第1章 专题强化练2 平面向量的数量积及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

专题强化练2　平面向量的数量积及其应用 1.(2024江苏苏州月考)单位向量a,b,c满足a-2b+2c=0,则cos<a,b-2c>=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选题)(2025甘肃张掖民乐第一中学期中)已知向量a=(-2,1),b=(-1,t),则下列说法正确的是　(　　) A.若a⊥b,则t的值为-2 B.若t的值为3,则|a+b|=5 C.若0<t<2,则a与b的夹角为锐角 D.若(a+b)⊥(a-b),则|a+b|=|a-b| 3.(多选题)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　　) A.-　　B.　　C.　　D. 4.(2025辽宁沈阳第二中学月考)向量a,b满足cos<a,b>=,且∀t∈R,|a-tb|≥|a-2b|,则=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 5.(2025安徽A10联盟月考)一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示,该窗有两个正方形,将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面,如图2所示.已知AB=6分米,FG=3分米,点P在正方形ABCD的四条边上运动,当·取得最大值时,与夹角的余弦值为(　　) 　　 A.　　B.　　C.　　D. 6.(2024吉林长春吉大附中实验学校开学考试)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是线段AB上一点,且AE=4EB,动点P在以E为圆心,1为半径的圆上,则·的最大值为(　　) A.-　　B.2-6　　C.-6　　D.- 7.已知平面向量a,b,c,其中a,b是单位向量且满足a·b=,4c2-4a·c-4b·c=1,若c=xa+yb,则x+y的最小值为　　　　.  8.在如图所示的平面图形中,已知OM=1,ON=2,=2,=2. (1)设=x+y,求x+y的值; (2)若∥,且<,>∈,求·的最小值及此时与的夹角. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2　平面向量的数量积及其应用 1.B 2.AB 3.ABC 4.C 5.D 6.C 1.B　解法一:由a-2b+2c=0,得a=2b-2c. 因为a,b,c是单位向量,所以可设a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),且+=1,+=1, 则(1,0)=(2x1-2x2,2y1-2y2), 解得x1=,x2=-,y1=y2=±. 不妨取b=,c=, 则b-2c=, 所以a·(b-2c)=1×+0×=, |b-2c|=, 所以cos<a,b-2c>===. 解法二:因为a-2b+2c=0,所以a=2b-2c,故a2=4b2+4c2-8b·c. 由a,b,c是单位向量,得a2=b2=c2=1,故b·c=, 所以|b-2c|2=b2-4b·c+4c2=1-+4=, 所以|b-2c|=. 又a·(b-2c)=(2b-2c)·(b-2c)=2b2+4c2-6b·c=, 所以cos<a,b-2c>==. 2.AB　对于A,若a⊥b,则a·b=-2×(-1)+1×t=0,解得t=-2,故A正确; 对于B,由t=3可得b=(-1,3),又a=(-2,1),所以a+b=(-3,4),所以|a+b|==5,故B正确; 对于C,当t=时,b=,又a=(-2,1),所以a=2b,所以a与b同向,此时a与b的夹角为0°,故C错误; 对于D,若(a+b)⊥(a-b),则(a+b)·(a-b)=0, 即a2-b2=0,即(-2)2+12=(-1)2+t2,解得t=±2, 当t=2时,b=(-1,2),又a=(-2,1),所以a+b=(-3,3),a-b=(-1,-1),显然|a+b|≠|a-b|, 当t=-2时,b=(-1,-2),又a=(-2,1),所以a+b=(-3,-1),a-b=(-1,3),此时|a+b|=|a-b|,故D错误. 3.ABC　∵=(2,3),=(1,k), ∴=-=(-1,k-3). 若∠A=90°,则·=2×1+3k=0,解得k=-; 若∠B=90°,则·=2×(-1)+3(k-3)=0,解得k=; 若∠C=90°,则·=1×(-1)+k(k-3)=0,解得k=. 综上,k的值为-或或. 4.C　由cos<a,b>=,得a·b=|a||b|, 因为∀t∈R,|a-tb|≥|a-2b|, 所以b2t2-2ta·b+4a·b-4b2≥0对t∈R恒成立, 则Δ=4(a·b)2-16b2(a·b-b2)≤0, 即|a|2|b|2-|b|2≤0, 整理得|a|2-6|a||b|+9|b|2≤0, 即≤0,所以=3. 5.D　以A为原点建立平面直角坐标系,如图. 因为AB=6分米,FG=3分米,且两个正方形有共同的对称中心与对称轴,所以A(0,0),E,C(6,6),则=,=(6,6),则||=. 设与的夹角为θ,则·=||||cos θ=||cos θ, 所以当||cos θ取得最大值时,·取得最大值. 由图可知,当点P与点C重合时,||cos θ取得最大值,此时=(6,6),所以cos<,>===. 6.C　过点D作DO⊥AB,垂足为O,以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,连接DE,EP, 则A(-2,0),C(1,2),D(0,2),E(2,0). ·=(+)·=·+·, 易得·=(2,-2)·(3,2)=6-12=-6, ·=||||cos<,>=1×cos<,>=cos<,>(利用数量积的定义计算,避免了设动点P的坐标), 因为cos<,>∈[-1,1],所以·∈[-,],所以·的最大值为-6. 解题技法 　　向量数量积的运算一般有两种方法,一种是选取平面上适当的一组基(基向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基向量表示,利用向量的数量积计算;另一种是坐标法,通过建立恰当的平面直角坐标系,利用坐标运算解决数量积问题. 7.答案　 解析　∵c=xa+yb, ∴4c2-4a·c-4b·c=4c·(c-a-b)=4(xa+yb)·[(x-1)a+(y-1)b]=4[x(x-1)a2+(2xy-x-y)a·b+y(y-1)·b2], 又∵a,b是单位向量,且a·b=, ∴4c2-4a·c-4b·c=4[(x+y)2-(x+y)-xy]=1. 令x+y=t,则y=t-x,将其代入上式并整理,得4x2-4tx+4t2-6t-1=0, ∵关于x的方程4x2-4tx+4t2-6t-1=0有实数解, ∴Δ=16t2-16(4t2-6t-1)≥0, 整理得3t2-6t-1≤0,解得≤t≤. 故x+y的最小值为. 8.解析　(1)因为=2,=2, 所以=3,=3, 所以=-=3-3=3=-3+3, 又=x+y, 所以x=-3,y=3,所以x+y=0. (2)设与的夹角为θ,则θ∈, 因为∥,所以∠CNO=∠MON=θ, 设=λ(λ∈R), 则=+=-λ+3(-)=(3-λ)-3, 所以·=[(3-λ)-3]·(-λ) =+3λ· =(λ2-3λ)||2+3λ||||cos θ =λ2-3λ+6λcos θ=λ2+(6cos θ-3)λ. 当λ=-时,λ2+(6cos θ-3)λ取得最小值,且最小值为-, 又θ∈,所以6cos θ-3∈[0,3-3], 所以-∈, 即-∈,所以·的最小值为, 此时与的夹角为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $