2.3 简单的三角恒等变换（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

2.3　简单的三角恒等变换 基础过关练 题组一　半角公式与万能公式 1.(2023浙江宁波余姚中学质检)若tan α=,且α为第一象限角,则sin =(　　) A.　　B.±　　C.　　D.- 2.(2025江西三新教研共同体联考)已知α为第一象限角,sin α=,则tan =(　　) A.　　B.　　C.2　　D. 3.(2025四川绵阳中学月考)已知sin-+α=-,α∈,则sin=　　　　.  4.若tan θ=3,则sin 2θ-cos 2θ的值是　　　　.  5.若α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,则cos =　　　　.  6.(2023甘肃白银靖远第四中学期中)已知sin θ=,π<θ<3π,则tan =　　　　.  题组二　和差化积与积化和差公式 7.(2025四川南充西充中学月考)=　(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 8.(2024甘肃武威第十八中学期中)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为(　　) A.0　　B.　　C.　　D.1 9.(2025江苏无锡一中期末)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 10.化简下列各式: (1); (2). 11.求证:(1)=tan +; (2)cos α+cos β=2cos cos . 题组三　辅助角公式 12.(多选题)(2025甘肃嘉峪关第一中学月考)若a=cos 15°-sin 15°,b=,c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°,则(　　) A.c<a　　B.b<a　　C.b<c　　D.a<c 13.(2025山东临沂第一中学月考)已知sin α+sin=,则sin的值是(　　) A.-　　B.　　C.　　D.- 14.(2025河南周口期中)把下列各式化成Asin(ωx+φ)+B的形式. (1)2cos x+2sin x; (2)cos xsin x+sin2x; (3)sin+sin. 题组四　三角恒等变换的综合应用 15.下列函数是偶函数且最小正周期为的是(　　) A.y=cos24x-sin24x　　B.y=sin 4x C.y=sin 2x+cos 2x　　D.y=cos 2x 16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若cos B+cos C=sin B+sin C,则△ABC的形状为(　　) A.锐角三角形　　B.钝角三角形 C.直角三角形　　D.不能判断 17.已知函数f(x)=sin+2cos2x-1. (1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的取值集合; (2)若α∈,且f(α)=,求cos 2α的值. 能力提升练 题组一　三角函数式的求值问题 1.(2024重庆沙坪坝青木关中学期末)-2cos 10°=(　　) A.　　B.　　C.　　D.2 2.(多选题)若cos α=-,则的值可能为(　　) A.　　B.2　　C.-　　D.-2 3.(2025湖南郴州综合性模拟)已知α+β=,sin 2α+sin 2β=,则cos 2α+cos 2β=(　　) A.±　　B.　　C.-　　D. 4.(2025吉林长春吉大附中期末)若α∈,且sin α,cos α是方程5x2-7x+=0的两个根,则cos =　　　　.  5.(2025湖南邵阳期中)计算:=　　　　.  6.已知在△ABC中,A>C,且B=60°,能否利用log4sin A+log4sin C=-1求出A和C的大小?若能,请求出A和C的大小;若不能,请说明理由. 题组二　三角函数式的化简与证明问题 7.计算sin4+sin4+sin4+sin4的结果是　(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.(多选题)(2025四川江油太白中学月考)已知α∈,β∈(0,π),cos 2α=-,cos(β-α)=-,则(　　) A.tan α=-　　B.sin(β-α)=- C.α+β=　　D.cos αcos β=- 9.化简: (1)+ ; (2)(0<α<π); (3)cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ. 10.(1)证明:tan -tan =; (2)在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4cos cos cos . 题组三　三角恒等变换的综合应用 11.(多选题)(2025甘肃张掖民乐第一中学月考)已知函数f(x)=sin x,g(x)=cos x,则(　　) A. f(x)·g(x)是奇函数 B. f(x)·g(x)的最小正周期为 C. f(x)+g(x)在上单调递增 D.将f(x)+g(x)图象上所有的点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos 12.(2025湖南长沙雅礼中学月考)已知函数f(x)=sin ωx+2cos2(ω>0)在上单调递增,则ω的取值范围是(　　) A.(0,4]　　B.∪　　 C.∪　　D. 13.(2023云南曲靖宣威七中学情检测)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx. (1)若ω=2,求函数f(x)在[0,π]上的零点; (2)已知ω=1,函数g(x)=[f(x)]2+cos 2x,x∈,求函数g(x)的值域. 14.(2025辽宁沈阳文新高考研究联盟质检)某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°; cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°); cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°sin(-140°). (1)求出这个常数; (2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 答案与分层梯度式解析 2.3　简单的三角恒等变换 基础过关练 1.B 2.D 7.A 8.A 9.C 12.BCD 13.D 15.A 16.C 1.B　因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,且是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ==;当是第三象限角时,sin =-=-.故sin =±. 2.D　解法一:因为α为第一象限角,sin α=, 所以cos α=, 所以tan ===. 解法二:因为α为第一象限角,sin α=,所以cos α=, 所以tan ===. 解法三:因为sin α===, 所以2tan2-5tan +2=0,解得tan =或tan =2. 因为α为第一象限角, 所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z,所以kπ<<+kπ,k∈Z, 所以tan =tan =2舍去. 3.答案　 解析　由sin=-可得cos α=, 因为α∈,所以∈, 则cos ==,sin =-=-, 故sin=sin +cos =×+×=. 4.答案　 解析　因为tan θ=3,所以sin 2θ===,cos 2θ===-, 所以sin 2θ-cos 2θ=-=. 5.答案　 解析　根据题意,得cos α=-,cos β=, 因此cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=, 因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,所以0<<,故cos ===. 6.答案　3 解析　因为π<θ<3π,sin θ=, 所以cos θ=-=-=-, 所以tan =====3. 7.A　==-=-=-. 8.A　原式=sin 40°+sin 20°-sin 80° =2sin cos -sin 80° =2sin 30°cos 10°-sin 80°=2×cos 10°-sin(90°-10°) =cos 10°-cos 10°=0. 9.C　由积化和差公式得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)]=[cos(α+2β)+cos α]=, 又cos α=,所以cos(α+2β)=-=. 10.解析　(1)原式= ===tan . (2)原式= = ==. 11.证明　(1)∵左边= = = == =tan +=右边, ∴原等式成立. (2)∵α=+,β=-, ∴cos α+cos β=cos+cos =cos cos -sin sin +cos cos +sin sin =2cos cos ,得证. 12.BCD　a=cos 15°-sin 15°=cos 15°-sin 15°=cos(45°+15°)=. 因为sin 105°=sin(180°-75°)=sin 75°, 所以c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin(75°-15°)=, 又b=,所以b<a<c. 13.D　由sin α+sin=可得sin α+sin αcos +cos αsin =sin α+cos α=sin=,即sin=, 因此sin=sin=-sin=-. 14.解析　(1)2cos x+2sin x=4=4sin. (2)cos xsin x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+. (3)sin+sin=sin 2x-cos 2x+cos 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=2=2sin. 15.A　A中,易知函数y=cos24x-sin24x=cos 8x是偶函数,最小正周期为=,故A正确; B中,易知函数y=sin 4x是奇函数,最小正周期为=,故B错误; C中,易知函数y=sin 2x+cos 2x=sin是非奇非偶函数,最小正周期为=π,故C错误; D中,易知函数y=cos 2x是偶函数,最小正周期为=π,故D错误. 16.C　由cos B+cos C=sin B+sin C,得 2cos cos =2sin cos , 易知cos ≠0,∴sin =cos , ∴tan =1,∵0<B+C<π,∴0<<, ∴=,∴B+C=,∴A=, ∴△ABC为直角三角形. 方法技巧 　　和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用,应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用和差化积公式,如果是一正弦与一余弦的和或差,可先用诱导公式化成同名函数后,再运用和差化积公式. 17.解析　(1)f(x)=sin+2cos2x-1 =sin 2xcos -cos 2xsin +cos 2x =sin 2x+cos 2x=sin. 当2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z时, f(x)max=1, 相应的x的取值集合为xx=kπ+,k∈Z. (2)由(1)知f(α)=sin=. 由<α<,得<2α+<, 所以cos=-. 因此cos 2α=cos =coscos +sinsin =-×+×=. 能力提升练 1.A 2.CD 3.C 7.C 8.BD 11.AD 12.C 1.A　-2cos 10°=-2cos 10°== == =====. 2.CD　== = = =, ∵cos α=-,∴sin α=±, 当cos α=-,sin α=-时,==-; 当cos α=-,sin α=时,==-2. 3.C　sin 2α+sin 2β=sin[(α+β)+(α-β)]+sin[(α+β)-(α-β)]=2sin(α+β)cos(α-β)=, 因为α+β=,所以cos(α+β)=-,sin(α+β)=, 则cos(α-β)=, 所以cos 2α+cos 2β=cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]=2cos(α+β)cos(α-β)=2××=-. 4.答案　 解析　因为sin α,cos α是方程5x2-7x+=0的两个根,所以sin α+cos α=,sin αcos α=. 因为α∈,所以cos α>sin α, 所以cos α-sin α===, 又sin α+cos α=,所以cos α=, 又∈,所以cos ==. 5.答案　2 解析　cos220°+cos240°+cos280° =++ =+ =+ =+ =+=, sin220°+cos250°+cos 50°sin 20° =++[sin(20°+50°)+sin(20°-50°)] =1-cos 40°+cos 100°+sin 70°- =+(cos 100°-cos 40°)+sin 70° =-sin 30°sin 70°+sin 70°=, 所以原式==2. 6.解析　能求出A和C的大小. 在△ABC中,B=60°,∴A+C=120°.① ∵log4sin A+log4sin C=-1,∴sin Asin C=. ∵sin Asin C=[cos(A-C)-cos(A+C)], ∴[cos(A-C)-cos(A+C)]=, ∴cos(A-C)=+cos(A+C)=+cos 120°=0. 易得0°<A-C<120°, ∴A-C=90°.② 由①②,得A=105°,C=15°. 7.C　sin4+sin4+sin4+sin4 =sin4+sin4+sin4+sin4 =sin4+sin4+cos4+cos4 =+ =-2sin2cos2+sin2+cos22-2sin2cos2 =1-sin2+1-sin2 =2-- =2--=. 8.BD　对于A,因为<α<π,cos 2α=-, 所以tan α=-=-2,故A错误; 对于B,由已知得-π<-α<-,0<β<π,则-π<β-α<,又cos(β-α)=-<0,所以-π<β-α<-, 所以sin(β-α)=-=-,故B正确; 对于C,由<α<π,cos 2α=-可得π<2α<, 则sin 2α=-, 所以sin(α+β)=sin[2α+(β-α)] =sin 2αcos(β-α)+cos 2αsin(β-α)=, 易得<α+β<π,所以α+β=,故C错误; 对于D,根据C选项知α+β=, 所以cos αcos β==×--=-,故D正确. 9.解析　(1)∵π<α<,∴<<, 原式=+ =-+ =-cos . (2)∵tan =,∴(1+cos α)tan =sin α. 又∵cos=-sin α,且1-cos α=2sin2, ∴原式===-. ∵0<α<π,∴0<<,∴sin >0, ∴原式=-2cos . (3)cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ =+-cos 2θ =1+[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-cos 2θ =1+×2cos 2θcos 30°-cos 2θ =1+cos 2θ-cos 2θ=1. 10.证明　(1)左边=- == == ==右边,得证. (2)由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B), 则=90°-, ∴cos =cos=sin , ∴sin A+sin B+sin C =2sin cos +sin(A+B) =2sin cos +2sin cos =2sin =2cos ·2cos cos =4cos cos cos , 即sin A+sin B+sin C=4cos cos cos . 11.AD　对于A,函数f(x),g(x)的定义域为R, f(-x)·g(-x)=sin(-x)·cos(-x)=-sin xcos x=-f(x)·g(x),所以f(x)·g(x)是奇函数,故A正确; 对于B, f(x)·g(x)=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为=π,故B错误; 对于C, f(x)+g(x)=sin x+cos x=sin, 因为x∈,所以x+∈,易知y=sin x在上单调递增,在上单调递减,故f(x)+g(x)在上单调递增,在上单调递减,故C错误; 对于D,由C中分析知, f(x)+g(x)=sin,将其图象上所有的点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象, 再向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sin =sin=cos,故D正确. 12.C　f(x)=sin ωx+2cos2=sin ωx+cos ωx+1 =sin+1(ω>0), 因为x∈,所以ωx+∈, 因为函数f(x)在区间上单调递增, 所以-≤T=,则0<ω≤4, 则⊆. 令t=ωx+, 则函数y=sin t在上单调递增, 所以ω+≤或 所以0<ω≤或≤ω≤3, 所以ω的取值范围是∪. 13.解析　(1)当ω=2时, f(x)=sin 2x+cos 2x=sin, 当x∈[0,π]时,2x+∈, 所以2x+=π或2x+=2π时, f(x)=0, 此时x=或x=, 所以函数f(x)在[0,π]上的零点为和. (2)当ω=1时, f(x)=sin x+cos x, 则g(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x =sin2x+2sin xcos x+cos2x+cos 2x =1+sin 2x+cos 2x=2sin2x++1, 当x∈时,2x+∈, 所以≤sin≤1, 所以g(x)的值域是[2,3]. 14.解析　 (1)cos215°+cos215°-sin 15°sin 15° =2cos215°-sin215° =1+cos 30°-(1-cos 30°) =1+-×=. (2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=. 证明如下:∵α+β=30°,∴β=30°-α, ∴cos2α+cos2β-sin αsin β =cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α) =cos2α+-sin α·cos α-sin α =cos2α+cos2α+cos αsin α+sin2α-cos αsin α+sin2α =cos2α+sin2α=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $