第5章 专题强化练11 概率与统计的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

专题强化练11　概率与统计的综合应用 1.(2024陕西汉中模拟)将1,3,5,7,9这五个数随机删去两个数,则剩下的三个数的平均数大于5的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2023陕西西安第六中学模拟)某校统计了甲、乙两人星期一至星期五每天在学习强国App上的学习积分情况,得到如下条形图: 则下列结论中错误的是 (　　) A.甲的积分的众数大于乙的积分的众数 B.甲的积分的方差小于乙的积分的方差 C.在这5天中,随机抽取1天,乙的积分大于30分的概率为0.6 D.在这5天中,随机抽取1天,甲的积分大于30分的概率为0.4 3.(多选题)(2023湖南怀化湖天中学期中)下列说法正确的有(　　) A.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小 B.抽查10件产品,事件“至少有2件次品”与“至多有一件次品”是对立事件 C.数据8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,42,43的第80百分位数是34 D.若P(A)=,P()=,且P(AB)=,则A,B是相互独立事件 4.(2025山东八校联合测评)某站台经过统计发现,一号列车准点到站的概率为,二号列车准点到站的概率为,一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为,记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件A,“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件B,则P(A+B)=　　　　.  5.(2024安徽合肥期末)一个盒子装有红、白两种颜色的玻璃球,其中红球3个,白球2个. (1)若一次从盒子中随机取出两个球,求至少取到一个白球的概率; (2)依次从盒子中随机取球,每次取一个,取后不放回,当某种颜色的球全部取出后停止取球,求最后一次取出的是红球的概率. 6.(2024浙江台州温岭新河中学期中)国务院于2023年开展了第五次全国经济普查,某地为更好地落实该项工作,充分利用信息网络开展普查宣传,向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况,现从参与调查的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. (1)从第2组和第5组抽取的人中任选3人进行问卷调查,求从[25,35)中至少抽到2人进行问卷调查的概率; (2)若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6,第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6,据此估计这次参与调查的人中年龄在第2组和第3组的人的年龄的方差. 7.(2024河北邯郸期末)龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情,小明从一副扑克牌中挑出10和K共8张牌(每个数字四个花色:红桃(红色)、方块(红色)、黑桃(黑色)、梅花(黑色)).现从8张牌中依次取出2张,抽到一张红10和一张红K即为成功.现有三种抽取方式,如下表: 抽取方式 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回地 依次抽取 不放回地 依次抽取 按数字等比 例分层抽取 成功概率 p1 p2 p3 (1)分别求出在三种不同抽取方式下成功的概率; (2)若三种抽取方式小明各进行一次, (i)求这三次抽取中至少有一次成功的概率; (ii)设在三次抽取中仅连续两次抽取成功的概率为p,那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关?如果有关,什么样的顺序使概率p最大?如果无关,请给出简要说明. 答案与分层梯度式解析 专题强化练11　概率与统计的综合应用 1.C 2.B 3.BCD 1.C　删去的两个数的可能情况有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9),共10种(相对于剩下的三个数,删去的两个数的情况更容易列举),要使剩下的三个数的平均数大于5,则删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),共有4种情况设删去的两数之和为x,则>5,解得x<10,所以剩下的三个数的平均数大于5的概率P==. 2.B　甲的积分的众数为30分,乙的积分的众数为20分,所以甲的积分的众数大于乙的积分的众数,A中结论正确; 由题中条形图可知,甲的积分不如乙的积分稳定,所以甲的积分的方差大于乙的积分的方差,B中结论错误; 在这5天中,有3天乙的积分大于30分,故乙的积分大于30分的概率为=0.6,C中结论正确; 在这5天中,有2天甲的积分大于30分,故甲的积分大于30分的概率为=0.4,D中结论正确. 3.BCD　对于A,在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,记事件A为朝上的点数小于或等于5,事件B为朝上的点数大于或等于2,则P(A)=,P(B)=, 事件A,B同时发生即朝上的点数小于或等于5且大于或等于2,共4种情况,其概率为=, A,B中恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)=×+×=,>,故A错误; 对于B,抽查10件产品,“至少有2件次品”即次品件数大于或等于2,“至多有一件次品”即次品件数小于或等于1,两个事件有且仅有一个会发生,互为对立事件,故B正确; 对于C,该组数据共有12个数,12×0.8=9.6,所以该组数据从小到大排列后的第10个数是该组数据的第80百分位数,为34,故C正确; 对于D,因为P()=,所以P(B)=,所以P(AB)==P(A)P(B),所以A,B是相互独立事件,故D正确. 4.答案　 解析　记“一号列车准点到站”为事件M,“二号列车准点到站”为事件N, 则P(M)=P(MN+M)=P(MN)+P(M)=, P(N)=P(MN+N)=P(MN)+P(N)=, P(M+)=P(MN+M+)=P(MN)+P(M)+P()=, 又P(Ω)=P(MN)+P(M)+P(N)+P()=1, 所以P(N)=,P(MN)=,P(M)=, 则P(A+B)=P(M+N)=P(M)+P(N)=+=. 易错警示 　　本题运用对样本空间的划分,将样本空间划分为四个互斥事件,再运用互斥解决问题. 5.解析　记3个红球为A,B,C,2个白球为a,b. (1)从盒子中随机取出2个球的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点, 记事件M为“至少取到一个白球”,则其对立事件为“一个白球也没有”,即“两个球都是红球”,则={(A,B),(A,C),(B,C)},共3个样本点,故P(M)=1-P()=1-=. (2)最后一次取出红球有两种情形:①前两次取出红球,第三次取出红球,有1种情况;②前三次取出2个红球,第四次取出红球,有3种情况.故共有4种不同的情况. 最后一次取出白球有三种情形:①第一次取出白球,第二次也取出白球,有1种情况;②前两次取出1个白球,第三次取出白球,有2种情况;③前三次取出1个白球,第四次取出白球,有3种情况.故共有6种不同的情况. 故最后一次取出的是红球的概率P==. 6.解析　(1)由题意得,a=×(0.1-0.015-0.035-0.03)=0.01,所以第2组和第5组的频率分别为0.15,0.1,故第2组和第5组所抽取的人数分别为0.15×20=3,0.1×20=2, 不妨将第2组中的3人记为A,B,C,第5组中的2人记为甲,乙, 则样本空间Ω={ABC,AB甲,AB乙,AC甲,AC乙,A甲乙,BC甲,BC乙,B甲乙,C甲乙},共10个样本点, 设事件M为“从[25,35)中至少抽到2人进行问卷调查”,则M={ABC,AB甲,AB乙,AC甲,AC乙,BC甲,BC乙},共7个样本点,所以P(M)=. (2)设第2组中参与调查的人的年龄的平均数为,方差为,则=30,=6, 设第3组中参与调查的人的年龄的平均数为,方差为,则=40,=6, 设第2组和第3组所有参与调查的人的年龄的平均数为,方差为s2, 则=+==37, 则s2=×[+(-)2]+×[+(-)2]=27. 故估计这次参与调查的人中年龄在第2组和第3组的人的年龄的方差为27. 7.解析　(1)设方式①②③的样本空间分别为Ω1,Ω2,Ω3, 则n(Ω1)=8×8=64,n(Ω2)=8×7=56,n(Ω3)=4×4+4×4=32, 设事件A=“抽到一张红10和一张红K”,则A={(红桃10,红桃K),(红桃10,方块K),(方块10,红桃K),(方块10,方块K),(红桃K,红桃10),(方块K,红桃10),(红桃K,方块10),(方块K,方块10)},共8种情况, 故p1===,p2===,p3===. (2)(i)记这三次抽取中至少有一次成功为事件B, 则P(B)=1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=1-××=. (ii)有关,按方式②③①或①③②抽取概率p最大. 解法一:若方式②在第2步(按照第2步为方式几进行分类),即按①②③或③②①的顺序抽取, 则p=××+××=, 若方式①在第2步,即按②①③或③①②的顺序抽取, 则p=××+××=, 若方式③在第2步,即按①③②或②③①的顺序抽取, 则p=××+××=, 故此概率与三种方式的先后顺序有关,按方式②③①或①③②抽取概率p最大. 解法二:设三次抽取成功的概率分别为a,b,c, 则p=ab(1-c)+(1-a)bc=b(a+c)-2abc. 2abc均相同,只需要比较b(a+c)的大小关系. 因为p3>p2>p1,所以p3(p1+p2)>p2(p1+p3)>p1(p2+p3), 故此概率与三种方式的先后顺序有关,按方式②③①或①③②抽取概率p最大. 7 学科网（北京）股份有限公司 $