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2026年广东中考还将出现. 其中，正方还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而正方其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视. 解答题中考查正方形的性质和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大． 考点一 正方形 知识点01、正方形的定义 正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形. 知识点02、正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 知识点03、正方形的对称性： 1、正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2、正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 知识点04、正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 1．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是______（写出一个答案即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的性质，由题意可得，，结合图形得出，即可得解，熟练掌握正方形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴正方形的边长可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 4．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．    (1)若，求证：是等边三角形； (2)延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)①能为等腰三角形，；② 【分析】（1）由轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，得到，推出点B不可能是等腰三角形的顶点，若点F是等腰三角形的顶点，则有，此时E与D重合，不合题意，于是得到只剩下了，连接交于H，根据全等三角形的性质得到，得到为等腰三角形，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到； ②由①知，，要求面积的最大值，即求面积的最大值，在中，底边是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，设，则，根据直角三角形的性质得到，推出，当当G，M，N三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设与交于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵于对称的线段为， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）①∵于对称的线段为， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是边上一动点， ∴， ∴点B不可能是等腰三角形的顶点， 若点F是等腰三角形的顶点， 则有， 此时E与D重合，不合题意， ∴只剩下了，连接交于H，    ∵ ∴ ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②由①知， 要求面积的最大值，即求面积的最大值， 在中，底边是定值，即求高的最大值即可， 如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，      设，则， ∵，M是的中点， ∴， ∴， 当G，M，N三点共线时，取等号， ∴面积的最大值， 的面积 如图3，设与交于Q，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 命题点一 正方形的判定与性质 ►题型01 利用正方形的性质求解 在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来证两条线段相等，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等. 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，已知两点在正方形的对角线上移动，，连接，并延长分别交于两点，则____． ‍ 【答案】/90度 【分析】本题考查了正方形的对称性、四边形内角和定理及邻补角的性质，根据正方形的对称性可得在四边形内角和为，可算出；又因为与、与均为邻补角，所以，代入前面算出的的值即可求出结果． 【详解】解：由正方形的对称性可得， ‍， ‍ ． ‍故答案为：． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为______ ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先利用正方形的性质进行角度转化，得到，再利用相似比求得的长度，即可求得的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图1，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上． 【知识技能】（1）如图1，当四边形是正方形时，的面积为_____； 【构建联系】（2）如图2，当四边形是菱形时，若，的面积为S，求S与x之间的函数解析式； 【拓展应用】（3）如图3，正方形是某小区旁一块边长为100米的空地，为了提升附近居民的生活环境，现要把这块空地及其周边打造成一个生态公园．按设计要求，为广场区域，正方形是休息区，是儿童娱乐区，，点N在边的延长线上．为满足各区域及绿化用地，想让广场的面积尽可能小，求面积的最小值及这时点D到点E的距离． 【答案】（1）5；（2）（3）的最大值为3750平方米，这时点D到点E的距离为米 【分析】（1）证明，得出．由勾股定理求出，由三角形面积公式可得出答案； （2）连接，作于点Q，则，证明．得出．由三角形面积公式可得出答案； （3）分别延长交于点K，则四边形是矩形．证出四边形为平行四边形．设，，根据及二次函数的性质可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5； （2）如图②，连接，作于点Q，则， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴， ∵矩形中，， ∴． ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴S与x之间的函数关系式； （3）存在．如图③，分别延长交于点K，则四边形是矩形． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． 设，，， 则 ， ∵， ∴当时，平方米． 此时米． ∴的最大值为3750平方米，这时点D到点E的距离为米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． ►题型02 利用正方形的性质证明 【典例】（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 由，四边形是正方形，可证明，得，故，同理可得，可证明，即得，得，从而求出，而，得，即得． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ， 在正方形中，， ，即， 同理可得， ， ，即， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图1所示，已知四边形是正方形，点是边上的中点，连接，在线段上有一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接与延长线交于点． (1)证明：； (2)当点与点重合时，如图2所示，求的值； (3)当点与点不重合时，求、与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)在线段上：；在延长线上： 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质（、）、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转的性质构造全等三角形，将分散的边和角转化为关联条件，结合正方形的特殊边角关系进行推理与计算． （1）由正方形性质得、，由旋转得、，推出；用证，即可得； （2）设正方形边长为（简化中点计算），用勾股定理求；由得，结合对顶角证，用相似比求；计算，进而求的值； （3）分两种情况：①当在CH延长线上时，过作垂线构造正方形DMHN，证得、，结合为中点得，推出； ②当在线段CH上时，过作垂线构造正方形，证得、，结合为中点得，推出． 【详解】（1）证明： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）边上的中点是E，设正方形边长为， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ， （3）解： ①当点G在的延长线上时， 如图所示． 过点 D 作， 的延长线于点， 则 ∵， ∴， ， ∴ ∴ ∴， ， ∴四边形 是正方形． ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ②当点G在线段上时， 过点 D 作 ， 的延长线于点Q，如图所示． 则 ∵ ， ∴， ∴ ∴， ， ∵ ∴ ∴四边形 是正方形， ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ 【变式2】（2025·广东深圳·一模）综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)或，的面积为4或 (3) 【分析】（1）由正方形性质得出：，因为证得，进而推导和，通过互余关系得，最终利用两角对应相等完成相似证明； （2）分两种情况讨论：①当时，作，设，利用为中线及的比例关系解得，此时为等腰直角三角形，面积，且点共线，故；②当时，作，设    ，通过和的勾股定理（）解得，进而面积，再结合的比例关系：得，故．综合得或，对应面积为或； （3）首先利用，说明点在以中点为圆心的圆上，延长交延长线于，设，推导，进而得，从而．要使最小（即最小），需最大，此时与圆相切（即），设，利用建立方程，解得（舍负值），代入得，最终可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）如图，作于点H， ， ， ， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： ①当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，为等腰直角三角形， ， ∴此时点A、F、C三点共线， ； ②当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ； 综上所述，或2，的面积为或； （3）的最小值为．理由如下： ， ∴点F在以的中点M为圆心的圆上，延长交的延长线于点N， 设， ， ， ， ， ， ， ， 若最小，即最小，则最大， 当最大时，与圆M相切，即， 设， ， ， ， 解得或（舍）， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质（如直角、边相等）、三角形相似（AA判定）与全等（AAS）、等腰三角形的分类讨论、勾股定理、圆的性质（点轨迹、切线）及最值问题（通过相似比例和方程求极值）。解决问题的关键在于巧妙构造辅助线（如垂线、延长线）建立几何关系，将动态问题转化为静态模型，利用相似和全等传递边角关系，并通过方程思想求解未知量，同时注意分类讨论避免遗漏（如小问2的等腰三角形情形），最终综合几何变换（折叠）和圆的性质实现最值优化。 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与点，重合），连接，将绕点在平面内按顺时针方向旋转至位置，连接，交于点． (1)求证：； (2)过点作于点，其延长线交于点． ①连接，求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②． 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得，即可证明； （2）①过点作于点，交于点，过点作于点，可证明四边形是正方形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得出结论； ②由已知可得，再根据，可得，由，即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵将绕点在平面内按顺时针方向旋转至位置， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点， 由旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴平分， ②当时，即， ∴， ∴ ∴， ∵在正方形中，， ∴， 由①得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正切的定义，旋转、正方形和相似三角形的性质与判定以及全等三角形综合，解题关键是掌握相似三角形的性质与判定． ►题型03 正方形的折叠问题 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，切线长定理，解直角三角形等知识．连接，如图，由正方形的性质得，再由折叠的性质得，接着根据切线长定理得到平分，则，所以，则利用可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵沿折叠至， ∴， ∵，与以正方形的中心为圆心的相切， ∴平分， ∴， ∴， 而， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则_______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键． 证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ． 由折叠性质可得， ， 由折叠可得， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 由折叠性质可得， ∴，即 故答案为：． 【变式2】（2025·广东清远·二模）如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，由正方形和折叠的性质，易证，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 正方形的边长为4， ，， 由折叠可知，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即． 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏宿迁·二模）数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 (1)如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 (2)如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 (3)将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 【答案】(1)90 (2)① 45；②正确，理由见解析 (3)1或 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：∵将边长为2的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴． 当点F在的延长线上时，设与交于E， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点F在上时， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． ►题型04 添加一个条件使四边形是正方形 【典例】（2025·江苏盐城·一模）如图，四边形是菱形，点、在线段上，且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当的值为________时，四边形是正方形（直接写出结果，不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，正方形的性质是解决问题的关键． （1）连接，交于点，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）当四边形是正方形时，则，设，则，，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 连接，交于点，如图1所示： ∵四边形是菱形， ， 点在直线上，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： 当四边形是正方形时，则， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖北咸宁·二模）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定定理，解题关键是熟练掌握判定定理是解题的关键； 依据已知条件先确定四边形为矩形，再分析各选项添加条件能否满足正方形的判定。 【详解】∵四边形的两条对角线且互相平分． ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形， A．若 ，即矩形的对角线互相垂直．根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； B．若 ，即矩形的邻边相等．根据正方形的判定定理：邻边相等的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； C．因为四边形是矩形，所以，又，所以是矩形本身就具有的性质，仅这一条件不能判定该矩形是正方形，符合题意； D．因为四边形是矩形，所以，则 ，若 ，那么 ，所以 ，即矩形邻边相等，根据邻边相等的矩形是正方形，该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． (1)判定四边形的形状并证明； (2)给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)当时四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，由（1）知，四边形是菱形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是和的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：当时四边形是正方形． 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判断，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 【变式3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法． （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， ， 四边形是平行四边形， 由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：． ►题型05 证明四边形是正方形 判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 【典例】（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？ (1)当______时，四边形为菱形； (2)当______时，四边形为矩形； (3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定，熟练的掌握三角形的中位线定理并在推理论证中正确的运用是解题的关键． （1）根据三角形得中位线定理， ，结合题意，则可得到四边形是菱形； （2）根据三角形的中位线定理，可得，，，结合题意四边形是矩形，可得； （3）结合（1）（2）易得四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵、、、分别是四边形各边的中点， ∴、分别是和的中位线； ∴， ； 当时， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 故答案为： （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵、、、分别是四边形各边的中点， ∴、分别是和的中位线； ∴，， ∴， 即：， ∴当时，四边形为矩形． （3）当时，由（1）得四边形是菱形； 当时，由（2）四边形是矩形； ∴四边形是正方形； 故当且时，四边形是正方形． 【变式1】（2024·广东河源·一模）课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． (1)为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程．已知：如图所示，已知平行四边形，对角线，相交于点O，且．求证：平行四边形是矩形． (2)如图，利用尺规作的角平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）的条件下，延长交于点F．若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形判定及性质，平行四边形的性质，正方形的判定，尺规作图作角平分线，理解矩形的判定及性质是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合，得，可知，，再利用三角形的内角和得，即可证明结论； （2）根据角平分线的作图解答即可； （3）根据矩形的性质得出，，证明四边形是矩形，再证，得，即，进而利用正方形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）解：如图所示：即为所求， （3）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴矩形是正方形． 【变式2】（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质证明，即可得出答案； （2）先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明； （3）设正方形边长为，在中用勾股定理建立关于的方程，求解即可 【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（1）得：，且， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识点，运用了方程的思想．熟练掌握全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质是解题的关键． 【变式3】如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由平行线的性质可得，由旋转得．再证明得出，即可得证； （2）证明得出，，由勾股定理得出，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形是矩形．再求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． ►题型06 根据正方形的性质与判定求解 【典例】（2025·广东汕头·一模）如题图1，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为．展开后再折叠一次，如题图2，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于．    (1)若，求证：点为的一个三等分点； (2)若，如题图3，求与之间的数量关系； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据，可得四边形是正方形，设正方形的边长为，，则，根据翻折的性质以及勾股定理在中，，可得，进而根据一线三等角得出，则，得出，即可得证； （2）同（1）的方法得出，则，即可求解； （3）设，，则，同理可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为，，则， 由翻折的性质，， ， 在中，， 即，    解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴点N为的一个三等分点． （2）解：设矩形的长为，， ∵， ∴宽为，    则， 由翻折的性质，，， 在中，，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴． （3）解：设，，则， 由翻折的性质，， 由，得． ∴． 在中，， 即 整理得． ∴． ∴． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）数学活动 按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸沿长边对折、裁开，便成纸，将纸长边对折、裁开，便成纸． 【操作与观察】 （1）将一张纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是和），线段落在线段上，点的对应点是点，观察发现点恰好与点重合，求证：纸的长是宽的倍． 【猜想与验证】 （2）利用图，请连接，求证：是等腰直角三角形． 【类比与归纳】 （3）按照国际标准，类比上述研究可以得到用纸裁剪出的最大正方形的面积为 ． 【答案】（1）见详解（2）详解（3） 【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为； （2）由折叠可知，．根据正方形的性质可求出，从而可求出，进而可求出，即可证是等腰直角三角形； （3）根据题意可知纸的长为纸的宽，纸的宽为纸的长度的一半，结合纸的长和宽的比，即可得到纸的长和宽的比；②根据长和宽的比，以及纸的面积，求出纸长和宽，推出当裁剪出的正方形的边长等于纸的宽时，面积最大，求解即可． 【详解】解（1）证明：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 即纸的长是宽的倍． （2）证明：由第二次折叠可知，． 由（1）可知四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）∵将纸沿长边对开便成了两张纸， ∴纸的长为纸的宽，纸的宽为纸的长度的一半， ∵纸的长宽之比 ∴纸的长宽之比是． 同理可知：纸的长宽之比是， 设纸的宽为，则长为， ∵纸的面积为， ∴， ∴， ∴当用纸可以裁剪出正方形的边长等于纸的宽时，面积最大，为． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题关键． 【变式2】（2023·广东佛山·模拟预测）已知：如图，边长为6的菱形的对角线与相交于点，若． (1)求证：四边形是正方形． (2)是上一点，，且，垂足为，与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质得出，，再证明出，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，再证明，得出，再求出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 菱形是正方形， （2）解：四边形是正方形，， ，， ∴， ，， ，垂足为， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ． ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2023·广东清远·二模）在等腰中，，等腰的直角顶点P是边上的一个动点，斜边交所在的直线于点Q，连接． (1)如图1，当时，①与的关系是__________；②推断：与的位置关系是__________． (2)当点P在线段上运动时，上述结论是否成立？请说明理由． (3)如图2，过点D作交的延长线于点C，过点E作交于点H，已知，，求的面积． 【答案】(1)相似，平行 (2)两结论都成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）证出，由相似三角形的判定可得出结论；证明，得出，由平行线的判定可得出结论； （2）方法同（1）可证明，； （3）证明，得出．求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形， ， ， ， 则与的关系是相似； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则与的位置关系是：平行， 故答案为：相似，平行； （2）成立．理由如下： 等腰中，， ．， 等腰中，， ，， 又． ； 成立．理由如下： 在和中， ，． ． ， ， ， 又， ． ， ， ； （3），， 四边形为正方形． ， ． ， ， ， ，． ，， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了正方形的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键． ►题型07 根据正方形的性质与判定解决多结论问题 【典例】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，其对角线、相交于点，四边形为正方形，直线和相交于点，则下列说法中，正确的有______（填序号）． ①；②为等腰直角三角形；③若正方形的面积为4，则长度的最小值为；④若三点共线，则．    【答案】①②③ 【分析】根据四边形是矩形，四边形为正方形，得出，证明，根据相似三角形的性质即可证明，故①正确；结合①得出，即可证明为等腰直角三角形，故②正确；连接，若正方形的面积为4，则，在中，勾股定理求出，在中，根据，即可判断③正确；若三点共线，则在中，得出，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形，故②正确； 连接，    若正方形的面积为4， 则， 在中，， 在中，， 则长度的最小值为，故③正确； 若三点共线， 则在中，， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，三角形三边关系应用等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ，， ， ， 解得， ，故④正确 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边交于点，连接，则下列说法中：①；②；③tan∠AFE=3；④.正确的有(    ) A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④ 【答案】D 【分析】延长CB到G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，即可证得AG=AF，∠DAF=∠BAG，再证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°， ∴∠ABG=90°=∠D， ∵△ABG和△ADF中， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG=AF，∠1=∠2， 又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°， ∴∠2+∠3=45°， ∴∠1+∠3=45°， ∴∠GAE=∠EAF=45°． 在△AEG和△AEF中， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴GE=EF， ∵GE=BG+BE，DF=BG， ∴EF=DF+BF，故②正确， ∵BE=EC=3，AB=6， ， ∴∠3≠30°，故①错误， 设DF=x，则EF=x+3， 在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2， ∴（x+3）2=32+（6-x）2， ∴x=2， ∴DF=BG=2， ，故③正确， ，故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线，构造全等的三角形是解决问题的关键． 【变式3】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，在边长为1的正方形中，为边上一点，连接，将沿对折，点恰好落在对角线上的点处，延长，与边交于，延长，与的延长线交于点，则下列说法：①为等腰直角三角形；②；③；④；⑤，其中正确的说法是_________． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由折叠的性质即可判断①；证明即可判断②；求出即可判断③；证明是等腰直角三角形，得出即可判断④，作于，于，证明即可判断⑤；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，，，则， ∴是等腰直角三角形，①正确． ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，②正确． 由①证得：， 又∵， ∴在中，， 在中，； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 作于，于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，⑤正确． ∴①②④⑤正确． 故答案为：①②④⑤． ►题型08 正方形与函数结合 【典例】（2025·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式，由题意可得，，，证明，由相似三角形的性质求出，最后由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（2024·广东汕头·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点，点B在第三象限内，点在函数的图像上 (1)求该反比例函数的解析式； (2)连接，记的面积为S，设，求T的最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，T的最大值是． 【分析】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图像和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． （1）点在函数的图像上，代入即可得到k的值； （2）由点在x轴负半轴得到，由四边形为正方形得到，轴，得的面积为，则，根据二次函数的性质即可得到T的最大值． 【详解】（1）解：∵点在函数的图像上， ∴， ∴， ∴； （2）∵点在x轴负半轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，轴， ∴的面积为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，T的最大值是． 【变式2】（2023·广东佛山·三模）如图，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为____________．    【答案】2 【分析】观察图象可知，P在正方形的边上每运动一周，则的值增加16， （周）……7（单位长度），当时，点位于边四等分点靠近处，再根据图象算出结果． 【详解】解：P在正方形的边上每运动一周，则的值增加16， （周）……7（单位长度）， 当时，点位于边四等分点靠近处，即， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，一次函数的图象、动点问题等，找到图像中的规律是解决本题的关键是． 【变式3】（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．    ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． ►题型09 与正方形有关的材料阅读类问题 【典例】（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践：老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． (1)操作应用：操作一，将两块相同的等腰直角三角板斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空： ①在图1中，四边形的形状是 　 　； ②在图2中，若，，求四边形的面积； (2)迁移拓展：将两块相同的等腰直角三角板换成两块相同的含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为4，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． 【答案】(1)①正方形；②30； (2)四边形的形状可以是菱形，． 【分析】本题主要考查几何图形的变换，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）①根据，都是等腰直角三角形，及正方形的判定即可求解；②运用全等三角形的判断和性质，平行四边形的判定方法即可求解； ②证明四边形是平行四边形，利用勾股定理求得，进一步解答即可； （2）根据菱形的判定方法即可求证 【详解】（1）解：①，都是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形； 故答案为：正方形； ②如图2，连接，，过点作于点， 四边形是正方形， ，， 将三角板沿方向平移， ，， ，，， 四边形是平行四边形， 在中，， ， ， ， ， 在 中，， ， ， 答：四边形的面积为30． （2）四边形的形状可以是菱形，理由如下： 如图3，接，， 在中，， ，， 将三角板沿方向平移， ，， 四边形是平行四边形， 当 时，四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ． 【变式1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题； 【深入探究】（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． ①甲组提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题： ②乙组提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长． 【答案】（1）四边形为正方形，理由见解析；（2）①，证明见解析；② 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论； ②设，的交点为，过作于，则易得，点是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：（1）四边形为正方形．理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． ， ． 矩形为正方形； （2）①．理由如下： ， ， ， ， ，即， ， ， ． 由（1）得， ． ②如图4：设，的交点为，过作于， ， ，，，， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由勾股定理得， ， ， ，即， ， ，，， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式2】（2025·广东佛山·二模） (1)动手操作：如图1，将一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，打开，剪出的是一个______形．再利用图形的“旋转”开展数学探究活动，体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法； (2)问题探究：如图2，由“动手操作”所得的四边形的对角线相交于点，把一个与它全等的四边形绕点旋转，交于，交于．探究线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展迁移：如图3，矩形的对角线交点为，直角的边，分别与边，相交于，．设（为常数），探究线段，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)正方； (2)OE=OF； (3)OE=kOF，理由见解析 【分析】（1）一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，得出剪下的这个三角形为等腰直角三角形，展开即为正方形； （2）根据正方形的性质得出OB=OC，∠OCB=∠OBA=45°，结合图形，理由各角之间的数量关系得出∠COF=∠GOB，由全等三角形的判定及性质即可证明； （3）过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，由矩形的判定定理得出四边形BMON是矩形，结合图形及各角之间的数量关系得出∠MOE=∠NOF，利用相似三角形的判定和性质得出∆OME~∆ONF，，根据图形得出OM=，ON=，代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角， ∴剪下的这个三角形为等腰直角三角形， 将其展开后，这个图形为正方形， 故答案为：正方形； （2）解：OE=OF，理由如下： 由（1）得四边形ABCD为正方形， ∴四边形OMHG为正方形， ∴OB=OC，∠OCB=∠OBA=45°， ∵∠COB=∠MOE=90°， ∴∠COF+∠FOB=∠FOB+∠GOB， ∴∠COF=∠GOB， ∴∆OEB≌∆OFC， ∴OE=OF； （3）解：如图所示，过点O作OM⊥AB，ON⊥BC， ∴∠OME=∠ONF=∠ONB=90°， ∵∠MBN=90， ∴四边形BMON是矩形， ∴∠MON=∠EOF=90°， ∴∠MOE+∠EON=∠NOF+∠EON， ∴∠MOE=∠NOF， ∴∆OME~∆ONF， ∴， ∵AO=OC，OM∥BC， ∴AM=MB， ∴OM=， 同理可得ON=， ∴， ∴OE=kOF． 【点睛】题目主要考查正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 突破一 正方形的判定与性质综合 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，，将线段绕点顺时针旋转，连接、；点为中点，连接，直线与直线交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)连接并延长至点，使，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，当点、、共线时，，连接，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）连接，过点作于．证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，即可解决问题； （2）①连接，．先证明，得出，，再通过，，，四点共圆，证，，即可证， 通过，证，证明四边形是正方形，证明，设，求出，（用表示），即可解决问题； ②设，．则，解直角三角形求出，再证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于． ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2）解：①如图，连接，． ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设， 则， ， ， ， ， ； ②， 可以假设，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换综合，涉及等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转变换，勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 【变式1】（2023·广东东莞·一模）如图，在矩形中，沿对折，点B与点E重合，再沿对折，点A与点F重合，两条折痕交于点O，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作交于点G，首先根据折叠的性质证明出四边形是正方形，然后根据正方形的性质得到，设，根据勾股定理求出，然后根据矩形和正方形的性质得到，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，作交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵沿对折，点B与点E重合，再沿对折，点A与点F重合， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式2】（2024·广东清远·二模）综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）的值为； （3）的长为或． 【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论； （2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值； （3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， 由是直角三角形，可得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当在延长线上时， ，，， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，是角平分线． (1)求证：； (2)如图，四边形是正方形，根据的结论，在对角线上找到点，以为圆心，为半径画圆，使圆恰好与相切， ①请写出画法，画出该圆． ②请证明圆与边相切． (3)若（2）中圆的半径是，求出正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析；②证明见解析 (3) 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质定理得到，再利用等腰直角三角形的性质解答即可得出结论； 作出的平分线，过点作，交于点，以点为圆心为半径画圆即可； 通过计算得到，利用圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线的性质解答即可； 设与切于点，连接，利用圆的切线的性质定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质定理，正方形的性质，基本作图，熟练掌握正方形与等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， ， ， 是角平分线，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； （2）解：作的平分线，与边交于点， 过点作于点，交于点， 以点为圆心为半径画圆，如图， 则圆为所画的圆． 证明：四边形为正方形， ，， 为等腰直角三角形， 由作图可知：为的平分线， 根据的结论可得：， 设，则， ，， ，， ， ， 圆心到的距离等于圆的半径， 圆与边相切． （3）解：设与切于点，连接，如图， 与切于点， ， 圆的半径是， ， 为等腰直角三角形， ， 由可知：， ， ． 正方形的边长为． 突破二 与正方形有关的新定义问题 【典例】（2023·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______； (2)如图1，在正方形中，E是对角线延长线上一点，连接．求证：四边形是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得，，发现它是一个筝形，还得到，，，求筝形的面积． 【答案】(1)菱形，正方形 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据筝形的定义结合所学知识可得答案； （2）根据正方形的性质利用证明，得到，再由，即可证明四边形是筝形： （3）如图所示，过点A作交延长线于E，连接，先证明，推出，求出，得到，进而求出，利用三角形面积公式求出，则． 【详解】（1）解：由题意得，菱形和正方形都是筝形， 故答案为：菱形，正方形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是筝形： （3）解：如图所示，过点A作交延长线于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形与正方形的性质得其对角线相等，由等对四边形的定义即可求解； （2）画一个对角线等于，顶点在格点的矩形即可； （3）连接，，证明，得到，即可由等对四边形的定义得出结论． 【详解】（1）解：∵①矩形和③正方形的对角线相等，②菱形和④平行四边形对角线不一定相等， ∴①矩形和③正方形是等对四边形，②菱形和④平行四边形不一定是等对四边形， 故答案为：①③ （2）解：如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可知：． （3）证明：如图，连接，， ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是等对四边形． 【点睛】本题考查新定义，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解新定义，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·山西太原·二模）阅读下列研究性学习报告内容，并完成相应的任务． 课题：关于“等邻边四边形”的研究报告 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1所示的四边形为“等邻边四边形”，其中． 性质探究： 性质：等邻边四边形的两组邻边分别相等． 如图2，，，对角线恰好平分．求证：四边形是“等邻边四边形”． 证明：，．（依据1） 又∵平分，． ，．（依据2） ，，∴四边形是等腰梯形． ，．∴四边形是“等邻边四边形”． 任务： (1)根据“等邻边四边形”的定义，下列四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______．（请填写正确的两个选项） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)填空：材料中的“依据1”是指______，“依据2”是指______； (3)如图3，四边形ABCD是“等邻边四边形”，，，，，请直接写出“等邻边四边形ABCD”的面积． 【答案】(1)B，D (2)两直线平行，内错角相等；等角对等边 (3) 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义判断即可； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，推出四边形是等腰梯形，得到，根据“等邻边四边形”的定义得到四边形是“等邻边四边形”； （3）连接交于O，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由“等邻边四边形”的定义得到菱形和正方形是“等邻边四边形”， 故答案为：B，D； （2）证明：， ， 又平分， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 四边形是“等邻边四边形”． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等角对等边； （3）连接交于O， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， “等邻边四边形”的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，等边三角形的性质，正确地理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键． 【变式3】（2025·河南·模拟预测）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 【答案】（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或4． 【分析】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：； （2）如图， 连接，， ， ， ， 故答案为：； 操作探究：解：如图， 取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：； 拓展延伸 （1）证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 实践应用：解：如图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 突破三 与正方形有关的动点问题 【典例】（2024·广东深圳·模拟预测）【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点， 【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：； 【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为______． 【答案】（1），．（2）①见解析；② 【分析】（1）延长交的延长线于，根据题意证明出，得到，，进而求解即可； （2）①延长、相交于点，根据题意证明出，得到，，然后由矩形的性质得到，进而求解即可； ②设，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）结论：，．    理由：延长交的延长线于， 正方形， ，， 正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）①证明：如图2中，延长、相交于点．    四边形、四边形都是矩形， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ． ②设， ， ， ， 当时，面积最小，最小面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 【变式1】（2024·广东广州·一模）如图，已知正方形的边长为，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．当点与点重合，点在边上，此时的值最大；连接，利用即可最小值． 【详解】解：如图1，点与点重合，此时点在边上， 正方形的边长为2， ， 由折叠得， 的最大值为2； 如图2，连接， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最值范围是， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．    (1)求的正切值； (2)若平分，求出点的坐标； (3)若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点． 【答案】(1)1 (2) (3)见解析 【分析】（1）先求出点D的坐标和的长度，从而求出双曲线的解析式，继而求出点E的坐标和的长度，从而利用正切值的定义求解即可； （2）过点作于点，连接，利用角平分线的性质得出，从而证明，得出，同理证明得到，设点坐标为，得到，在中利用勾股定理得到，从而列出方程解出b，即可得解； （3） 设点坐标为，运用直角三角形的面积公式求出，运用割补法求出，再根据列出方程求出c，从而证明是线段的中点． 【详解】（1）解：连接，   点的坐标为， ． 四边形是正方形， ． 又为的中点， ， 点的坐标为． 过点的反比例函数． 得， 解得， ． 点在上， 点得坐标为． 又点在反比例函数上， ， 解得， 为， ， 在中，； （2）过点作于点，连接，   平分，， ， ． 在与中 ， ， ． 在与中 ， ． 设点坐标为， ． 在中 ． ， ， ， 解得， 为； （3）证明：设点坐标为，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 为的中点． 【点睛】本题考查正方形的性质，反比例函数与几何综合问题，求正切，角平分线的性质，勾股定理，全等三角的判定与性质，割补法求面积等知识，难度中等，但综合程度较大，属于中考常考题，掌握相关解题技巧是解题的关键． 【变式3】（2024·安徽阜阳·三模）如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接． (1)求证：； (2)如图2，点G为的中点，连接． ①是什么特殊三角形，并说明理由； ②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①是等边三角形，理由见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，则，即可证明； （2）①连接，通过证明，推出，进而得出，则，即可得出，得出结论是等边三角形；②设，先求出，则，通过证明是等边三角形，得出，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：①连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点，， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； ②，证明如下： 证明：设， ∵是等边三角形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点G为的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用． 突破四 与正方形有关的最值问题 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，点P是对角线上的一个动点，则线段的最小值是 _______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的轴对称性质，轴对称-最短路线问题，根据正方形的轴对称性可知，A、C关于对称，连接交于点P，最小值为，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵正方形是关于对角线所在直线的轴对称图形，A点的对称点是C点， ∴的最小值为， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值是． 故答案为：． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，全等三角形的判定和性质．根据证明得，取的中点H，连接，证明G点的运动轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，可得当C，G，H共线时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点H，连接． ∵A、B为定点， ∴G点的运动轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，的值最小， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵C，G，H共线时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，正方形的边长为4，点在边上，为对角线上一动点，连接，，若的最小值，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，证明，则，由，可知当三点共线时，的值最小，如图，连接，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，的值最小， 如图，连接，则， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（2024·广东江门·模拟预测）如图，在正方形中，分别为边上的动点．交于点，且．连接，则当的值最小时，的值为______． 【答案】 【分析】先证明，构造辅助圆，计算最小值，利用等腰三角形的判定和正切函数的定义计算即可，本题考查了正方形的性质，勾股定理，辅助圆的构造，正切函数，熟练掌握辅助圆的构造和正切函数是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 点在以为直径的半圆（在正方形内部）上运动． 如图，连接，交于点， 此时的值最小，最小值为． ， ， ． ， ． ， ． 又 ， ， ． 故答案为：． 突破五 与正方形有关的存在性问题 【典例】（2025·山东菏泽·二模）如图1，在边长为5的正方形中，点，分别是，边上的点，且，. (1)求的值； (2)延长交正方形的外角平分线于点（如图2），试判断与的大小关系，并说明理由； (3)在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，证明见解析 【分析】（1）结合正方形的性质，证明，即可得到； （2）在上取一点M，使，连接，证明即可； （3）在上截取，与交于N，先证,再证，再由，得，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在上取一点M，使，连接 ，， ， ∵是正方形外角平分线， ， ， ， ， ， ； （3）解：存在，理由如下， 证明：在上截取与交于N， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∴ ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题综合考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积； （3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 【变式2】（2023·湖北恩施·模拟预测）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．    (1)求k的值． (2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式． (3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)存在， 【分析】（1）由正方形面积求得点B的坐标为，即可得解； （2）由翻折可得点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由解析式得，设直线的解析式为，将两点坐标代入求解； （3）设点，由得，，，分情况讨论：①若，②若，③若，分别列方程求解． 【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴. ∴点B的坐标为． ∴． （2）解：∵正方形，正方形是由正方形翻折得到， ∴． ∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4 ． ∵点E，点F在函数的图象上， ∴． 设直线的解析式为，将两点坐标代入，得 解得 ∴直线的解析式为． （3）解：存在． 如图，设点，由得 ，，， ①若，则，解得或； ②若，，解得或； ③若，，解得； ∴点P的坐标为．    【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形性质，两点距离求解；坐标系内灵活运用轴对称性质求解点坐标是解题的关键． 【变式3】（2023·陕西西安·三模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点即可； （2）由于、两点关于对称轴对称，可知点为对称轴与轴的交点，点在对称轴上，可设出点的坐标，则可表示出的坐标，代入抛物线解析式可求得点的坐标． 【详解】（1）解：把、两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， ， ； （2）存在，如图， 点、关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形， 点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上， 设，则坐标为， 点在抛物线的图象上， ， 解得或， 或． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，确定出、的位置是解题的关键． 1．（2025·广东广州·一模）如图，正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于x轴，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系． 根据正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴，可以得到点的坐标． 【详解】解：正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴， 点的横坐标为：3，纵坐标为：． 点的坐标为． 故选：D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 3．（2025·广东佛山·三模）如图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个与图1中完全相同的直角三角形分别摆放为如图2、图3所示的图形，其中阴影小正方形的面积分别记为，则的值为（    ） A．9 B．4 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点． 设直角三角形另一直角边为a，然后分别用a表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可． 【详解】解：设直角三角形的另一直角边为a，则 ， ， ． 故选A． 4．（2024·广东·模拟预测）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转坐标变换，解含有的直角三角形，及二次函数解析式的求解，正确求解出点B的坐标是解决本题的关键． 作辅助线构造直角三角形，有旋转角度求解该直角三角形含有，再根据正方形边长可求解，即可求解点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线即可求解． 【详解】解：连接，过点B作轴于点D，如图， ∵正方形绕顶点顺时针旋转， ∴x轴正半轴与的夹角为， ∵在正方形中，， ∴x轴正半轴与的夹角为， ∵轴， 又∵正方形的边长为2，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∴由勾股定理，可得， ∴点， 将点代入抛物线中， 即，解得， ∴的值是 ． 故选：D ． 5．（2024·广东东莞·一模）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 __________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数，以及反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，不妨设 ，那么，根据，求得值，得到点坐标． 【详解】点B的坐标为在反比例函数的图象上， 反比例函数的解析式为 四边形是正方形 又点在反比例函数图像上 不妨设 ，那么 ， 故答案为：． 6．（2024·广东东莞·一模）已知正三角形的边长为2cm，若以为边作一个正方形，则点到边距离为______cm． 【答案】或 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质．根据题意，分两种情况：一是当点在正方形内部时，二是当点在正方形外部时，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：如图，当点在正方形内部时，过作并延长交于， 此时即为所求， 是等边三角形，且边长为2 四边形是正方形 如图，当点在正方形外部时，过作交于，此时即为所求， 是等边三角形，且边长为2 四边形是正方形 ． 故答案为：或． 7．（2024·宁夏银川·一模）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形；若，则的长度为________．    【答案】 【分析】首先利用正方形的性质可以求出，然后利用等边三角形的性质与勾股定理求出．本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∵为正方形对角线的中点，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据正方形的性质可得，再结合等腰三角形中等边对等角，即可求解． 【详解】解：正方形的两条对角线相交于点O，点E在上， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·广东汕头·一模）如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点． (1)与是否相似？为什么？ (2)试问：与有什么关系？ 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)，且 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，求出的比例关系是解本题关键． （1）由正方形性质可得，，再根据，是的中点，可计算出，根据相似三角形判定“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质“相似三角形对应角相等，对应边成比例”，得到 ，，再根据，即可得出，根据，得，即可计算出，得出结论． 【详解】（1）解：与相似， 四边形是正方形， ，， ，是的中点， ，， ，， ， 又， ． （2）解：，且， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ． 10．（2025·广东珠海·一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点． (1)求证：CE＝BF； (2)若AB＝4，求GF的值． 【答案】(1)见解析 (2)GF的值为． 【分析】（1）先判断出AF=BE，进而得出△FAB≌△EBC（SAS），即可得出结论； （2）连接BG，根据HL证明Rt△BQG≌Rt△BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt△DFG中，根据勾股定理列方程可得b，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠A=∠ABC=90°， ∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点， ∵AF=BE， ∴△FAB≌△EBC（SAS）， ∴CE=BF； （2）解：如图，连接BG， 由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°， ∵AB=BC， ∴BC=BQ， ∵BG=BG， ∴Rt△BQG≌Rt△BCG（HL）， ∴QG=GC， ∵AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点， 设QG=b， 则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b， 在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2， ∴， ∴b=，即QG=， ∴GF=FQ+QG=2+=． ∴GF的值为． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本题的关键． 11．（2024·广东广州·一模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题关键是设正方形边长为未知数，结合勾股定理列方程求解． 设正方形边长，由折叠性质得；根据正方形对边中点折痕，得；在中，用勾股定理求出；再由且（），列出方程，解方程得，即． 【详解】解：设，则，， ∴中，， 又∵，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 12．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得，根据证明，，，列比例式可求得：和的长，从而得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中点定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清比例之间的数量关系． 13．（2025·陕西·模拟预测）如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，准确利用性质是正确解答此题的关键．首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 14．（2025·广东中山·二模）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质定理可判定①；根据直角三角形内角和定理可判定②；根据线段大小关系可判定③；运用勾股定理可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，过点作于点， 平分交于点， ，且， ， ， ， ∴垂直平分， ，故①正确； ， ， ， ， 平分，故②正确； ， 与不垂直，故③不正确； 设则， ， ， 解得， ， ，故④正确； 综上，正确个数为3个， 选择：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 15．（2024·广东清远·一模）如图，正方形和正方形按照如图所示方式放置，连接、、，若，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，垂线段最短，取的中点，连接，证明，可得，如图，当最小时，则最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， 如图，当最小时，则最小， 此时、、重合， 四边形为矩形， ∴，即的最小值为． 故答案为： 16．（2024·广东·模拟预测）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过作，交于点，若，则正方形的面积为________． 【答案】 【分析】作于，过点作于，延长交于，先证明四边形是正方形，四边形是矩形，然后利用勾股定理求得，接着证明，得到，接着算得，最后求得正方形的面积． 【详解】解：作于，过点作于，延长交于，如图所示： ∵正方形， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ， 四边形是矩形， ，， ，由勾股定理得：， ∴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， 则， ， 则正方形的边长是， 正方形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．（2024·广东·模拟预测）如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．则线段长的最小值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，以及全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握图形旋转的性质和正确的作出辅助线． 连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，证明 ，可得 ，由条件可得，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为8． 故答案为：8． 18．（2025·广东广州·二模）如图，在边长为的正方形中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】由正方形的性质得，，，，，则，所以，由折叠得，，，则，，可判断正确；所以，则，所以，则四边形是菱形，可判断正确；可证明，，则，求得，，则，可判断正确；再证明，则，所以，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，对角线、交于点， ，，，，， ，， ， 由折叠得，，， ，， 故正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， 故正确， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的性质、菱形的判定、勾股定理、三角形的面积公式、平行线分线段成比例定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 19．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，理由见解析；（2）；（3）①；②存在， 【分析】（1）根据折叠的性质得到垂直平分，可得线段和线段的数量关系，由折叠的性质得到由折叠可知， 设，由角度关系得到，由此即可求解； （2）根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，是垂直平分线，根据角的和差关系得到，，，由此即可求解； （3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为，由四边形的内角和定理得到，证明，得，则，由此即可求解； ②过点作于点，设，则，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质得到，则，当时，面积最小，由菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质得到，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：（1），，理由： 由折叠可知：垂直平分， ∴； 连接， 由折叠可知， 设，则， ∴ ， ∴； （2）由折叠可知：， 在正方形中， ，， ∵， ∴， ∴， 如图，设交于点， ∵，即是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作于点，设， 则， ∵，即， 解得：， 则， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴的面积存在最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 20．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 【答案】[初步探究]（1）①；②，见解析 [拓展探索]（2）①；② 【分析】[初步探究]（1）①先利用正方形的性质得出，，再结合，求得； ②先利用正方形的性质得出，列出比例式，证得，从而有结论成立； [拓展探索]（2）①先证明，通过相似得出比例式，，求得，再得出，然后利用勾股定理求得，再求出； ②先证得，得出，再证明，得出，，再利用等腰直角三角形的性质得了，从而可得出结果． 【详解】解：[初步探究]（1）①∵正方形和正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵正方形和正方形，正方形的边，分别与正方形的边，重合， ∴， ∴， ∴， ∴； [拓展探索]（2）①延长，，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②如图，在上取点，使得，连接． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴（）， ∴， ∵， ∴（）， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求出相关线段． 21．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 22．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 23．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 24．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 25．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ∴，故①正确； ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； ∵， ∴， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 26．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 28．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 29．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 30．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 31．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 32．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 33．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 34．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 35．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是正方形，得出且．结合，得出．结合，即可证明四边形是平行四边形． （2）过点作于点．根据四边形是正方形，，得出．结合，证出四边形是矩形．得出．结合，得出．在中，由勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴且． 又， ． ． 又． ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点． ∵四边形是正方形，， ． 又， ∴四边形是矩形． ． 又， ． 在中，由勾股定理得． 36．（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． (1)求证：． (2)若四边形的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为6 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． （1）正方形的性质，得到，，结合，即可证明； （2）连接交于点O，根据正方形的性质结合中垂线的性质，推出，，由，可得：，根据周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形 ， 在和中， ， ； （2）解：连接交于点O， 四边形为正方形，， 垂直平分，， ，， 由（1）知， ， 四边形的周长为， 在中， ， ； 答：的长为6． 37．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $