第3章 专题强化练4 复数的四则运算及几何意义（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

专题强化练4　复数的四则运算及几何意义 1.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学月考)已知i为虚数单位,复数z=(a-i)2,a∈R,若复数z是纯虚数,则|z|=(　　) A.1　　B.　　C.2　　D.4 2.(2025湖南师大附中入学测试)已知z=|i-1|+,则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 3.若ω=-+i(i为虚数单位),则ω4+ω2+1=(　　) A.1　　B.0　　 C.3+i　　D.-1+i 4.(2025山东青岛期中)已知a>0,b>0,复数z1=1-2i,z2=a-i,z3=-b在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,若Z1,Z2,Z3三点共线,则+的最小值为(　　) A.2　　B.4　　C.6　　D.8 5.(2025湖南长沙第一中学模拟)已知复数z满足1≤≤2,若z在复平面内对应的点为Z,则点Z所在区域的面积为(　　) A.π　　B.2π　　C.3π　　D.4π 6.(多选题)(2024辽宁辽阳集美中学月考)已知复数z1,z2是关于z的方程3z2-az+b=0(a,b∈R,a>0)的两个复数根,且z1z2=,+=-,则　(　　) A.z1与z2互为共轭复数　　B.a-b=2 C.a2+b2=5　　D.|-|= 7.设复数z满足|z|=|z+1|,且是纯虚数,试写出一个满足条件的复数:z=　　　　.  8.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i. (1)求,,对应的复数; (2)判断△ABC的形状. 9.(1)已知关于x的实系数方程x2+mx+n=0,若1+i是方程x2+mx+n=0的一个复数根,求出m,n的值; (2)已知z∈C,z+3i,均为实数,且复数(z+ai)2在复平面内对应的点位于第一象限,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练4　复数的四则运算及几何意义 1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 6.ACD 1.C　z=(a-i)2=a2-1-2ai, 若复数z是纯虚数,则a2-1=0且-2a≠0,所以a2=1,所以a=±1,所以z=±2i,则|z|=2. 2.D　∵z=|i-1|+=+=2+=-i, ∴z在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限. 3.B　易得ω3=1,ω2+ω+1=0,故ω4+ω2+1=ω3·ω+ω2+1=ω2+ω+1=0. 4.D　由题意得Z1(1,-2),Z2(a,-1),Z3(-b,0), 由Z1,Z2,Z3三点共线可得=, 则2a+b=1,又a>0,b>0, ∴+=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=,b=时等号成立. 故+的最小值为8. 5.C　因为===-i, 所以1≤≤2,即1≤≤2, 表示点Z到点的距离,则满足条件的点Z的集合是以为圆心,1和2为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界,所以点Z所在区域的面积为π×22-π×12=3π. 6.ACD　对于A,一元二次方程的复数根互为共轭复数,故A正确. 因为z1与z2互为共轭复数,所以z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数. 对于B,由题意得=++2z1z2=-+2×=, 由韦达定理得z1+z2=,又a>0,所以=,所以a=2, 由韦达定理得z1z2==,所以b=1,则a-b=1,故B错误. 对于C,a2+b2=22+12=5,故C正确. 对于D,=+-2z1z2=--2×=-,则z1-z2=±i,所以|-|=|(z1-z2)(z1+z2)|==,故D正确. 7.答案　-+i 解析　设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=|z+1|,得x2+y2=(x+1)2+y2,解得x=-, 因为是纯虚数,所以设=ti(t∈R且t≠0), 则=ti,即-+yi=-ty+ti, 所以解得y=±, 所以z=-+i或z=--i. 8.解析　(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i, 所以,,对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点), 所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2), 所以=-=(1,1),=-=(-2,2), =-=(-3,1). 故对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i. (2)由(1)知,||==,||==2,||==, 所以||2+||2=||2, 又因为||≠||, 所以△ABC是以角A为直角的直角三角形. 9.解析　(1)由题得(1+i)2+m(1+i)+n=(-1+m+n)+(2+m)i=0, 则解得 故m的值为-2,n的值为3. (2)设z=x+yi(x,y∈R),∵z+3i=x+(y+3)i,==×[(3x-y)+(x+3y)i]均为实数, ∴解得∴z=9-3i, ∴(z+ai)2=[9+(a-3)i]2=81-(a-3)2+18(a-3)i=72+6a-a2+18(a-3)i, 又复数(z+ai)2在复平面内对应的点位于第一象限, ∴解得3<a<12,故实数a的取值范围是(3,12). 7 学科网（北京）股份有限公司 $