2.3.2简单的三角恒等变换——和差化积与积化和差公式（6大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

2.3.2 简单的三角恒等变换---和差化积与积化和差公式 题型一 逆用和、差角的余弦公式化简、求值、和差化积公式 1.若，，则（    ） A． B． C． D． 2.在△ABC中，若，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 3.证明：． 4.已知，，求的值． 题型二 诱导公式五、六、和差化积公式 1.的值为（    ） A． B． C． D． 2.等于（    ） A． B． C． D． 3.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能判断 4.化简求值： . 题型三 积化和差公式 1.已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 2.（    ） A． B． C． D． 3.在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是 . 4.（　　） A． B． C． D． 题型四 二倍角的余弦公式、和差化积公式 1.（　　） A． B．2 C． D． 2.已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五 二倍角的正切公式、辅助角公式 1.在锐角中，已知，则（    ） A． B． C． D． 2.定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 3.（    ） A． B． C． D． 4.如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 题型六 已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值 1.已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 2.已知，则 ． 3.已知，求证： (1)； (2)． 4.求证:. 1.将化简，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.等于（    ） A． B． C． D． 3.（　　） A． B． C． D． 4.（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 5.已知，则（    ） A． B． C． D．1 6.以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 7.函数的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 8.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，则下列说法正确个数是（    ） ①函数的图象关于点对称； ②函数的最大值为2； ③函数的图象关于对称； ④函数在区间内单调递减． A．1 B．2 C．3 D．4 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.2 简单的三角恒等变换---和差化积与积化和差公式 题型一 逆用和、差角的余弦公式化简、求值、和差化积公式 1.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得，再利用和差化积公式得，最后代入计算即可. 【详解】因为， 所以，因为， 所以， 所以，所以， 故选：A. 2.在△ABC中，若，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 【答案】B 【知识点】已知三角函数值求角、用和、差角的余弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】根据三角函数积化和差公式以及诱导公式，化简计算得出结果． 【详解】由已知得， 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：B. 3.证明：． 【答案】见解析 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】由已知结合，及和差角公式进行化简即可证明． 【详解】，， ， 即 ． 4.已知，，求的值． 【答案】． 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、和差化积公式 【分析】利用和差化积、两角和的正切展开式计算可得答案. 【详解】∵，∴①， ，∴②， ，①②可得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二 诱导公式五、六、和差化积公式 1.的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、和差化积公式 【分析】使用和差化积公式将化为后，再用诱导公式将化为即可. 【详解】原式 . 故选：A. 2.等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、积化和差公式 【分析】由条件利用诱导公式、积化和差公式化简所给的式子，可得结果. 【详解】由题意， . 故选：A. 3.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能判断 【答案】C 【知识点】三角恒等变换的化简问题、和差化积公式 【分析】根据题意利用和差化积分析求解. 【详解】由，得， 因为，整理得， 则，则，即， 又因为，则， 所以，则，可得， 故为直角三角形. 故选：C. 【点睛】关键点睛：和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用和差化积公式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用和差化积公式. 4.化简求值： . 【答案】 【知识点】积化和差公式、和差化积公式 【分析】根据余弦的两角和差公式，结合诱导公式即可化简求值 【详解】 题型三 积化和差公式 1.已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 【答案】B 【知识点】积化和差公式 【分析】由积化和差公式变形可得. 【详解】. 故选：B． 2.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差化积公式 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 3.在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、和差化积公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简计算得，结合的范围求余弦值范围即可. 【详解】设外接圆的半径为R，则 ， 即. 因为，所以，由正弦定理得， 由二倍角公式得， 则. 由和差化积公式得，即. 又因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以或（舍去）， 即，， 由正弦定理得，即. 由题意得，解得，，解得， 又，所以， 所以，则a的取值范围是. 故答案为：. 4.（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】辅助角公式、和差化积公式 【分析】根据和差化积结合辅助角公式运算求解. 【详解】原式 . 故选：D. 题型四 二倍角的余弦公式、和差化积公式 1.（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、和差化积公式 【分析】 根据二倍角公式以及和差化积公式求得结果. 【详解】 . 故选：D. 2.已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、和差化积公式 【分析】由，结合已知及和差角余弦公式可得，进而可得，最后由倍角余弦公式求值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，于是， 所以． 故选：B 题型五 二倍角的正切公式、辅助角公式 1.在锐角中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正切公式、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式，结合角A的范围求得，再利用二倍角的正切公式即可得解. 【详解】因为，所以，即， 因为A为锐角的内角，所以，所以， 则，解得，又， 则， 即，又，解得. 故选：A. 2.定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】由辅助角公式化简，再结合正弦型三角函数求最值即可. 【详解】由行列式运算可得 ， 当时，原式取得最大值为2． 故选：D 3.（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简即可. 【详解】． 故选：B. 4.如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的实际应用 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 题型六 已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值 1.已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式 【分析】根据同角平方和关系，即可联立方程求解正余弦值，即可求解正切值，或则利用辅助角公式可得或，即可分类讨论，结合正切的和差角公式求解. 【详解】解法一：由，得， 则．因为，所以， 即，解得或， 当时，，则； 当时，，则， 故选：B． 解法二：因为，其中，，所以或， 当，即，时，，，所以， 所以； 当，即，时，，则，同理，所以， 所以， 故选：B． 2.已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、和差化积公式 【分析】运用和差化积恒等公式，结合同角三角函数关系式计算即可. 【详解】由得①， 由得②， 得． 故答案为：. 3.已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、积化和差公式 【分析】（1）运用积化和差公式化简，变形即可； （2）运用弦化切公式计算证明即可. 【详解】（1）， ， 则，即． （2）由（1）知， 则，则． 4.求证:. 【答案】证明见解析 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、和差化积公式 【分析】根据诱导公式以及和差化积公式证得结果. 【详解】左边 右边. 所以原等式成立. 1.将化简，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和差正弦化简即可. 【详解】 . 故选：B. 2.等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积化和差公式 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】原式． 故选：B. 3.（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】和差化积公式 【分析】格根据三角函数和差化积公式直接求得即可. 【详解】. 故选：C. 4.（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【答案】D 【知识点】积化和差公式 【分析】利用积化和差求解, 【详解】解：， ， ， ， 故选：D. 5.已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】和差化积公式 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 6.以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】将转化为，根据万能公式和计算. 【详解】． 故选：D. 7.函数的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的周期、和差化积公式 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，结合函数的定义域，由无意义，周期的定义可得答案. 【详解】， 由，得且 可得函数的最小正周期， 但是，当时，，无意义，所以， 又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内. 所以函数的最小正周期. 故选：C. 8.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】通过二倍角降幂公式化简，再利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简为，根据余弦函数的性质得出答案. 【详解】 ， 因为，所以 故选：C. 9.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】需要根据辅助角公式将变形化简，根据正弦函数单调区间，求出在的单调区间即可. 【详解】因为． 的单调递增区间为 所以可得． 当时，； 当时，． 所以函数在上的单调递增区间是． 故选：C 10.已知函数，则下列说法正确个数是（    ） ①函数的图象关于点对称； ②函数的最大值为2； ③函数的图象关于对称； ④函数在区间内单调递减． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用恒等式变形，化归为余弦型函数，然后利用余弦型函数的性质进行判断. 【详解】由 ， 由，解得：， 当时，，则函数关于点对称，故①正确； 由函数的最大值为，故②错误； 令，解得，当时，，故③正确； 当，即时，单调递减， 令，则函数在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减，故④正确． 故选：C. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$