3.3 复数的几何表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

3.3　复数的几何表示 基础过关练 题组一　复数的几何意义 1.(2025黑龙江省实验中学月考)在复平面内,复数z对应的点是(2,-1),则z的虚部是(　　) A.2　　B.2i　　C.-1　　D.-i 2.(2025浙江杭州期中)在复平面内,复数z=(2-5i)(-1-2i)对应的点位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限　　 C.第三象限　　D.第四象限 3.(2025湖南永州期中)在复平面内,复数z1对应的点与复数z2=1+i对应的点关于实轴对称,则z1=(　　) A.-1+i　　B.-1-i　　C.1-i　　D.1+i 4.(2025重庆万州第二高级中学月考)已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为　　　　.  5.(教材习题改编)已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点: (1)位于第三象限? (2)在实轴负半轴上? (3)位于上半平面(含实轴)? 题组二　复数的模与共轭复数 6.(2025河南驻马店高级中学月考)已知z=(2a-1)+(a+1)i(a∈R),则“|z|=”是“a=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设z=1-i(i为虚数单位),则|z2+z|=(　　) A.2　　B.　　C.　　D.2 8.(2025山东大教育联盟第二次联考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-2i和1+bi互为共轭复数,则复数z=a+(b-1)i的模为(　　) A.2　　B.　　C.10　　D. 9.(多选题)(2025甘肃嘉峪关月考)已知复数z=,以下结论正确的是(　　) A.z2 025是纯虚数 B.|z+i|=2 C.z·=-1 D.在复平面内,复数+z·i对应的点位于第三象限 10.已知复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值. 11.设复数z满足|z|=1,使得关于x的方程zx2+2x+2=0有实数根,其中为z的共轭复数,求满足条件的复数z构成的集合. 题组三　复数加减法的几何意义 12.(2024江苏连云港东海期中)复数6+5i与-3+4i分别表示向量与,则表示向量的复数为(　　) A.3+9i　　B.-9-i　　 C.9+i　　D.-18+20i 13.已知复数z1=,z2=a+i(a∈R),若z1,z2在复平面内对应的向量分别为,(O为坐标原点),且|+|=2,则a=(　　) A.1　　B.-3　　 C.1或-3　　D.-1或3 14.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　) A.等腰三角形　　B.直角三角形 C.等边三角形　　D.等腰直角三角形 15.(多选题)(2023江苏常州统考)已知z为复数,设z,,iz在复平面内对应的点分别为A,B,C,且O为坐标原点,则(　　) A.||=||　　B.⊥ C.||=||　　D.∥ 16.设向量,在复平面内分别与复数z1=5+3i,z2=4+i对应,试计算z1-z2,并把它对应的向量在复平面内表示出来. 17.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为坐标原点. (1)求向量+和对应的复数; (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 答案与分层梯度式解析 3.3　复数的几何表示 基础过关练 1.C 2.B 3.C 6.B 7.B 8.B 9.ABD 12.C 13.C 14.B 15.AB 1.C　因为复数z在复平面内对应的点是(2,-1),所以z=2-i,故z的虚部为-1. 2.B　z=(2-5i)(-1-2i)=-2-4i+5i+10i2=-12+i,所以复数z在复平面内对应的点为(-12,1),位于第二象限. 3.C　由题意知z2对应的点为(1,1), ∴z1对应的点为(1,-1),∴z1=1-i. 4.答案　5 解析　设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点), 则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a). ∵A,B,C三点共线,∴=t, 即-=t(-), ∴(-2,4)=t(-3,a+1), ∴解得故实数a的值为5. 5.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第三象限,需满足即∴3<m<4. (2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足即 ∴m=4. (3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7. 6.B　若|z|=,则=,化简得5a2-2a=0,解得a=0或a=,故“|z|=”是“a=”的必要不充分条件. 7.B　因为z=1-i, 所以z2+z=(1-i)2+1-i=1-2i+i2+1-i=1-3i, 所以|z2+z|==. 8.B　由a-2i和1+bi互为共轭复数,得a=1,b=2, 所以z=1+i, 所以|z|==. 9.ABD　z====i. 对于A,z2 025=i2 025=i4×506+1=i,∴z2 025为纯虚数,A正确; 对于B,|z+i|=|2i|=2,B正确; 对于C,z·=i·(-i)=-i2=1,C错误; 对于D,∵+z·i=-i+i2=-1-i,∴+z·i在复平面内对应的点为(-1,-1),位于第三象限,D正确. 10.解析　设复数z在复平面内对应的点为Z,复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,则Z1(0,-1),Z2(0,1),Z3(-1,-1), 因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2, 所以点Z的集合为线段Z1Z2. |z+i+1|=|z-(-1-i)|表示点Z到Z3(-1,-1)的距离, 问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值. 当点Z与点Z1重合时,|ZZ3|取得最小值,为1,所以|z+i+1|min=1. 11.解析　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi, 因为|z|=1,所以a2+b2=1. 将原方程化为(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0, 整理,得(ax2+2ax+2)+(bx2-2bx)i=0, 所以 若b=0,则a2=1,所以a=1或a=-1. 当a=1时,①无实数解; 当a=-1时,解①,得x=-1±,满足①②, 此时z=-1. 若b≠0,则由②知x=0或x=2,但显然x=0不满足①; 将x=2代入①,得4a+4a+2=0,解得a=-, 从而b=±,此时z=. 综上,满足条件的复数z构成的集合为-1,,. 12.C　因为复数6+5i与-3+4i分别表示向量与,且=-,所以表示向量的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i. 13.C　z1===1-i,z2=a+i(a∈R), 则|+|=|(1,-1)+(a,1)|=|(a+1,0)|=|1+a|=2,解得a=1或a=-3. 14.B　由题知,复数z1对应向量,复数z2对应向量, 则|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|, 依题意有|+|=|-|, 所以以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形, 又||与||不一定相等, 所以△AOB一定是直角三角形. 15.AB　设z=a+bi(a,b∈R),则A(a,b),=a-bi,iz=i(a+bi)=-b+ai,∴B(a,-b),C(-b,a), ∴=(a,b),=(a,-b),=(-b,a),=(-b-a,a-b),=(-b-a,a+b). 对于A,∵=,∴||=||,故A正确; 对于B,∵·=a·(-b)+ba=0,∴⊥,故B正确; 对于C,∵||=,||=,∴||=||不一定成立,故C错误; 对于D,∵a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,a2-2ab-b2可以为零,也可以不为零,∴不一定平行于,故D错误. 16.解析　z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i. 记z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则Z1(5,3),Z2(4,1),故=(1,2)即为z1-z2所对应的向量,如图所示: 17.解析　(1)由已知得,向量,,所对应的复数分别为1+4i,-3i,2, 则=(1,4),=(0,-3),=(2,0), 因此+=(1,1),=-=(1,-4), 故+对应的复数为1+i,对应的复数为1-4i. (2)解法一:由(1)得,=(1,4),=(0,-3),=(2,0),则=(1,7),=(2,3), 所以=+=(3,10), 所以=+=(3,7),所以D(3,7). 故顶点D对应的复数为3+7i. 解法二:由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC的中点坐标为,由平行四边形的性质知BD的中点坐标也是, 设D(x0,y0),则 解得所以D(3,7). 故顶点D对应的复数为3+7i. 7 学科网（北京）股份有限公司 $