5.2.2 概率的运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

5.2.2　概率的运算 基础过关练 题组一　对概率的运算的理解 1.(2025江苏徐州侯集高级中学调研)设A,B为同一试验中的两个随机事件,则“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B互为对立事件”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是　　(　　) A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件 B.(A1∪A2)∪A3是必然事件 C.P(A2∪A3)=0.8 D.P(A1∪A2)≤0.5 3.给出下列命题,其中说法正确的是(　　) A.若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B) B.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 C.若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1 D.若A⊆B,则P(A)<P(B) 题组二　利用概率的运算求概率 4.(2025四川成都期中)若随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则P(AB)=　　(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2025上海浦东期末)已知A,B,C为随机事件,A与B互斥,B与C互为对立,且P(A)=0.1,P(C)=0.4,则P(A∪B)=(　　) A.0.06　　B.0.5　　C.0.6　　D.0.7 6.甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.8,两人下成平局的概率是0.5,则甲胜乙的概率是(　　) A.0.2　　B.0.3　　C.0.5　　D.0.8 7.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3. (1)如果B⊆A,那么P(A∪B)=　　　　,P(AB)=　　　　,P(A\B)=　　　　;  (2)如果A,B互斥,那么P(A∪B)=　　　,P(AB)=　　　　,P(A\B)=　　　　.  8.某商场在元旦举行购物抽奖促销活动,活动规则如下:顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个小球(除编号外,完全相同)的抽奖箱中不放回地摸出两个小球,若摸出的两个小球的编号之和等于7,则中一等奖,若编号之和等于6或5,则中二等奖,若编号之和等于4,则中三等奖,其余结果不中奖. (1)求中二等奖的概率; (2)求不中奖的概率. 能力提升练 题组　概率的运算 1.(2025吉林东北师范大学附属中学月考)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(B)=,P(A+)=,则P(AB)=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2024浙江杭州四中吴山校区期中)已知某样本空间中共有18个样本点,其中事件A包含10个样本点,事件B包含8个样本点,事件A∪B包含16个样本点,则P(∩B)=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　　) A.0.3　　B.0.4 C.0.6　　D.0.7 4.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 5.(2025陕西多校期末联考)连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币,分别记录下每次抛掷的结果,记事件A=“正面向上的次数大于反面向上的次数”,事件Bi=“第i次抛掷的结果为正面向上(其中i=1,2)”,则(　　) A.事件A与事件B1是互斥事件 B.事件B1与事件B2是相互对立事件 C.P(A∪B1)>P(B1∪B2) D.P(A∩B1)=P(B1∩B2) 6.现有7名学生,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛. (1)求C1被选中的概率; (2)求A1和B1至多有1名被选中的概率. 7.(2024江苏盐城射阳中学月考)袋中有黑球、黄球、绿球共9个,这些球除颜色外完全相同,从中任取1个球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是. (1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少? (2)从所有黑球、黄球中任取2个球,黑球与黄球各1个的概率是多少? (3)从袋中任取2个球,这2个球颜色不相同的概率是多少? 答案与分层梯度式解析 5.2.2　概率的运算 基础过关练 1.B 2.ABC 3.C 4.B 5.D 6.B 1.B　若A,B互为对立事件,根据对立事件的概率公式可直接得到P(A)+P(B)=1,故必要性成立. 若试验包含的基本事件有3个及以上,其中A,B表示概率均为的两个不同事件,则A,B不一定互为对立事件.例如,袋中有除颜色外完全相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任意摸出一个球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”,则P(A)=,P(B)=,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,故充分性不成立. 故“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B互为对立事件”的必要不充分条件. 2.ABC　事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+ P(A2)- P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)= P(A2)+P(A3)- P(A2A3)≤0.8,P[(A1∪A2)∪A3]≤1,所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,所以A、B、C中说法错误. 3.C　当A,B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故A中说法不正确;当事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故B中说法不正确;当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,故C中说法正确;由概率的性质可知,若A⊆B,则P(A)≤P(B),故D中说法不正确. 4.B　由一般概率加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=. 5.D　因为B与C互为对立,且P(C)=0.4, 所以P(B)=1-P(C)=0.6, 又A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7. 6.B　设“甲不输”为事件A,“甲胜乙”为事件B,“甲、乙下成平局”为事件C,则P(A)=0.8,P(C)=0.5, 显然B,C互斥,事件A是事件B与事件C的和,所以P(A)=P(B)+P(C),所以P(B)=P(A)-P(C)=0.3,所以甲胜乙的概率是0.3. 7.答案　(1)0.5;0.3;0.2　(2)0.8;0;0.5 解析　(1)如果B⊆A,那么A∪B=A,A∩B=B, 所以P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3, P(A\B)=P(A)-P(AB)=0.2. (2)如果A,B互斥,那么A∩B=⌀,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8,P(AB)=0,P(A\B)=P(A)-P(AB)=0.5. 8.解析　从五个小球中不放回地摸出两个小球,不同的结果有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共10个. 记两个小球的编号之和为x. (1)记“中二等奖”为事件A. 由题意可知,事件A包括两个互斥事件:x=5和x=6. 当x=5时,取法有(1,4),(2,3),共2种,故P(x=5)==; 当x=6时,取法有1种,即(2,4),故P(x=6)=, 所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=+=. (2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件,由题意可知,事件包括三个互斥事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4). 当x=7时,取法有1种,即(3,4),故P(x=7)=; 当x=4时,取法有(0,4),(1,3),共2种,故P(x=4)==. 由(1)可知,P(A)=. 所以P()=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=++=, 所以不中奖的概率P(B)=1-=. 能力提升练 1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 1.D　因为P(A)=,P(B)=, 所以P()=,P()=, 又P(A+)=P(A)+P()-P(A)=+-P(A)=,所以P(A)=, 所以P(AB)=P(A)-P(A)=-=. 2.C　由题意可得事件包含18-10=8个样本点, 由P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B),得事件A∩B包含10+8-16=2个样本点,则由P(B)=P(A∩B)+P(∩B)得事件∩B包含8-2=6个样本点,故P(∩B)==. 3.B　设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4. 4.D　由题意得,即 解得即<a≤, 所以实数a的取值范围是. 5.D　根据题意,试验的样本空间为{正正,正反,反反,反正}. 事件A包含的样本点:正正,事件B1包含的样本点:正正,正反,事件B2包含的样本点:正正,反正, 则P(A)=,P(B1)=,P(B2)=. 对于A,事件A与事件B1有可能同时发生,所以事件A与事件B1不是互斥事件,因此A错误; 对于B,事件B1与事件B2有可能同时发生,所以事件B1与事件B2不是对立事件,因此B错误; 对于C,P(A∪B1)=P(A)+P(B1)-P(AB1)=+-=,P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)=+-=,所以P(A∪B1)<P(B1∪B2),因此C错误; 对于D,P(A∩B1)=,P(B1∩B2)=,所以P(A∩B1)=P(B1∩B2),因此D正确. 6.解析　用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,则对应的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)},共12个样本点. (1)记事件M=“C1被选中”,则M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1)},共6个样本点.因而C1被选中的概率P(M)==. (2)记事件N=“A1,B1至多有一个被选中”,则其对立事件=“A1,B1全被选中”.={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},共2个样本点,所以P()==. 由对立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-=. 7.解析　(1)从袋中任取1个球,记得到黑球、黄球、绿球分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥, 所以 解得P(A)=,P(B)=,P(C)=, 所以袋中黑球的个数为9×=3,黄球的个数为9×=2,绿球的个数为9×=4. (2)用A1,A2,A3分别表示3个黑球,B1,B2分别表示2个黄球,则从所有黑球、黄球中任取2个球的样本空间Ω1={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点, 记“黑球与黄球各1个”为事件D,则D={A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2},共6个样本点,所以P(D)==. (3)用C1,C2,C3,C4分别表示4个绿球,则从袋中任取2个球的样本空间Ω2={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A1C3,A1C4,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A2C3,A2C4,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,A3C3,A3C4,B1B2,B1C1,B1C2,B1C3,B1C4,B2C1,B2C2,B2C3,B2C4,C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共36个样本点, 记“2个球都是黑球”为事件E,则E={A1A2,A1A3,A2A3},共3个样本点,记“2个球都是黄球”为事件F,则F={B1B2},共1个样本点,记“2个球都是绿球”为事件G,则G={C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共6个样本点, 则P(E)==,P(F)=,P(G)==, 所以从袋中任取2个球,这2个球颜色相同的概率P=P(E)+P(F)+P(G)=++=, 则这2个球颜色不相同的概率是1-=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $