第2章 三角恒等变换 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　混淆公式致错 1.(2025重庆八中期中)若两个锐角α,β满足=,则cos=(　　) A.　　B.-　　 C.　　D.- 2.计算:sin 10°cos 20°+sin 80°sin 20°=　　　　.  易错点2　忽略角的范围致错 3.(2025江苏徐州阶段练习)若α+β∈,β为锐角,sin(α+β)=,cos 2β=,则α-β的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.已知0<α<<β<π,tan =,cos(β-α)=,则β=　　　　.  易错点3　不能正确利用角之间的特殊关系进行转化致错 5.(2025四川泸州月考)已知tan=,tan=,则tan(α-2β)=(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 6.(多选题)(2025江苏南京航空航天大学苏州附属中学月考)已知函数f(x)=coscos+,则下列说法中正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在上单调递减 C.点是f(x)图象的一个对称中心 D.f(x)的最大值为 7.已知α∈,β∈,cos 2β=-,sin(α+β)=. (1)求cos β的值; (2)求sin α的值. 思想方法练 一、函数与方程思想在三角恒等变换中的应用 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2+c2-a2=bc,·>0,a=,则b+c的取值范围是(　　) A.　　B. C.　　D. 2.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan α·tan β=　　　　.  二、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用 3.在△ABC中,已知cos A=,sin B=,则cos C的值为(　　) A.-　　B. C.-或　　D.或 4.已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且 f=0,其中a∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值; (2)若α∈, f+cos·cos 2α=0,求cos α-sin α的值. 5.(2023甘肃白银靖远四中期中)已知向量a=,b=,且x∈, f(x)=a·b-2λ|a-b|(λ为常数). (1)求a·b及|a-b|; (2)若f(x)的最大值是,求实数λ的值. 三、转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 6.(2024浙江宁波镇海中学期末)已知tan=,则cos 2α+sin 2α+2=(　　) A.　　B.　　C.　　D.2 7.(2024吉林普通高中第三次模拟)已知α,β为锐角,且cos(α+β)=,则tan β的最大值为　(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.(2025辽宁沈阳第二中学月考) (1)求(tan 10°-)的值; (2)已知θ∈,求函数y=sin θ-cos θ+2sin θcos θ的值域. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.B 3.B 5.B 6.ABC 1.B　因为=, 所以=, 又α,β为锐角,所以cos α≠0,sin β≠0, 所以=, 整理可得sin β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β), 又α,β为锐角,所以β+α+β=,即α+2β=, 所以cos=cos=-sin =-. 2.答案　 解析　sin 10°cos 20°+sin 80°sin 20° =cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20° =cos(80°-20°)=cos 60°=. 易错警示 　　在使用三角函数公式时切记不要把“+”“-”号以及函数名称弄错. 3.B　由β∈,得2β∈(0,π),又α+β∈, 所以cos(α+β)=-=-,sin 2β==, 所以cos(α-β)=cos[(α+β)-2β]=cos(α+β)cos 2β+sin(α+β)sin 2β=-×+×=. 由α+β∈及sin(α+β)=>,得<α+β<,由2β∈(0,π)及cos 2β=<,得<2β<, 所以-<-2β<-,所以0<α-β<,所以α-β=. 4.答案　 解析　因为tan =,所以tan α===.又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,所以sin α=,cos α=.因为0<α<<β<π,所以0<β-α<π. 又因为cos(β-α)=,所以sin(β-α)=, 所以sin β=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=×+×=. 因为β∈,所以β=. 易错警示 　　求三角函数值时,容易忽略角的范围而导致错误,为了避免这些错误,求解时要做到:(1)使用公式时要考虑全面;(2)将一些函数值与特殊角的函数值进行比较,从而限定角的范围;(3)善于从隐含条件中把角的范围缩小到尽可能小的范围内. 5.B　由tan=, 得tan===, 因此tan(α-2β)=tan- ===-. 6.ABC　∵cos=cos=sin, ∴f(x)=coscos+ =cossin+ =sin+. 对于A,函数f(x)的最小正周期T==π,故A正确; 对于B,当x∈时,≤2x+≤,函数f(x)单调递减,故B正确; 对于C,∵f=sin+=sin 2π+=,∴点是f(x)图象的一个对称中心,故C正确; 对于D, f(x)max=×1+=1,故D错误. 7.解析　(1)因为cos 2β=2cos2β-1=-, 所以cos2β=, 又因为β∈,所以cos β=-. (2)由题意得sin(α+β)=-cos 2β =-sin=sin, 因为0<α<,<β<π, 所以<α+β<,<2β-<, 所以α+β=2β-,所以α=β-, 所以sin α=sin=-sin=-cos β=. 易错警示 　　对于三角函数的给值求值、给值求角问题,求解的关键是“变角”,即采用拆角、凑角等技巧将“目标角”变换成“已知角”.在“变角”的过程中,要注意分析所求角和已知角之间的关系,当角的终边所在的象限不确定时,应分情况讨论. 思想方法练 1.B 3.C 6.C 7.A 1.B　因为b2+c2-a2=bc, 所以cos A===, 又0°<A<180°,所以A=60°,所以B+C=120°. 因为a=, 所以=====1, 所以b=sin B,c=sin(120°-B), 所以b+c=sin B+sin(120°-B) =sin B+cos B=sin(B+30°), 将b+c转化为关于B的三角函数,再求此函数的取值范围,体现了函数的思想. 因为·=||||cos(π-B)>0, 所以cos B<0,所以B为钝角, 由90°<B<120°,可得120°<B+30°<150°, 所以<sin(B+30°)<, 所以b+c=sin(B+30°)∈. 2.答案　 解析　∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, 利用两角和与差的余弦公式求出cos αcos β与sin αsin β的值,从而求出tan αtan β的值,体现了方程思想的应用.  ∴cos αcos β=,sin αsin β=. 故tan αtan β==. 思想方法 　　函数与方程思想在本章中主要体现为(1)利用方程思想求解某个三角函数值;(2)构造函数或借助现有的函数,研究三角函数的性质. 3.C　在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=, 因为sin B=,所以cos B=±. 由于cos B的取值不唯一,因此需分类讨论.  因为A+B+C=π, 所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B). 当cos B=时,-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin A·sin B)=-=-,即cos C=-; 当cos B=-时,-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin A·sin B)=-×-×=,即cos C=. 综上可知,cos C的值为-或. 4.解析　(1)因为f(x)=a+2cos2cos(x+θ)是奇函数, 所以a+2cos2cos(x+θ)=-a+2cos2cos(-x+θ)对任意x∈R恒成立, 所以cos xcos θ=0,所以cos θ=0. 又θ∈(0,π),所以θ=, 所以f(x)=-sin x. 由f=0,得-(a+1)=0,所以a=-1. (2)由(1)易知f(x)=-sin x=-sin x·cos x=-sin 2x, 由f+coscos 2α=0, 得sin=coscos 2α. 因为cos 2α=sin=sin =2sincos, 所以sin=cos2α+sin. 因为α∈,所以α+∈, 所以sinα+=0或cos2α+=. 分sin=0和cos2=两种情况讨论. 当sin=0时,α=, 所以cos α-sin α=cos -sin =-; 当cos2=时,因为<α+<, 所以cos=-, 所以(cos α-sin α)=-, 所以cos α-sin α=-. 综上,cos α-sin α的值为-或-. 5.解析　(1)a·b=cos cos +sin sin =cos x. |a-b|===2, 因为x∈,所以∈,所以sin >0, 所以|a-b|=2sin . (2)由(1)可得f(x)=cos x-4λsin =-2×+2λ2+1,由0≤≤,可得0≤sin ≤. 将f(x)看成关于sin 的二次函数,讨论此二次函数图象的对称轴的相对位置,从而得出结论. ①若λ>0,则当sin =0时, f(x)取得最大值,为1,这与已知矛盾,故舍去; ②若-≤λ≤0,则当sin =-λ时, f(x)取得最大值,为2λ2+1,由已知得2λ2+1=,所以λ=-; ③若λ<-,则当sin =时, f(x)取得最大值,为-2λ,由已知得-2λ=,解得λ=-,这与λ<-矛盾,故舍去. 综上所述,λ=-. 思想方法 　　分类讨论思想在本章中主要体现为(1)利用同角三角函数的平方关系开方求值时,对角的正弦值或余弦值的正负分类讨论;(2)利用半角公式开方求值时,对半角的三角函数值的正负分类讨论;(3)由已知条件解方程出现多个解时,对各个解进行分类讨论. 6.C　由tan=得=,解得tan α=3, 利用两角差的正切公式将已知条件转化为关于tan α的方程,从而求得tan α的值.  cos 2α+sin 2α====-, 将cos 2α+sin 2α的分母1用sin2α+cos2α代替,从而将所求式转化为关于sin α,cos α的齐次式,进而转化为关于tan α的式子.  所以cos 2α+sin 2α+2=-+2=. 7.A　∵β为锐角,∴cos β≠0, 又cos(α+β)==cos αcos β-sin αsin β, ∴cos α-sin αtan β=, ∴cos αsin α=(sin2α+2)tan β, ∵α为锐角,∴tan α>0, ∴tan β====≤=, 将求tan β的最大值问题转化为求只含tan α的式子的最大值问题,再结合基本不等式求解,体现了转化与化归思想的应用.  当且仅当3tan α=,即tan α=时取等号, ∴tan β的最大值为. 8.解析　(1)(tan 10°-)= =·==-2. (2)y=sin θ-cos θ+2sin θcos θ =sin θ-cos θ+1-(sin θ-cos θ)2, 令t=sin θ-cos θ=sin, 因为θ∈,所以θ-∈, 则t=sin∈[-1,1], 则y=-t2+t+1,t∈[-1,1],易得函数y=-t2+t+1的图象的对称轴为直线t=, 将原函数转化为关于t的函数,再利用二次函数的性质求其取值范围,体现了转化与化归思想. 则当t∈[-1,1]时,ymin=-(-1)2+(-1)+1=-1,ymax=++1=,所以所求值域为. 思想方法 　　转化与化归思想在本章中主要体现为(1)化多角的形式为单角的形式;(2)化多种函数名称为一种函数名称;(3)化未知角为已知角;(4)化高次为低次;(5)化非特殊角为特殊角等. 7 学科网（北京）股份有限公司 $