第04讲 等腰三角形（2命题点+10题型+7突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“等腰三角形”专题，覆盖等腰三角形与等边三角形的判定、性质及综合应用等中考核心考点，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型突破-分层训练”的系统复习框架，通过真题分类讲解与方法归纳，帮助学生突破分类讨论、手拉手模型等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以核心素养为导向，如通过“格点图中画等腰三角形”培养几何直观，“动点问题探究”发展推理能力，结合2024-2025年广东中考真题设计分层练习，确保学生掌握从基础到压轴题的解题策略。教师可依托资料精准把控复习节奏，助力学生高效提升应试能力，实现中考备考的精准突破。

第四章 三角形 第04讲 等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 等腰三角形的判定与性质 题型01根据等边对等角求解或证明 题型02根据三线合一求解或证明 题型03在格点图中画等腰三角形 题型04根据等角对等边求边长 题型05根据等角对等边证明 题型06确定构成等腰三角形的点 题型07等腰三角形中的分类讨论思想 题型08等腰三角形的判定与性质综合 命题点二 等边三角形的判定与性质 题型01利用等边三角形的性质求解 题型02等边三角形的判定 05·重难突破·思维进阶难 21 突破一手拉手模型 突破二与等腰三角形有关的折叠问题 突破三与等腰三角形有关的动点问题 突破四与等腰三角形有关的新定义问题 突破五与等腰三角形有关的规律探究问题 突破六与等腰三角形有关的多结论问题 突破七探究等腰三角形中存在的线段数量关系 06·优题精选·练能提分 34 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形 广东卷T17 广州卷T7 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理. 等边三角形 广州卷T16 广州卷T13 探索等边三角形的性质定理及其判定定理. 命题预测 本专题内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 预计2026年的广东中考数学选择填空题考查的等腰三角形较为简单，但与其他知识点结合的题目考查会有点难度，分值大概在15分左右。 考点一 等腰三角形 知识点一、等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 知识点二、等腰三角形性质 1、等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 知识点三、等腰三角形的判定 1、定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2、定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1、如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2、如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1、底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2、等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3、等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 2．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 4．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 考点二 等边三角形 知识点一、等腰三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 知识点二、等边三角形的性质 1、等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2、等边三角形的三条边相等； 3、三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 知识点三、等边三角形的判定 1、定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2、三个角都相等的三角形是等边三角形. 3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1、等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2、等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3、在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4、等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 5．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．    (1)若，求证：是等边三角形； (2)延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 6．（2025·广东清远·二模）如图，在菱形中，连接，点分别是的中点，连接，若为等边三角形，，则菱形的周长为 ． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，在边长为6的菱形中,，E为对角线上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 命题点一 等腰三角形的判定与性质 ►题型01 根据等边对等角求解或证明 【典例】（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．若，，则 ． 【变式2】（2024·广东河源·二模）如图，在四边形中，，，且． (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【变式3】（2024·江苏连云港·一模）如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． ►题型02 根据三线合一求解或证明 【典例】（2025·广东深圳·二模）如图，在中，，过的中点C． (1)求证：为的切线； (2)若的直径为，，求的长． 【变式1】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式2】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，点E是矩形的边延长线上一点，点F是的中点． (1)如图①，若点G，H分别是的中点； ①判断和之间的关系，并说明理由； ②求证：； (2)如图②，若，连接．求证：． 【变式3】（2024·北京·三模）如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． ►题型03 在格点图中画等腰三角形 【典例】（2024·广东清远·三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都落在格点（即小正方形的顶点）上．请以为一边画一个等腰，使点C在格点上，并求所画的面积． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图． (1)在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上； (2)在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45，且点D在格点上； (3)在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．请仅用无刻度直尺按照要求完成作图，保留作图痕迹．          (1)在图①中确定格点P，连结、使得； (2)在图②中作点C关于直线的对称点Q； (3)在图③中线段上找一点R，连接，使得． ►题型04 根据等角对等边求边长 【典例】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，那么边的长是 ． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 【变式2】（2025·广东广州·二模）如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则 ． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，已知． (1)尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度． ►题型05 根据等角对等边证明 【典例】（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 【变式1】（2025·广东珠海·三模）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为若，，则 ． 【变式2】（2025·广东·三模）如图，点与点在反比例函数的图象上，且，连接，，过点A作轴于点C，交于点D，． (1)求证：； (2)求a，n的值． 【变式3】（2025·广东惠州·二模）如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，． (1)若，求的度数． (2)求证：． ►题型06 确定构成等腰三角形的点 【典例】（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝﹣x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为 ． 【变式1】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东潮州·模拟预测）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】（2024·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． ►题型07 等腰三角形中的分类讨论思想 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系. 【典例】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【变式1】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为 ． 【变式2】（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【变式3】（2025·广东汕尾·模拟预测）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． ►题型08 等腰三角形的判定与性质综合 【典例】（2024·广东·模拟预测）作图与探究 阅读下列材料，并完成相应的任务． 如题（1）图，在中，．小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则． (1)根据小明的作图方法在（1）图中作出图形，他得出“”的依据是哪个定理？ ， (2)如（2）图，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线．请你帮小亮说明理由． (3)如（3）图，已知在四边形中，，．请你只用直尺作出边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）（1）问题呈现：如图，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小华同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由； （2）问题拓展：如图，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出满足的数量关系，并证明你的结论； （3）问题应用：如图，在中，，．将沿对角线翻折得到，交于点，若点为的中点，则的面积为________． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 【变式3】（2025·广东深圳·三模）【问题探究】 （1）如图1，已知点A与点C关于．对称，则_____ ；（填“”“ ”或“”） （2）如图2，在菱形中，点E是上的点，连接；将沿翻折得到，点C的对应点F恰好落在边上，延长交的延长线于点．若菱形的边长为5，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点E在线段上，点F在线段上，且点F与点D关于对称，点H在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）． 命题点二 等边三角形的判定与性质 ►题型01 利用等边三角形的性质求解 【典例】（2024·广东湛江·二模）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长． 【变式1】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)填空：_____度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由） 【变式2】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，连接，．点为的中点，连接交于点． (1)连接，判断四边形的形状，并说明理由； (2)求的值． 【变式3】（2025·广东深圳·二模）【项目式学习】 问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题． 问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？ 理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是． 解决问题： 任务1： （1）同理可得，的取值范围是______，的取值范围是______． （2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明． 任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识） 任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是______． ►题型02 等边三角形的判定 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，． (1)若为的中点，，求证：平分； (2)若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 【变式1】（2025·福建泉州·一模）如图，在中，，． (1)在线段上找到一个点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：是等边三角形． 【变式2】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，在中，． (1)求证：； (2)若平分，．求的度数． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为60°，则称该三角形为“完美三角形”． (1)______直角三角形是“完美三角形（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在中，，，，则 ______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (3)如图2，在“完美三角形”中，，，，求证：是等边三角形． 突破一 手拉手模型 【典例】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，点M为上一点，连接，以D为直角顶点作等腰直角，连接，交于点Q，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东中山·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为 ． 【变式3】（2025·广东阳江·模拟预测）如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 突破二 与等腰三角形有关的折叠问题 【典例】（2023·青海西宁·中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．    【猜想】 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴ （ ） ∴ （等量代换） ∴（ ） 【应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【变式1】（2025·广东河源·模拟预测）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【变式2】（2024·广东东莞·一模）如图，在矩形中， (1)如图一，以为折痕将折叠，点D落在点F的位置，与交于点E，求证：是等腰三角形； (2)如图二，点G为上一点，以为折痕将折叠，点D落在点F的位置，与的交点E，连接交于点H，连接，，求证：四边形是菱形． 【变式3】（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 突破三 与等腰三角形有关的动点问题 【典例】（2025·广东潮州·一模）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为． (1)当__________时，为直角三角形； (2)若点在的平分线上，求的值． (3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值． 【变式1】（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【变式2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，中，，，，过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以2cm/s的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以1cm/s的速度向上或向下运动，连接，，设运动时间为． （1）写出、的长度；（用含的关系式表示） （2）当为多少时，与全等． 【变式3】（2025·广东湛江·二模）如图，在中，，，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，，． (1)当点为的中点时，求的长度； (2)点在上移动时，探究：当为何值时，是等腰三角形？ 突破四 与等腰三角形有关的新定义问题 【典例】（2025·广东清远·一模）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如： （1）若，且，求x，y的值； （2）在（1）的条件下，求以x，y为边长的等腰三角形的面积． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【变式3】（2025·广东·模拟预测）【定义】 对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”． 如图1，四边形为“等角线四边形”，即，， 【定义探究】 (1)判断下列四边形是否为“等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”． ①对角线所夹锐角为的平行四边形．                                                    （    ） ②对角线所夹锐角为的矩形．                                                        （    ） ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．            （    ） 【性质探究】 (2)如图2，以为边，向下构造等边，连接，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【应用提升】 (4)若“等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为________． 突破五 与等腰三角形有关的规律探究问题 【典例】（2025·广东·模拟预测）如图，作出边长为1的菱形，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；….按此规律所作的第2023个菱形的边长为 ． 【变式1】（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ）    A． B． C． D． 突破六 与等腰三角形有关的多结论问题 【典例】如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①；②，③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（    ）个． ①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2023·广东清远·一模）如图，在矩形中，点E是线段上的动点（不与B、C重合），连接，把沿翻折，得到，连接．下列说法中：①；②；③当时，，正确的有 （填序号）． 突破七 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 【典例】（2023·广东深圳·二模）【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题： 已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F． 求证：点F在的平分线上． 【解答】某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法： 如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得：，． ∴． ∵，， ∴F在的平分结上． 【探究】 (1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中和三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：________； (2)小明也发现和之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：________； (3)如图3，边长为3的正方形中，点E，F分别是边上的点，且．连接，若，求的长； (4)如图4，中，，．中，．将的顶点D放在边的中点处，边交线段于点G，边交线段于点H，连接．现将绕着点D旋转，在旋转过程中，的周长是否发生变化？若不变，求出的周长，若改变，请说明理由． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系． 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你写出线段与的数量关系________，位置关系________，并证明线段与的数量关系（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系__________，并说明理由； 【能力提升】 （3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值（参考图5、图6）． 【变式2】（2024·广东中山·一模）在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、． (1)如图1，当点G在边上时，写出与的数量关系．（不必证明） (2)如图2，当点F在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明； (3)如图3，当点F在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转α到，连接，． 问题发现：（1）如图1，若，请直接写出的度数_______；线段，，之间的数量关系是_______． 类比探究：（2）如图2，若，求的度数及线段，，之间的数量关系； 拓展延伸：（3）如图3，若，，，当点A到直线的距离为1时，请直接写出的长． 1．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知等腰三角形的两边长分别为、，则等腰三角形的周长是（ ） A． B． C．或 D． 4．（2025·广东深圳·二模）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条．则车位锁的底盒长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·二模）如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 6．（2025·广东佛山·二模）如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论 ． 7．（2025·广东·一模）在中，，点为上一点满足，若，则实数的值为 ． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起（点A 处），摆出，． 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到等腰三角形， 此时B， C， D三点在同一条直线上，则 ． 9．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 10．（2025·广东中山·二模）如图，在等腰中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线，交边于点N；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的周长． 11．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接． (1)是_____三角形，的度数是_____ (2)若，求的面积． 12．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，连接，点O是的中点，连接，则长（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广东广州·二模）如图，等边三角形的顶点，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为（　　） A． B．2 C． D． 15．（2025·广东深圳·一模）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将沿折叠．使点B落在射线上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①② 16．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在正方形中，点P在对角线上，交于E，，垂足为F．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有 ． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 18．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 19．（2025·广东东莞·模拟预测）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 20．（2024·广东·模拟预测）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F． ①求证：； ②求的度数． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F． ①求证：； ②若．将绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段上时，如图3所示，求的长度． 21．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 22．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 23．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 29．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 31．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 33．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 34．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 35．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 36．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 37．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 38．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 39．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 40．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 41．（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 42．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 43．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 44．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 45．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 46．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下： (1)若时， 如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第04讲 等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一 等腰三角形的判定与性质 题型01根据等边对等角求解或证明 题型02根据三线合一求解或证明 题型03在格点图中画等腰三角形 题型04根据等角对等边求边长 题型05根据等角对等边证明 题型06确定构成等腰三角形的点 题型07等腰三角形中的分类讨论思想 题型08等腰三角形的判定与性质综合 命题点二 等边三角形的判定与性质 题型01利用等边三角形的性质求解 题型02等边三角形的判定 05·重难突破·思维进阶难 73 突破一手拉手模型 突破二与等腰三角形有关的折叠问题 突破三与等腰三角形有关的动点问题 突破四与等腰三角形有关的新定义问题 突破五与等腰三角形有关的规律探究问题 突破六与等腰三角形有关的多结论问题 突破七探究等腰三角形中存在的线段数量关系 06·优题精选·练能提分 127 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形 广东卷T17 广州卷T7 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理. 等边三角形 广州卷T16 广州卷T13 探索等边三角形的性质定理及其判定定理. 命题预测 本专题内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 预计2026年的广东中考数学选择填空题考查的等腰三角形较为简单，但与其他知识点结合的题目考查会有点难度，分值大概在15分左右。 考点一 等腰三角形 知识点一、等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 知识点二、等腰三角形性质 1、等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 知识点三、等腰三角形的判定 1、定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2、定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1、如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2、如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1、底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2、等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3、等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 2．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质得到，则根据平行线的判定与性质得到，再由等边对等角得到，即可等量代换求证． 【详解】证明：连接， ∵与边相切于点， ∴，即， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴平分． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 4．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，从而可得，由勾股定理得出，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解； （2）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，证明，得出，设，则，，由勾股定理可得，求出，从而可得，即可得解； （3）①根据“垂中平行四边形”的定义画出图形即可；②根据①中画出的图形，分别结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①第一种情况：如图①，作的平行线，并使得，连接，则四边形为平行四边形， 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴四边形即为所求的“垂中平行四边形”； 第二种情况：如图②，作的平分线，并取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故点为的中点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为所求的“垂中平行四边形”； 第三种情况：如图③，作，交的延长线于点，连接，在的延长线上取点，使得，连接，则点为的中点， 同理可得证明，则，则四边形为平行四边形， 故四边形为所求的“垂中平行四边形”；     ②若按照上图①作图， 由题意可得，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 作于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若按照上图②作图， 延长、交于点， 同理可得，是等腰三角形， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 若按照上图③作图，则没有交点，不存在，故不符合题意， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 考点二 等边三角形 知识点一、等腰三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 知识点二、等边三角形的性质 1、等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2、等边三角形的三条边相等； 3、三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 知识点三、等边三角形的判定 1、定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2、三个角都相等的三角形是等边三角形. 3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1、等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2、等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3、在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4、等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 5．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．    (1)若，求证：是等边三角形； (2)延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)①能为等腰三角形，；② 【分析】（1）由轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，得到，推出点B不可能是等腰三角形的顶点，若点F是等腰三角形的顶点，则有，此时E与D重合，不合题意，于是得到只剩下了，连接交于H，根据全等三角形的性质得到，得到为等腰三角形，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到； ②由①知，，要求面积的最大值，即求面积的最大值，在中，底边是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，设，则，根据直角三角形的性质得到，推出，当当G，M，N三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设与交于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵于对称的线段为， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）①∵于对称的线段为， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是边上一动点， ∴， ∴点B不可能是等腰三角形的顶点， 若点F是等腰三角形的顶点， 则有， 此时E与D重合，不合题意， ∴只剩下了，连接交于H，    ∵ ∴ ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②由①知， 要求面积的最大值，即求面积的最大值， 在中，底边是定值，即求高的最大值即可， 如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，      设，则， ∵，M是的中点， ∴， ∴， 当G，M，N三点共线时，取等号， ∴面积的最大值， 的面积 如图3，设与交于Q，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2025·广东清远·二模）如图，在菱形中，连接，点分别是的中点，连接，若为等边三角形，，则菱形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，先根据为等边三角形，得，结合点分别是的中点，故，因为四边形是菱形，即可列式计算． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴ ∵点分别是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长， 故答案为：16． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定．由旋转的性质可知，又因为，可得为等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，在边长为6的菱形中,，E为对角线上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是通过连接对角线构造辅助线，利用菱形对角线垂直平分且平分内角的性质，结合角度计算确定三角形的形状，进而求出的长． 先根据菱形边长为6且，得出，判定为等边三角形，故；再由菱形对角线平分且垂直平分，得；结合，算出，从而判定为等腰直角三角形；最后根据等腰直角三角形的边长关系（直角边斜边）求出的长． 【详解】解：连接． ∵四边形是菱形，边长为6， ∴垂直平分平分． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形，, ∴ 故选：C． 命题点一 等腰三角形的判定与性质 ►题型01 根据等边对等角求解或证明 【典例】（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得，，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．若，，则 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，可得，，利用，结合矩形的性质证明，即，设，而，则，，，再求解，由折叠可得：，，利用 ，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴四边形是矩形， 则，， ∵， ， ∵矩形， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴设， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴，   解得：，经检验符合题意； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键． 【变式2】（2024·广东河源·二模）如图，在四边形中，，，且． (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形内角和定理、等腰三角形三线合一、等边对等角、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的判定、含度角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角，得出，根据三角形内角和定理，计算求出的度数，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明； （2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质、等腰三角形三线合一，结合勾股定理，求出、、的长，根据、计算，最后根据得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，由（1）得， ∴，， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2024·江苏连云港·一模）如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定； （1）根据矩形的性质结合已知得出，即，再根据可得结论； （2）根据，，可得垂直平分，则垂直． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）垂直； 理由：∵， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上． 又∵， ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， ∴垂直． ►题型02 根据三线合一求解或证明 【典例】（2025·广东深圳·二模）如图，在中，，过的中点C． (1)求证：为的切线； (2)若的直径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆的切线的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得，，再求出，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，点是的中点， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，点是的中点，， ∴，， 又∵过的中点，的直径为， ∴， ∴在中，． 【变式1】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 【变式2】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，点E是矩形的边延长线上一点，点F是的中点． (1)如图①，若点G，H分别是的中点； ①判断和之间的关系，并说明理由； ②求证：； (2)如图②，若，连接．求证：． 【答案】(1)①；；理由见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①证明是的中位线，得出，由是的中点，得出，由矩形的性质得，即可得出； ②由直角三角形斜边上的中的性质得，则，由①结论得四边形是平行四边形，得出，则，即可得出结论； （2）连接，由直角三角形斜边上中的性质得出，由证得，得出，由等角三角形的性质得，即，推出，即可得出结论． 【详解】（1）①解：判断：；理由如下： ∵点分别是的中点， ∴是的中位数， ， ∵是的中点， ， ∵四边形是矩形， ， ； ②证明：∵四边形是矩形， ， 是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， 即； （2）证明：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， F是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，F是的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（2024·北京·三模）如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，，推出垂直平分，则，，，而，则，得到，则，得证； （2）根据四边形是菱形，可推出、，，再由勾股定理得到，而，可得，最后根据可求得答案． 【详解】（1）证明：，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 的长为5． ►题型03 在格点图中画等腰三角形 【典例】（2024·广东清远·三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都落在格点（即小正方形的顶点）上．请以为一边画一个等腰，使点C在格点上，并求所画的面积． 【答案】作图见解析，2 【分析】题目主要考查利用网格作三角形，等腰三角形的定义，利用网格求面积，根据题意作出图形求解即可． 【详解】解：作图如下．（答案不唯一）即为所求； 所画的面积． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图． (1)在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上； (2)在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45，且点D在格点上； (3)在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形面积公式求解，画图即可； （2）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质画图即可； （3）根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图所示：△ABC的面积为3； ； （2）解：如图所示：∠ADB＝45； ∵AM=BN=3，BM=DN=2，∠AMB=∠BND=90°， ∴△AMB≌△BND(SAS)， ∴AB=BD，∠ABM=∠BDN， ∵∠BDN+∠DBN=90°， ∴∠ABM+∠DBN=90°， ∴∠DBA=90°，则△ADB是等腰直角三角形， ∴∠ADB＝45； （3）解：如图所示：锐角△ABE即为所作； ； 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题， 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰． 【变式3】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．请仅用无刻度直尺按照要求完成作图，保留作图痕迹．          (1)在图①中确定格点P，连结、使得； (2)在图②中作点C关于直线的对称点Q； (3)在图③中线段上找一点R，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据网格特点作出图形即可； （2）取格点G，连接，根据网格特点可判断，取格点M、N，连接交于Q，根据平行线分线段成比例即可判断； （3）取格点M、N，连接，，，交于R，则是等腰直角三角形，然后根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解∶如图，点、即为所求， ； （2）解：如图，点Q即为所求， ； （3）解：如图，点R即为所求， ． ►题型04 根据等角对等边求边长 【典例】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，那么边的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关性质的应用是解题的关键． 作的平分线，交于点，进而证得，得到，进而可得，再根据相似比求即可． 【详解】解：作的平分线，交于点， ， 又， ， ， ，且， ， ， 即，解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 【变式2】（2025·广东广州·二模）如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出． 根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出，继而可得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，已知． (1)尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查作图一轴对称变换，等腰三角形的判定与性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）作于O，在射线上截取即可； （2）过点作，交于点，先证明，得到，，再根据两直线平行内错角相等得到，根据等角对等边即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）如图：过点作，交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ►题型05 根据等角对等边证明 【典例】（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，得到，证明，计算即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（2025·广东珠海·三模）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为若，，则 ． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形得，，，由勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 平分， ， ， ， 四边形是菱形； ，，， ， ， ， ， ， ， ，即， 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】（2025·广东·三模）如图，点与点在反比例函数的图象上，且，连接，，过点A作轴于点C，交于点D，． (1)求证：； (2)求a，n的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查待定系数法，解直角三角形，等腰三角形的判定，综合运用相关知识是解题的关键． （1）把点代入，得到，从而，因此，得到，根据三角形外角的性质得到，根据等角对等边得证结论； （2）过点B作轴于点H，则，，由得到，把代入，即可求出n的值，进而得到a的值，即可解答． 【详解】（1）证明：把点代入，得， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， 如图，过点B作轴于点H， ， ，， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ， ， ． 【变式3】（2025·广东惠州·二模）如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先求出，然后由角平分线求出，然后利用直角三角形的性质求解即可； （2）首先证明出点A，C，B，N四点共圆，得到，，然后定理代换得到，即可证明出． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴点A，C，B，N四点共圆 ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的概念，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． ►题型06 确定构成等腰三角形的点 【典例】（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝﹣x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】3 【分析】分别以A、B、C为三角形顶角顶点，根据平面直角坐标中两点距离公式，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵动点C在直线y＝﹣x上， 设点C坐标为（x，﹣x）， 分三种情况讨论： ∵A（0，2），B（0，6）， ∴AB=6-2=4， 当AC＝AB时，根据勾股定理，得 （x-0）2+(-x-2)2=AC2=AB2=42， 整理得，（﹣x﹣2）2+x2＝42， 解得，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣， 所以点C的坐标分别为：（﹣1+，1﹣）、（﹣1﹣，1+）． 当BC＝AC时，点C在AB中垂线上， 点C纵坐标为（6+2）÷2=4，点C（﹣4，4）； 当BC＝AB时，（﹣x﹣6）2+x2＝42 整理，得x2+6x+10＝0， 实数范围内此方程无解， 这种情况不存在， 所以点C的个数为3个． 故答案为3． 【点睛】本题考查了直线上与已知两点组成等腰三角形的点，已知两点坐标用勾股定理求两点距离，用公式法解一元二次方程，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，分类讨论是解决本题的关键． 【变式1】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 【变式2】（2025·广东潮州·模拟预测）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，首先算出的长，再以O为圆心，长为半径画圆，交y轴于两点，再作出的垂直平分线，与y轴交点也可以构造出等腰三角形，此时为点，得出只有两点即为P所在位置． 【详解】解：过点A作轴于点C， ∵， ∴，， ∴， 以O为圆心，2为半径画圆，交y轴于两点，， 作的垂直平分线，此时交点正好与点重合， 故使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有2个， 故选：C． 【变式3】（2024·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． ►题型07 等腰三角形中的分类讨论思想 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系. 【典例】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ， ， ∴点三点共线， ， 由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 当时， ， ， ； 不可能为， 综上，或． 故答案为：或． 【变式1】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，推出点在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 点是边上的一点， ， 当是直角三角形时，或， ①当时，则， 将沿折叠，使点落在点处， ， ， ②当时， 将沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 点在上，如图， ，，， ， ， ， ， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 【变式2】（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或或． 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、方程的解法，掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用及“分类思想”的应用是解题关键． (1)根据已知条件运用勾股定理计算即可； (2)根据已知条件运用“分类思想”分别构造以为底、为底、为底的等腰三角形，然后根据等腰三角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于的方程，最后，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：①如图1，当为底时，点在上，，． 作垂直平分，垂足为点，交于点，连接． 由（1）得：． ∵垂直平分， ∴． 在中，， 即， 解得：． ②如图2，当为底时，点在的延长线上，． ∵， ∴， 解得：． ③如图2，当为底时，点在的延长线上，，． ∵，， ∴（“三线合一”）， 即， 解得：． ∴当是等腰三角形时，的值为或或． 【变式3】（2025·广东汕尾·模拟预测）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】[探究]（1）证明见解析；（2）；[应用]  或 【分析】[探究]（1）由题意可求，，进而可证； （2）由题意知，，由（1）知，则，代入计算求解即可； [应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． ►题型08 等腰三角形的判定与性质综合 【典例】（2024·广东·模拟预测）作图与探究 阅读下列材料，并完成相应的任务． 如题（1）图，在中，．小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则． (1)根据小明的作图方法在（1）图中作出图形，他得出“”的依据是哪个定理？ ， (2)如（2）图，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线．请你帮小亮说明理由． (3)如（3）图，已知在四边形中，，．请你只用直尺作出边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质及判定，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键． （1）依据角平分线的作图方法即可完成作图，根据等腰三角形三线合一即可得依据； （2）分别证明点A和点C在线段的垂直平分线上，即可说明理由； （3）分别延长和相交于点E，连接，相交于点F，则直线为所求． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． 由作图可得是的平分线，又，则根据等腰三角形的“三线合一”可得， 所以，得出“”的依据是：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； （2）解：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上，， ∵， ∴，即， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是对角线的垂直平分线； （3）解：如图，直线即为所求． 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∴直线是的垂直平分线． 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）（1）问题呈现：如图，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小华同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由； （2）问题拓展：如图，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出满足的数量关系，并证明你的结论； （3）问题应用：如图，在中，，．将沿对角线翻折得到，交于点，若点为的中点，则的面积为________． 【答案】（）小华的判断是正确的，理由见解析；（），证明见解析；（）． 【分析】（）由四边形是矩形，则，所以由折叠性质得，从而得，然后通过等腰三角形的判定即可求解； （）根据折叠性质得，，，，由（）得，然后通过勾股定理即可求解； （）由四边形为平行四边形，，，则，，，根据折叠性质可知，，，再证明，过点作于，则，然后通过勾股定理和面积公式即可求解． 【详解】解：（）问题呈现：小华的判断是正确的，理由， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠，得， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （）问题拓展：， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得，，，， 由（）得， 在中，， ∴； （）问题应用：∵四边形为平行四边形，，， ∴，，， 由折叠性质可知，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图，过点作于， 则， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定，折叠的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)或，的面积为4或 (3) 【分析】（1）由正方形性质得出：，因为证得，进而推导和，通过互余关系得，最终利用两角对应相等完成相似证明； （2）分两种情况讨论：①当时，作，设，利用为中线及的比例关系解得，此时为等腰直角三角形，面积，且点共线，故；②当时，作，设    ，通过和的勾股定理（）解得，进而面积，再结合的比例关系：得，故．综合得或，对应面积为或； （3）首先利用，说明点在以中点为圆心的圆上，延长交延长线于，设，推导，进而得，从而．要使最小（即最小），需最大，此时与圆相切（即），设，利用建立方程，解得（舍负值），代入得，最终可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）如图，作于点H， ， ， ， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： ①当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，为等腰直角三角形， ， ∴此时点A、F、C三点共线， ； ②当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ； 综上所述，或2，的面积为或； （3）的最小值为．理由如下： ， ∴点F在以的中点M为圆心的圆上，延长交的延长线于点N， 设， ， ， ， ， ， ， ， 若最小，即最小，则最大， 当最大时，与圆M相切，即， 设， ， ， ， 解得或（舍）， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质（如直角、边相等）、三角形相似（AA判定）与全等（AAS）、等腰三角形的分类讨论、勾股定理、圆的性质（点轨迹、切线）及最值问题（通过相似比例和方程求极值）。解决问题的关键在于巧妙构造辅助线（如垂线、延长线）建立几何关系，将动态问题转化为静态模型，利用相似和全等传递边角关系，并通过方程思想求解未知量，同时注意分类讨论避免遗漏（如小问2的等腰三角形情形），最终综合几何变换（折叠）和圆的性质实现最值优化。 【变式3】（2025·广东深圳·三模）【问题探究】 （1）如图1，已知点A与点C关于．对称，则_____ ；（填“”“ ”或“”） （2）如图2，在菱形中，点E是上的点，连接；将沿翻折得到，点C的对应点F恰好落在边上，延长交的延长线于点．若菱形的边长为5，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点E在线段上，点F在线段上，且点F与点D关于对称，点H在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）． 【答案】（1）；（2）；（3）栅栏的长为 【分析】（1）根据轴对称的性质得出答案即可； （2）延长，相交于点H，根据折叠的性质，证明，得到，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得出，求出，根据，得出答案即可； （3）连接与相交于点O，过点F作的延长线于点G，延长交的延长线于点M，则，根据轴对称的性质，得出，结合“两直线平行，内错角相等”，推出，得出，得到四边形是菱形，证明，得出，得到为等腰直角三角形，设，则，根据勾股定理得出方程求解，求出，再根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得到，求出，即可． 【详解】解：（1）∵点A与点C关于对称， ， 故答案为：； （2）延长，相交于点H， 将沿翻折得到， ，， 又， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接与相交于点O，过点F作的延长线于点G，延长交的延长线于点M，则， 点F与点D关于对称， ，，，，，， ， ， ， ， 四边形是菱形， 四边形为平行四边形， ，， ，， 又， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 解得（不合，舍去），， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 栅栏的长． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线、数形结合、推理证明是解题的关键． 命题点二 等边三角形的判定与性质 ►题型01 利用等边三角形的性质求解 【典例】（2024·广东湛江·二模）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，再由线段之间的关系求出即可得到答案． 【详解】解：都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)填空：_____度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由） 【答案】(1)； (2)相等，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，掌握知识点的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，证明，然后通过全等三角形性质可得结论； （）由，都是等边三角形，则，，，证明，然后通过全等三角形性质可得结论； （）延长到，使得，连接，，证明，则有，，，再证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图中， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由，如图中， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，理由， 如图中，延长到，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，连接，．点为的中点，连接交于点． (1)连接，判断四边形的形状，并说明理由； (2)求的值． 【答案】(1)矩形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的综合，等边三角形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角得到，由等边三角形的性质和同弧或等弧所对的圆周角相等得到，，则可证明，据此可证明结论； （2）连接交于，可证明，，得到，由垂径定理的推论可得为中点，则为中位线，据此可证明，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：四边形为矩形，理由如下： ∵为直径， ∴ ∵为等边三角形， ∴ ∵为中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：如图所示，连接交于， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴由垂径定理的推论可得为中点 ∴为中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2025·广东深圳·二模）【项目式学习】 问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题． 问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？ 理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是． 解决问题： 任务1： （1）同理可得，的取值范围是______，的取值范围是______． （2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明． 任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识） 任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是______． 【答案】任务1：（1），；（2）见解析；任务2：见解析；任务3： 【分析】（1）同题干中的方法求解即可； （2）首先得到，然后利用代入求解即可； 任务2：根据题意得到，，，然后作三边中点D，E，F，连接，，，进而求解即可； 任务3：根据题意得到即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； （2）∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 任务2：设，，， ∵，，， ∴，，， ∴如图所示，作三边中点D，E，F，连接，，， ∴内部即为所求范围． 任务3：根据题意得， ∵是等边三角形，D，E，F分别是，，的中点 ∴ ∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是． 【点睛】此题考查了几何概率，等边三角形的性质，三角形三边关系的应用，不等式的性质等知识，解题的关键是正确分析题意构造图形． ►题型02 等边三角形的判定 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，． (1)若为的中点，，求证：平分； (2)若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）延长交的延长线于点，由“”可证，可证，，可证，可得，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，可求，即可求解． 【详解】（1）解：证明：延长交的延长线于点， 点是的中点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 平分； （2）是等边三角形． 理由如下：点是中点， ， ，， ，， ， ，且， ， ， ，且， ， ，且， 是等边三角形． 【变式1】（2025·福建泉州·一模）如图，在中，，． (1)在线段上找到一个点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，根据等边对等角可得∠CAD＝∠C，进而可得∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，然后可得答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30° ∴∠B＝60°， 又∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠C＝30°， ∴∠DAB＝60°， ∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°， 即△ABD是等边三角形． 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式2】（2025·广东韶关·模拟预测）如图，在中，． (1)求证：； (2)若平分，．求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行线的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE，即可证明△ABC≌△EAD（SAS），进而得出答案； （2）先证明△ABE为等边三角形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴AD//BC，． ∴． ∵， ∴． ∴． 在△和△中， ， ∴△≌△， ∴； （2）∵平分（已知）， ∴； 又∵， ∴， ∴△为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等和证明三角形是等边三角形． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为60°，则称该三角形为“完美三角形”． (1)______直角三角形是“完美三角形（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在中，，，，则 ______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (3)如图2，在“完美三角形”中，，，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)不存在； (2)不是； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据特殊三角形三边之比，可得结论． （2）如图1中，过点作于．求出，，可得结论． （3）如图2中，过点作于．通过计算证明，推出，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，，则三角形的三边之比，因此不存在直角三角形是完美三角形． 故答案为：不存在． （2）如图1中，过点作于． 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，不是整数， ∴不是完美三角形． 故答案为：不是． （3）证明：如图2中，过点作于． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形、特殊三角形的三角函数、垂直平分线的性质和等边三角形的判定，熟练掌握含的直角三角形的三边之比、、、垂直平分线上任意一点到线段端点的距离相等、有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 突破一 手拉手模型 【典例】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，点M为上一点，连接，以D为直角顶点作等腰直角，连接，交于点Q，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．在上截取，得，得出，再证得，得出，由，，得出，得出是等边三角形，则，由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：在上截取，如图所示： ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此本题考查了旋转性质的应用，等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故C结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·广东中山·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为 ． 【答案】 【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得时的的值，即可求得线段的最小值． 【详解】解：取的中点为点，连接， ， ， 即， ，O为中点， ， 在和中， ， ， ， ∵点在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题． 【变式3】（2025·广东阳江·模拟预测）如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线求解； （2）先判断出，得出，同（1）的方法来求解； （3）先判断出最大时，的面积最大，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵点，是，的中点， ∴，． ∵点，是，的中点， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，． ，， ∴， ∴，， 利用三角形的中位线得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 同（1）的方法得， ∴． 同（1）的方法得，， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， ∴最大时，面积最大， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大． 突破二 与等腰三角形有关的折叠问题 【典例】（2023·青海西宁·中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．    【猜想】 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴ （ ） ∴ （等量代换） ∴（ ） 【应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】【验证】；；两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；【应用】（1），见解析；（2）5 【验证】（1）由折叠得，由平行线性质，得，于是 ，进而可得证，  即； （2）由折叠得，，．在中，根据勾股定理，构建方程求解得，得. 【详解】解：【验证】∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） ∴（等角对等边  ） 【应用】（1）     理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形 ∴ ∵四边形是矩形   ∴（矩形的对边平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴   ∴（等角对等边） ∵ ∴  即；   （2）∵矩形沿所在直线折叠 ∴，，． 设 ∴ 在中， ∴（勾股定理） ∴  解得 ∴. 【点睛】本题考查轴对称折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等角对等边；根据折叠的性质得到线段相等、角相等是解题的关键． 【变式1】（2025·广东河源·模拟预测）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式2】（2024·广东东莞·一模）如图，在矩形中， (1)如图一，以为折痕将折叠，点D落在点F的位置，与交于点E，求证：是等腰三角形； (2)如图二，点G为上一点，以为折痕将折叠，点D落在点F的位置，与的交点E，连接交于点H，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据折叠性质得到，根据矩形性质结合平行线性质得到，利用等角对等边即可得证； （2）利用折叠性质以及平行线性质得到四边形是平行四边形，再根据即可得证． 【详解】（1）证明：以为折痕将折叠， ， 在矩形中，， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：以为折痕将折叠， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的判定，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 【变式3】（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），是型三角形；（3）或 【分析】（1）先证明，然后在中，利用勾股定理可求出，，证明可求出，利用勾股定理求出，即可得证； （2）由可得，即可判断是型三角形，由（1）中所求各边可知是型三角形； 【详解】解：（1）∵在正方形纸片中，， ∴，，， ∵点E为边上的中点， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是型三角形； （2）∵， ∴， ∴是型三角形， ∵，，， ∴ ∴是型三角形， ∴图中还有，是型三角形； （3）∵翻折， ∴，，， ∵是型三角形， ∴或， 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，舍去）， ∴，， ∴； 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 综上，的面积或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 突破三 与等腰三角形有关的动点问题 【典例】（2025·广东潮州·一模）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为． (1)当__________时，为直角三角形； (2)若点在的平分线上，求的值． (3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）当时，，由此构建方程即可解决问题． （2）证明，由此构建方程即可解决问题． （3）证明，得，得出，根据得二次函数关系式，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴时，是直角三角形． 故答案为：2； （2）解：是等边三角形，四边形为平行四边形 若点F在的平分线上，则平分 ， ， ， 由已知可得， 在中得出， ， ，， ， 解得， （3）解：过点P作平行于，交于点G，如图示， 是等边三角形， ∴， 是等边三角形 ， ， ， ∵， ∴, 又, ∴， ´ ∴， ∴抛物线开口向下， ∵ ∴当时，最大值． 【变式1】（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 【变式2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，中，，，，过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以2cm/s的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以1cm/s的速度向上或向下运动，连接，，设运动时间为． （1）写出、的长度；（用含的关系式表示） （2）当为多少时，与全等． 【答案】（1），；（2）2s或6s 【分析】(1)由路程=速度×时间，可得CP、CQ的长度； (2)分两种情况讨论，第一种是当点在线段上，在点的上方；第二种是当点在线段的延长线上，在点的下方，由全等三角形的判定可得BP=CQ时，两三角形全等，即可求解． 【详解】解：（1）因为动点从点开始沿射线的方向以2cm/s的速度运动， 动点也同时从点出发在直线上以1cm/s的速度向上或向下运动， 所以，； （2）分两种情况： ①如图①，当点在线段上，在点的上方， 时，， 理由如下： 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 在和中， 因为，，， 所以． 因为，， 所以， 因为， 当时，， 解得； ②如图②当点在线段的延长线上，在点的下方， 时，， 理由如下： 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 在和中， 因为，，， 所以． 因为，， 所以，因为， 当时，，解得； 综上所述，当的值为2s或6s时，与全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【变式3】（2025·广东湛江·二模）如图，在中，，，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，，． (1)当点为的中点时，求的长度； (2)点在上移动时，探究：当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或或是等腰三角形． 【分析】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，从而可得，求出的长，即可得解； （2）分三种情况：①当时．②当时，③当时，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∴． ∵点P为的中点，为直径， ∴， ∴． ∴． （2）解：①当时． 由（1）知，，则， ∵是直径， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ②当时，，连接， ∵是直径， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ③当时，如图所示，连接，过点E作于点F． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或或时，是等腰三角形． 突破四 与等腰三角形有关的新定义问题 【典例】（2025·广东清远·一模）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如： （1）若，且，求x，y的值； （2）在（1）的条件下，求以x，y为边长的等腰三角形的面积． 【答案】（1）2；4；（2） 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出， （2）分类讨论，再根据勾股定理求出等腰三角形底边上的高，再根据三角形面积公式求出面积． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， 解得， ∴x，y的值分别是2，4； （2）①若2为腰，4为底边，则三边为2、2、4， ∵， ∴不能构成三角形； ②若4为腰，2为底边，则三边为2、4、4， ∵， ∴能构成三角形； 如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=2， 作AD⊥BC于D， 则BD=DC=BC=1， ∴， 所求的等腰三角形面积为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，还考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)； (2)；，理由见解析；的长为． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形． （）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：； （2）解：， 理由：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故的长为． 【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）【定义】 对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”． 如图1，四边形为“等角线四边形”，即，， 【定义探究】 (1)判断下列四边形是否为“等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”． ①对角线所夹锐角为的平行四边形．                                                    （    ） ②对角线所夹锐角为的矩形．                                                        （    ） ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．            （    ） 【性质探究】 (2)如图2，以为边，向下构造等边，连接，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【应用提升】 (4)若“等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】对于（1），根据定义即可求解． 对于（2），证明四边形是平行四边形，根据即可求解； 对于（3），先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案； 对于（4），根据（2）（3）的结论代入数据即可求解． 【详解】（1）对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判①是“等角线四边形”， ∴选择×； ∵对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为60°，故②是“等角线四边形”， ∴选择√； ∵对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“60°等角线四边形”， ∴选择√． 故答案为：×，√，√； （2）是等边三角形， ，． ． ， ， 四边形是平行四边形， ． 中， 即； （3）如图，过作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ， ． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵，， ∴． 在中，， ∴， 则． ； （4）若“等角线四边形”的对角线长为2，则， 由（2）（3）可得， ． 该四边形周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形综合问题，新定义问题，特殊角三角函数值，平行四边的性质与判定等，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 突破五 与等腰三角形有关的规律探究问题 【典例】（2025·广东·模拟预测）如图，作出边长为1的菱形，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；….按此规律所作的第2023个菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键；连接，与交于点M，由题意易得，是等边三角形，然后可得，进而可得图形变化规律，最后问题可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，…，故按此规律所作的第n个菱形的边长为， ∴第2023个菱形的边长为； 故答案为． 【变式1】（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，坐标与图形等，找出规律是解题的关键．先根据题意求出、，、的坐标，发现规律，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，点的坐标为，将绕点旋转180°得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， 即，， 则， 同理可得， ， ······， ， 故点的坐标为， 即． 故答案为：． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键． 通过观察可得，每个点的纵坐标规律：，，，，，，点的横坐标规律：，，，，，，，，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，秒钟走一段，运动每秒循环一次，点运动秒的横坐标规律：，，，，，，，，点的纵坐标规律：，，，，，，，确定循环的点即可． 【详解】解：过点作轴于， 图中是边长为个单位长度的等边三角形， ，， ，， 同理，，，，，， 中每个点的纵坐标规律：，，，，，， 点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，秒钟走一段， 运动每秒循环一次， 点的纵坐标规律：，，，，，，，， 点的横坐标规律：，，，，，，，， ， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 故选：． 【变式3】（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律，依此规律即可解决问题． 【详解】解：是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键． 突破六 与等腰三角形有关的多结论问题 【典例】如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据长方形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③正确，无法判断和是否相等． 【详解】解：根据长方形的性质和折叠可得： ，， 在和中， ∴，故③正确； ∴， ∴ 是等腰三角形，故①正确； 无法判断和是否相等，故②错误， 综上可知：①③正确，共2个． 故选：B． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①；②，③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据得，得到，结合，可判断①；根据得,无法确定，可判定②错误；根据，得，过点，垂足分别为G，H，结合平分得；结合,得到；结合,得到；继而得到，利用等腰三角形的三线合一性质，可判定③正确； 作平分交于点G，结合，得到，证明得到，结合，等量代换可得 ，可判定④正确． 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， 故①正确； 若， ∴,无法确定， 故②错误； ∵　， ∴， 过点，垂足分别为G，H， ∵平分， ∴； ∴, ∴； ∴, ∴； ∴， ∴， 故③正确； 作平分交于点G，∵， ∴， ∵ ∴，∴， ∵， ∴， ∴④正确． 故选C． 【变式2】如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（    ）个． ①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等．根据三线合一定理即可判断①；证明是线段的垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②③；根据点到直线的距离垂线段最短可知当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，即可判断④；证明，得到即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形，F是边的中点， ∴，故①正确； ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∵D在线段上， ∴当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小， ∵等边三角形的边长为12，F是边的中点， ∴， ∴的周长的最小值为，故④正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的一共有4个， 故选：C． 【变式3】（2023·广东清远·一模）如图，在矩形中，点E是线段上的动点（不与B、C重合），连接，把沿翻折，得到，连接．下列说法中：①；②；③当时，，正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，，，故①正确；由四边形内角和定理可求，故②正确；由，可得，故③正确，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵把沿翻折，得到， ∴，，，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 当时，又∵， ∴， ∴，故③正确， 故答案为：①②③． 突破七 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 【典例】（2023·广东深圳·二模）【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题： 已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F． 求证：点F在的平分线上． 【解答】某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法： 如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得：，． ∴． ∵，， ∴F在的平分结上． 【探究】 (1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中和三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：________； (2)小明也发现和之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：________； (3)如图3，边长为3的正方形中，点E，F分别是边上的点，且．连接，若，求的长； (4)如图4，中，，．中，．将的顶点D放在边的中点处，边交线段于点G，边交线段于点H，连接．现将绕着点D旋转，在旋转过程中，的周长是否发生变化？若不变，求出的周长，若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)不改变， 【分析】（1）证明可得，同理再由可得结论； （2）由（1）得，，，所以，进而可得结论； （3）把绕点顺时针旋转可得，证明求得的周长为6，设则在用勾股定理列方程求出即可； （4）连接，过点D作，，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，进一步得出的周长,从而可得结论 【详解】（1） 平分， ， 在和中， , ； 同理可得， ， ； （2） 由（1）得：，， ， ∴ （3）将顺时针旋转得到，从而有． ∴，，， ∵四边形是正方形 ∴，， ∴ ∴B、P、F三点共线 ∵ ∴ ∴即 ∵，， ∴        ∴ 设，，， ∴         解得： 即 （4）的周长不改变     如图，连接，过点D作，， ∵，，D为边上中点 ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又 ∴， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∵且 ∴ ∴，         将绕着点D旋转至，由背景知识可得： 的周长 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 【变式1】（2025·广东深圳·一模）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系． 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你写出线段与的数量关系________，位置关系________，并证明线段与的数量关系（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系__________，并说明理由； 【能力提升】 （3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值（参考图5、图6）． 【答案】（1）证明过程详见解答；（2）；（3）． 【分析】（1）勤学小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“善思小组”的解法：结合F为的中点构造三角形的中位线，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证． （2）延长至，使，可证得C、B、E、D共圆，从而，，可证得，从而，进一步得出结果； （3）当点在内部时，可证得C、D、F共线，根据可求得，进而得出结果；同样求得当点在外部时的结果． 【详解】解：（1）方法一，如图1， ，，理由如下： 连接，延长，交的延长线于点，交于点O， ， ∴ ∵ ∴ ，， 由旋转可得，， ，， ， ∵ ∴ ， ， ， ∴，， ， ， ， 方法二，如图2， 延长至，使，连接，延长，交于， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）如图3， 延长至，使， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 点、、、共圆， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）设，如图4， 当点在内部时，由（1）知，，，， ， ， ， ， 、、共线， ， ， ， ，（舍去）， ， ， 如图5， 当点在外部时， ， ， ， 、、共线， ， ， ， ，（舍去）， ， 综上所述：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形． 【变式2】（2024·广东中山·一模）在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、． (1)如图1，当点G在边上时，写出与的数量关系．（不必证明） (2)如图2，当点F在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明； (3)如图3，当点F在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点，利用，得出，，得到，是的中垂线，在中，利用正切函数即可求解； （2）延长交于点，连接，，先证明，再证明，利用在中，，即可求解； （3）延长到，使，连接，，，作，先证，再证，利用在中，，即可求解． 【详解】（1）解：； 如图1，延长交于点， 是的中点， ， 是正三角形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是正三角形， ， 四边形是菱形， ， ， 是的垂直平分线， 在中，， ； （2）猜想：，证明如下： 如图2，延长交于点，连接，， ，是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ； （3）猜想：， 如图3，延长到，使，连接，，，过点作， 是线段的中点， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，，点，，，在同一直线上， ， 三角形是等边三角形， ， ， ， ，， ，即， ，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式3】（2025·广东东莞·模拟预测）综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转α到，连接，． 问题发现：（1）如图1，若，请直接写出的度数_______；线段，，之间的数量关系是_______． 类比探究：（2）如图2，若，求的度数及线段，，之间的数量关系； 拓展延伸：（3）如图3，若，，，当点A到直线的距离为1时，请直接写出的长． 【答案】（1） ；；（2）；；（3）或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出底角和的度数；通过旋转得到，由全等性质得出的度数，进而求出；再根据等腰直角三边关系及全等得到的线段相等关系，得出，，之间的数量关系． （2）仿照（1）的方法得出，结合等腰内角和求出；通过作辅助线构建直角三角形，利用含角的直角三角形性质、勾股定理求出与的关系，进而得到，，之间的数量关系 ． （3）先由等腰直角的边长求出的长度；根据和为直角，判断、、、四点共圆，再利用四点共圆性质得出为等腰直角三角形；分点在左侧和右侧两种情况，在中运用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）在中，，， 由旋转得 ， ，即， 在和中， ， ，， ， ． 故答案为：   ； （2）同理（1）可得，， ，， ， ， 在中， ， 又， （3）在等腰直角三角形中，， ∴，， ． 如图1，当点D在左侧时，过点A作于点P． ， A，D，B，C四点共圆， 则， 为等腰直角三角形， ． 在中， ， ． 如图2，当点D在右侧时，过点A作于点P， 则， 为等腰直角三角形， ． 在中，， ， 综上所述：BD的长为或 【点睛】本题考查等腰三角形性质、旋转性质、全等三角形判定与性质、四点共圆及勾股定理等知识，解题关键是通过证明三角形全等找到角度和线段关系，并依据不同条件灵活运用相关几何定理求解． 1．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 首先求出，然后求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知等腰三角形的两边长分别为、，则等腰三角形的周长是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：3为腰或7为腰，结合三角形两边之和大于第三边解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，三边长为， ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，此种情况不存在； 当为腰时，三边为，满足三角形三边关系，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长是； 综上，等腰三角形的周长是， 故选：． 4．（2025·广东深圳·二模）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条．则车位锁的底盒长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，由题意构建三角形并正确运用相关三角函数是解决问题的关键． 过点A作作于点，根据等腰三角形的性质可知，再利用三角函数知识表示出，则长可表示． 【详解】解：过点作于点， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：C． 5．（2025·广东广州·二模）如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题． 【详解】解：平分， ， 于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：． 6．（2025·广东佛山·二模）如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论 ． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查平移变换、等腰直角三角形，平行线的判定，结合平移的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：，，（答案不唯一）． 7．（2025·广东·一模）在中，，点为上一点满足，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差关系，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据题意作图，过点作于点，由题意推得、，得，通过等腰三角形的“三线合一”得，利用勾股定理分别求出、的值，即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， 在中，，且， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起（点A 处），摆出，． 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到等腰三角形， 此时B， C， D三点在同一条直线上，则 ． 【答案】 【分析】证明，可得结论．本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2025·广东韶关·二模）如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键是证明，利用三线合一的性质进行证明．根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明，再得出，即可得证． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 10．（2025·广东中山·二模）如图，在等腰中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线，交边于点N；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)18 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，则即为所求： （2）解：由作图可知，为的平分线， ∵， ∴N为的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， 的周长． 11．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接． (1)是_____三角形，的度数是_____ (2)若，求的面积． 【答案】(1)等腰， (2)的面积． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）由旋转，得到，即可得到是等腰三角形，再利用三角形的外角性质可求得的度数； （2）求得中边上的高，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴是等腰三角形，； 故答案为：等腰，； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴的面积． 12．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，连接，点O是的中点，连接，则长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先求出，则可证明，可得到，由三线合一性质可得，解直角三角形可得的长，延长到F使得，连接，由三角形中位线定理可得；证明，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，延长到F使得，连接， ∵点O是的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 14．（2025·广东广州·二模）如图，等边三角形的顶点，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质，由等边三角形的性质可得，，求出，由折叠的性质可得，推出点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，此时最小，得出的面积最小，解直角三角形得出，，即可得解． 【详解】解：∵等边三角形的顶点，， ∴，， ∵， ∴， ∵点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到， ∴， ∴点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，如图， ， 此时最小， ∵， ∴此时的面积最小， ∵， ∴， ∴， ∴当的面积最小时，点到的距离为． 故选：D． 15．（2025·广东深圳·一模）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将沿折叠．使点B落在射线上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①② 【答案】A 【分析】根据将沿折叠．使点B落在射线上的点处，得，故，判断①正确；由题意得，可得是等边三角形，即可得判断②正确；当点N与C重合时，可得，判断③错误； 当最短时，，过M作于T，交延长线于K，当最短时，，过M作于T，交延长线于K，设，则，利用勾股定理得，设，则，，，利用勾股定理得，在中，得到，在中，求出，判断④正确．即可求出． 本题考查等边三角形中的翻折问题，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形；故②正确； 当点N与C重合时，如图， ∵， ∴， ∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当最短时，，过M作于T，交延长线于K，如图， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， ， 故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：A． 16．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在正方形中，点P在对角线上，交于E，，垂足为F．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】①通过角的和差关系来证明两角相等；对于②通过连接辅助线，证明三角形全等，再利用等腰三角形三线合一的性质来证明线段相等；对于③通过作辅助线，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质来证明线段之间的数量关系即可 【详解】解：①四边形为正方形，， ， ，故①正确； 如图，连接 为的角平分线， ， ， 由①可知， ， ， ， ，故②正确； 如图，过点P作于点M， 四边形是正方形，是对角线， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，故③正确， 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质定理为解题关键 17．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵直角顶点在反比例函数， ∴，即， ∴， ∴， 设坐标为，则， ∵在上， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设坐标为， 则， ∵坐标在反比例函数， ∴， 即，整理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 总结：， ， ， … 则， ∴， ∴， 故答案为： 18．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 19．（2025·广东东莞·模拟预测）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】[探究]（1）证明见解析；（2）；[应用]  或 【分析】[探究]（1）由题意可求，，进而可证； （2）由题意知，，由（1）知，则，代入计算求解即可； [应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 20．（2024·广东·模拟预测）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F． ①求证：； ②求的度数． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F． ①求证：； ②若．将绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段上时，如图3所示，求的长度． 【答案】（1）①见解析，②；（2）①见解析，② 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，即可得出结论； ②求出，即可得出结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质证明，得出，即可得出结论； ②过点作于点，根据勾股定理求出的值，进而判断出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ， ，； ②如图1，设交于点． ，， ， 即； （2）①∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ，． ， ， ， ； ②当点落在线段上时， 如图，则，， 过点作于点， 则，， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相关的性质是解本题的关键． 21．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可解决本小题； （2）延长至F，使，连接、，证明．从而，．再根据斜边中线定理可证得； （3）过点作直线于点F，由题意可知．由旋转可知，，，证明．得，即F为中点，从而证得点在的中垂线上运动．作的中垂线l，则的外心必在直线l上，设外心为点G，连接、，，当时，最小，即外接圆半径r最小，此时，，，，设，则，，故，在中，由勾股定理得，解得，（不合题意，舍去）． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴是等边三角形， ∴，即的长为6． （2）证明：延长至F，使，连接、，如图所示： ∵， ∴为的中垂线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 又∵为斜边的中线为斜边的中线， ∴． （3）解：过点作直线于点，如图所示： ∵，，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴． 由旋转可知，． ∴ ∴， 在和中， ， ∴． ∴，即F为中点， 故在的中垂线上运动． 作的中垂线l，则的外心必在直线l上， 设外心为点G，连接、，， 当时，最小，即外接圆半径r最小， 此时，，，， 设， 则，， 故， 在中，由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）， 故的外接圆的半径r的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中垂线的判定与性质，外心的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 22．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 23．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 24．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 25．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选B． 26．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 27．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 29．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 30．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 31．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作， 故答案为： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 33．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【详解】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 34．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 35．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 36．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 37．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 38．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 40．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 41．（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由等腰三角形的判定求得，进而由菱形的判定定理得结论； （2）根据（1）可得，，证明，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵， 根据（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 42．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 43．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 44．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 45．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 46．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下： (1)若时， 如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键． （1）①由，，得到是等边三角形，从而∴，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；②由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论； （2）同（1）思路即可求解． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ， ∴， ∴． ②解：，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $