第3章 复数 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第3章　复数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.复数 =(　　) A.-1-i　　B.-1+i C.1+i　　D.1-i 2.已知i为虚数单位,则=(　　) A.2　　B.　　C.3　　D. 3.复数z=+i2 022在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 4.已知复数z=-,则z的共轭复数的虚部为(　　) A.　　B.　　C.-　　D.-i 5.已知复数z=+,a∈R,若复数z在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0)　　B.(1,+∞) C.(0,1)　　D.(-∞,1) 6.如图,在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为　(　　) A.3+i　　B.3-i　　C.1-3i　　D.-1+3i 7.若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 8.已知复数z在复平面内对应的点为A,将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转,再向左平移一个单位,最后向下平移一个单位得到点B,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z=(　　) A.-1　　B.1　　C.i　　D.-i 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知复数z=,下列命题是真命题的为(　　) A.|z|=2 B.z2=2i C.z的共轭复数为1-i D.z的虚部为i 10.设z1,z2为复数,则下列结论中错误的是(　　) A.若+>0,则>- B.|z1-z2|= C.+=0⇔z1=z2=0 D.z1-是纯虚数或零 11.设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是(　　) A.若|z1|=|z2|,则z1=z2 B.|z1z2|=|z1| C.若z1为虚数,则也为虚数 D.若|z1+i|=1,则|z1|的最大值为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.复数z=(m+3)+(m-2)i在复平面内对应的点在直线2x+y-4=0上,则实数m的值为　　　　,|z|=　　　　.  13.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则|z+1|=　　　　,z·=　　　　.  14.定义复数的一种运算z1*z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知β是关于x的方程2x2+3ax+a2-a=0(a∈R)的一个根. (1)若|β|=1且β∈R,求实数a的值; (2)若|β|=1且β为虚数,求实数a的值. 16.(15分)已知复数z满足:z+i是实数,z的模为,z的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限. (1)求; (2)若+z2=a+1+bi(a,b∈R),求a,b的值. 17.(15分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 18.(17分)已知复数z1=+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位). (1)若复数z1-z2在复平面内对应的点位于第一象限,求实数a的取值范围; (2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,求实数m的值. 19.(17分)已知ω=-+i(i为虚数单位). (1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2; (2)求ω2+; (3)类比in(i2=-1),探究ωn(n∈N+)的性质. 答案全解全析 1.A　==-i(1-i)=-1-i. 2.B　==. 3.C　因为z=+i2 022=+·i2=-1=--i, 所以复数z=+i2 022在复平面内对应的点的坐标为,位于第三象限. 4.B　复数z=-=-=-, 则z的共轭复数的虚部为. 5.B　由题知,z=+=2a+(1-a)i, 因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限, 所以解得a>1. 6.D　由题图得,=+,所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i, 所以点C对应的复数为-1+3i. 7.A　若z1=z2,则 解得m=1或m=-2, 所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件. 8.B　设z=a+bi(a,b∈R),点B对应的复数为z1,则A(a,b),z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以解得于是z=1. 9.BC　z===1+i,所以|z|=,故A是假命题;z2=2i,故B是真命题;z的共轭复数为1-i,故C是真命题;z的虚部为1,故D是假命题. 10.ABC　当z1=4+i,z2=2-2i时,=15+8i,=-8i,满足+>0,但与-都是虚数,不能比较大小,故A中结论错误;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|与不一定相等,故B中结论错误;当z1=2+i,z2=1-2i时,=3+4i,=-3-4i,满足+=0,但z1=z2=0不成立,故C中结论错误;设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时,z1-=0,当b≠0时,z1-是纯虚数,故D中结论正确. 11.BC　设z1=1+i,z2=1-i,则|z1|=|z2|=,但z1≠z2,故A错误; 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, z1=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i, 所以|z1z2|=, |z1|=,则|z1z2|=|z1|,故B正确; 设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则===-i为虚数,故C正确; 由|z1+i|=1,可知复数z1在复平面内对应的点在以点(0,-1)为圆心,1为半径的圆上,|z1|表示复数z1在复平面内对应的点到原点的距离,则|z1|的最大值为2,故D错误. 12.答案　0; 解析　由题意知,点(m+3,m-2)在直线2x+y-4=0上,∴2(m+3)+m-2-4=0,∴m=0,∴z=3-2i,∴|z|==. 13.答案　;16 解析　∵复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数, ∴解得a=-2, ∴z=-4i,∴=4i, ∴|z+1|=|1-4i|=,z·=16. 14.答案　 解析　z*====. ∵a+b=3,∴ab≤=, 当且仅当a=b=时,等号成立, ∴z*≥ ==. 故z*的最小值为. 15.解析　(1)∵|β|=1且β∈R, ∴β=±1. 当β=1时,2+3a+a2-a=a2+2a+2=0,无实数解;(2分) 当β=-1时,2-3a+a2-a=a2-4a+2=0,解得a=2±,(5分) 故实数a的值为2±.(6分) (2)根据题意设β=c+di(c,d∈R,d≠0), ∵|β|=1,∴|c+di|=1, ∴=1,∴c2+d2=1,(7分) 将β=c+di代入方程,得2(c+di)2+3a(c+di)+a2-a=2c2-2d2+a2-a+3ac+(4cd+3ad)i=0, 所以2c2-2d2+a2-a+3ac=0,4cd+3ad=0,(10分) 又d≠0,所以4c+3a=0,所以c=-a, 所以2c2-2(1-c2)+a2-a+3ac=a2-a-2=0, 解得a=-1或a=2,故实数a的值为-1或2.(13分) 16.解析　(1)设复数z=m+ni(m,n∈R), ∵z+i=m+(n+1)i是实数,∴n+1=0,∴n=-1,(3分) ∴z=m-i,∴=m+i, ∵在复平面内对应的点位于第一象限,∴m>0,(5分) ∵|z|===,∴m=2,(7分) ∴z=2-i,∴====+i.(9分) (2)由(1)得z=2-i,则=2+i,z2=(2-i)2=3-4i,(12分) ∴+z2=2+i+3-4i=5-3i,(13分) 又+z2=a+1+bi(a,b∈R),∴∴a=4,故a=4,b=-3.(15分) 17.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi.(2分) 由题意得 解得或(4分) 所以z=1+i或z=-1-i.(7分) (2)由(1)知,z=1+i或z=-1-i. 当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 所以S△ABC=1;(10分) 当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),(13分) 所以S△ABC=1.(15分) 18.解析　(1)由题意得,z1-z2=+(a2-3a-4)i.(2分) 因为z1-z2在复平面内对应的点位于第一象限, 所以(5分) 解得所以-2<a<-1. 故实数a的取值范围是(-2,-1).(8分) (2)因为虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根, 所以=-(a2-3)i也是方程的根,(10分) 由根与系数的关系,得z1+==6,z1·=m,所以a=-1,(13分) 所以z1=3-2i,所以=3+2i,(15分) 所以m=z1·=13.(17分) 19.解析　∵ω=-+i, ∴ω2=--i=,ω3=1,ω2+ω+1=0.(3分) (1)(ω+2ω2)2+=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3.(5分) (2)ω2+===ω2+ω=-1.(10分) (3)∵ω2=--i=,ω3=1, ∴ωn=(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $