4.3.1 空间中直线与直线的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线的位置关系，系统讲解相交、平行、异面三种关系，平行直线传递性，等角定理及异面直线的判断与所成角。通过知识辨析问题导入，衔接平面几何直线位置关系，构建从平面到空间的认知支架。 其亮点在于以正方体等典例为载体，通过一题多解（如异面直线所成角的四种求法）培养学生空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），用符号与图形语言表达（数学语言）。采用问题驱动与专题讲解，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

　空间两条直线的位置关系 知识点 1 4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系 4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 必备知识 清单破 位置关系 特点 相交 在同一个平面内,两条直线有且只有一个公共点 平行 在同一个平面内,两条直线没有公共点 异面 两条直线不同在任何一个平面内,没有公共点 第4章　立体几何初步 高中同步 　平行直线 知识点 2 1.平行线的传递性 基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行 符号语言 若a,b,c为空间中三条不重合的直线,且a∥b,a ∥c,则b∥c 图形语言   第4章　立体几何初步 高中同步 2.等角定理 等角 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补 符号 语言 OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或 ∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形 语言   第4章　立体几何初步 高中同步 　异面直线 知识点 3 1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线. 2.异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托.   第4章　立体几何初步 高中同步 3.判断两条直线为异面直线的方法 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线. 4.异面直线所成的角 对于异面直线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平行线a'和b',我们把a'与b'所成的锐 角或直角叫作异面直线a与b所成的角,其大小范围为(0°,90°]. 如果两条异面直线a与b所成的角为90°,则称这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b. 第4章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.两条直线无公共点,这两条直线一定平行吗? 2.若把立交桥抽象成多条直线,它们是否在同一平面内? 3.若直线a⊂平面α,直线b⊄平面α,则直线a,b 异面,对吗? 4.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角具有什么关系? 第4章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.当两条直线是异面直线时,也无公共点. 2.不在.它们既不相交也不平行,是异面直线. 3.不对.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,而直线a,b可能在一个平面内. 4.相等或互补. 第4章　立体几何初步 高中同步 　判定两条直线是异面直线的方法  关键能力 定点破 定点 1 1.证明两条直线既不平行也不相交; 2.过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线; 3.反证法:先提出与结论相反的假设,即两条直线相交或平行,再由此假设推出与已知条件或 某一公理、定理或已被证明是正确的命题相矛盾的结果,最后推翻假设,从而证明结论是正 确的,即两直线异面. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例    (多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下四个结论 中,正确的是 (　    )   A.直线B1M与AD是异面直线 B.直线BN与A1D1是平行直线 C.直线AM与BN是异面直线 D.直线AM与DD1是相交直线 AC 思路点拨    根据正方体的性质及空间直线的位置关系进行判断. 第4章　立体几何初步 高中同步 解析    在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AD∥BC,BC∥B1C1, 所以AD∥B1C1, 所以AD,B1C1确定平面ADC1B1, 又B1C1∩B1M=B1, 所以A,D,M,B1四点不共面, 所以直线B1M与AD是异面直线. 同理,可得AM与BN是异面直线,BN与A1D1是异面直线,AM与DD1是异面直线. 第4章　立体几何初步 高中同步 　平行线的传递性与等角定理在空间图形中的运用   定点 2 1.空间中两直线平行的证明方法 (1)定义法:利用定义证明两条直线共面且无公共点; (2)平面几何法:利用平面几何知识(三角形或梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分 线段成比例等)证明; (3)利用基本事实:若证明a∥b,可找到第三条直线c,使a∥c,b∥c,从而得到a∥b. 2.空间中角相等的证明方法 (1)利用等角定理证明; (2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明. 第4章　立体几何初步 高中同步 典例　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠ BA1D.   思路点拨    先利用基本事实证明线线平行,再根据等角定理证明角相等. 第4章　立体几何初步 高中同步 证明    如图所示,连接CB1,CD1. ∵CD􀱀A1B1,∴四边形A1B1CD是平行四边形, ∴A1D∥B1C. ∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,∴MN∥CB1,∴A1D∥MN. ∵BC􀱀A1D1,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1. ∵M,P分别是CC1,C1D1的中点, ∴MP∥CD1, ∴MP∥A1B, ∴∠NMP和∠BA1D的两边分别对应平行且方向相反, ∴∠NMP=∠BA1D. 第4章　立体几何初步 高中同步 异面直线所成的角  求异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造:选择一个恰当的点,用平移法(或补形法)构造异面直线所成的角或其补角; (2)证明:证明(1)中所作出的角或其补角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:通过解三角形或其他方法,求出(1)中所构造的角的大小; (4)结论:设所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α <180°,则180°-α即为所求异面直线所成角的大小. 定点 3 第4章　立体几何初步 高中同步 典例　如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与 EF所成角的大小.   第4章　立体几何初步 高中同步 解析    解法一:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,   则OG∥B1D,EF∥A1C1,则∠GOA1(或其补角)即为异面直线DB1与EF所成的角. 因为GA1=GC1,O为A1C1的中点, 所以GO⊥A1C1, 故∠GOA1=90°, 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°. 解法二:如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,HF, 第4章　立体几何初步 高中同步   则HE∥DB1,且HE= DB1, 于是∠HEF(或其补角)即为异面直线DB1与EF所成的角. 设正方体的棱长为1, 则EF= ,HE= . 取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF, 所以HF2=HI2+IF2= , 第4章　立体几何初步 高中同步 所以HF2=EF2+HE2, 所以∠HEF=90°, 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°. 解法三:如图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN,则MN∥EF.连接DM,DN,B1N,B1M,   易得B1N􀱀DM, 所以四边形DMB1N为平行四边形, 所以MN与DB1必相交,设交点为P, 第4章　立体几何初步 高中同步 则∠DPM(或其补角)即为异面直线DB1与EF所成的角. 设正方体的棱长为1, 则MP= ,DM= ,DP= , 所以DM2=DP2+MP2, 所以∠DPM=90°, 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°. 解法四:如图所示,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接DQ,B1Q,则B1Q∥EF. 第4章　立体几何初步 高中同步 于是∠DB1Q(或其补角)即为异面直线DB1与EF所成的角. 设正方体的棱长为1, 则B1D= ,B1Q= ,DQ= , 故B1D2+B1Q2=DQ2, 所以∠DB1Q=90°, 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°. 第4章　立体几何初步 高中同步 $