2.3 第3课时 简单的三角恒等变换的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

2.3 第3课时 简单的三角恒等变换的应用 [课时跟踪检测] 1.函数y=2sin x(sin x+cos x)的最大值是 (　　) A.1+ B.-1 C. D.2 解析：选A　∵原式=2sin2x+2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x=1+sin，∴ymax=1+. 2.等于 (　　) A. B.1 C. D. 解析：选A　====. 3.已知sin x+cos x=，则cos等于 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　∵sin x+cos x=2sin=，∴sin=.则cos=sin=. 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C=sin 2B，且b=2，c=，则a等于 (　　) A. B. C.2 D.2 解析：选C　由sin C=sin 2B=2sin Bcos B及正、余弦定理得c=2b·，代入数据得(2a+1)(a-2)=0，解得a=2或a=-(舍去).故选C. 5.如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为 (　　) A.2-2 B.2+2 C.4 D.6 解析：选B　如图，设等腰三角形的底角为θ，其中0<θ<，则等腰三角形的高为sin θ，其底边长为2cos θ，所以正方形与四个等腰三角形面积之和为S=4××2cos θsin θ+4cos2θ=2sin 2θ+2cos 2θ+2=2sin+2，因为0<θ<，所以<2θ+<，故当2θ+=，即当θ=时，S取得最大值2+2. 6.(多选)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x，则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的最大值为2 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)关于直线x=-对称 D.f(x)在上单调递增 解析：选BCD　∵f(x)=sin 2x+=(sin 2x-cos 2x)+=sin+，∴f(x)max=+=，最小正周期T==π.当x=-时，sin=-1，∴直线x=-为对称轴.当x∈时，2x-∈，∴f(x)在上单调递增，综上有B、C、D正确，A不正确. 7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足acos B+bcos A=2ccos C，且sin A=sin B，则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析：选B　由acos B+bcos A=2ccos C，利用正弦定理可得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C，整理得sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C，0<C<π，则sin C≠0，化简得cos C=，故C=，在△ABC中，由于sin A=sin B，所以A=B(不可能A+B=π)，故A=B=C=.所以△ABC为等边三角形. 8.（5分）已知函数f(x)=sin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为　　　　.  解析：∵f(x)=sin[(1-a)x+φ]，由已知得=2，∴a=3，∴f(x)=2sin(-2x+φ).∴T==π. 答案：π 9. （5分）已知函数f(x)=2sin-2cos x，x∈，则函数f(x)的值域是　　　　.  解析：∵f(x)=2sin-2cos x=sin x-cos x=2sin，又≤x≤π，∴≤x-≤.∴≤sin≤1.∴函数f(x)的值域为[1，2]. 答案：[1，2] 10. （5分）如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP=α，则其值为　　　　时，矩形的面积最大，最大面积的值为　　　　.  解析：∠SOP=α，则SP=sin α，OS=cos α，故S矩形PQRS=sin α×2cos α=sin 2α，故当α为45°时，S矩形PQRS的面积最大，最大值为1. 答案：45°　1 11. （5分）已知函数f(x)=2sin x+3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)-f(x2)的最大值是　　　　.  解析：因为f(x)=2sin x+3cos x=sin(x+φ)，所以f(x)max=，f(x)min=-.因为x1，x2∈R，所以f(x1)-f(x2)的最大值为f(x)max-f(x)min=-(-)=2. 答案：2 12. （5分）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为弧上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为　　　　.  解析：设∠POQ=θ，则PQ=sin θ，OQ=cos θ，∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ， 由sin 2θ>，得sin 2θ>.又2θ∈(0，π)， ∴<2θ<.则<θ<，∴∠POQ的取值范围为. 答案： 13.(10分)如图，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH， 其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按什么角度来截? 解： 设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则==， 因为a=GC+CF=bsin x+bcos x， 所以sin x+cos x=.所以sin=. 因为0<x<<x+<，所以x+=或x+=，x=或x=. 即按x=或x=来截满足要求. 14．(15分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ；(5分) (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．(10分) 解：(1)f(0)＝cos φ＝，由0≤φ<π，故φ＝. (2)由(1)可知f(x)＝cos， ∴g(x)＝f(x)＋f＝cos＋cos 2x＝cos，故g(x)的值域为[－，]， 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即g(x)的单调递减区间为，k∈Z， 令2kπ＋π≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z， 解得π＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，即g(x)的单调递增区间为，k∈Z. 15.(15分)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明：2a2=b2+c2;（7分） (2)若a=5，cos A=，求△ABC的周长. （8/分） 解：(1)证明：因为A+B+C=π， 所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B， 同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A，所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A， 由正弦定理可得2a2=b2+c2. (2)由(1)及a2=b2+c2-2bccos A，得a2=2bccos A，所以2bc=31. 因为b2+c2=2a2=50，所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81，得b+c=9，所以△ABC的周长l=a+b+c=14. 学科网（北京）股份有限公司 $