第5章 概率 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第5章　概率 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.某网站举行购物抽奖活动,规定购物消费每满100元就送1次抽奖机会,中奖的概率为10%,那么以下理解正确的是(　　) A.某人抽奖100次,一定能中奖10次 B.某人消费1 000元,至少能中奖1次 C.某人抽奖1次,一定不能中奖 D.某人抽奖10次,可能1次也没中奖 2.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,事件B为“出现2点”,已知P(A)=,P(B)=,则“出现奇数点或2点”的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.现有两名女教师和一名男教师参加说题比赛,共有两道备选题目.若每位教师从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题目的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.如图所示,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯泡亮的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌,用作抛骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜,得到所有12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　　) A.甲得9张,乙得3张　　B.甲得6张,乙得6张 C.甲得8张,乙得4张　　D.甲得10张,乙得2张 6.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.袋子里有4个大小、质地完全相同的球,其中有2个红球、2个白球,从中不放回地依次随机摸出2个球,事件A=“2个球颜色相同”,事件B=“2个球颜色不同”,事件C=“第二次摸到红球”,事件D=“2个球都是红球”.下列结论错误的是(　　)　 A.P(A∪B)=1　　B.C与D互斥 C.D⊆C　　D.P(B)=P(C)+P(D) 8.连续掷两次一枚质地均匀的骰子,得到的点数依次为m,n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>的概率是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件A=“第一次出现偶数点”,事件B=“第二次出现奇数点”,事件C=“两次都出现偶数点”,则(　　) A.A包含C　　B.A与B相互独立 C.B与C互为对立事件　　D.B与C互斥但不对立 10.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下列结论中,正确的是(　　) A.P(A)=0.55　　B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27　　D.P(B+C)=0.55 11.袋中有大小、形状相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率不为的是(　　) A.颜色相同　　B.颜色不全相同 C.颜色全不相同　　D.无红球 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.连续抛掷一枚硬币三次,事件A为“三次反面向上”,事件B为“恰有一次正面向上”,事件C为“至少两次正面向上”,则P(A)+P(B)+P(C)=　　　　.   13.从1,2,3,4,5,6中随机选取2个不同的数字组成logab(a>0,且a≠1),则恰好能使得logab<1的概率是　　　　.  14.甲、乙两人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红色、黄色、蓝色,已知甲击中红色、黄色、蓝色区域的概率依次是,,,乙击中红色、黄色、蓝色区域的概率依次是,,,两人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,则两人击中同色区域的概率为　　　　　　,两人击中不同色区域的概率为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)某学校大力普及科学防疫知识,现需要在2名女生、3名男生中任选2人担任防疫宣讲主持人,每名同学当选的机会是相同的. (1)写出试验的样本空间,并求当选的2名同学中恰有1名女生的概率; (2)求当选的2名同学中至少有1名男生的概率. 16.(15分)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名考生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该考生的选考方案确定;否则称该考生的选考方案待确定.某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表: 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定 的有8人 8 8 4 2 1 1 选考方案待确 定的有6人 4 3 0 1 0 0 女生 选考方案确定 的有10人 8 9 6 3 3 1 选考方案待确 定的有6人 5 4 1 0 0 1 (1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的人数; (2)假设男、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8名男生和10名女生中各随机选出1人,试求选出的男生和女生的选考方案中都含有历史科目的概率. 17.(15分)某餐厅提供自助餐和点餐两种服务,其每人的平均消费相近,为了进一步提高菜品和服务质量,餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人进行满意度调查,得到如下表中的数据. 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 2 6 3 4 12 0分(不满意) 1 1 6 2 3 2 (1)由表中数据分析,三种年龄层次的人群中,哪一类人群更倾向于选择自助餐? (2)为了和顾客进行深入的沟通交流,餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流,求2人都是中年人的概率; (3)若你朋友选择到该餐厅就餐,根据表中的数据,你会建议你的朋友选择哪种就餐方式? 18.(17分)甲乙两支足球队进入某场比赛的决赛,比赛采用“主客场比赛制”,具体赛制如下:若某队两场比赛均获胜或一胜一平,则获得冠军;若某队两场比赛均平局或一胜一负,则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为p,平局的概率为,其中0<p<1;甲队在客场获胜和平局的概率均为;点球大战甲队获胜的概率为p,且不同对阵的结果互不影响. (1)若甲队先主场后客场,且p=, (i)求甲队通过点球大战获得冠军的概率; (ii)求甲队获得冠军的概率; (2)除“主客场比赛制”外,也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”,具体赛制如下:若某队比赛获胜则获得冠军;若为平局,则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2,平局的概率为,点球大战甲队获胜的概率为p.哪种赛制更有利于甲队夺冠? 19.(17分)动车和BRT(快速公交)的出现,方便了人们的出行,并且带动了我国经济的巨大发展,根据统计,2020年,从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多,为了调查乘客对这两种出行方式的满意度,研究人员随机抽取了500名乘客进行调查,所得情况统计如下表: 30岁以下 30~50岁 (包含30岁) 50岁及 50岁以上 乘坐 动车 乘坐 BRT 乘坐 动车 乘坐 BRT 乘坐 动车 乘坐 BRT 满意 50 5 100 10 100 20 一般 20 15 40 20 20 25 不满意 5 0 20 10 20 20 (1)若从500名乘客中任取1名乘客,求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率; (2)记满意为10分,一般为5分,不满意为0分,根据表中数据,计算30~50岁(包含30岁)乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差; (3)若从表中30~50岁(包含30岁)的满意程度一般的乘客中按照乘车类型用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机挑选3人咨询改进措施,求这3人中至少有2人乘坐BRT的概率. 答案全解全析 1.D　中奖的概率为10%,与抽的次数无关,不能保证一定中奖,也不能保证一定不中奖,只是有10%中奖的可能性,故D正确. 2.D　因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥,所以“出现奇数点或2点”的概率为P(A)+P(B)=+=. 3.C　记两道备选题目分别为A,B,所有抽到的情况为AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB(其中第1个、第2个分别表示两名女教师抽到的题目,第3个表示男教师抽到的题目),共8种,其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA,ABB,BAA,BAB,共4种.故所求事件的概率为. 4.D　由题意,灯泡不亮包括三种情况:(1)4个开关都断开;(2)甲、丙、丁都断开,乙闭合;(3)乙、丙、丁都断开,甲闭合.这三种情况是互斥的,每一种情况中的事件都是相互独立的,所以灯泡不亮的概率为×××+×××+×××=,所以灯泡亮的概率为1-=. 5.A　由题意得,骰子朝上的面的点数为奇数的概率为,即甲、乙每局得分的概率相等,所以甲获胜的概率是+×=,乙获胜的概率是×=,所以甲得到的游戏牌为12×=9张,乙得到的游戏牌为12×=3张. 6.B　最后乙队获胜包含3种情况:(1)第三局乙队胜;(2)第三局甲队胜,第四局乙队胜;(3)第三局和第四局都是甲队胜,第五局乙队胜. 故最后乙队获胜的概率P=+×+×=. 7.B　对于A,由于A∪B=Ω,所以P(A∪B)=1,故A中结论正确; 对于B,事件C与事件D都包括“第一次摸到红球,第二次摸到红球”,所以C,D不是互斥事件,故B中结论错误; 对于C,由于事件C=“第二次摸到红球”包含了事件D=“2个球都是红球”,所以D⊆C,故C中结论正确; 对于D,P(B)==,P(C)==,P(D)==,所以P(B)=P(C)+P(D),故D中结论正确. 8.D　由题意知向量(m,n)的可能情况有36种, 要使向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>, 则(m,n)·(-1,1)=n-m<0,即n<m, 满足条件的情况如下: m=2时,n∈{1}, m=3时,n∈{1,2}, m=4时,n∈{1,2,3}, m=5时,n∈{1,2,3,4}, m=6时,n∈{1,2,3,4,5},共有15种, 故向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>的概率是=. 9.ABD　由题意可知A=AB∪A,B=AB∪B,C=A, 且P(A)==,P(B)==,P(C)=×=. 对于A,由上分析可知A包含C,故A正确; 对于B,P(AB)=×=,P(A)P(B)=×=, 故P(AB)=P(A)P(B),故B正确; 对于C和D,设事件D=“抛掷一枚质地均匀的骰子两次”, 则D=AB∪A∪B∪, 故由B=AB∪B和C=A知B与C互斥但不对立,故C错误,D正确. 10.ABC　依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18,显然事件A,B互斥,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故A,B,C正确,D不正确. 11.ACD　有放回地取球3次,试验的样本空间中共27个样本点,其中颜色相同的样本点有3个,其概率为=; 颜色不全相同的样本点有24个,其概率为=; 颜色全不相同的样本点有6个,其概率为=; 无红球的样本点有8个,其概率为. 12.答案　1 解析　事件A,B,C之间两两互斥,且A∪B∪C是一枚硬币连掷三次的所有结果,所以P(A)+P(B)+P(C)=1. 13.答案　 解析　用(a,b)表示随机选取的2个不同的数字,则试验的样本空间是Ω={(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含25个样本点, 记能使得logab<1(a>0,且a≠1)为事件A,则A={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含15个样本点, 故所求概率P==. 14.答案　; 解析　设甲击中红色、黄色、蓝色区域分别为事件A1,A2,A3,乙击中红色、黄色、蓝色区域分别为事件B1,B2,B3, 则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=. ∵两人射击情况互不影响, ∴两人击中同色区域的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=×+×+×=; 两人击中不同色区域的概率为P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=×+×+×+×+×+×=. 15.解析　(1)将2名女生分别用a,b表示,3名男生分别用c,d,e表示,(1分) 则从5名同学中任选2名同学的样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共有10个样本点.(2分) 设事件A=“当选的2名同学中恰有1名女生”, 则A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共有6个样本点, ∴P(A)==. 故当选的2名同学中恰有1名女生的概率是.(5分) (2)设事件B=“当选的2名同学中至少有1名男生”,事件C=“当选的2名同学中全部都是女生”,则事件B,C为对立事件,(7分) ∵C={(a,b)},∴P(C)=,(10分) ∴P(B)=1-P(C)=1-=. 故当选的2名同学中至少有1名男生的概率是.(13分) 16.解析　(1)由题表可知,选考方案确定的男生中选考生物的有4人,选考方案确定的女生中选考生物的有6人,(3分) 所以估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的人数为××420=140.(7分) (2)由题表可知,从选考方案确定的8名男生中选出1人,其选考方案中含有历史科目的概率为=,(10分) 从选考方案确定的10名女生中选出1人,其选考方案中含有历史科目的概率为,(12分) 所以选出的男生和女生的选考方案中都含有历史科目的概率为×=.(15分) 17.解析　(1)由题表知,老年人选择自助餐的频率为=, 中年人选择自助餐的频率为=, 青年人选择自助餐的频率为=, 因为>>,所以中年人更倾向于选择自助餐.(5分) (2)由题表知,在点餐不满意的人群中,老年人有1人(设为a),中年人有2人(设为b,c),青年人有2人(设为d,e). 从中选取2人,其样本空间中的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,(8分) 记2人都是中年人为事件A,则A中的样本点有(b,c), 故P(A)=.(11分) (3)由题表可知,自助餐满意度的平均分==, 点餐满意度的平均分==, 因为>,所以我会建议我的朋友选择自助餐.(15分) 18.解析　(1)(i)记甲队通过点球大战获得冠军为事件A, 此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平,点球大战获胜,(1分) 则P(A)=p(1-p)+·p+p·p·p=p2(1-p),(3分) 因为p=,所以P(A)=××=, 所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为.(5分) (ii)记甲队获得冠军为事件B, 事件B包含甲队主胜客胜、主胜客平、主平客胜、通过点球大战获胜,(6分) 则P(B)=p·p+p·p+p·p+p2(1-p)=p2-p3,(7分) 因为p=, 所以P(B)=×-×=, 所以甲队获得冠军的概率为.(10分) (2)记在“单场比赛制”下,甲队获得冠军为事件C, 事件C包含甲队获胜、平局且甲队点球大战获胜, 所以P(C)=p2+p·p=p2,(12分) 因为0<p+p<1,所以0<p<, 此时0<p2+p<,满足题意.(13分) P(B)-P(C)=p2-p3-p2=p2-p3=p2(5-6p),(15分) 因为0<p<,所以0<p2<,1<5-6p<5, 所以P(B)-P(C)=p2(5-6p)>0,则P(B)>P(C), 故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更有利于甲队夺冠.(17分) 19.解析　(1)由题表知,30岁以下的乘客有50+5+20+15+5=95人, 则所求概率P=1-=0.81.(4分) (2)依题意,30~50岁(包含30岁)乘坐动车乘客满意程度的平均分为=7.5,(7分) 方差为=12.5.(10分) (3)依题意,乘坐动车的抽取4人,分别记为甲、乙、丙、丁;乘坐BRT的抽取2人,分别记为A,B.从这6人中随机抽取3人,所有的情况为(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,A),(甲,乙,B),(乙,丙,丁),(乙,丙,A),(乙,丙,B),(丙,丁,A),(丙,丁,B),(丁,A,B),(甲,丙,丁),(甲,丙,A),(甲,丙,B),(甲,丁,A),(甲,丁,B),(甲,A,B),(乙,丁,A),(乙,丁,B),(乙,A,B),(丙,A,B),共20种.(14分) 满足3人中至少有2人乘坐BRT的情况有(丁,A,B),(甲,A,B),(乙,A,B),(丙,A,B),共4种, 故这3人中至少有2人乘坐BRT的概率P==.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $